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GRAZIELE TUANE DOS SANTOS RA 8089632 ELIPSE, HIPÉRBOLE E PARÁBOLA POLO BELO HORIZONTE – MG 2019 GRAZIELE TUANE DOS SANTOS RA 8089632 ELIPSE, HIPÉRBOLE E PARÁBOLA Trabalho apresentado ao Centro Universitário Claretiano para a disciplina de Vetores e Geometria Analítica, ministrada pela Tutora Juliana Brassolatti Gonçalves. POLO DE BELO HORIZONTE – MG 2019 1) Para cada uma das parábolas a seguir, construir o gráfico e encontrar o foco e uma equação da diretriz. Use o GEOGEBRA para construir os gráficos e conferir os resultados. a) x2 = -6y Resolução: x2 = -2py → -2py = -6y → -2p = -6 → p = −6 −2 → p = 3 y = 𝑝 2 = 3 2 e F= (0, −3 2 ) Resposta: O foco é F= (0, −3 2 ) e a equação da diretriz é y = 3 2 . b) y2 = -4x Resolução:y2 = -2px → -2p = -4 → p = 2 x = 𝑝 2 = 2 2 = 1 e F = (-1,0) Resposta: O foco é F(-1,0) e a equação da diretriz é x = 1. c) x2 – 10y = 0 Resolução: x2 = 10y → x2 = 2py → 2py= 10y → p = 10 2 → p = 5 y = −𝑝 2 = −5 2 e F = (0, 5 2 ) Resposta: O foco é F(0, 5 2 ) e a equação da diretriz é y = −5 2 . d) y = 𝒙𝟐 𝟏𝟔 Resolução: x2 = 16y → x2 =2py → 2py = 16y → p = 16 2 → p = 8 y = - 𝑝 2 = - 8 2 = - 4 e F = (0,4) Resposta: O foco é F(0, 4) e a equação da diretriz é y = - 4. 2) Obter uma equação da parábola que satisfaça as condições dadas: a)Vértice: V(0,0) e diretriz d: y = -3 Resolução: y = - 𝑝 2 → -3 = 𝑝 2 → - p = -3 . 2 → p = 6 x2 = 2py → x2 = 2.6y → x2 = 12y b)Foco : F(2,0) e diretriz d: x + 2 = 0 Resolução: d: x + 2 = 0 → d: x= -2 x = - 𝑝 2 → -2= - 𝑝 2 → - p = - 2 . 2 → p = 4 y2 = 2px → y2 2.4x → y2 = 8x c)Vértice: V(0,0) e foco: F(0,-2) Resolução: p = 4 x2 = -2py → x2= -2 . 4y → x2= -8y 3) Para cada uma das elipses I) 25x2 + 4y2 = 100 e II) 9x2 + 16 y2 – 144 = 0, determinar: a) A medida dos semieixos; b) Um esboço do gráfico; c) Os focos; d) A excentricidade. Resolução do item I: dividir por 100: 25𝑥2 100 + 4𝑦2 100 = 100 100 → x2 4 + y2 25 = 1 → x2 b2 + y2 a2 = 1 a2 = 25 → a =√25 → a= 5 ; b2 = 4 → b= √4 → b= 2 a2 = b2 + c2 → 52 = 22 + c2 → c2 = 25 - 4 → c2 = 21 → c = √21 e = c a = √21 5 Eixo maior = 2a = 2 . 5 = 10 Eixo menor = 2b = 2 . 2 = 4 Resposta letra a: O eixo maior mede 10. O eixo menor mede 4 Letra b: Letra c: Os focos são : F1 = (0, -√21 ) e F2 = (0, √21 ). Letra d: A excentricidade é √21 5 . Resolução do item II: divide por 144: 9𝑥2 144 + 16𝑦2 144 = 144 144 → x2 16 + y2 9 = 1 → x2 a2 + y2 b2 = 1 a2 = 16 → a =√16 → a= 4 ; b2 = 9 → b= √9 → b= 3 a2 = b2 + c2 → 42 = 32 + c2 → c2 = 16 - 9 → c2 = 7 → c = √7 e = c a = √7 4 Eixo maior = 2a = 2 . 4 = 8 Eixo menor = 2b = 2 . 3 = 6 Resposta letra a: O eixo maior mede 8. O eixo menor mede 6. Letra c: Os focos são : F1 = ( -√7 , 0 ) e F2 = ( √7 , 0 ). Letra d: A excentricidade é √7 4 . 4) Calcule a equação reduzida da Elipse de centro C (0, 0), com eixo maior 6, contido no eixo x e eixo menor 4. Resolução: Dados: C(0,0) ; Eixo maior 6, logo a = 3; eixo menor 4, logo b = 2; cont. no eixo x x2 a2 + y2 b2 = 1 x2 32 + y2 22 = 1 x2 9 + y2 4 = 1 Resposta: A equação reduzida da elipse é x2 9 + y2 4 = 1. 5) Calcule a equação reduzida da Elipse de centro C (0, 0), com eixo menor 6, contido no eixo x e distância focal 8. Resolução: Dados: C (0,0); eixo menor 6, logo b = 3; dist. focal 8, logo c = 4; cont. no eixo y a2 = b2 + c2 → a2 = 32 + 42 → a2 = 9 + 16 → a2 = 25 → a = √25 = 5 . x2 a2 + y2 b2 = 1 → x2 52 + y2 32 = 1 → x2 25 + y2 9 = 1 Resposta: A equação reduzida da elipse é x2 25 + y2 9 = 1. 