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2ª Edição Florianópolis, 2011 Álgebra Linear I Sonia Elena Palomino Castro Bean Daniel Noberto Kozakevich Governo Federal Presidente da República: Dilma Vana Rousseff Ministro de Educação: Fernando Haddad Coordenador Nacional da Universidade Aberta do Brasil: Celso Costa Universidade Federal de Santa Catarina Reitor: Alvaro Toubes Prata Vice-Reitor: Carlos Alberto Justo da Silva Secretário de Educação a Distância: Cícero Barbosa Pró-Reitora de Ensino de Graduação: Yara Maria Rauh Müller Pró-Reitora de Pesquisa e Extensão: Débora Peres Menezes Pró-Reitor de Pós-Graduação: Maria Lúcia de Barros Camargo Pró-Reitor de Desenvolvimento Humano e Social: Luiz Henrique Vieira Silva Pró-Reitor de Infra-Estrutura: João Batista Furtuoso Pró-Reitor de Assuntos Estudantis: Cláudio José Amante Centro de Ciências da Educação: Wilson Schmidt Centro de Ciências Físicas e Matemáticas: Tarciso Antônio Grandi Centro de Filosofia e Ciências Humanas: Roselane Neckel Curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade à Distância Coordenação de Curso: Neri Terezinha Both Carvalho Coordenação de Tutoria: Jane Crippa Coordenação Pedagógica/CED: Roseli Zen Cerny Coordenação de Ambientes Virtuais/CFM: Nereu Estanislau Burin Comissão Editorial Antônio Carlos Gardel Leitão Albertina Zatelli Elisa Zunko Toma Igor Mozolevski Luiz Augusto Saeger Roberto Corrêa da Silva Ruy Coimbra Charão Laboratório de Novas Tecnologias - LANTEC/CED Coordenação Pedagógica Coordenação Geral: Andrea Lapa, Roseli Zen Cerny Núcleo de Formação: Nilza Godoy Gomes Núcleo de Pesquisa e Avaliação: Claudia Regina Flores Núcleo de Criação e Desenvolvimento de Materiais Design Gráfico Coordenação: Laura Martins Rodrigues, Thiago Rocha Oliveira Projeto Gráfico Original: Diogo Henrique Ropelato, Marta Cristina Goulart Braga, Natal Anacleto Chicca Junior Redesenho do Projeto Gráfico: Laura Martins Rodrigues, Thiago Rocha Oliveira Diagramação: Kallani Maciel Bonelli, Karina Silveira Ilustrações: Gabriela Dal Toé Fortuna, Kallani Maciel Bonelli Capa: Rafael Naravan Kienen Design Instrucional Coordenação: Elizandro Maurício Brick Design Instrucional: Maria Carolina Machado Magnus Revisão Gramatical: Daniela Piantola, Raquel Coelho, Tony Roberson De M. Rodrigues Copyright © 2011, Universidade Federal de Santa Catarina/CFM/CED/UFSC Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Coordenação Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade à Distância. Ficha Catalográfica K88a Kozakevich, Daniel Álgebra Linear I / Daniel Norberto Kozakevich, Sonia Elena Palomino Castro Bean. – 2. ed. – Florianópolis : UFSC/EAD/CED/ CFM, 2011. 250 p. : il. ; grafs. , tabs. Inclui bibliografia UFSC. Licenciatura em Matemática na Modalidade a Distância ISBN 978-85-8030-023-9 1. Álgebra linear. I. Bean, Sonia Elena P. Castro. II. Título. CDU 512.64 Catalogação na fonte pela Biblioteca Universitária da UFSC Sumário Apresentação ............................................................................. 7 1. Matrizes ................................................................................. 9 1.1 Matriz .......................................................................................... 11 1.2 Tipos de Matrizes ...................................................................... 16 1.3 Operações com Matrizes ........................................................... 24 1.4 Determinantes ........................................................................... 41 1.5 Matriz Adjunta: Adj (A) ............................................................. 51 1.6 Inversa de uma Matriz .............................................................. 55 Resumo .............................................................................................. 71 Bibliografia Comentada ................................................................... 73 2. Sistemas Lineares ............................................................... 73 2.1 Preliminares ................................................................................ 75 2.2 Sistemas Lineares ....................................................................... 80 2.3 Decomposição LU .................................................................... 108 Resumo ............................................................................................114 Bibliografia Comentada ..................................................................115 3. Espaços Vetoriais .............................................................. 117 3.1 Introdução ..................................................................................119 3.2 Espaços Vetoriais ...................................................................... 124 3.3 Subespaços Vetoriais ................................................................ 133 3.4 Espaços Gerados ........................................................................148 3.5 Independência Linear .............................................................. 155 3.6 Bases e Dimensão ......................................................................166 3.7 Subespaços Associados a Matrizes e Computação de Bases .................................................................................................189 3.8 Espaços Linha/Coluna e os Sistemas Lineares .................... 194 Resumo ............................................................................................ 197 Bibliografia Comentada ................................................................. 199 4. Transformações Linares .................................................. 201 4.1 Introdução ................................................................................. 203 4.2 Operações com Transformações Lineares .............................216 4.3 A Imagem e o Núcleo de uma Transformação Linear ........ 226 4.4 Transformações Injetoras, Sobrejetoras e Isomorfismos ..... 233 4.5 Representação Matricial de Transformações Lineares ....... 239 4.6 Matrizes e Transformações Lineares, Equivalências e Propriedades ................................................................................... 247 Bibliografia Comentada ................................................................. 249 Apresentação A Álgebra Linear é o estudo dos espaços vetoriais e das trans- formações lineares definidas entre eles. Quando os espaços têm dimensões finitas, as transformações lineares podem ser repre- sentadas por matrizes. Também com matrizes podem ser repre- sentadas as formas bilineares e, mais particularmente, as formas quadráticas. Assim a Álgebra Linear, além de vetores e transfor- mações lineares, lida também com matrizes e formas quadráticas. São numerosas e bastante variadas as situações, em Matemática e em suas aplicações, onde esses objetos se apresentam. Daí a im- portância central da Álgebra Linear no ensino da Matemática. Neste livro se introduzem os conceitos da Álgebra Linear, desde os mais simples, que são as matrizes, até os mais abstratos, quan- do se trata do estudo de espaços vetoriais. Todos esses conceitos são apresentados, dentro do possível, de uma forma acessível, aju- dando a compreensão com muitos exemplos, exercícios resolvidos e propostos. Também, com o objetivo de facilitar a compreensão do conteúdo, colocamos alguns tópicos com detalhes e justifica- ções que usualmente não são expostos nos livros tradicionais. Este texto pretende fornecer conceitos suficientes para que os estudantes consigam ter acesso ao nível dos livros avançados. Isto não significa deixar para trás as possibilidadesque oferece a utilização de um software matemático ou ignorar as aplicações, no favor de uma exclusiva e única compreensão da Matemática. Significa que se pretende, principalmente, que o leitor obtenha uma compreensão global dos conceitos (como por exemplo, que a multiplicação de uma matriz por um vetor pode ser entendida como a aplicação de uma transformação linear) e também consiga acompanhar as provas e demonstrações. O primeiro capítulo trata de Matrizes e Aplicações. No segundo capítulo, se estudam os Sistemas Lineares, começando com uma breve revisão dos conceitos da Geometria Analítica, para poder en- tender em uma forma geométrica como é que tais sistemas podem ser caracterizados. No terceiro capítulo define-se Espaço Vetorial, um conceito básico da Álgebra Linear que proporciona unidade e precisão aos assuntos essenciais da Matemática. E finalmente, o quarto capítulo introduz a noção de Transformação Linear e as relações que existem entre transformações lineares e matrizes. Embora a apresentação esteja focalizada sobre os principais tópi- cos da Álgebra Linear, não pressupõe que os estudantes possuam desde o início uma prática em trabalhar com conceitos que de- mandem certos níveis de abstração, ainda que desejável. Em lugar disso, esta atividade é estimulada através dos muitos exemplos e exercícios que diferem das verificações rotineiras ou uso de téc- nicas de resolução. O objetivo está colocado principalmente em desenvolver, sendo o material usual de um curso de graduação, o nível de maturidade matemática de um estudante da Licenciatu- ra de Matemática. Sonia Elena Palomino Castro Bean Daniel Noberto Kozakevich Capítulo 1 Matrizes Capítulo 1 Matrizes Ao finalizar o estudo deste Capítulo você será capaz de identificar alguns tipos de matrizes, fazer operações e provar propriedades e teoremas sobre matrizes. Também, será capaz de compreender e aplicar o conceito de matri- zes em situações reais. 