Matemática_etapaIII_Oficial (1)

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 III
MATEMÁTICA
ETAPA III
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E J A - M A T E M Á T I C A E T A P A I I I
GEOMETRIA ESPACIAL
		 É	a	parte	da	matemática	que	estuda	os	sólidos	e	as	relações	entre	três	ou	mais	dimensões.	Nesse	curso	
vamos	estudar	apenas	os	três	principais	prismas	que	são:
		 Cada	 sólido	 possui	 as	 suas	 dimensões	 e	 o	 seu	 próprio	 conjunto	 de	 fórmulas	 e	 essas	 não	 devem	 ser	
utilizadas	em	outro	sólido.	As	fórmulas	que	utilizaremos	serão	as	seguintes:
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ÁTICA ETAPA IIINomenclaturas:
AB	=	área	da	base	–	área	da	face	do	fundo	ou	da	tampa	do	sólido.
AL	=	área	lateral	–	soma	das	áreas	das	faces	laterais	do	sólido.
AT	=	área	total	–	soma	das	áreas	de	todas	as	faces	do	sólido.
V	=	volume	–	capacidade	do	espaço	interno	do	sólido.
d	=	diagonal	da	base	–	linha	que	atravessa	a	base	em	diagonal.
D	=	diagonal	do	sólido	–	linha	que	atravessa	completamente	o	sólido	em	diagonal.
		 Obs.:	Muita	 atenção	 ao	 substituir	 os	 dados	do	 sólido	pois	 uma	 substituição	errada	pode	dar	 erro	no	
cálculo.
Ex. 1: Calcule a área total do prisma abaixo:
Ex. 2: Calcule o volume do sólido abaixo:
Ex. 4: Calcule o volume de um tanque cúbico de 4 m de largura.
 A	palavra	“cúbico”	nos	dá,	basicamente,	duas	informações:	cúbico	significa	em	formato	de	cubo	que	é	um	
paralelepípedo	retângulo,	porém,	é	um	paralelepípedo	que	possui	todas	as	medidas	iguais.	Como	ele	tem	4	m	de	
largura,	suas	medidas	devem	ser	todas	iguais	a	4	m.
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		 Ex.	5:	Considere	uma	piscina	retangular	com	2	m	de	largura,	4	m	de	comprimento	e	3	m	de	profundidade	
e	calcule	quantos	m2	de	azulejo	ela	possui.
 
		 A	palavra	“retangular”	nos	remete	a	um	paralelepípedo	retângulo	onde	as	medidas	são	a	=	2	m,	b	=	4	m	
e	c	=	3	m.	Como	a	piscina	não	possui	“tampa”	vamos	resolver	utilizando	duas	fórmulas	e	somando	os	resultados	
delas.
Exercícios:
1. Calcule a área total do prisma abaixo:
2. Calcule a área lateral do cilindro abaixo:
3. Calcule o volume do prisma abaixo:
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4. Calcule a diagonal da base:
5. Calcule a área da base:
6. Considere um cano de PVC de 1 m de comprimento e 20 cm de largura e calcule quantos cm2 de 
PVC ele possui.
7. Quero fabricar 20 caixas como a da figura abaixo. Quantos cm2 de papelão vou utilizar?
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8.	Calcule	a	área	da	base	de	um	prisma	triangular	regular	que	tem	30	cm	de	aresta	da	base	e	30	cm	de	altura.
9.	Considere	uma	piscina	cúbica	de	5	m	de	profundidade	e	calcule	quantos	m2	de	azulejo	ela	possui.
10.	Sabendo	que	um	cilindro	equilátero	é	aquele	que	o	diâmetro	é	congruente	à	altura,	calcule	a	área	total	de	um	
cilindro	equilátero	que	tem	8	cm	de	raio	da	base.
MATRIZES
Matriz	é	o	nome	que	se	dá	à	essa	estrutura	abaixo:
		 Toda	matriz	tem	uma	letra	maiúscula	na	frente	que	é	o	nome	da	matriz.	Elas	podem	vir	dentro	de	colchetes	
ou	parêntesis	mas	não	em	chaves.	Toda	matriz	possui	elementos	(números)	dispostos	em	linhas	e	colunas.
 
