Aula 3 - Planos Bissetores e Simetria de pontos

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Curso: Graduação em Engenharia Civil - UNIFACEX
Fabrício Lira Barbosa
Planos bissetores e 
simetria de pontos
http://www.google.com.br/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=Ba4dFoleAE2QqM&tbnid=49Bsc12vyg0ZAM:&ved=0CAgQjRwwAA&url=https://twitter.com/unifacexbr&ei=9r60Uf38ObCO0QGNpoBI&psig=AFQjCNFNTCUVNDZTBMvK22qaIqlkmp1vkw&ust=1370886262978608
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São planos que contêm a linha de terra
e dividem os diedros em partes
iguais, formando ângulos de 45°
com cada um dos planos de
projeção.
Os planos bissetores são em números
de dois: o Bissetor Ímpar (ou βi)
atravessa o 1° e o 3° diedros, e o
Bissetor Par (ou βp) atravessa o 2°
e o 4° diedros.
Considerações iniciais
Todo ponto pertencente ao βi tem cota e afastamento iguais, em
módulo e sinal. Em épura, suas projeções são simétricas em
relação à LT.
Já qualquer ponto pertencente ao βp tem cota e afastamento iguais
em módulo, porém são opostos no sinal. Em épura, suas
projeções são coincidentes.
Os pontos situados nos planos bissetores têm a característica principal
de serem equidistantes dos planos de projeção, o que pode ser
explicado pelo ângulo de 45° formado entre o bissetor e os planos de
projeção. Vejamos a representação em épura de quatro pontos
localizados nos planos bissetores:
Pontos nos planos bissetores
P
ro
je
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es
 s
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ca
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je
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te
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Plano Bissetor Impar (ßi)
Todo ponto pertencente
ao Bissetor Ímpar tem
cota e afastamento iguais,
em módulo e sinal. Em
épura, suas projeções são
simétricas em relação à
LT.
Pontos nos planos bissetores
Plano Bissetor Par (ßp)
Todo ponto pertencente
ao Bissetor Par tem cota e
afastamento iguais em
módulo, porém os sinais
são opostos. Em épura
suas projeções são
coincidentes
Os sinais do afastamento e da cota de um ponto situado em
um plano bissetor dependem da posição do ponto em relação aos
planos de projeção.
Pontos nos planos bissetores
2º Diedro
Y (-)/ z(+)
1º Diedro
Y (+)/ z(+)
3º Diedro
Y (-)/ z(-)
4º Diedro
Y (+)/ z(-)
Ponto no semi plano
horizontal anterior (¶a)
• Afastamento (+)
• cota (nula)
Pontos nos planos bissetores
Ponto no semi plano
vertical superior (¶s)
• Afastamento (nulo)
• cota (+)
Pontos nos planos bissetores
Ponto no semi plano
horizontal posterior
(¶p)
• Afastamento (-)
• cota (nula)
Ponto no semi plano
vertical inferior (¶i)
• Afastamento (nulo)
• cota (-)
Pontos nos planos bissetores
Ponto na Linha de
Terra
• Afastamento (nulo)
• cota (nula)
CONVENÇÕES
¶a – Semi plano Horizontal Anterior
¶p - Semi plano Horizontal Posterior
¶s - Semi plano Vertical Superior
¶i - Semi plano Vertical Inferior
LT - Linha de terra
Simetria de pontos
Dois pontos (A) e (B) são simétricos em relação à um plano
(α), quando este plano é o mediador do segmento formado pelos
dois pontos. Ou seja, a simetria entre pontos existe quando um
plano, perpendicular ao segmento formado por estes dois pontos,
contém o ponto médio do segmento. Note, no desenho acima, que o
segmento (A)(M) é igual ao segmento (M)(B).
A simetria de pontos pode
ocorrer:
1. Em relação aos planos
de projeção
2. Em relação aos planos
bissetores
3. Em relação à linha de
terra
Diz-se que um ponto (B) é
simétrico a um ponto (A) em
relação ao plano horizontal de
projeção (α), quando possui:
- a mesma abscissa,
- o mesmo afastamento em
grandeza e sentido
- a cota de mesma grandeza mas
de sentido contrário.
Afastamento dos pontos (A) e (B) são iguais e ambos positivos
(mesmo sentido) e suas cotas iguais e de sentido contrário
Simetria de pontos
Planos de projeção
Diz-se que um ponto (D) é simétrico a um ponto (C) em relação
ao plano vertical de projeção (¶’), quando possui:
- a mesma abscissa
- a mesma cota em grandeza e sentido
- o afastamento da mesma grandeza porém de sentido contrário.
Projeções verticais C e
D coincidem e as
projeções horizontais
C e D são simétricas
em relação à linha de
terra.
Simetria de pontos
Planos de projeção
Quando dois pontos são simétricos em relação ao plano bissetor
ímpar, possuem a mesma abscissa e a cota de um ponto é igual
ao afastamento do outro em grandeza e sentido. Nesse caso, as
projeções de nomes contrários dos dois pontos são simétricas
em relação à linha de terra.
Simetria de pontos
Planos Bissetores
Diedro
Cartesiana Épura
Quando dois pontos são simétricos em relação ao plano bissetor
par, possuem a mesma abscissa e a cota de um ponto é igual ao
afastamento do outro com sinal contrário. Nesse caso, as
projeções de nomes contrários dos dois pontos são
coincidentes.
Simetria de pontos
Planos Bissetores
Diedro
Cartesiana Épura
Quando dois pontos são simétricos em relação à linha de terra,
possuem a mesma abscissa e cotas e afastamentos iguais em
grandeza, mas de sentidos contrários. Nesse caso, as projeções
de mesmo nome são simétricas em relação à linha de terra.
Simetria de pontos
Linha de Terra
Diedro Cartesiana Épura
Exercícios
1 - Desenhe sob uma mesma linha de terra as projeções dos seguintes
pontos e indique a respectiva localização no espaço:
A (0; 4; 0) B ( 2; 5; 1) C ( -4; -2; 4) D ( 5; -5; 5) E (-2; 4; 4) F (0; 0; 0) G ( -2; 0; 6)
H ( 6; -4: -2)
2 - Os pontos A e B constituem a reta R e situam-se numa reta horizontal. O
ponto A tem 2 de afastamento e 4 de cota. O ponto B (cota 4) situa-se no ßi.
Desenhe as projeções em épura da reta.
3 - Represente os pontos A, B, C, D, E e F sabendo que suas cotas são
todas iguais e:
A – situa-se no 1º diedro (1; 2; 4)
B – no ßp (3; y; z)
C – no ¶s (5; y; z)
D – no 4º diedro (6; 2; z)
E – no 2º diedro (8; -2; z)
F – no ßi. (10; y; z)
Exercícios
4. Desenhe as projeções dos pontos L, M e N, sabendo que:
L (2, 2; 5);
M é simétrico a L em relação ao Semi plano Horizontal Posterior (¶p);
N é simétrico a L em relação ao Semi plano Vertical Superior (¶s).
5. Desenhe as projeções dos pontos O, P e Q, sabendo que:
O (4, 3; -4);
P é simétrico a O em relação ao Semi plano Horizontal Posterior (¶p);
Q é simétrico a O em relação ao Semi plano Horizontal anterior (¶a).
6. Desenhe as projeções dos pontos A, B, C e D, sabendo que:
Todos os pontos têm abcissa -2;
A tem 4 de afastamento (no 2º diedro); B pertence ao ßp, com 2 de cota;
C está no 4º diedro com 2 de cota e D tem 4 de cota no 1º diedro.