1.1 Matriz As matrizes são estruturas matemáticas que podem ser encontra- das em muitos problemas do nosso dia-a-dia. Por isso, neste capí- tulo, iniciaremos o estudo das matrizes com um problema vindo do nosso cotidiano. Problema 1. Já pensou que a temperatura que temos em cada esta- ção do ano pode ser registrada dia a dia e hora a hora (e até minuto a minuto!), com ajuda de dispositivos especiais? Isso é feito pelo Instituto de Meteorologia de cada uma das regiões. Considere a seguinte situação: As temperaturas de cinco cidades brasileiras nas primeiras horas da manhã de um determinado dia (durante o inverno) foram registra- das da forma seguinte: Cidade n° 1• : São Joaquim (SC) às 3 horas da manhã apresenta 3− graus centígrados; Cidade n° 2• : Rio de Janeiro (RJ) às 5 horas da manhã apresenta 14 graus centígrados; Cidade n° 3• : Turvo (SC) às 7 horas da manhã apresenta 5 graus centígrados; Cidade n° 4• : Florianópolis (SC) às 9 horas da manhã apresenta 16 graus centígrados; 12 Cidade n° 5• : São Luis (MA) às 11 horas da manhã apresenta 20 graus centígrados. Essas informações podem ser arranjadas em tabelas de várias for- mas, como as que apresentamos a seguir: Cidade Temperatura (°C) 1 -3 2 14 3 5 4 16 5 20 Hora Temperatura (°C) 3 -3 5 14 7 5 9 16 11 20 Observe que dessa forma as informações estão dispostas em forma vertical, mas também podemos colocar as mesmas informações em forma horizontal. Pergunta 1. De que forma podem ser arranjados os dados acima de modo a estarem dispostos horizontalmente? Se considerarmos H como sendo a hora e T a temperatura da cida- de, então, a terceira tabela pode ser disposta da seguinte maneira: H 3 5 7 9 11 T (°C) -3 14 5 16 20 Deixamos de atividade para você completar essa disposição hori- zontal no caso das outras tabelas. Continuando com o Problema 1, suponhamos que por algum moti- vo é do nosso interesse os dados do arranjo dado pela última tabela. Cidade Hora 1 3 2 5 3 7 4 9 5 11 Hora Cidade 3 1 5 2 7 3 9 4 11 5 13 Assim, podemos formular o seguinte: Em cinco cidades brasileiras, em determinadas horas, foram regis- tradas as seguintes temperaturas: H T (°C) 3 -3 5 14 7 5 9 16 11 20 Observação. A mesma informação poderia ter sido colocada da se- guinte forma: H 3 5 7 9 11 T (°C) -3 14 5 16 20 Os dois jeitos de arranjar os dados estão nos fornecendo o que deno- minaremos como Matriz. 1.1.1 Definição de matriz Uma matriz é um arranjo de números, símbolos, letras, etc., dispos- tos em linhas e colunas. 1.1.2 Ordem de uma matriz As matrizes geralmente são denotadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas. Se uma matriz possui m linhas e n colunas diremos que a matriz tem ordem m n× . Exemplo 1. Denominemos por A e B as duas matrizes definidas no Problema 1 e na Pergunta 1, respectivamente. Assim: 3 3 5 14 7 5 9 16 11 20 A − = e 3 5 7 9 11 3 14 5 16 20 B = − . É de nosso interesse trabalhar apenas com números reais neste Livro, assim sendo tudo o que será definido mais adiante, no caso das matrizes ou vetores, será com elementos reais (mais adiante você terá a possibilidade de trabalhar com números complexos também!). 14 A matriz A tem 5 linhas e 2 colunas, ou seja, é de ordem 5 2× ; já a matriz B tem 2 linhas e 5 colunas e é de ordem 2 5× . O elemento da 2ª linha e 2ª coluna da matriz A é igual a 14, ou seja: 22 14a = . O elemento da 1ª linha e 4ª coluna da matriz B é igual a 9, isto é: 14 9b = . Quando uma matriz é obtida por algum problema específico (como o explicitado no Problema 1), é possível fornecer alguma interpreta- ção aos seus elementos. Por exemplo, as matrizes A e B do Exemplo 1 com elementos 22 14a = e 14 9b = podem ser interpretadas da seguinte forma: “No segundo horário (5 horas da manhã) o segundo valor da temperatura (no Rio de Janeiro) é 14 graus”. “São 9 horas da manhã quando a temperatura em Florianópolis é 16 graus”. E, claro, após fornecermos todas as interpretações podemos fazer algumas conclusões: Eu gosto do frio, portanto irei para São Joaquim no inverno. • Não, não gosto de tanto frio, por isso no inverno ficarei no Rio • de Janeiro. Bom, você deve estar se perguntando: onde está a matemática nesse papo todo? Se estiver fazendo esse tipo de questionamento está indo por um bom caminho, pois a matemática, por incrível que pareça, está presente em muitas situações! E é isso que esperamos mostrar ao longo deste material! Lembrete. A partir de agora, serão apresentados vários exercí- cios que pediremos para você resolver. 15 Agora verifique se você está acompanhando as discussões que fi- zemos, resolvendo os seguintes exercícios. Exercício 1. Coloque mais alguma condição no Problema 1 para construir uma matriz de ordem 3 x 5. Dica: Imagine que os dados são colhidos durante 3 dias. Exercício 2. Será que você pode imaginar e criar um problema do seu cotidiano diferente do dado acima para chegar a uma matriz? Dada uma linha i e uma coluna j de uma matriz A, o elemento na posição (i, j) será denotado por ija . Assim, uma matriz com m n× elementos pode ser escrita na seguinte forma estendida: 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 j n j n i i ij in m m mj mn a a a a a a a a A a a a a a a a a = Também podemos colocá-la na forma abreviada: ij m n A a × = Assim, a matriz A de ordem m n× possui m n⋅ elementos da forma ija com 1, ,i m= e 1, ,j n= . Alguns livros denotama matriz A de elementos ija na forma ( )ij m nA a ×= . Muitas vezes é fornecida uma lei de formação para obtermos os ele- mentos de uma matriz. Por exemplo, se 2 3ij A a × = com ija i j= + , com 2m = e 3n = , estaremos construindo a seguinte matriz A: 1 1 1 2 1 3 2 3 4 2 1 2 2 2 3 3 4 5 A + + + = = + + + . 16 Exemplo 2. Vamos obter a matriz 3 4( )ijB b ×= , de ordem 3 4× , cujos elementos são da forma , 1, 2 0, 3 j ij i i b i == = . Solução. Observe que não há nenhuma condição para os índices j, isto é, j está variando conforme o número de colunas que a matriz tem. Já na 3ª linha ( 3)i = todos os elementos serão nulos. Assim sendo, a matriz B é dada por: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 4 8 16 0 0 0 0 0 0 0 0 B = = . 1.2 Tipos de Matrizes 1.2.1 Matriz Retangular São denominadas assim aquelas matrizes cujo número de linhas é diferente do número de colunas. Por exemplo: 1 1 0 9 5 2 A − = − 0 1 2 3 4 7 2 3 8 0 1 3 3 2 6 3 5 0 0 9 B − = − e 0 0 1 1 3 9 C = − , e podem ser colocadas na forma [ ] [ ] [ ]3 2 4 5 2 3, e A B C× × ×= = = . No que segue podemos omitir a ordem na representação da matriz toda vez que ela venha dada na forma estendida. 1.2.2 Matriz Linha A matriz linha é uma matriz que tem apenas uma linha. Por exemplo: [1 2 3 4]L = (0 0 1 8)M = . Observação. É comum colocarmos vetores no plano e no espaço como matrizes linha entre parênteses, onde os elementos estão se- parados por vírgula. Exemplo: (0, 0,1, 8). 17 1.2.3 Matriz Coluna A matriz coluna é uma matriz que tem apenas uma coluna. Por exemplo: 2 2 2 B = 0 1 1 4 3 D = − . Observação. Sabia que um vetor no plano (ou no espaço) pode ser considerado como uma matriz coluna? Mais adiante (capítulo de Sistemas Lineares) usaremos essa forma ao representar a solução de um sistema de equações. Assim, se tivermos duas ou três incóg- nitas elas podem ser alocadas numa forma vetorial no plano ou no espaço, respectivamente; você também encontrará essa notação no livro “Um curso de geometria analítica e álgebra linear”, citado na bibliografia comentada. 1.2.4 Matriz Nula A matriz nula é uma matriz cujos elementos são todos nulos. Por exemplo: 0 0 0 0 O = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 O = . Esses tipos de matrizes geralmente são denotados pela letra maiús- cula O e dependendo do problema deverá discernir a ordem da ma- triz no exercício ou problema em questão. Alguns autores denotam essa matriz da forma: 0ij m nO × = . 1.2.5 Matriz Quadrada Uma matriz quadrada é uma matriz onde o número de linhas é igual ao número de colunas. Nas seguintes matrizes, A é uma ma- triz de ordem n e B uma matriz de ordem 3: ij n A a = 1 1 1 1 1 2 3 7 0 B = − − Para facilitar, usamos ape- nas a notação ij n A a = para representar, de forma abreviada, matrizes qua- dradas de ordem n. 18 No caso de matrizes quadradas, é possível definir duas diagonais: A • diagonal principal de uma matriz quadrada está dada pe- los elementos na posição i j= . Por exemplo, os valores 1, 1− e 0 são os elementos da diagonal principal da matriz B. A • diagonal secundária está dada pelos elementos da matriz cujos índices contabilizam o valor 1i j n+ = + , assim, na mes- ma matriz B dada acima os elementos 1, 1− e 3 são aqueles cujos índices sempre somam 3 1 4i j+ = + = , esses elementos são 13b , 22b e 31b . Exemplo 3: Considere a matriz 1 1 1 1 1 2 3 7 0 B = − − . Os elementos {1, -1, 0} formam a diagonal principal e os elementos {3, -1, 1} formam a diagonal secundária. A partir de agora, falaremos um pouco mais sobre matrizes qua- dradas. 1.2.6 Matriz Diagonal A matriz diagonal é uma matriz quadrada cujos elementos fora da diagonal principal são nulos, isto é, 0ija = se i j≠ . Por exemplo: 1 0 0 0 3 0 0 0 6 D = 0 0 0 1 E = − . Pelo fato das matrizes diagonais possuírem elementos, quase sem- pre não nulos. Apenas na posição ( , )i i é que elas podem ser deno- tadas como 1 2{ , , , }ndiag d d d , ou ainda na forma 1 2{ , , , } ndiag d d d onde 1 2, , , nd d d indicam os elementos diagonais. Por exemplo, a matriz D dada anteriormente pode ser escrita como {1,3,6}=D diag . 1.2.7 Matriz Identidade A matriz identidade é uma matriz diagonal onde todos os elemen- tos da diagonal principal são iguais a um. É geralmente denotada 19 com a letra I e com um índice que denota a ordem, como ilustrado a seguir: 2 1 0 0 1 = I 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 = I . 1.2.8 Matriz Triangular Superior A matriz triangular superior é uma matriz quadrada de ordem n cujos elementos ija são nulos quando i j> . Isto é: 11 12 1 22 20 0 0 n n nn a a a a a A a = . 1.2.9 Matriz Triangular Inferior A matriz triangular inferior é uma matriz quadrada de ordem n cujos elementos ija são nulos quando i j< , ou seja: 11 21 22 1 2 0 0 0 n n nn a a a A a a a = . 1.2.10 Matriz Simétrica Uma matriz quadrada S, de ordem n, é simétrica se ij jia a= , para quaisquer valores dos índices ,i j. São exemplos de matrizes simé- tricas: 2 0 1 1 0 S − = − 4 1 0 1 3 0 1 4 5 1 4 0 0 3 5 0 S a − − = − − . Observe que o elemento a na posição (4, 4) da matriz 4S não tem valor numérico, isto é, assume qualquer valor real. Quando falamos de elementos assumindo qualquer valor real podemos denotá-los com a∈. Nesse caso, o símbolo ∈ é lido como “pertence a” e denota os números reais. 20 Exemplo 4. Encontre os valores de , , , , ,t w s z a b para obtermos S si- métrica: 2 0 0 0 0 1 0 0 0 a t x b w S z z − = − . Solução. Pela definição de matriz simétrica, todos os elementos ijs da matriz S devem ser tais que ij jis s= . Como a matriz é de ordem 4n = e considerando que ,i j variam entre 1 e 4 (ou seja, , 1, , 4i j = ), encontramos que: 21 122s x s= = = . Também: 31 130s z s= = = , e de forma similar: 41 141s t s= = − = . Assim, 1t = − . Também, 32 23s z w s= − = = , como 0z = e o oposto de zero é ele próprio, então: 0w = . Por último, 11s a= e 22s b= , mas não há nenhuma condição para esses valores. Portanto, a e b são valores reais quaisquer, isto é, ,a b∈. 1.2.11 Matriz Anti-simétrica Uma matriz quadrada A é anti-simétrica se ij jia a= − . São exemplos de matrizes anti-simétricas as matrizes: 0 1 1 0 A − = 0 2 6 2 0 4 6 4 0 B = − − − 21 Exemplo 5. Considere a matriz S fornecida no Exemplo 3; encontre os valores de , , , , ,t w s z a b para S ser uma matriz anti-simétrica. Solução. Usando um raciocínio similar ao usado no Exemplo 3 e con- siderando que para cada valor de i e j deve se satisfazer ij jia a= − , encontra-se 2x = − , 0z = , 1t = , 0w = , 0a = e 0b = . Assim: 0 2 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 S − − = . Você percebeu que os elementos da diagonal principal das matrizes anti-simétricasfornecidas são todos nulos? Isso seria apenas uma coincidência? No exemplo seguinte, provaremos que esse resultado vale para qualquer matriz anti-simétrica. Exemplo 6. Prove que os valores da diagonal principal de uma ma- triz anti-simétrica qualquer são todos nulos. Solução. Se ij nA a = é uma matriz anti-simétrica de ordem n, os seus elementos satisfazem a relação ij jia a= − para quaisquer valores ,i j. Os elementos na diagonal principal encontram-se na posição i j= , então ii iia a= − . Daí, 2 0iia = para qualquer valor de i. Em consequência, 0iia = para qualquer i. Um exemplo numérico que ilustra o que acabamos de provar foi dado no Exemplo 4. Nele, você encontrou que os valores diagonais são todos nulos! 1.2.12 Matriz Elementar Uma matriz é denominada elementar se for obtida por meio de uma única mudança na matriz identidade. Essa mudança pode ser de um dos seguintes tipos: 22 A troca de uma linha (ou coluna) por outra linha (ou coluna);1) A multiplicação de uma linha (ou coluna) por um valor 2) ∈; A soma de uma linha (ou coluna), multiplicada pelo valor 3) ∈, com outra linha (ou coluna). Exemplos: A matriz elementar de ordem 2 obtida ao trocarmos a linha 1 a) pela linha 2 da matriz identidade de ordem 2 é dada por: 1 0 1 1 0 E = . A matriz elementar de ordem 4 obtida ao multiplicar na linha 3 b) da matriz identidade (de ordem 4) por 2− é dada por: 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 E = − A matriz elementar de ordem 3 obtida ao multiplicar a linha 3 c) por 3− e somar com a linha 2 da matriz identidade (de ordem 3) é dada por: 3 1 0 0 0 1 0 0 1 3 E = − Também, são matrizes elementares as matrizes: 1 0 0 2 A = − 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 B = Agora é com você! Exercício 3. Como foram obtidas as matrizes elementares A e B anteriores? 23 1.2.13 Igualdade de Matrizes Duas matrizes A e B, de ordem m n× , são ditas serem iguais se todos os seus elementos são iguais. Isso pode ser expressado com a seguinte relação de igualdade: . A expressão , ,ij ija b i j= ∀ também pode ser colocada como: , {1, , }, {1, , }ij ija b i m j n= ∀ ∈ ∀ ∈ . Exemplo 7. Forneça condições para estabelecer a igualdade das ma- trizes A e S dadas a seguir. 0 2 0 1 2 0 2 0 2 0 0 1 0 0 t A t − − − = − 11 2 0 1 2 2 0 2 0 0 1 0 0 s y t S t − − − = − − Solução. Como as matrizes são de ordem 4, teremos , {1, , 4}i j∈ . Se A S= , então, ij ija s= , {1, , 4}i j∀ ∈ , assim: 11 110a s= = 22 220a s y= = = , daí resulta: 0y = . Também, 24 24a t s t= − = = − , com isso: t∈. Mais, 42 42a t s t= = = − 2 0t = , O símbolo matemático ∀ é lido “para todo”. Na relação dada, ∀ i, j é lido “para todo i e para todo j”. 24 que implica: 0t = . Por último, como t∈ e 0t = , implica 0t = . Observação. As matrizes 1 1 1 1 A = e 1 1 1 1 1 1 B = possuem os mes- mos elementos, mas não são iguais, você pode justificar o porquê? Agora é com você! Exercício 4. Quais são os valores de b para a matriz 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b b A b b b = ser simétrica? 1.3 Operações com Matrizes A seguir, serão definidas as operações de adição, produto por um escalar e produto de matrizes. 1.3.1 Adição de Matrizes Dadas as matrizes ij m nA a × = e ij m nB b × = , a adição das matrizes A e B é a matriz ij m nC c × = , onde ij ij ijc a b= + , ,i j∀ . Notação. C A B= + . ij ij m n A B a b × + = + Exemplo 8. Se 0 2 0 1 2 0 2 0 2 0 0 1 0 0 t A t − − − = − e 11 2 0 1 2 2 0 2 0 0 1 0 0 s y t S t − − − = − − , calcu- le C A S= + para ,t y e 11s quaisquer números reais. 25 Solução. Ao aplicarmos a definição de soma de matrizes nas matrizes A e S , teremos: 11 4 0 2 0 0 2 0 4 0 0 2 0 0 0 s y t C − − = − . 1.3.2 Produto de uma matriz por um escalar Dado o escalar , o produto da matriz A pelo escalar é uma matriz da mesma ordem cujos elementos foram multiplicados pelo valor . Em outras palavras, se ij m nA a × = e ∈, o produto de A pelo es- calar é uma matriz C de elementos ijc com ij ijc a= para todos os valores ,i j definidos na matriz A. Isto é: ij m n C c × = , tal que ij ijc a= , ,i j∀ . Notação. ij m nC A a × = = . Exemplo 9. Multiplique a matriz 4I pelo escalar 2 = − . Solução. 4 1 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 2 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 2 C I − − = = − = − − Nota. Quando 1 = − , podemos escrever 1 A A− ⋅ = − . 1.3.3 Produto de Matrizes Dadas as matrizes [ ]ik m tA a ×= e kj t nB b × = , o produto das matrizes A e B é uma matriz ij m nC c × = cujos elementos ijc são da forma: 1 t ij ik kj k c a b = =∑ . Escalar Na maioria dos casos, é um número real ∈ . É pos- sível, também, tomarmos os escalares como números complexos, ∈ . Os es- calares podem ser tomados de qualquer sistema numéri- co no qual podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir de acordo com as leis habi- tuais da aritmética. 26 Isto é, ao definirmos as matrizes 11 12 1 21 22 2 1 2 t t m m mt m t a a a a a a A a a a × = , 11 12 1 21 22 2 1 2 n n t t tn t n b b b b b b B b b b × = e 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn m n c c c c c c C c c c × = , os elementos da matriz produto adotam a forma: 1 1 2 2ij i j i j it tjc a b a b a b= + + + 1 t ij ik kj k c a b = =∑ . Note que o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B. Notação: 1 3 4 t ik kj k C AB a b = × = = ∑ . Exemplo 10. Seja a matriz 2 3 4 3 4 5 4 5 6 A = e a matriz B, de ordem 3 4× com elementos jijb i= . Obter a matriz produto C AB= . Solução. Como o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B, o produto pedido é possível. As matrizes explicitadas são dadas respectivamente por: 2 3 4 3 4 5 4 5 6 A = e 1 1 1 1 2 4 8 16 3 9 27 81 B = . Para obtermos a matriz produto 3 4ij C AB c × = = com elementos 3 1 , 1, ,3, 1, , 4ij ik kj k c a b i j = = = =∑ . Percorrendo cada valor de i e j dado temos os elementos da: Primeira linha:• 11 12 13 14 (2)(1) (3)(2) (4)(3) 2 6 12 20 (2)(1) (3)(4) (4)(9) 2 12 36 50 (2)(1) (3)(8) (4)(27) 2 24 108 134 (2)(1) (3)(16) (4)(81) 2 48 324 374 c c c c = + + = + + = = + + = + + = = + + = + + = = + + = + + = 27 Segunda linha:• 21 (3)(1) (4)(2) (5)(3) 3 8 15 26c = + + = + + = 22 (3)(1) (4)(4) (5)(9) 3 16 45 64c = + + = + + = 23 (3)(1) (4)(8) (5)(27) 3 32 135 170c = + + = + + = 24 (3)(1) (4)(16) (5)(81) 3 64 405 472c = + + = + + = E, por último, os da terceira linha:• 31 (4)(1) (5)(2) (6)(3) 4 10 18 32c = + + = + + = ; 32 (4)(1) (5)(4) (6)(9) 4 20 54 78c = + + = + + = ; 33 (4)(1) (5)(8) (6)(27) 4 40 162 206c = + + = + + = ; 34 (4)(1) (5)(16) (6)(81) 4 80 486 570c = + + = + + = . Sendo assim, temos a seguinte matriz: 11 12 13 14 21 22 2324 31 32 33 34 20 50 134 374 26 64 170 472 32 78 206 570 c c c c C c c c c c c c c = = . Ao multiplicarmos matrizes devemos tomar cuidado com a or- dem das linhas e colunas, ou seja, poderemos fazer o produto de matrizes quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda. Assim, a matriz produto C terá um número de linhas igual ao número de li- nhas da matriz A e um número de colunas igual ao número de colunas de B. 1.3.4 Propriedades das Operações com Matrizes Considere ij m nA a × = , ij m nB b × = e ij m nC c × = , então temos as se- guintes propriedades: 1) Propriedades da Adição A1) Comutatividade: A B B A+ = + ; A2) Associatividade: ( ) ( )A B C A B C+ + = + + ; A3) Elemento Neutro da Soma: A O A+ = , [0]m nO ×= ; A4) Elemento Simétrico: ( )A A O+ − = ( )A A O− = . 28 Observação. 1 1 ( )ij ijm n m nA A a a× × − = − ⋅ = − ⋅ = − • Prova das Propriedades A1) Comutatividade: A B B A+ = + Seja ij m nA a × = e ij m nB b × = ij ijm n m n A B a b × × + = + ij ij m n a b × = + ( )ij ij m na b × = + . Usando a propriedade comutativa dos números reais: ( ) ( )x y y x+ = + , com ,x y∈ temos: ( )ij ij m nb a × = + ij ij m n b a × = + B A= + . Logo, A B B A+ = + . A2) Associatividade: ( ) ( )A B C A B C+ + = + + . Consideremos ij m nA a × = , ij m nB b × = e ij m nC c × = . Da definição de soma de matrizes, ij ij m n A B a b × + = + e ( ) ( )ij ij ij m nA B C a b c × + + = + + . Usando a propriedade associativa dos números reais: ( ) ( )x y z x y z+ + = + + com , ,x y z∈. Temos, então: ( )ij ij ij m na b c × = + + . E usando a definição de soma de matrizes: ij ij ijm n m n a b c × × = + + 29 ( )A B C= + + . Logo, ( ) ( )A B C A B C+ + = + + . A3) Elemento Neutro da Soma: A O A+ = , [0]m nO ×= . Seja ij m nA a × = e [0]m nO ×= 0 ( 0)ij ijm n m nA O a a× × + = + = + . Pela propriedade dos números reais: 0x x+ = com x∈. Então, 0 , ,ij ija a i j+ = ∀ . Com isso, 0ij ijm n m na a× × + = A= . Logo, A O A+ = . A4) Elemento Simétrico: ( )A A O+ − = . Seja ij m nA a × = e ij m nA a × − = − . Logo, ( ) ( )ij ij m nA A a a × + − = + − . Pela propriedade dos números reais: ( ) 0x x+ − = com x∈. Então, ( ) 0, ,ij ija a i j+ − = ∀ . Assim, ( ) [0]ij ij m nm na a O×× + − = = . Logo, ( )A A O+ − = . 2) Propriedades do Produto por um Escalar Sejam A e B duas matrizes da mesma ordem e , dois escalares, então: M1) ( ) ( )A A = ; M2) ( )A B A B + = + ; 30 M3) ( ) A A A + = + ; M4) 1 A A⋅ = . Observação. Quando trabalhamos com matrizes, pode acontecer a necessidade de multiplicá-las pelo escalar zero, dando como resulta- do a matriz nula. Isto é, . Vejamos: se ij m nA a × = , [0]m nO ×= e o escalar nulo (0): 0 ij m nO A a × ⋅ = 0 ij m na × = ⋅ [0]m n×= O= . • Prova das Propriedades M3) ( ) A A A + = + . Sejam , dois escalares e a matriz ij m nA a × = , então: ( ) ( ) ij m nA a × + ⋅ = + ( ) ij m na × = + . Usando a propriedade distributiva dos números reais ( )x y z xz yz+ ⋅ = + para cada elemento da matriz, temos: ( ) ( )ij ij m na a × = + ij ijm n m n a a × × = + . Pela definição de produto por um escalar, ij ijm n m n a a × × = + A A = + . Logo, ( ) A A A + ⋅ = + . M4) 1 A A⋅ = . Você observou as diferenças entre o zero escalar e a matriz zero, denotada pela letra O? 31 Seja ij m nA a × = e o escalar 1∈. 1 1 ij m nA a × ⋅ = ⋅ 1 ij m na × = ⋅ (1 )ij m na × = ⋅ . Usando a propriedade do elemento neutro da multiplicação dos nú- meros reais, 1 ,x x x⋅ = ∀ ∈. Temos: 1 ij ijm n m na a A× × ⋅ = = . Logo, 1 A A⋅ = . Agora é com você! Exercício 5. Prove as outras propriedades do produto de uma ma- triz por um escalar. 3) Propriedades do Produto de Matrizes Considere , e A B C matrizes, então valem as seguintes proprieda- des de produto de matrizes: P1) Associativa: ( ) ( )AB C A BC= ; P2) Distributiva: ( )A B C AB AC+ = + ; P3) ( )A B C AC BC+ = + ; P4) ( ) ( ) ( )AB A B A B = = . • Prova das Propriedades P3) ( )A B C AC BC+ = + ; Sejam as matrizes [ ]ik m pA a ×= , [ ]ik m pB b ×= , [ ]kj p nC c ×= , então: ( ) [( )] .ik ik m p kj p nA B C a b c× × + = + . Usando a definição do produto de matrizes para A B+ e C , temos: 1 ( ) p ik ik kj k m n a b c = × = + ∑ . Ao enunciar as propriedades do produto de matrizes não explicitamos a ordem das mesmas, por exemplo, em 1P, ( ) ( )AB C A BC= supomos possíveis os produtos AB e BC, isto é, o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B e o número de colunas de B é igual ao número de linhas de C. 32 Usando a propriedade distributiva dos números reais: 1 p ik kj ik kj k m n a c b c = × = + ∑ . Pela propriedade 2 dos somatórios e da definição de adição de ma- trizes, 1 1 1 1 p p p p ik kj ik kj ik kj ik kj k k k km n m n m n a c b c a c b c = = = =× × × + = + ∑ ∑ ∑ ∑ . Pela definição do produto de matrizes: AC BC= + . Logo, ( )A B C AC BC+ = + . P4) ( ) ( ) ( )AB A B A B = = . Seja ∈, [ ]ik m tA a ×= e [ ]kj t nB b ×= 1 ( ) [ ] [ ] ( ) t ik m t kj t n ik kj k m n AB a b a b × × = × = ⋅ = ⋅ ∑ . Usando a propriedade do somatório: 1 1 n n i i i i c x cx = = =∑ ∑ , c: constante, temos: 1 ( ) t ik kj k m n a b = × = ⋅ ∑ . Da propriedade associativa dos números reais: ( ) ( )xy z x yz⋅ = ⋅ com , ,x y z∈. Temos: 1 ( ) t ik kj k m n a b = × ⋅ ∑ . E, pela definição de produto de matrizes e produto de uma matriz por um escalar, ( )A B= . Logo, ( ) ( )AB A B = . A lista de propriedades encontra-se no final desta Seção. 33 Observação. É importante observar que em geral AB BA≠ , isso será ilustrado com o seguinte exemplo. Exemplo 11. Dadas as matrizes 1 0 0 1 A = − e 1 1 1 0 B = , a matriz produto 1 1 1 0 AB = − , entretanto 1 1 1 0 BA − = , verificando que AB BA≠ . No ambiente virtual da disciplina você encontrará algumas atividades nas quais poderá praticar tanto a multiplicação de matrizes numéricas, usando problemas do cotidiano, quanto a aplicação das propriedades. Agora é com você! Exercício 6. Prove as outras propriedades do produto de matrizes. 