Operações com Matrizes
Considere	as	matrizes	abaixo	e	calcule	o	que	se	pede:
Ex.	1:	Descubra	o	resultado	de	2.A	+	BT:
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Ex.	2:	Descubra	o	resultado	de	3B	–	CT:
Ex.	3:	Calcule	o	valor	de	A	+	B	–	C:
Ex.	4:	Calcule	o	valor	de	C	–	3DT:
Exercícios:
Considere as matrizes abaixo e calcule os exercícios do 11 ao 20:
11. Descubra o resultado de 2A + BT:
12. Descubra o resultado de 3B – CT:
13. Descubra o resultado de 4C + DT:
14. Descubra o resultado de 5D – AT:
15. Descubra o resultado de A + B – C:
16. Descubra o resultado de B – C + D:
17. Descubra o resultado de A – D:
18. Descubra o resultado de A + 2BT:
19.Descubra o resultado de B – 3CT:
20.Descubra o resultado de C + 4DT:
Determinantes:
 É	o	número	que	identifica	a	matriz	segundo	seus	elementos.	Para	matrizes	de	2ª	ordem	o	determinante	
é	a	diferença	entre	as	diagonais	principal	e	secundária.	Para	matrizes	de	3ª	ordem	o	determinante	é	calculado	
com	a	regra	de	Sarrus.
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Ex.	1:	Calcule	o	determinante	da	matriz	
Ex.	2:	Calcule	o	determinante	da	matriz
Ex.	3:	Calcule	o	determinante	da	matriz
Ex.	4:	Calcule	o	determinante	da	matriz
Ex.	5:	Calcule	o	determinante	da	matriz
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Exercícios:
	Calcule	o	determinante	da	matriz	
TEOREMA DE PITÁGORAS
		 O	teorema	de	Pitágoras	serve	para	descobrir	o	valor	de	um	lado	do	triângulo	retângulo,	tendo	os	outros	
dois.
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Ex.	1:	Calcule	o	valor	de	x	nas	figuras	abaixo:
31.	Calcule	o	valor	de	x	nos	triângulos	abaixo:
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TRIGONOMETRIA
		 É	a	parte	da	matemática	que	estuda	os	triângulos	e	suas	relações	métricas	e	angulares.	Vejamos	alguns	
conceitos	importantes:
Ângulo:	região	formada	entre	duas	semirretas	de	mesmo	ponto	inicial.
Ângulo	agudo:	ângulo	com	abertura	menor	que	90˚.
Ângulo	reto:	ângulo	com	abertura	de	exatamente	90˚.
Ângulo	obtuso:	ângulo	com	abertura	entre	90˚	e	180˚.
Ângulo	raso:	ângulo	com	abertura	de	exatamente	180˚.
 Razões Trigonométricas
		 Existem	seis	razões	trigonométricas:	seno,	cosseno,	tangente,	cotangente,	secante	e	cossecante.	Nesse	
curso	estudaremos	somente	as	três	primeiras.	Suas	fórmulas	são	as	seguintes:
Para	utilizar	as	fórmulas	é	necessário	saber	os	valores	de	co,	ca	e	h.	Esses	valores	vêm	do	triângulo	retângulo:
Ex.	1:	Calcule	os	valores	de	seno,	cosseno	e	tangente	do	ângulo	abaixo:
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Ex.	2:	Calcule	os	valores	de	seno,	cosseno	e	tangente	do	ângulo	abaixo:
Ex.	3:	Calcule	os	valores	de	seno,	cosseno	e	tangente	do	ângulo	abaixo:
Exercícios:
32.	Calcule	os	valores	de	seno,	cosseno	e	tangente	dos	ângulos	abaixo:
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Ex.	2:	Calcule	os	valores	de	seno,	cosseno	e	tangente	do	ângulo	abaixo:
Ex.	3:	Calcule	os	valores	de	seno,	cosseno	e	tangente	do	ângulo	abaixo:
Exercícios:
32.	Calcule	os	valores	de	seno,	cosseno	e	tangente	dos	ângulos	abaixo:
 Relação Fundamental da Trigonometria
		 A	Relação	Fundamental	da	Trigonometria	é	uma	fórmula	que	relaciona	o	seno	com	o	cosseno:
		 Dessa	forma,	podemos	calcular	o	seno	ou	o	cosseno	sem	ter	triângulo.	Para	calcular	a	tangente	utilizamos	
outra	fórmula:
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Ex.1:	Calcule	o	seno	de	um	ângulo	cujo	cosseno	mede	0,6.
Ex.2:	Calcule	o	cosseno	de	um	ângulo	cujo	seno	mede	0,5.
Ex.3:	Calcule	a	tangente	de	um	ângulo	cujo	seno	mede	0,8.
Exercícios:
33.	Calcule	o	seno	de	um	ângulo	cujo	cosseno	mede	0,7.
34.	Calcule	o	cosseno	de	um	ângulo	cujo	seno	mede	0,9.
35.	Calcule	a	tangente	de	um	ângulo	cujo	seno	mede	0,6
36.	Calcule	o	seno	de	um	ângulo	cujo	cosseno	mede	0,1.
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Ex.1:	Calcule	o	seno	de	um	ângulo	cujo	cosseno	mede	0,6.
Ex.2:	Calcule	o	cosseno	de	um	ângulo	cujo	seno	mede	0,5.
Ex.3:	Calcule	a	tangente	de	um	ângulo	cujo	seno	mede	0,8.
Exercícios:
33.	Calcule	o	seno	de	um	ângulo	cujo	cosseno	mede	0,7.
34.	Calcule	o	cosseno	de	um	ângulo	cujo	seno	mede	0,9.
35.	Calcule	a	tangente	de	um	ângulo	cujo	seno	mede	0,6
36.	Calcule	o	seno	de	um	ângulo	cujo	cosseno	mede	0,1.
37.	Calcule	o	cosseno	de	um	ângulo	cujo	seno	mede	0,2.
38.	Calcule	a	tangente	de	um	ângulo	cujo	cosseno	mede	0,3.
39.	Calcule	a	tangente	de	um	ângulo	cujo	seno	mede	0,25.
40.	Calcule	a	tangente	de	um	ângulo	cujo	cosseno	mede	0,72.
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RESPOSTAS: