Crescimento de longo prazo - modelo de Solow (I)

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Crescimento de longo prazo
O modelo de Solow (I)
02. O Modelo de Solow
Objetivo: demonstrar como o crescimento do estoque de capital, o crescimento da força de trabalho e o avanço tecnológico interagem para modificar a produção total de bens e serviços (PIB).
Oferta de bens e a função de produção
Para determinarmos a oferta de bens da economia, partiremos de uma função de produção tradicional no qual o produto depende do estoque de capital (K) e da força de trabalho (L). Suporemos, inicialmente, que o nível tecnológico é dado.
Uma pressuposição do modelo de Solow é que a função de produção apresente retornos constantes de escala. Isto permite analisar todos os valores da economia em relação ao tamanho da força de trabalho. Considere, para demonstrar os retornos constantes de escala, uma função de produção como a abaixo:
Aonde z é um parâmetro positivo.
02. O Modelo de Solow
Supondo que 
A equação (3) afirma que o produto por trabalhador (PIB per capita) é função do estoque de capital por trabalhador.
O pressuposto dos retornos constantes de escala traz a seguinte implicação: o tamanho da economia (medido pelo número de trabalhadores) não afeta a relação entre produto por trabalhador e capital por trabalhador.
02. O Modelo de Solow
Uma vez que o tamanho da economia não é importante, podemos representar todos os valores desta economia em termos de trabalhadores individuais.
Utilizaremos letras minúsculas para designar estas variáveis.
Portanto, a função de produção que temos agora:
02. O Modelo de Solow
A inclinação da função de produção indica a quantidade de produção adicional que um trabalhador produz quando se adiciona uma unidade a mais de capital. Isto corresponde a Produtividade Marginal do Capital (PMgK).
Infere-se do gráfico acima que a produtividade marginal do trabalho é decrescente.
y
f(k)
k
02. O Modelo de Solow
Demanda por bens e a função de consumo
A demanda no modelo de Solow pode ser divida em consumo e investimentos. Considerando a demanda por trabalhador, temos:
Por fins de simplificação, não consideramos os gastos públicos e a balança comercial (supomos que a economia é fechada).
Por suposição, a cada ano, as pessoas poupam uma fração da sua renda (s) e consomem a outra parcela . Portanto podemos escrever uma função consumo por trabalhador da seguinte forma:
Substituindo a equação (6) na equação (5), temos:
02. O Modelo de Solow
A equação (7) confirma a ideia de que o investimento é igual à poupança.
Portanto, para qualquer estoque específico de capital (k), a função de produção determina a quantidade de produção e a taxa de poupança (s) distribui esta produção entre consumo e investimento.
02. O Modelo de Solow
Variação do estoque de capital
O estoque de capital é um componente fundamental para a produção da economia. No entanto, o estoque de capital ele varia ao longo do tempo. Estas variações decorrem:
Investimento: gastos com novas instalações e novos equipamentos  faz com que o estoque de capital aumente;
Depreciação: desgaste gradativo do capital antigo  faz com que o estoque de capital diminua.
Partindo da equação (7), temos que:
Substituindo a produção por trabalhador (y) pela função de produção, conseguimos deixar o investimento por trabalhador em função do estoque de capital.
A equação (8) relaciona o estoque de capital existente com a acumulação de novo capital (i).
02. O Modelo de Solow
Podemos incorporar também a depreciação no modelo. Considerando a depreciação uma parte do estoque de capital que deprecia. Portanto é a chamada taxa de depreciação e o montante de capital que deprecia por ano é dado por . Pela taxa de depreciação ser um valor constante, graficamente temos:
y
f(k)
k
sf(k)
Produção por trabalhador
Investimento por trabalhador
consumo por trabalhador
k
02. O Modelo de Solow
Variação do estoque de capital
Logo, temos que:
Substituindo a equação (8) na equação (9), temos:
Podemos colocar a variação de estoque (equação 10) e a taxa de depreciação em um mesmo gráfico.
k
i, 
sf(k)
k*
Existe apenas um nível de estoque de capital (k*) no qual o montante de investimento iguala-se ao montante de depreciação.