1.3.5 Transposta de uma Matriz Seja ij m nA a × = , a matriz transposta de A, denotada por A', é aquela matriz obtida trocando-se as linhas pelas colunas de A. Isto é: ji n m A a × ′ = . Por exemplo, se 2 3 1 2 3 4 5 6 A × = , a matriz transposta é uma matriz de ordem 3 2× dada por: 3 2 1 4 ' 2 5 3 6 A × = . Observe que na matriz transposta cada elemento na linha i e co- luna j aparece como sendo um elemento da linha j e coluna i da matriz A. Na literatura é também usual encontrarmos a transposta de uma matriz denotada como TA ou tA , mas usaremos tal notação pelo fato de ser a forma como trabalharemos computacionalmente com alguns softwares como MATLAB® ou SCILAB®, duranteas nossas aulas ou no ambiente virtual. 34 Exemplo 12. Seja A uma matriz de ordem 2, encontre o valor de x de modo que 'A A= . 1 1 0 x A = − . Solução. 1 1 ' 0 A x − = . Como 'A A= é uma condição do exercício, então: 1 1 1 0 1 0 x x − = − . Isso será válido apenas se 1x = − . Observação. Outra forma de definirmos a matriz simétrica é usan- do a matriz transposta. Assim, diremos que uma matriz é simétrica se ela coincide com a sua transposta, isto é, 'A A= . 1.3.6 Propriedades da Matriz Transposta Dadas as matrizes e A B, são válidas as propriedades da matriz transposta: ( ') 'A A=1) ; ( ) ' ' 'A B A B+ = +2) ; ( ) ' ' 'AB B A=3) ; ( ) ' ', A A = ∈4) . • Prova da Propriedade 3 ( ) ' ' 'AB B A= . Sejam [ ]ik m pA a ×= , [ ]kj p nB b ×= 1 p ik kj k m n AB a b = × = ∑ [ ]ij m nc ×= . 35 Assim: 1 p ij ik kj k c a b = =∑ . Pela definição de transposta de uma matriz, ( ) ' [ ]ji n mAB c ×= 1 p jk ki k n m a b = × = ∑ (1) Pode-se verificar que: 1 1 p p jk ki jk ki k k b a a b = = =∑ ∑ . (2) Por outro lado: ' [ ] , ' [ ]jk n p ki p mB b A a× ×= =, ' [ ] , ' [ ]jk n p ki p mB b A a× ×= = . Observe que { }1, ,k p∈ , e 1 ' ' p jk ki k n m B A b a = × = ∑ (deixamos a você a tarefa de pesquisar a propriedade do somatório usado), substituindo (2) e (1): 1 ( ) ' p jk ki k n m AB b a = × = ∑ . Logo, ( ) ' ' 'AB B A= . Agora é com você! Exercício 7. Prove as demais propriedades, justificando todos os passos do seu procedimento. Exercício 8. Prove que se 'A A= − , então A é anti-simétrica. Exercício 9. Dado um escalar não nulo , prove que, se A é uma matriz simétrica e B é uma matriz anti-simétrica, então, 1 A é si- métrica e 1 B é anti-simétrica. 36 Exemplo 13. Prove que toda matriz quadrada pode ser colocada como a soma de uma matriz simétrica com outra anti-simétrica. Solução. Seja ij nA a = . Em primeiro lugar, vejamos que 'A A+ é uma matriz simétrica. Seja ij nA a = e A B C= + com B simétrica eC anti-simétrica (am- bas de ordem n). Isto é, 'B B= e 'C C= − . Transpondo, ' ' 'A B C= + . Somando a última expressão na equação A B C= + , temos: ' ( ' ) ( ' )A A B B C C+ = + + + . Sendo B simétrica eC anti-simétrica: ' 2A A B+ = . Então, ' 2 A AB += . Como C é anti-simétrica, ao substituirmos as equações: ' ' ' ' ( ') 2 A A B C B C B B C C C − = + − − = − + − = Então: ' 2 A AC −= . Assim, ' ' 2 2 A A A AA + − = + . 1.3.7 Potência de uma Matriz: Ap Seja A uma matriz quadrada e p um número inteiro positivo, a potência p da matriz A, denotada por pA está definida por: vezes p p A A A= ⋅ ⋅ 37 Exemplo 14. Seja [ ]ij nA a= , com ija i j= − , calcule 3A , para 2,3,4p = . Solução. Pela lei de formação fornecida obtemos facilmente o valor de A: Se 2n = , 0 1 1 0 A − = . Assim, 2 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 A AA − − − = = = − . Se 3p = , 3 2 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 A AAA A A − − = = = = − − . Deixamos como exercício calcular 4A . Observações: Calcular 1) pA equivale a calcular 1pA A− ⋅ . Assim, se quiser encon- trar 50A , calcule 49A e multiplique o resultado por A (para o que previamente calculou o valor de 48A e assim por diante). Por definição, se 2) 0p = e A O≠ , então 0A I= . 1.3.8 Traço de uma Matriz Dada ij nA a = , o traço de A, denotado por ( )Tr A , é o número dado pela soma dos elementos da diagonal principal. Isto é: 1 ( ) n ii i Tr A a = =∑ . Por exemplo, se 1 1 1 0 0 0 2 5 ( ) 1 0 7 5 13 3 4 7 1 0 0 0 5 A Tr A − = ⇒ = + + + = . 38 1.3.9 Propriedades do Traço Dados ij nA a = e ij nB b = , são verdadeiras as seguintes proprie- dades: ( ) ( ) ( )Tr A B Tr A Tr B+ = +1) ; ( ) ( )Tr A Tr A =2) ; ( ') ( )Tr A Tr A=3) ; ( ) ( )Tr AB Tr BA=4) . • Prova da Propriedade 1 ( ) ( ) ( )Tr A B Tr A Tr B+ = + Sejam ij nA a = e ij nB b = duas matrizes quadradas. Pela definição do traço, 1 ( ) ( ) n ii ii i Tr A B a b = + = +∑ , e pela propriedade do somatório: 1 1 n n ii ii i i a b = = = +∑ ∑ ( ) ( )Tr A Tr B= + . Agora é com você! Exercício 10. Prove as outras propriedades. Exercícios Resolvidos Dada a matriz 1) 2 3 1 1 7 0 5 2 A × − = − , encontre a sua transposta. Solução. 3 2 1 0 ' 1 5 7 2 A × = − − . 39 Encontre o traço de matriz identidade.2) Solução. Seja nI a matriz identidade de ordem n. 1 ( ) 1 n n i Tr I n = = =∑ . Encontre o traço de uma matriz diagonal e de uma matriz 3) triangular de qualquer ordem. Solução. Usando a notação simplificada, temos a matriz diagonal { }1 2, , , nD diag d d d= . Assim: 1 ( ) n i i Tr D d = =∑ . Deixamos para você o cálculo do traço no caso de se ter uma ma- triz triangular. 1.3.10 Propriedades de Somatórios Os seguintes itens fornecem algumas propriedades de somatórios úteis para a prova das propriedades listadas anteriormente. a) 1 1 n n i j i j b b = = =∑ ∑ ; 1 1 1 ( ) n n n i i i i i i i a b a b = = = + = +∑ ∑ ∑b) ; 1 1 n n i k k i i i b a a b = = =∑ ∑c) ; 1 1 1 1 n m m n ij ij i j j i b b = = = = =∑∑ ∑∑d) . Observação. No final deste Capítulo você encontrará um resumo de todas as propriedades até aqui utilizadas, que servirá de ajuda ao resolver exercícios de demonstração. 40 Agora é com você! Exercício 11. Dadas as matrizes: 1 2 1 2 3 2 1 4 5 A − = − − , 1 0 3 2 1 4 3 1 17 B = − − − − , encontre: 2C A B= +a) ; 2C B=b) ; ( )tr Ac) , ( )tr B e ( )tr AB ; Expresse as matrizes A e B como somas de uma matriz simétrica com outra anti-simétrica. Exercício 12. Sejam as matrizes A e B, de ordem 4, 4ij A a = com se 0 se i ij j i j a i j ≥= < , e B uma matriz simétrica com ijb i j= + se i j≤ . Encontre: 2 3C A B= −a) . 2C B=b) . C é uma matriz simétrica? Exercício 13. Sejam A e B matrizes simétricas, justifique se os enun- ciados a seguir são falsos ou verdadeiros: A B+• é uma matriz simétrica. AB• é uma matriz simétrica. Nota. Se sua resposta for verdade, prove. Se for falsa, apresente um contraexemplo. Exercício 14. Imagine uma situação cotidiana e procure problemati- zá-la de tal forma que você possa fazer uso: da soma de matrizes;• 41 da subtração de matrizes;• do produto de matrizes.• 1.4 Determinantes 1.4.1 Menor de uma Matriz: Mij Dada uma matriz quadrada, [ ]ij nA a= , o menor da matriz A, deno- tado por ijM , é uma submatriz de ordem ( 1)n − obtida ao cancelar- mos a linha i e a coluna j. Assim, se: 11 12 1 1 21 22 2 2 ( 1) 1 2 1 2 j n j n ij ij n i i ij in n n nj nn a a a a a a a a A M a a a a a a a a a − = ⇒ = . Com: 11 1( 1) 1( 1) 1 ( 1)1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1) j j n i i j i j i n ij i i j i j i n n n j n j nn a a a a a a a a M a a a a a a a a − + − − − − + − + + − + + + − + = . Exemplo: Se 2 3 4 5 6 0 0 1 3 4 2 1 3 2 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 A = − − , 42 então, o menor 34M é obtido ao eliminarmos a linha 3 e a coluna 4, isto é: 34 2 3 4 6 0 0 1 4 0 0 0 0 1 1 1 1 M = . Similarmente, ao eliminarmos a linha 1 e a coluna 1, obtemos o menor 11M . 11 0 1 3 4 1 3 2 0 0 0 1 0 1 1 1 1 M − = − . Agora é com você! Exercício 15. Verifique que ij nA a = (com 2n elementos) possui 2n menores. Nessa parte da teoria assumimos que você está familiarizado(a) com o cálculo de determinantes de matrizes de ordem 2 e 3. O valor do determinante de uma matriz A é denotado nas formas det ( )A , det A ou A . Por exemplo, se: 0 1 1 0 A = − , então ( ) (0)(0) ( 1)(1) 1det A = − − = . Similarmente, se: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B = , então: det ( ) (1)(5)(9) (2)(6)(7) (3)(4)(8) (3)(5)(7) (1)(6)(8) (2)(4)(9)B = + + − − − = 45 84 96 105 48 72 0= + + − − − = . Com esses exemplos, estamos relembrando de forma rápida que o determinante de uma matriz de ordem 2 é calculado de uma única maneira: o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. E o determinante de uma matriz de ordem 3 é calculado pela Regra de Sarrus. Para lembrar esta regra pesquise na Internet ou em algum material de matemática do ensino médio. 