Aula 04 - Área Líquida e área total

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Profº Gregorio GonzagaAula 04
• META:
Apresentar o conceito de área líquida e área total.
• OBJETIVO:
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:
 Entender o conceito de área líquida e área total abaixo de curvas.
 Aplicar o conceito de integral definida no cálculo de áreas.
• PRÉ-REQUISITOS:
Conceito de integral definida.
 Aula 04: A Integral Definida.
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 A Integral Definida e o Cálculo de Área:
Teorema: Se uma função 𝑓 for contínua e positiva em um intervalo [𝑎, 𝑏], então 𝑓
será integrável em [𝑎, 𝑏] e a área 𝐴 entre o gráfico de 𝑓 e o intervalo [𝑎, 𝑏] será
𝐴 = 
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
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 Problema:
Seja o gráfico da curva 𝑓 𝑥 = 7𝑥 − 𝑥2. Determine:
a) a área abaixo de 𝑓 em [0,7].
b) a área abaixo de 𝑓 em [0,8].
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 Área Líquida com Sinal:
Definição (Área Líquida com Sinal): Se a função 𝑓 for contínua [a, b], então a área
líquida com sinal é definida como a soma das áreas conservando-se os sinais de cada
região de 𝑎 até 𝑏, isto é, a área será a diferença entre a área acima pela área abaixo.
Exemplo:
Seja o gráfico da curva 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥. Determine:
a) −4
−3
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
b) −3
0
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
c) 0
1
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
d) 1
2
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
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 Área Total:
Definição: Se a função 𝑓 for contínua [a, b], então a área Total entre a curva 𝑦 =
𝑓(𝑥) e o intervalo [a, b] é definida como
𝐴 = 
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
Exemplo:
Determine a Área Total entre o gráfico de 𝑓 𝑥 = sen(𝑥) no intervalo [0,2π].
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 A Integral Definida e o Cálculo de Área:
Definição:
a) Se 𝑎 estiver no domínio de 𝑓, definimos:
 
𝑎
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0
b) Se 𝑓 for integrável em [𝑎, 𝑏], definimos:
 
𝑏
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = − 
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
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 A Integral Definida e o Cálculo de Área:
Teorema: Se 𝑓 for integrável em um intervalo fechado contendo os três pontos 𝑎, 𝑏
e 𝑐, então
 
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 
𝑎
𝑐
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 
𝑐
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
não importando como os pontos estejam ordenados.
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• STEWART, James. Cálculo. 6.ed. Editora Cengage
Learning vol. 1.
• ANTON, Howard; BIVIS, Iri; DAVIS, Stephen. - Cálculo, 
Vol. I - oitava edição - Editora Harbra.
 Bibliografia: