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geometria Analitica Ciclo3

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GRAZIELE TUANE DOS SANTOS 
 
RA 8089632 
 
 
 
 
ELIPSE, HIPÉRBOLE E PARÁBOLA 
 
 
 
 
 
 
 
POLO BELO HORIZONTE – MG 
2019 
 
 
 
 
 
GRAZIELE TUANE DOS SANTOS 
 
RA 8089632 
 
 
ELIPSE, HIPÉRBOLE E PARÁBOLA 
 
 
 Trabalho apresentado ao 
Centro Universitário Claretiano 
para a disciplina de Vetores e 
Geometria Analítica, ministrada 
pela Tutora Juliana Brassolatti 
Gonçalves. 
 
 
 
 
 
POLO DE BELO HORIZONTE – MG 
2019 
 
 
1) Para cada uma das parábolas a seguir, construir o gráfico e encontrar o foco e uma 
equação da diretriz. Use o GEOGEBRA para construir os gráficos e conferir os 
resultados. 
a) x2 = -6y 
Resolução: x2 = -2py → -2py = -6y → -2p = -6 → p = 
−6
−2
 → p = 3 
y = 
𝑝
2
 = 
3
2
 e F= (0, 
−3
2
 ) 
Resposta: O foco é F= (0, 
−3
2
 ) e a equação da diretriz é y = 
3
2
. 
 
 
 
b) y2 = -4x 
Resolução:y2 = -2px → -2p = -4 → p = 2 
x = 
𝑝
2
 = 
2
2
 = 1 e F = (-1,0) 
Resposta: O foco é F(-1,0) e a equação da diretriz é x = 1. 
 
 
 
 
c) x2 – 10y = 0 
Resolução: 
x2 = 10y → x2 = 2py → 2py= 10y → p = 
10
2
 → p = 5 
y = 
−𝑝
2
 = 
−5
2
 e F = (0, 
5
2
 ) 
Resposta: O foco é F(0, 
5
2
 ) e a equação da diretriz é y = 
−5
2
. 
 
 
d) y = 
𝒙𝟐
𝟏𝟔
 
Resolução: x2 = 16y → x2 =2py → 2py = 16y → p = 
16
2
 → p = 8 
 
 
y = - 
𝑝
2
 = - 
8
2
 = - 4 e F = (0,4) 
Resposta: O foco é F(0, 4) e a equação da diretriz é y = - 4. 
 
2) Obter uma equação da parábola que satisfaça as condições dadas: 
a)Vértice: V(0,0) e diretriz d: y = -3 
Resolução: y = - 
𝑝
2
 → -3 = 
𝑝
2
 → - p = -3 . 2 → p = 6 
 
 
x2 = 2py → x2 = 2.6y → x2 = 12y 
 
b)Foco : F(2,0) e diretriz d: x + 2 = 0 
Resolução: d: x + 2 = 0 → d: x= -2 
x = - 
𝑝
2
 → -2= - 
𝑝
2
 → - p = - 2 . 2 → p = 4 
y2 = 2px → y2 2.4x → y2 = 8x 
 
 
c)Vértice: V(0,0) e foco: F(0,-2) 
Resolução: p = 4 
x2 = -2py → x2= -2 . 4y → x2= -8y 
 
3) Para cada uma das elipses I) 25x2 + 4y2 = 100 e II) 9x2 + 16 y2 – 144 = 0, determinar: 
a) A medida dos semieixos; 
b) Um esboço do gráfico; 
c) Os focos; 
d) A excentricidade.
Resolução do item I: dividir por 100: 
25𝑥2
100
+ 
4𝑦2
100
= 
100
100
 → 
x2
4
+ 
y2
25
= 1 → 
x2
b2
+ 
y2
a2
= 1 
a2 = 25 → a =√25 → a= 5 ; b2 = 4 → b= √4 → b= 2 
a2 = b2 + c2 → 52 = 22 + c2 → c2 = 25 - 4 → c2 = 21 → c = √21 
e = 
c
a
= 
√21
5
 Eixo maior = 2a = 2 . 5 = 10 Eixo menor = 2b = 2 . 2 = 4 
Resposta letra a: O eixo maior mede 10. O eixo menor mede 4 
 
 
Letra b: 
Letra c: Os focos são : F1 = (0, -√21 ) e F2 = (0, √21 ). 
 