6) Calcule a equação reduzida da Elipse de centro C (0, 0), com distância focal 6, contido no eixo y e eixo menor 4. Resolução: Dados: C (0,0); dist. Focal 6, logo c = 3; eixo menor 4, logo b= 2, cont. no eixo y a2 = b2 + c2 → a2 = 22 + 32 → a2 = 4 + 9 → a2 = 13 → a = √13 . x2 b2 + y2 a2 = 1 → x2 22 + y2 13 = 1 → x2 4 + y2 13 = 1 Resposta: A equação reduzida da elipse é x2 4 + y2 13 = 1. 7) Para cada uma das hipérboles I) x2 – 4y2 + 16 = 0 e II) 16x2 – 25y2 – 400 = 0, determinar: a) A medida dos semieixos; b) Um esboço do gráfico; c) Os vértices; d) Os focos; e) A excentricidade Item I:x2 – 4y2 = - 16 (× 1) → -x2 + 4y2 = 16 → invertendo a posição: 4y2 - x2 = 16 4𝑦2 16 − 𝑥2 16 = 16 16 → y2 4 − x2 16 = 1 → y2 a2 − x2 b2 = 1 Letra a: a2 = 4 → a =√4 → a= 2 ; b2 = 16 → b= √16 → b= 4 Eixo real: 2a = 2 .2 = 4 Eixo imaginário: 2 b = 2 . 4 = 8 Letra B: Letra c: Vértices A1 (0,-a) e A2 (0,a), logo os vértices são A1 (0,-2) e A2 (0,2). Letra d: c2 = a2 + b2 → c2 = 4 + 16 → c2 = 20 → c = √20 Os focos são F1 (0, - √20) e f2 (0, √20). Letra e: e = c a = √20 2 = 2√5 2 = √5. A excentricidade é √5. Resolução do item II: 16𝑥2 400 − 25𝑦2 400 = 400 400 → x2 25 − y2 16 = 1 → x2 a2 − y2 b2 = 1 Letra a: a2 = 25 → a =√25 → a= 5 ; b2 = 16 → b= √16 → b= 4 Eixo real: 2a = 2 .5 = 10 Eixo imaginário: 2 b = 2 . 4 = 8 Letra c: Vértices A1 (-a, 0) e A2 (a, 0), logo os vértices são (-5,0 ) e (5,0 ). Letra d: c2 = a2 + b2 → c2 = 25 + 16 → c2 = 41 → c = √41 Os focos são F1 ( - √41 , 0) e f2 ( √41, 0). Letra e: e = c a = √41 5 . A excentricidade é √41 5 . 8) Calcule a equação reduzida da Hipérbole de centro C (0, 0), com eixo real 4, contido no eixo x e eixo imaginário 2√𝟓. Resolução: Dados: C(0,0); eixo real 4, logo a = 2; eixo imaginário 2√5, logo b = √5; eixo x. x2 a2 − y2 b2 = 1 x2 22 − y2 (√5)2 = 1 x2 4 − y2 5 = 1 Resposta: A equação reduzida da hipérbole é x2 4 − y2 5 = 1. 9) Calcule a equação reduzida da Hipérbole de centro C (0, 0), com eixo real 4, contido no eixo y e distância focal 8. Resolução: : Dados: C(0,0); eixo real 4, logo a = 2; dist. Focal 8, logo c = 4; eixo y c2 = a2 + b2 → 42 = 22 + b2 → b2 = 16 - 4 → b2 = 12 . y2 a2 − x2 b2 = 1 → y2 4 − x2 12 = 1 Resposta: A equação reduzida da hipérbole é y2 4 − x2 12 = 1 . 10) Calcule a equação reduzida da Hipérbole de centro C (3, 0), com distância focal 6, contido no eixo x e eixo real 2. Resolução: Dados: C(3,0); eixo real 2, logo a = 1; dist. Focal 6, logo c =3; eixo x c2 = a2 + b2 → 32 = 12 + b2 → b2 = 9 - 1 → b2 = 8 . (x−𝑥0) 2 a2 − (𝑦− 𝑦0) 2 b2 = 1 → (x−3)2 1 − (y−0)2 8 = 1 → (x−3)2 1 − y2 8 = 1 Resposta: A equação reduzida da hipérbole é (x−3)2 1 − y2 8 = 1. Referências: EQUACIONA MATEMÁTICA. Elipse- Cônicas. Disponível em: <https://youtu.be/AQV5O0Go_YE >. Acesso em 12 out. 2019. EQUACIONA MATEMÁTICA. Hipérbole – Cônicas . Disponível em: < https://youtu.be/9xoLazPxV6w>. Acesso em: 12 out. 2019. EQUACIONA MATEMÁTICA. Parábolas – Cônicas . Disponível em: <https://youtu.be/mCcmt5RyfNI.> Acesso em: 12 out. 2019. RIGONATTO, Marcelo. Equação da hipérbole. Disponível em: <https://www.google.com/amp/s/m.mundoeducacao.bol.uol.com.br/amp/matematica/equacao -hiperbole.htm> Acesso em: 13 out. 2019 https://youtu.be/AQV5O0Go_YE https://youtu.be/9xoLazPxV6w https://youtu.be/mCcmt5RyfNI.
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