aula 1 CALCULO 3 (1)

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Cálculo Diferencial e Integral III
Prof. Lyvio
edulyvio@gmail.com
Carga Horaria: 60 horas
Bibliografia: 
Cálculo volume 2
Autor: James Stewart
Autor: Howard Anton
Avaliação:
Avaliação continuada
mailto:edulyvio@gmail.com
Avaliação Continuada
1) Integrais Múltiplas:
Integral tripla, equações do plano e plano tangente.
2) Integrais Múltiplas em outras coordenadas:
Coordenadas cilíndricas e esféricas.
3) Equações diferenciais ordinárias:
Definição, classificação e EDO de primeira ordem. Equações de ordem superior.
4) Transformada de Laplace:
Definição, Inversa da Transformada, Propriedades.
Cálculo Diferencial e Integral III
O que é uma função?
Uma terna matemática, (A, B, a b), que a cada elemento a de um conjunto
A, associa, um e somente um elemento b de um conjunto B, através da regra
a b)
Quais são as formas de representar uma função?
Diagrama de flechas Equação Graficamente
Vamos rever alguns conceitos importantes
𝐴 = 𝜋𝑟2
Definição: Uma função de duas variáveis é uma regra que associa a cada par
ordenado de números reais (x,y) de um domínio D um único valor real,
denotado por f(x,y). O conjunto D é o domínio de f e sua imagem é o
conjunto de valores possíveis de f.
Funções de duas variáveis
 Seja 𝑓 uma função com domínio 𝐷. Então o gráfico de 𝑓
é o conjunto de todos os pontos (𝑥, 𝑦, 𝑥) ∈ ℜ3 tal que
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) e 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷.
Gráficos das Funções de duas variáveis 
A cada par 
(𝑥, 𝑦) do 
domínio 
corresponde 
uma cota 
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
Gráficos das funções de duas variáveis
Esboce o gráfico das funções:
𝑓(𝑥, 𝑦) = 6 − 3𝑥 − 2𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2
𝑧 = 1 − 𝑥2 𝑧 = 3 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2
Outros Gráficos
 Nas funções de uma variável:
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
 Duas variáveis:
Se 𝑓 é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais são as
funções 𝑓𝑥 e 𝑓𝑦, definidas por:
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ, 𝑦 − 𝑓(𝑥, 𝑦)
ℎ
𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥, 𝑦 + ℎ − 𝑓(𝑥, 𝑦)
ℎ
Derivadas Parciais
Notação para as derivadas parciais:
Se 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), escrevemos
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑦 =
𝜕𝑓
𝜕𝑦
Derivadas Parciais
Regra para determinar a derivadas parciais de 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦):
1) Para achar 𝑓𝑥, “olhe” 𝑦 como uma constante e derive 𝑓(𝑥, 𝑦)
em relação a 𝑥;
2) Para achar 𝑓𝑦, “olhe” 𝑥 como uma constante e derive 𝑓(𝑥, 𝑦)
em relação a 𝑦;
Exemplificando:
Se 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 + 𝑥2𝑦3 − 2𝑦2, determine 𝑓𝑥 e 𝑓𝑦.
Derivadas Parciais
2) Seja 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 − 4𝑦
Calcule:
𝑎)
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥, 𝑦 𝑏)
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥, 𝑦)
3) Idem para:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒𝑦 + 𝑦 sin 𝑥
4) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥 ln 𝑥𝑦
Derivadas Parciais
• Uma variável:
න𝑓 𝑥 𝑑𝑥
• Duas variáveis:
ඵ𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴
• Três variáveis:
ම𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉
Integrais Múltiplas
Revisando os conceitos:
Integral simples:
න𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐾
Onde 𝐹 𝑥 é chamada de primitiva de 𝑓 𝑥 , tal que
𝐹′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 .
Integrais Múltiplas
Exemplificar...
1) Regra da Substituição (mudança de variáveis):
න𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥
Fazemos a seguinte mudança de variável:
𝑢 = 𝑔(𝑥)
𝑑𝑢 = 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥
න𝑓 𝑢 𝑑𝑢
Técnicas de Integração
Exemplo...
Exemplos:
1) Resolva a integral
න2𝑥 𝑥2 + 3 4 𝑑𝑥
2) Resolva a integral
නcos(𝑥2) 2𝑥 𝑑𝑥
3) Resolva a integral
න𝑥 sin 𝑥2 𝑑𝑥
Técnicas de Integração
Teorema Fundamental do Cálculo:
න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎
Integral definida
Por exemplo:
න
0
1
𝑥2 𝑑𝑥
Integral Definida
න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = Á𝑟𝑒𝑎
Integral dupla:
1º caso) Região a ser integrada é retangular: 𝑅 =
ሼ 𝑥, 𝑦 ∕ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ ሽ𝑑 :
ඵ
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = න
𝑎
𝑏
න
𝑐
𝑑
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
= න
𝑐
𝑑
න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
Integral Dupla
OBS.: A integral dupla pode representar uma área ou um volume, dependendo da situação.
Integrais Múltiplas
𝐴𝑟𝑒𝑎 = න
𝑎
𝑏
න
𝑐
𝑑
1 𝑑𝐴
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = න
𝑎
𝑏
න
𝑐
𝑑
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴
𝑓 𝑥, 𝑦
Integrais Múltiplas
Exemplos
1) න
0
3
න
1
2
𝑥2𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
Resp.:
27
2
2) න
0
2
න
1
2
𝑥 − 3𝑦2 𝑑𝑦𝑑𝑥
Resp.: - 12