43 1.4.2 Cofator de uma Matriz: Aij O cofator ijA do elemento na posição ( , )i j de uma matriz A é dado pelo valor do determinante ijM , multiplicado pelo valor ( 1) i j+− . Isto é: ( 1) det ( )i jij ijA M += − . Ou: ( 1) i jij ijA M += − . Exemplo 15. Se 2 3 4 6 0 0 1 4 0 0 0 0 1 1 1 1 A = , calcule A44, A11, A31, A33, A14, A23 e A32. Solução. 4 4 44 44 2 3 4 ( 1) ( 1) 0 0 1 0 0 0 0 A M+= − = + = 1 1 11 11 0 1 4 ( 1) ( 1) 0 0 0 0 1 1 1 A M+= − = + = 3 1 31 31 3 4 6 ( 1) ( 1) 0 1 4 19 18 1 1 1 1 A M+= − = + = − = 3 3 33 33 2 3 6 ( 1) ( 1) 0 0 4 12 8 4 1 1 1 A M+= − = + = − = 1 4 14 14 0 0 1 ( 1) ( 1) 0 0 0 0 1 1 1 A M+= − = − = 2 3 23 23 2 3 6 ( 1) ( 1) 0 0 0 0 1 1 1 A M+= − = − = 44 3 232 32 2 4 6 ( 1) ( 1) 0 1 4 (18 14) 4 1 1 1 A M+= − = − = − − = − Observe as mudanças de sinais dos elementos nas posições ( , )i j , isto é, ( 1) i j+− : + − + − − + − + + − + − − + − + Em geral, para uma matriz de qualquer ordem, as mudanças de si- nais dos elementos nas posições ( , )i j ( 1)( )i j+− são: + − + − + − + − + 1.4.3 Determinante de A usando Cofatores Dada A uma matriz de ordem n, ij nA a = . Se 2n = , os menores e os cofatores da linha um da matriz de ordem dois são dados respectivamente por: 11 22 11 22[ ],M a A a= = , 12 21 12 21[ ],M a A a= = − . E o valor do determinante será: 11 12 11 22 21 12 21 22 det ( ) a a A a a a a a a = = − 11 11 12 12| | ( | |)a M a M= + − 11 11 12 12a A a A= + . Se 3n = , o valor do determinante da matriz (colocado em função dos cofatores relativos à primeira linha) será: 45 11 12 13 21 22 23 31 32 33 det ( ) a a a A a a a a a a = 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12a a a a a a a a a a a a a a a a a a= + + − − − 11 22 33 32 23 12 23 31 33 21 13 21 32 31 22( ) ( ) ( )a a a a a a a a a a a a a a a= − + − + − 11 11 12 12 13 13( | |) ( | |) ( | |)a M a M a M= + + − + + 3 11 11 12 12 13 13 1 1 1 j j j a A a A a A a A = = + + =∑ . Note que calculamos o determinante de A usando cofator onde 1i = . Podemos usar qualquer linha da matriz. Por exemplo, com 2i = : 21 21 22 22 23 23| | ( | |) ( | |) ( | |)A a M a M a M= − + + + − 3 21 21 22 22 23 23 2 2 1 j j j a A a A a A a A = = + + =∑ Por exemplo, se 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A = o determinante usando a segunda linha é dado por: 21 22 23| | 4 5 6A A A A= + + 21 22 234( ) 5( ) 6( )M M M= − + + + − 4(18 24) 5(9 21) 6(8 14)= − − + − − − 24 60 36 0= − + = . No caso geral de uma matriz de ordem n, o cálculo do determinante da matriz referido à linha 1 (ou a qualquer linha k) é dado por: 11 11 12 12 1 1| | n nA a A a A a A= + + + 1 1 1 1 1 1 n n i i j j i j a A a A = = = =∑ ∑ . Se o desenvolvimento do determinante for referido a qualquer linha k, temos: 1 n kj kj j A a A = =∑ , onde k é um valor fixo. 46 Por exemplo, na matriz do Exemplo 14, calculamos o determinante pelo desenvolvimento de cofatores referido à linha 3 (pois tendo todos seus elementos nulos evitaremos cálculos desnecessários). Assim: 31 32 33 340 0 0 0 0A A A A A= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = . Nota. Fica como regra: ao calcular o determinante usando cofatores, escolha a linha (ou coluna) da matriz que tiver o maior número de elementos nulos. Similarmente, é possível fazer o desenvolvimento por colunas. Veja: Usando a primeira coluna:1) 11 11 21 21 1 1n nA a A a A a A= + + + . Deixamos para você chegar ao seguinte desenvolvimento para 2) uma coluna k qualquer: 1 n ik ik i A a A = =∑ . O desenvolvimento dado acima para encontrarmos o valor do deter- minante (usando linhas ou colunas) é comumente conhecido como o desenvolvimento de Laplace. 1.4.4 Definição Geral do Determinante de uma Matriz • Permutação Dados os n números (ou n objetos distintos) uma permutação des- ses números (ou objetos) consiste em dispô-los em uma determina- da ordem. Exemplo 16. Considere os números 1, 2 e 3, podemos ordená-los de várias formas, por exemplo: (1 2 3), (3 2 1), etc. O mesmo acontece quando escolhemos 4 números, como 1, 2, 3 e 4. Podemos ordená-los, por exemplo: (1 2 3 4), (2 1 3 4), etc. Notação. Uma permutação de n números é denotada por 1 2( )nj j j . Astrônomo e matemático francês, Marquês de Pierre Simon de Laplace (1749- 1827) ficou conhecido como o “Newton francês”. Sua carreira foi importante por suas contribuições técnicas para as ciências exatas, tanto pelo ponto de vista filosófico que ele desenvolveu durante sua vida, quanto pela parcela que tomou parte na formação das modernas disciplinas científicas. 47 • Número de Permutações Dados os números 1 e 2 há duas permutações, (1 2) e (2 1), ou seja, 2! permutações. No caso dos números 1, 2 e 3 as permutações (1 2 3) e (3 2 1) são dois exemplos, no total existem 3! permutações. Quais são? Dado n números, 1,2, , n , existem !n permutações. Agora é com você! Exercício 16. Calcule o número de permutações possíveis de 4 nú- meros. • Inversão É o número de mudanças necessárias em uma permutação para vol- tá-la à sua posição ordenada inicial. Notação. Uma inversão de n números será denotada por: 1 2( )nJ J j j j= . Por exemplo, nas permutações dadas acima: (1 2 3) 0J = , (1 2 3 4) 0J = e (3 2 1) 3J = . No último caso, embora o número 2 esteja na posição que lhe cor- responde, para colocarmos os números 3 e 1 nos seus lugares será necessário fazermos assim: (3 2 1) (2 3 1) (2 1 3)→ → e por último (1 2 3). Ou (3 2 1) (3 1 2) (1 3 2)→ → e por último (1 2 3). Em ambos os casos haverá 3 inversões. Exemplo 17. Construir uma tabela do número de inversões possí- veis de 2 e 3 números. Solução. Se 2n = , considere os números 1 e 2. Permutação N° de inversões 12 (1 2) 0J = 21 (21) 1J = 48 Se 3n = , considere os números 1, 2 e 3. Permutação N° de inversões 123 (1 2 3) 0J = 132 (1 3 2) 1J = 213 (2 1 3) 1J = 231 (2 3 1) 2J = 312 (31 2) 2J = 321 (3 2 1) 3J = Agora é com você! Exercício 17. Verifique que o número de inversões da permutação J (4 3 2 1) é igual a 6. Exemplo 18. Construir uma tabela do número de inversões de 4 números. Solução. Neste caso o número de inversões para cada permutação 1 2 3 4( )j j j j será dado por 1 2 3 4( )J J j j j j= . O resultado será co- locado na segunda coluna da tabela. Permutação N° de inversões 1234 0 1243 1 1324 1 1342 2 1432 3 1423 2 2134 1 2143 : 2314 : 2341 : 2431 : : : Deixamos para você completar a tabela. 49 • Determinante Definição. Dada a matriz de ordem n, ij nA a = , o determinante de A é definido por: 1 21 2 det ( ) ( 1) n J j j njA a a a = −∑ . Onde 1 2( )nJ J j j j= indica o número de inversões da permutação 1 2( )nj j j , indica que o somatório é estendido a todas as !n per- mutações dos números 1,2, , n . Exemplo 19. Verifique o uso da definição nos casos dos determinan- tes de ordem 2 e 3. Solução. Na solução deste exemplo serão usados os resultados obti- dos no Exemplo 15. Se 2n = , então 2 = , assim: 1 2 1 2 ( ) 0 1 1 2 11 22 12 21 11 22 12 21det ( ) ( 1) ( 1) ( 1) . J j j j jA a a a a a a a a a a = − = − + − = −∑ Se 3n = , 6 = e, assim: 1 2 3 1 2 3 ( ) 1 2 3det ( ) ( 1) J j j j j j jA a a a = −∑ 0 1 1 2 2 3 11 22 32 11 23 32 12 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)a a a a a a a a a a a a a a a a a a= − + − + − + − + − + − 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 33 12 21 33a a a a a a a a a a a a a a a a a a= + + − − − Agora é com você! Exercício 18. Obtenha o desenvolvimento para o caso de um determinante a) de ordem 4. Verifique a relação desse desenvolvimento com o desenvolvi-b) mento dos cofatores. • Propriedades do Determinante Considere e A B matrizes quadradas. Então, valem as propriedades dos determinantes. Se 1) A possui uma linha (ou colunas) de zeros, então, det ( ) 0A = ; 50 Se 2) A possui duas linhas (ou colunas) iguais, então, det ( ) 0A = ; Se 3) B é obtida de A multiplicando-se uma linha (ou coluna) por um escalar , então, det ( ) det ( )B A= ; Se 4) B é obtida por troca das posições relativas de duas linhas (ou colunas) da matriz A, então, det ( ) det ( )B A= − ; Se 5) B é obtida de A, substituindo-se a linha i (ou coluna) por ela somada a um múltiplo escalar de outra linha j (ou coluna) ( )j i≠ então, det ( ) det ( )B A= ; det ( ) det ( ')A A=6) ; det ( ) det ( ) det ( )AB A B=7) . Observações. Não é objetivo do presente material didático fazer as demonstrações das propriedades anteriores, porém as mesmas po- dem ser provadas a partir da definição do determinante. Na Seção 1.4.3, ao calcularmos o determinante usando cofatores, usamos o desenvolvimento (referentes às linhas) dado por 1 det ( ) n ki ki i A a A = =∑ , onde k é a k-ésima linha escolhida. Podemos enunciar uma oitava propriedade usando desenvolvimen- tos similares. 1 0 n ki li i a A = =∑8) , l k≠ , ,k l valores fixos. Verifiquemos a propriedade com o seguinte exemplo. Se 1k = , 2l = e 2n = : 2 1 2 11 21 12 22 1 i i i a A a A a A = = +∑ . Mais detalhes a respeito dessas demonstrações podem ser encontrados no livro de Álgebra Linear, de Callioli (1993), citado no final deste Capítulo. 51 Assim, se 1 2 3 4 A = , então: 21 2A = − e 22 1A = , dessa forma: 2 1 2 1 1( 2) 2(1) 0i i i a A = = − + =∑ . Também, ao usarmos o desenvolvimento pelas colunas e escolhen- do 2l = , 1k = , encontramos também que: 2 2 2 1 1 1 2(4) 4( 2) 0il ik i i i i a A a A = = = = + − =∑ ∑ . Agora é com você! Exercício 19. Use as operações elementares e o Método de Laplace para encontrar o determinante das matrizes: 2 1 3 4 3 2 4 5 2 2 1 0 2 1 3 1 A = − , 1 1 2 1 2 3 0 2 1 1 2 2 1 2 1 1 B − − = − , 1 0 3 2 1 4 6 1 17 C = − − − − . Exercício 20. Usando apenas as propriedades dos determinantes mostre que det ( ) det ( )A B= . Das matrizes, 2 2 a c a A b d b + = + , a c B b d = . 1.5 Matriz Adjunta: Adj (A) Dada ij nA a = , a matriz adjunta de A é dada por ( ) ( ) '( )Adj A Cof A= , onde ( )Cof A é a matriz cujos elementos são os cofatores ijA da ma- triz A, ou seja, é a matriz onde cada elemento ija é igual ao cofator ijA da matriz A. Um exemplo para essa definição é o seguinte: 52 Se 1 2 2 4 B − = − , então, os cofatores são: 1 1 11 1 2 12 2 1 21 2 2 22 ( 1) det[ 4] 4 ( 1) det[2] 2 ( 1) det[ 2] 2 ( 1) det[1] 1 A A A A + + + + = − − = − = − = − = − − = = − = 4 2 ( ) 2 1 Cof B − − = . Assim, 4 2 4 2 ( ) 2 1 2 1 Adj B − − − = = − . Exemplo 20. Calcule a matriz adjunta de A dada por: 2 1 0 3 1 4 1 6 5 A = − . Solução. A matriz de cofatores de A é dada por: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 19 19 19 ( ) 5 10 11 4 8 5 A A A Cof A A A A A A A − − = = − − − , pois: 1 1 11 1 2 12 1 3 13 1 4 ( 1) det 5 24 19 6 5 3 4 ( 1) det ( 15 4) 19 1 5 3 1 ( 1) det 18 1 19 1 6 A A A + + + = − = − = − − = − = − − − = − = − = − − = − 2 1 21 2 2 22 2 3 23 1 0 ( 1) det (5 0) 5 6 5 2 0 ( 1) det 10 0 10 1 5 2 1 ( 1) det (12 1) 11 1 6 A A A + + + = − = − + = − = − = − = = − = − − = − 53 3 1 31 3 2 32 3 3 33 1 0 ( 1) det 4 0 4 1 4 2 0 ( 1) det (8 0) 8 3 4 2 1 ( 1) det 2 3 5 3 1 A A A + + + = − = − = = − = − − = − − = − = + = − Assim, ( ) ( ) 'Adj A Cof A= 19 19 19 5 10 11 4 8 5 − − = − − − 19 5 4 19 10 8 19 11 5 − − = − − − . Também, o determinante da matriz A é det ( ) 19A = − , pois 11 11 12 12 13 13det( ) 2( 19) 1(19) 0( 19) 38 19 19 A a A a A a A= + + = − + + − = − + = − Observe que 3( ) det( )Adj A A A I= ; considerando A do exercício ante- rior, temos: 19 5 4 2 1 0 ( ) 19 10 8 3 1 4 19 11 5 1 6 5 Adj A A − − = − ⋅ − − − ( 19) 2 ( 5) ( 3) 4 1 ( 19) 1 ( 5) 1 4 6 ( 19) 0 ( 5) 4 4 5 19 2 10 ( 3) ( 8) 1 19 1 10 1 ( 8) 6 19 0 10 4 ( 8) 5 ( 19) 2 ( 11) ( 3) 5 1 ( 19) 1 ( 11) 1 5 6 ( 19) 0 ( 11) 4 5 5 − ⋅ + − ⋅ − + ⋅ − ⋅ + − ⋅ + ⋅ − ⋅ + − ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ − + − ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ − ⋅ + − ⋅ − + ⋅ − ⋅ + − ⋅ + ⋅ − ⋅ + − ⋅ + ⋅ 3 19 0 0 0 19 0 0 0 19 1 0 0 19 0 1 0 0 0 1 det( )A I − = − − = − = 54 O próximo teorema mostra que essa afirmação é válida para qual- quer matriz quadrada. Teorema. Se A é uma matriz de ordem n, ( ) ( ) ( )det nAdj A A A Adj A A I⋅ = ⋅ = ⋅ . Demonstração. 11 1 11 1 1 1 ( ) n n n nn n nn a a A A A Adj A a a A A ⋅ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 3 1 11 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 2 21 1 1 1 1 1 3 1 3 2 3 3 3 31 1 1 1 1 1 11 1 1 n n n n n j j j j j j j j njn j j j j j j n n n n n j j j j j j j j njn j j j j j j n n n n n j j j j j j j j njn j j j j j j n jn j n j j a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A − = = = = = − = = = = = −= = = = = − − = = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 31 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 n n n n j j njn j n j n j n j j j j j n n n n n nj j nj j nj j nj nj njn j j j j j j a A a A a A a A a A a A a A a A − − − − = = = = − = = = = = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Usando a Propriedade 8 dos determinantes nos elementos fora da diagonal principal, temos: 1 1 1 2 2 1 3 3 1 1 0 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 n j j j n j j j n j j j n nj nj j a A a A A Adj A a A a A = = = = ⋅ = ∑ ∑ ∑ ∑ Pelo desenvolvimento de Laplace (por linhas) temos o valor do deter- minante: 55 1 det ( ) n kj kj j A a A = =∑ , para cada 1,2, ,k n= , isto é: ( ) 0 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) 0 0 ( ) 0 0 0 0 ( ) det det det det A A A Adj A A A ⋅ = , det ( ) nA I= . De forma similar, podemos encontrar ( ) ( )det nAdj A A A I⋅ = ⋅ . Assim, temos demonstrado que ( ) ( ) ( )det nAdj A A A Adj A A I⋅ = ⋅ = ⋅ . 1.6 Inversa de uma Matriz 1.6.1 Matriz Singular Definição. Uma matriz é dita singular se o seu determinante é nulo. Caso contrário, dizemos que a matriz é não singular. Por exemplo, a matriz 1 2 2 4 B − = − é uma matriz singular, pois det( ) 1 ( 4) [2 ( 2)] 4 ( 4) 4 4 0B = ⋅ − − ⋅ − = − − − = − + = . Já a matriz identidade de ordem 3 é não singular, pois 3det ( ) 1I = . Em geral, uma matriz identidade de ordem qualquer é não singular. Você saberia dizer por quê? Pense a respeito! 56 1.6.2 Matriz Inversa Definição. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é inversível se existe uma única matriz B (da mesma ordem) tal que: nAB BA I= = . B é denominada matriz inversa de A. Notação. 1B A−= . Por exemplo, se 2 1 0 3 A − = , a matriz 1 1 2 6 10 3 B − = é a respectiva matriz inversa, pois: 1 0 0 1 AB BA = = . Propriedade. Se A é inversível, então, A é não singular. Prova. Será suficiente encontrar que o det ( )A não é nulo. Demons- trando por absurdo, supomos o contrário, isto é, det ( ) 0A = , e deve- mos chegar a uma contradição. Assim, usando a Propriedade 7 dos determinantes: ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0. det det det det AB A B B = ⋅ = ⋅ = Por outro lado, temos por hipótese que A é inversível, então existe B tal que AB I= , assim: det ( ) det ( )AB I= 1= . Assim, 0 1= , impossível, é uma contradição! Uma vez que a contradição foi encontrada, então o enunciado é verda- deiro. Assim, a propriedade fica demonstrada. Logo, A é não singular. Conhecendo que det ( ) 0A ≠ , para A inversível, uma forma de ve- rificar a existência da matriz inversa será encontrar o valor do de- terminante da matriz. Após essa verificação, o passo seguinte será encontrarmos a matriz inversa, 1A− . Como exemplo, nos casos das Geralmente uma contradição é denotada pelo símbolo ⇒⇐. O mesmo poderá ser usado nas próximas provas. 57 matrizes 2 1 0 3 A − = e 1 2 2 4 B − = − , podemos afirmar que apenas A possui inversa. Como obtermos 1A− ? 1.6.3 Cálculo da Matriz Inversa usando a Matriz Adjunta Sabendo que existe 1A− , então: 1 1AA A A I− −= = . Observe pela propriedade da matriz adjunta que ( ) ( ) ( ) ( )det det n Adj A Adj AA A I A A ⋅ = ⋅ = . Assim, a única possibilidade será: 1 ( ) det ( ) Adj AA A − = . Exemplo 21. Se 2 1 0 3 A − = , encontre 1A− . Solução. Encontramos facilmente que det ( ) 6A = − , e também a ma- triz adjunta 3 0 ( ) 1 2 Adj A = − − . Assim, 1 1 1( ) 2 6 1det ( ) 0 3 Adj AA A − − = = . Agora é com você! Exercício 21. Seja 2 1 0 3 1 4 1 6 5 A = − , verifique se sua matriz inversa é 58 1 5 41 19 19 10 81 19 19 5111 19 19 A− − −= − − . 1.6.4 Propriedades da Inversa de uma Matriz Se A e B são inversíveis, então: 1 1 1( )AB B A− − −=1) ; 1 1( )A A− − =2) ; 1 1( ) ( )t tA A− −=3) ; 1 1det ( ) det ( ) A A − =4) . • Prova da Propriedade 1 1 1 1( )AB B A− − −= Em primeiro lugar, vejamos se existe 1( )AB − . Calculando det ( )AB : det ( ) det ( ) det ( )AB A B= . Por hipótese existem as inversas das matrizes A e B 1 1( , )A B− −∃ ∃ , isto é, det ( ) 0A ≠ e det ( ) 0B ≠ . Assim, det ( ) 0AB ≠ e com isso 1 ( )AB −∃ , isto é, 1( ) ( )AB AB I− = . (1) Como: 1A A I−⋅ = e 1B B I−⋅ = . Na segunda parte dessa última relação, multiplicamos em ambos os lados pela inversa de A (pela direita): 1 1 1( )B B A I A− − −⋅ ⋅ = ⋅ . Associando e multiplicando por I , temos 1 1 1( )B B A A− − −⋅ ⋅ = , e multiplicando à esquerda por A: 1 1 1( )( )A B B A A A− − −⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ . 59 Associando novamente e, sabendo que 1AA I− = , temos . (2) Sendo que a existência da matriz inversa é única e comparando as expressões (1) e (2) concluímos que 1 1 1( ) ( )AB B A− − −= . Agora é com você! Exercício 22. Prove as propriedades 2, 3 e 4, justificando o seu pro- cedimento. Ao calcular a matriz inversa de A, usando a matriz adjunta, vimos que 1 ( ) det ( ) Adj AA A − = , e nos exemplos aplicamos essa relação para ma- trizes de ordem 2 e 3. E se a matriz for de ordem maior ou igual a 4? O procedimento acaba sendo mais trabalhoso nesses casos. Vejamos agora como podemos obter a matriz inversa sem usar a matriz adjunta. 1.6.5 Cálculo da Matriz Inversa por Operações Elementares Seja A uma matriz não singular, portanto existe 1A− e det ( ) 0A ≠ . Por definição, sabemos que 1 1AA A A I− −= = . Então, a ideia é encontrarmos uma matriz que ao ser multiplicada por A (à direita ou à esquerda) resulte na matriz identidade. Para tal é necessário conhecer o que são aperações elementares e fazer uso das matrizes elemetares. • Operações Elementares Operações elementares são realizadas na matriz com o objetivo de invertê-la, reduzi-la ou simplesmente colocá-la num formato especi- ficado previamente. Elas podem ser de três tipos: Você também pode considerar os seguintes passos após a expressão (2): 60 A troca de uma linha (ou coluna) por outra linha (ou coluna); 1) A multiplicação de uma linha (ou coluna) por um valor2) ∈, com 0 ≠ ; A soma de uma linha (ou coluna) multiplicada pelo valor 3) ∈, ( 0) ≠ numa outra linha (ou coluna). Se il e jl representam a linhas i e j da matriz e é o escalar citado anteriormente, então, as operações elementares dadas acima serão denotadas respectivamente por: i jl l↔a) ; ilb) ; j i jl l l← +c) . Seja A uma matriz, se uma (ou várias) operação elementar for efetu- ada nessa matriz, obteremos uma matriz diferente, a qual denotare- mos por Ã. Assim, o processo efetuado será denotado por: ( ) ( ) operação ções elementar esA Ã→ Exemplos: Se realizarmos uma operação elementar na matriz identidade de or- dem 2, 2I , e trocarmos a linha 1 pela linha 2 da matriz, obteremos a seguinte matriz elementar: 0 1 1 0 à = . A operação efetuada é denotada por 1 2 2 l lI Ã↔→ . Dada a matriz de ordem 4, 1 0 6 1 0 1 0 0 3 0 2 0 0 1 0 1 A = − − , 61 ao fazermos a operação elementarque multiplica a linha 3 da matriz por –2, obtemos a seguinte matriz: 1 0 6 1 0 1 0 0 6 0 4 0 0 1 0 1 à = − − . Indicamos isso com: ( ) 32 1 0 6 1 0 1 0 0 6 0 4 0 0 1 0 1 IA − → − − . Dada a matriz de ordem 3, 1 8 2 0 1 0 5 1 3 B = − , ao fazermos duas operações elementares, obtemos a seguinte ma- triz B : ( )2 3 2 1 3 3 3 24 6 15 2 9 5 1 3 l l l lB B ← − + → − − = − Assim, a matriz B foi obtida: multiplicando-se a linha 3 por –3 e somando-a à linha 2 da 1) matriz B, multiplicando a linha 1 por 3.2) Observação. A operação elementar 2 3 2( 3)l l l← − + indica a linha onde a soma das linhas está acontecendo. No caso, a soma será efe- tuada na linha 2 da matriz. 62 Agora é com você! Exercício 23. Dadas as matrizes 2 0 0 2 A − = − e 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 B = , encontre à e B, após as operações elementares efetuadas em A e B respectivamente. As operações são indicadas por: 1 2 12 l l lA à ↔→ e 4 3 4 2 1 2 2 5 l l l l l l B B← +− ↔ → . Exercício 24. Quais operações elementares devem ser feitas de modo a transformar a matriz C na sua forma triangular superior? 1 3 3 0 1 1 1 2 0 C = . • Forma Escada de uma Matriz Após efetuarmos operações elementares por linhas, na matriz inicial, dizemos que ela está na forma escada se a matriz resultante obter: O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula deve ser a) igual a 1; A coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma b) linha tem todos os seus outros elementos (da coluna) iguais à zero; Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas (isto c) é, daquelas que possuem pelo menos um elemento não nulo); Se as linhas d) 1, , r são linhas não nulas, e se o primeiro ele- mento não nulo da linha i ocorre na coluna ik (a coluna k referida à linha i ), então, 1 2 rk k k< < < . (Exemplo: se 1i = e 1 3k = , então, para 2i = , 1 2k k< significa que 2k será maior que 3, e assim por diante). 63 Exemplos: As seguintes matrizes encontram-se na forma escada:• 1 0 1 0 0 0 0 A = , 2 0 1 5 0 3 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 A = − . Já as seguintes matrizes não estão na forma escada:• 1 1 0 0 1 0 0 0 1 B − = , 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 3 0 0 0 1 C − = , 0 1 0 1 0 0 0 0 1 D = , 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 E = − . Agora é com você! Exercício 25. Observe as matrizes a) B e C. Que elementos devem ser trocados para que elas fiquem na forma escada? b) Justifique quais condições da forma escada de uma matriz não são satisfeitas no caso das matrizes C e D. Observações: Na prática, a forma escada serve para transformar uma matriz 1) quadrada na sua forma triangular, na qual os elementos da diagonal principal sejam uns ou zeros. A prática de reduzir uma matriz usando operações elemen-2) tares é um exercício muito útil para obter a inversa de uma matriz e resolver sistemas lineares. • Operações Elementares versus Matrizes Elementares Cada operação elementar é representada por uma matriz elementar (como definido na Seção 1.2) e o produto de sucessivas matrizes ele- mentares pode nos conduzir à matriz inversa. Veremos isso com os seguintes exemplos e exercícios. 64 Exemplo 22. Dada a matriz A , converta-a numa matriz triangular superior. 1 2 3 4 0 0 1 1 1 2 0 0 1 1 9 3 A − = − Solução. 1 2 3 4 0 0 1 1 1 2 0 0 1 1 9 3 − − 3 1 3 4 1 4 l l l l l l ←− + ← +→ 1 2 3 4 0 0 1 1 0 0 3 4 0 3 12 7 − − − 2 4 2 3 l l l ↔→ 4 3l l↔→ 1 2 3 4 70 1 4 3 0 0 1 1 0 0 3 4 − − − 4 3 4 4 3 7 l l l l ← + −→ 1 2 3 4 70 1 4 3 0 0 1 1 0 0 0 1 à = − . Assim, à é uma matriz triangular superior. Exemplo 23. Encontre matrizes elementares que representam as quatro primeiras operações elementares efetuadas no Exemplo 22. Solução. No Exemplo 22, foram efetuadas sete operações elementa- res. Cada uma delas representará, respectivamente, as matrizes ele- mentares 1 7, ,E E . Assim, a primeira operação 3 1 3l l l←− + dá ori- gem à matriz elementar: 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 E = − . Também, a operação elementar 4 1 4l l l← + origina a matriz elementar: 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 E = . 1 2 3 4 70 1 4 3 0 0 3 4 0 0 1 1 − − − 65 Similarmente, as operações elementares 2 4l l↔ e 23 l originam as ma- trizes elementares: 3 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 E = , 4 1 0 0 0 10 0 0 3 0 0 1 0 0 0 0 1 E = . Agora é com você! Exercício 26. Quais foram as matrizes 5 6 7, ,E E E no exemplo ante- rior? Observe que, nas matrizes do Exemplo 23, 1 1 2 3 4 0 0 1 1 0 0 3 4 1 1 9 3 E A − = − − − e 2 1 2 1 2 3 4 0 0 1 1 ( ) 0 0 3 4 1 1 9 3 E E A E − = − − − , isto é, 2 1 1 2 3 4 0 0 1 1 0 0 3 4 0 3 12 7 E E A − = − − . Similarmente, 3 2 1 3 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 1 1 0 3 12 7 ( ) 0 0 3 4 0 0 3 4 0 3 12 7 0 0 1 1 E E E A E − = = − − − − − e 4 3 2 1 1 2 3 4 70 1 4 3 0 0 3 4 0 0 1 1 E E E E A = − − − . 66 Repetindo o processo, chegamos ao seguinte resultado: 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 70 1 4 3 0 0 1 1 0 0 0 1 E E E E E E E A = − , que é a matriz triangular superior à obtida no Exemplo 22. Agora usaremos os conceitos anteriores para aprender a calcular a matriz inversa usando operações elementares. O Exemplo 23 mostrou como ocorre o processo de redução de uma matriz de ordem 4 na sua forma triangular superior. Em geral esse será o processo para reduzir matrizes de ordem superior. Assim, se A é uma matriz não singular, encontraremos as matrizes elementa- res que transformam a matriz na forma de uma matriz identidade, isto é, encontraremos as matrizes elementares 1 2, , , kE E E tais que 3 2 1kE E E E A I= . Assim, se 3 2 1kB E E E E= estaremos afirmando que BA I= . Com isso, e usando a definição de matriz inversa, a inversa da ma- triz será dada por 1 3 2 1kA E E E E − = . A matriz inversa não é mais do que o produto de matrizes elemen- tares! Ilustremos esse processo com o seguinte exemplo: Exemplo 24. Usando matrizes elementares, vamos obter a matriz inversa da matriz A : 1 2 3 4 0 0 1 1 1 2 0 0 1 1 9 3 A − = − . 67 Solução. Usando os resultados obtidos no Exemplo 23 (onde se en- contraram 7 matrizes elementares, 1 7, ,E E ,para reduzir a matriz na forma triangular superior) obtivemos que 1 2 3 4 0 0 1 1 1 2 0 0 1 1 9 3 A − = − operaçõeselementares→ 1 2 3 4 70 1 4 3 0 0 1 1 0 0 0 1 − . Como 7 6 5 4 3 2 1E E E E E E E A Ã= , então 7 6 5 4 3 2 1( ) ( ) ( )det det detE E E E E E E A Ã⋅ = . Assim, ( ) 0det A = (por quê?) e A é não singular 1( )A−∃ .
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