Neste ponto, o estoque de capital não se alterará pois as forças que atuam sobre ele se anulam.
Neste ponto, a economia encontra-se no seu estado estacionário.
02. O Modelo de Solow
Importância do estado estacionário
Uma economia no estado estacionário nela permanecerá;
Uma economia que não se encontre no estado estacionário, caminhará para ele.
O estado estacionário representa o equilíbrio de longo prazo.
02. O Modelo de Solow
Exercício 01
Suponha uma função de produção do tipo Cobb-Douglas
Considere que a taxa de poupança é 30% e que o estoque de capital se deprecie a cada ano, a uma taxa de 10%. A economia começou com 4 unidades de capital por trabalhador.
Verificar a trajetória desta economia.
02. O Modelo de Solow
Como a poupança afeta o crescimento do produto
i, 
k
k*
k’*
Considerando que a economia comece em um estado estacionário k* com um nível de poupança (s). Um aumento da poupança (, a curva de investimento se desloca para cima.
Dentro da situação inicial, o investimento apenas compensa a depreciação. Após o aumento na taxa de poupança, o investimento passa a ser maior – mas o estoque de capital e a depreciação do capital permanecem inalterados.
O investimento então excede a depreciação – isto fará com que o estoque de capital passe a aumentar gradativamente até que a economia encontre seu novo estado estacionário k’*. Isto representa um aumento do estoque de capital e, por conseguinte, um aumento do nível de produção. 
Se a taxa de poupança for alta, a economia terá um grande estoque de capital e um nível de produção elevado, no estado estacionário. Se a poupança for baixa, a economia terá um baixo estoque de capital e um baixo nível de produção, no estado estacionário.
Pensar na relação entre déficits orçamentários persistentes e o modelo de Solow.
02. O Modelo de Solow
Como a poupança afeta o crescimento do produto
i, 
k
k*
k’*
No modelo de Solow, uma maior poupança acarreta em um crescimento mais rápido da economia – mesmo que temporariamente. 
Um incremente na taxa de poupança aumentará o crescimento econômico até o ponto no qual a economia se encontrará em um novo estado estacionário. 
02. O Modelo de Solow
O nível de capital da regra de ouro
DEFINIÇÃO: é o valor do estoque de capital no estado estacionário que maximiza o consumo.
Para encontrarmos o nível de capital da Regra de Ouro, devemos determinar o consumo por trabalhador no estado estacionário.
Partindo da equação (5), temos:
Como queremos saber do consumo no estado estacionário, basta substituirmos o valor da produção e o investimento (é igual a depreciação no seu estado estacionário). 
02. O Modelo de Solow
O nível de capital da regra de ouro
Mais capital gera mais produção;
Mais capital significa maior quantidade de produção que deve ser utilizada no intuito de substituir o capital que está se deteriorando.
02. O Modelo de Solow
Estoque de capital da Regra de Ouro
i, 
k
O consumo no estado estacionário corresponde ao intervalo entre a produção e a depreciação. O nível que maximiza o consumo é o ponto de máximo da função de produção – ponto no qual a função de produção e a reta de depreciação possuem a mesma inclinação.
Caso a economia encontre-se com estoque de capital abaixo do nível da Regra de Ouro, um crescimento no estoque de capital faz com que produção aumente mais do que a depreciação – aumentando o consumo.
Caso a economia encontre-se com o estoque de capital acima do nível da Regra de Ouro, um aumento no estoque de capital faz com que produção aumente menos que a depreciação – diminuindo o consumo.
A inclinação da função de produção é o Produto Marginal do Capital (PMgK). A inclinação da reta de depreciação é . Logo, na Regar de Ouro: