Lei dos cossenos

Prévia do material em texto

Reta do cosseno (com sono)
Reta do seno (sem sono)
1º quadrante
4º quadrante
3º quadrante
2º quadrante
No 2º quadrante calculamos:
 180 - θ
No 4º quadrante calculamos:
 360 - θ
No 3º quadrante calculamos:
 θ - 180
No 1º quadrante é o próprio
 θ
+
+
-
-
+
_
+
_
cos
sen
Cos +1 sen 0
Cos0
Sen +1
Sen0
Cos -1
Sen-1
Cos 0
1- Reduza ao 1° quadrante o ângulo de 150°. R: 180-150=30° logo, cos150°= -cos30°
2- Reduza ao 1° quadrante o ângulo de 315°. R: 360-315=45° logo, cos315=+cos45°
3- Reduza ao 1° quadrante o ângulo de 135°. R: 180-135=45° logo, cos135°= -cos45° 
4- Reduza ao 1° quadrante o ângulo de 210°. R: 210-180 = 30° logo, cos 210°= - cos30°
Lei dos cossenos
α
β
θ
		30°	45°	60°
	Sen			
	Cos			
	Tan			
Questão 1 - (UF- Viçosa) Dois lados de um terreno de forma triangular medem 15 m e 10 m, formando um ângulo de 60°, conforme a figura abaixo:
 
O comprimento do muro necessário para cercar o terreno, em metros, é:
Questão 2- (UF- Juiz de Fora) Dois lados de um triângulo medem 8 m e 10 m e formam um ângulo de 60°. O terceiro lado desse triângulo mede:
Questão 3- Qual é a medida do lado oposto ao ângulo de 30°, em um triângulo, sabendo que os outros dois lados medem 2 e √3?
Questão 4- Dois lados de um triângulo medem 20 cm e 12 cm e formam entre si um ângulo de 120º. Calcule a medida do terceiro lado.
Questão 5- Calcule o valor do cosseno do ângulo x.
 
Questão 6-  Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo da figura a seguir utilizando a lei dos cossenos.
 
Questão 7- Considere que o quadrado ABCD, representado na figura abaixo, tem lados de comprimento de 1 cm, e que C é o ponto médio do segmento AE. Consequentemente, a distância entre os pontos D e E será igual a:
1
1
1
1
90°
90°
45°
135°
x
Questão 8- (FUVEST)Um triângulo T tem lados iguais a 4, 5 e 6. O cosseno do maior ângulo de T é:
6
4
5
cos
cos
Questão 9- Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panela em forma circular. Para realizar esse desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo comprimento das hastes é de 10 cm, um transferidor e uma folha de papel com um plano cartesiano. Para esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as hastes do compasso de forma que o ângulo formado por elas fosse de 120º. A ponta seca está representada pelo ponto C. a ponta do grafite está representada pelo ponto B e a cabeça do compasso está representada pelo ponto A conforme a figura.
Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. Ao receber o desenho com a indicação do raio da tampa, verificará em qual intervalo este se encontra e decidirá o tipo de material a ser utilizado na sua fabricação, de acordo com os dado
Considere 1,7 como aproximação para √3 .
 tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção será: 
Gabarito questão 1
O comprimento do muro necessário para cercar o terreno é igual ao seu perímetro. Para esse cálculo, basta somar os comprimentos do lado do triângulo.
10 + 15 + x
O valor de x pode ser encontrado por meio da lei dos cossenos:
x2 = 102 + 152 – 2·10·15·cos60°
x2 = 100 + 225 – 2·150·cos60°
x2 = 325 – 300·1/2
x2 = 325 – 150
x2 = 175
x = √175
x = √[5·35]
x = √[5·5·7]
x = √[52·7]
x = 5√7
Logo, a soma que representa o perímetro desse triângulo é:
10 + 15 + x
25 + 5√7
5·5 + 5√7
5(5 + √7)
Gabarito questão 2
Geralmente, o melhor caminho para resolver exercícios que apresentam dois lados e um ângulo entre eles de um triângulo é a lei dos cossenos. O lado oposto ao ângulo será x e todos esses lados serão colocados na fórmula seguinte:
x2 = a2 + b2 – 2·a·b·cosα
*a e b são os lados que formam o ângulo α. Substituindo os valores nessa fórmula, teremos:
x2 = 82 + 102 – 2·8·10·cos60
x2 = 64 + 100 – 2·80·1/2
x2 = 164 – 2·40
x2 = 164 – 80
x2 = 84
x = √84
x = √[2·2·21]
x = 2√21
Gabarito questão 3- 
Seja o lado oposto ao ângulo de 30° igual a x, podemos usar a lei dos cossenos para descobrir seu valor. Para tanto:
x2 = a2 + b2 – 2·a·b·cosα
x2 = 22 + (√3)2 – 2·2·√3·cos30
x2 = 4 + 3 – 2·2·√3·√3/2
x2 = 7 – 4·3/2
x2 = 7 – 12/2
x2 = 7 – 6
x2 = 1
x = 1
Gabarito questão 4- 
Para calcular a medida do terceiro lado utilizaremos a lei dos cossenos. Para isso, vamos considerar:
b = 20 cm
c = 12 cm
cos α = cos 120º = - 0,5 (valor encontrado em tabelas trigonométricas).
Substituindo esses valores na fórmula:
a2 = 202 + 122 - 2 . 20 . 12 . (- 0,5)
a2 = 400 + 144 + 240
a2 = 784
a = √784
a = 28 cm
Gabarito questão 5-
a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cos x
72 = 52 + 62 – 2 * 5 * 6 * cos x
49 = 25 + 36 – 60cos x
49 = 61 – 60cos x
-12 = -60cos x
 cos x = 1/5
Gabarito questão 6-
cos 120º = –cos(180º – 120º) = – cos 60º = – 0,5
x² = 5² + 10² – 2 * 5 * 10 * ( – cos 60º)
x² = 25 + 100 – 100 * (–0,5)
x² = 125 + 50
x² = 175
√x² = √175
x = √5² * 7
x = 5√7
Portanto, a diagonal do paralelogramo mede 5√7 cm.
Gabarito questão 9- Lei dos cossenos
 
R² = 10² + 10² - 2 . 10 . 10 . cos 120°
Temos que saber que o cos 120° = - cos 60° = -1/2
R² = 100 + 100 - 200 . (-1/2)
R² = 200 + 100 = 300
R = 10√3 = 10 . 1,7 = 17 cm
O tipo de material IV