 
Letra d: A excentricidade é 
√21
5
 . 
 
Resolução do item II: divide por 144: 
9𝑥2
144
+ 
16𝑦2
144
= 
144
144
 → 
x2
16
+ 
y2
9
= 1 → 
x2
a2
+ 
y2
b2
= 1 
a2 = 16 → a =√16 → a= 4 ; b2 = 9 → b= √9 → b= 3 
a2 = b2 + c2 → 42 = 32 + c2 → c2 = 16 - 9 → c2 = 7 → c = √7 
e = 
c
a
= 
√7
4
 Eixo maior = 2a = 2 . 4 = 8 Eixo menor = 2b = 2 . 3 = 6 
Resposta letra a: O eixo maior mede 8. O eixo menor mede 6. 
 
 
 
Letra c: Os focos são : F1 = ( -√7 , 0 ) e F2 = ( √7 , 0 ). 
Letra d: A excentricidade é 
√7
4
 . 
 
4) Calcule a equação reduzida da Elipse de centro C (0, 0), com eixo maior 6, contido no 
eixo x e eixo menor 4. 
Resolução: Dados: C(0,0) ; Eixo maior 6, logo a = 3; eixo menor 4, logo b = 2; cont. no eixo x 
x2
a2
+ 
y2
b2
= 1 
x2
32
+ 
y2
22
= 1 
 
x2
9
+ 
y2
4
= 1 
Resposta: A equação reduzida da elipse é 
x2
9
+ 
y2
4
= 1. 
 
 
 
 
5) Calcule a equação reduzida da Elipse de centro C (0, 0), com eixo menor 6, contido no 
eixo x e distância focal 8. 
Resolução: Dados: C (0,0); eixo menor 6, logo b = 3; dist. focal 8, logo c = 4; cont. no eixo y 
a2 = b2 + c2 → a2 = 32 + 42 → a2 = 9 + 16 → a2 = 25 → a = √25 = 5 
. 
x2
a2
+ 
y2
b2
= 1 → 
x2
52
+ 
y2
32
= 1 → 
x2
25
+ 
y2
9
= 1 
Resposta: A equação reduzida da elipse é 
x2
25
+ 
y2
9
= 1. 
 
 
6) Calcule a equação reduzida da Elipse de centro C (0, 0), com distância focal 6, contido 
no eixo y e eixo menor 4. 
Resolução: Dados: C (0,0); dist. Focal 6, logo c = 3; eixo menor 4, logo b= 2, cont. no eixo y 
a2 = b2 + c2 → a2 = 22 + 32 → a2 = 4 + 9 → a2 = 13 → a = √13 
. 
x2
b2
+ 
y2
a2
= 1 → 
x2
22
+ 
y2
13
= 1 → 
x2
4
+ 
y2
13
= 1 
Resposta: A equação reduzida da elipse é 
x2
4
+ 
y2
13
= 1. 
 
 
7) Para cada uma das hipérboles I) x2 – 4y2 + 16 = 0 e II) 16x2 – 25y2 – 400 = 0, determinar: 
a) A medida dos semieixos; 
b) Um esboço do gráfico; 
c) Os vértices; 
d) Os focos; 
e) A excentricidade
 Item I:x2 – 4y2 = - 16 (× 1) → -x2 + 4y2 = 16 → invertendo a posição: 4y2 - x2 = 16 
 
4𝑦2
16
− 
𝑥2
16
= 
16
16
 → 
y2
4
 − 
x2
16
= 1 → 
y2
a2 
 − 
x2
b2
= 1 
Letra a: a2 = 4 → a =√4 → a= 2 ; b2 = 16 → b= √16 → b= 4 
Eixo real: 2a = 2 .2 = 4 Eixo imaginário: 2 b = 2 . 4 = 8 
Letra B: 
Letra c: Vértices A1 (0,-a) e A2 (0,a), logo os vértices são A1 (0,-2) e A2 (0,2). 
 
 
Letra d: c2 = a2 + b2 → c2 = 4 + 16 → c2 = 20 → c = √20 
Os focos são F1 (0, - √20) e f2 (0, √20). 
Letra e: e = 
c
a
= 
√20 
2
 = 
2√5 
2
 = √5. A excentricidade é √5. 
 
Resolução do item II: 
16𝑥2
400
− 
25𝑦2
400
= 
400
400
 → 
x2
25
 − 
y2
16
= 1 → 
x2
a2 
 − 
y2
b2
= 1 
Letra a: a2 = 25 → a =√25 → a= 5 ; b2 = 16 → b= √16 → b= 4 
Eixo real: 2a = 2 .5 = 10 Eixo imaginário: 2 b = 2 . 4 = 8 
Letra c: Vértices A1 (-a, 0) e A2 (a, 0), logo os vértices são (-5,0 ) e (5,0 ). 
 
 
Letra d: c2 = a2 + b2 → c2 = 25 + 16 → c2 = 41 → c = √41 
Os focos são F1 ( - √41 , 0) e f2 ( √41, 0). 
Letra e: e = 
c
a
= 
√41
5
 . A excentricidade é 
√41
5
 . 
 
8) Calcule a equação reduzida da Hipérbole de centro C (0, 0), com eixo real 4, contido 
no eixo x e eixo imaginário 2√𝟓. 
Resolução: Dados: C(0,0); eixo real 4, logo a = 2; eixo imaginário 2√5, logo b = √5; eixo x. 
x2
a2 
 − 
y2
b2
= 1 
 
x2
22 
 − 
y2
 (√5)2
= 1 
x2
4 
 − 
y2
5
= 1 
Resposta: A equação reduzida da hipérbole é 
x2
4 
 − 
y2
5
= 1. 
 
9) Calcule a equação reduzida da Hipérbole de centro C (0, 0), com eixo real 4, contido 
no eixo y e distância focal 8. 
Resolução: : Dados: C(0,0); eixo real 4, logo a = 2; dist. Focal 8, logo c = 4; eixo y 
c2 = a2 + b2 → 42 = 22 + b2 → b2 = 16 - 4 → b2 = 12 
 
 
. 
y2
a2 
 − 
x2
b2
= 1 → 
y2
4 
 − 
x2
12
= 1 
Resposta: A equação reduzida da hipérbole é 
y2
4 
 − 
x2
12
= 1 . 
 
10) Calcule a equação reduzida da Hipérbole de centro C (3, 0), com distância focal 6, 
contido no eixo x e eixo real 2. 
Resolução: Dados: C(3,0); eixo real 2, logo a = 1; dist. Focal 6, logo c =3; eixo x 
c2 = a2 + b2 → 32 = 12 + b2 → b2 = 9 - 1 → b2 = 8 
. 
(x−𝑥0)
2
a2 
 − 
(𝑦− 𝑦0)
2
b2
= 1 → 
(x−3)2
1 
 − 
(y−0)2
8
= 1 → 
(x−3)2
1
 − 
y2
8
= 1 
Resposta: A equação reduzida da hipérbole é 
(x−3)2
1
 − 
y2
8
= 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências: 
EQUACIONA MATEMÁTICA. Elipse- Cônicas. Disponível em: 
<https://youtu.be/AQV5O0Go_YE >. Acesso em 12 out. 2019. 
 
EQUACIONA MATEMÁTICA. Hipérbole – Cônicas . Disponível em: < 
https://youtu.be/9xoLazPxV6w>. Acesso em: 12 out. 2019. 
 
EQUACIONA MATEMÁTICA. Parábolas – Cônicas . Disponível em: 
<https://youtu.be/mCcmt5RyfNI.> Acesso em: 12 out. 2019. 
 
RIGONATTO, Marcelo. Equação da hipérbole. Disponível em: 
<https://www.google.com/amp/s/m.mundoeducacao.bol.uol.com.br/amp/matematica/equacao
-hiperbole.htm> Acesso em: 13 out. 2019 
 
 
 
 
 
 
 
https://youtu.be/AQV5O0Go_YE
https://youtu.be/9xoLazPxV6w
https://youtu.be/mCcmt5RyfNI