Exercício de CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA AV 4 +

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1.
		Calcular a área do triângulo cujos os vértices são: A ( -2,3,1) , B( 1,2,3) e C ( 3,-1,2). considere a raiz quadrada de 3 igual a 1,7.
	
	
	
	6,7 u.a
	
	
	9,95 u.a
	
	
	7,6 u.a
	
	
	3,5 u.a
	
	
	5.95 u.a
	
Explicação:
Calcular o módulo do produto vetorial entre AB e AC dividido por 2. Assim temos:
AB=B-A=(3,-1,2)
AC=C-A=(5,-4,1)
                 i      j      k
ABxAC =  3    -1     2   =  -i+10j-12k+5k+8i-3j = 7i+7j-7k = (7,7,-7.
                 5    -4     1
 
Então a área do tiângulo será dada por:  !ABxAC! / 2  =  !(7,7,-7)! / 2  =  V7² + 7² + (-7)²  /  2  = V49+49+49  /  2  = V147 /2 = V3. 7²  /  2  = 7 V3 /2  = 7 x 1,7 / 2 = 11,9 / 2  = 5,95 ua  (unidades de área)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		O produto escalar entre os vetores u=(1,2,3) e v=(3,2,1) é:
	
	
	
	9
	
	
	6
	
	
	10
	
	
	0
	
	
	5
	
Explicação:
u.v = xu.xv + yu.yv + zu.zv
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Sejam os vetores u = ( 3, 2, k ) e v = ( 2, 0, 1 ). O valor de K para que os vetores serem ortogonais é:
	
	
	
	5
	
	
	-5
	
	
	-6
	
	
	6
	
	
	0
	
Explicação:
Aplicação envolvendo produto escalar.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine x de modo que os vetores u=(x, 0, 2) e v=(1, x, 2) sejam ortogonais
	
	
	
	x=2
	
	
	x=0
	
	
	x=-2
	
	
	x=-4
	
	
	x=4
	
Explicação:
Devemos ter: u.v=0 => x+4=0 => x=-4.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Sendo o módulo do vetor  u = 2 , o módulo do vetor v = 3 e o ângulo entre os vetores u e v igual à 120°, calcular o módulo de u - v ao quadrado.
	
	
	
	raiz quadrada de 19
	
	
	raiz quadrada de 18
	
	
	16
	
	
	19
	
	
	18
	
Explicação:
u - v ao quadrado = o módulo de u ao quadrado - 2.u.v + módulo de v ao quadrado. = 4 - 2.(-3) + 9 = 19 = = raiz quadrada de 19.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Dados os vetores u ( -4, -x ) e v ( -2, 3 ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais ?
	
	
	
	3/5
	
	
	8/3
	
	
	5/3
	
	
	-5/3
	
	
	-8/3
	
Explicação:
O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero.Assim:
u.v=0 => (-4,-x).(-2,3)=0 => 8-3x=0 => x=8/3
	
	
	
	 
		
	
		7.
		1. Determine o ângulo formado pelos vetores u=(2, -1, 1) e v=(1, 1, 2)
	
	
	
	30º
	
	
	60º
	
	
	120º
	
	
	45º
	
	
	90º
	
Explicação:
Temos que:
u.v=2-1+2=3
!u!=V6
!v!=V6
Daí: cos ¤ = 3 / V6.V6 = 3/6 = 1/2 => ¤ = 60°
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere os vetores →uu→=(1,-2,3) e →vv→=(1,1,3). Um vetor →ww→ é o produto vetorial entre os vetores →uu→ e →vv→. O vetor →ww→ é:
	
	
	
	(-9,3,3)
	
	
	(-9,0,3)
	
	
	(3,0,9)
	
	
	(-9,3,0)
	
	
	(1,0,3)
	
Explicação:
                                    i     j      k
Temos que: w=uxv=    1   -2     3  =  -6i+3j+k+2k-3i-3j = -9i + 0j + 3k  = (-9 , 0 , 3)
                                    1    1      3