Equação da reta e áreas de triângulos e polígonos

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MATEMÁTICA
F B O N L I N E . C O M . B R
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Professor(a): Fabrício Maia
assunto: Equação da rEta, ÁrEas dE triângulos E Polígonos
frente: MatEMÁtica i
018.270 – 143536/19
AULAS 67 a 69
EAD – ITA-IME
Resumo Teórico
Equação geral da reta
Considerando que dois pontos distintos determinam uma única 
reta (postulado), podemos obter facilmente a representação algébrica 
da reta AB a seguir:
O
A
B
P
r
xxxBxA
y
y
y
B
y
A
Acompanhe:
Se P = (x, y) ∈ R → P, A e B são colineares
x y
x y
x y
x y
A A
B B
A A
= 0 = 0 → 
A B
(y
A
 – y
B 
) x
 
+
 
(x
B
 – x
A
)y + x
A
 y
B
 – x
B
 y
A
 = 0
C
→ 
Logo:
 Ax + By + C = 0 (equação geral da reta)
Equação reduzida da reta
Também podemos escrever a equação geral da reta 
Ax + By + C = 0, com a ≠ 0, da seguinte maneira.
Acompanhe:
Ax + By + C = 0 → y
A
B
x
C
B
y y
x x
x
x y x y
x x
B A
B A
m
B A A B
B A
n
= − − =
−
−




+
−
−



     
y = mx + n (equação reduzida da reta), em que:
m: coeficiente angular;
n: coeficiente linear.
Geometricamente, temos:
α
α
O
A
B
r
xx
B
x
A
y
y
B
y
A
tg
y y
x x
y
x
mB A
B A
α = −
−
= =∆
∆
 (coeficiente angular).
α: inclinação da reta r (ângulo formado pelo eixo x e a reta r, medido 
a partir do eixo x no sentido anti-horário).
Equação segmentária da reta
Sendo r uma reta que não passa pela origem, e intersecta os 
eixos coordenados nos pontos (a, 0) e (0, b), temos:
O x
y
a
b
r 
Se (x, y) ∈ r → 
x y
a
b
x y
0
0
 = 0 → ab – ay – bx = 0 → bx + ay = ab
Logo, x
a
 + y
b
 = 1 (equação segmentária da reta r).
Equações paramétricas da reta
São equações em que as variáveis x e y da representação 
algébrica da reta r não aparecem relacionadas diretamente, isto é, 
são expressas em função de um parâmetro t real.
Vejamos:
Se x = 4 + 2t e y = –3 + t são as paramétricas da reta r, temos 
que t
x
y=
−
= +
4
2
3. Assim, obtemos:
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Módulo de estudo
018.270 – 143536/19
• Equação geral da reta r: x – 2y – 10 = 0
• Equação reduzida da reta r: y = 1
2
x – 5
• Equação segmentária da reta r: x
10
 + 
y
–5
 = 1
Equação fundamental da reta
Considerando-se que m
y
x
= ∆
∆
, para um ponto de coordenadas 
conhecidas (x
o
, y
o
), tem-se:
m
y y
x x
o
o
= −
−
 → (x – x
o
) ⋅ m = y – y
o
 ou y – yo = m(x – xo)
(equação fundamental)
Área de um triângulo
Conhecidos os pontos não colineares A, B e C, podemos 
determinar a área do triângulo ABC a seguir, a partir do cálculo das 
áreas dos trapézios presentes na figura.
O
A
D FE
B
y
C
x
C
 x
A
 x
B
 x
y
B
y
C
y
A
Observando que [ABC] = [CDFB] – [CDEA] – [AEFB] e 
calculando essas áreas em junção das coordenadas dos pontos 
A, B e C, com algumas manipulações, chegaremos a:
S = [ABC] = 1
2
 ⋅ det(M), onde
M
x y
x y
x y
A A
B B
C C
=








1
1
1
Em geral, como a área é positiva, temos que a área do ∆ABC 
é dada por: S = 1
2
 ⋅ |det M|.
Relevante:
I. Se A, B e C são pontos colineares → det M = 0;
II. Método especial para o cálculo da área do triângulo.
Área do ∆ABC = 1
2
 |ν|, em que:
ν = 
x y
x y
x y
x y
A A
B B
C C
A A
 = (x
A
 ⋅ y
B
 + x
B
 ⋅ y
C
 + x
C
 ⋅ y
A
) – (x
B
 ⋅ y
A
 + x
C
 ⋅ y
B
 + x
A
 ⋅ y
C
)
Área de um polígono convexo
Para se calcular a área de um polígono convexo de N lados 
e N vértices cujas coordenadas são conhecidas, deve-se proceder da 
seguinte forma.
A(x
A
, y
A
)
B(x
B
, y
B
)
y
C(x
c
, y
c
)
D(x
D
, y
D
)
E(x
E
, y
E
)N(x
N
, y
N
)
AH
H
1º Escolher um sentido de rotação (horário ou anti-horário) para 
escrever as coordenadas dos vértices no algoritmo.
2º Escolher um ponto de partida (Vértice).
3º Passar por todos os vértices seguindo o sentido escolhido.
4º Fechar o polígono, voltando ao ponto de partida.
Assim, tem-se
x
A
x
B
x
C
x
N
x
A
y
A
y
B
y
C
y
N
y
A
x
A 
y
B
x
B 
y
c
x
N 
y
A
– x
B 
y
A
– x
C 
y
B
– x
A 
y
N
D =


















T
R
O
C
A
O 
S
I
N
A
L
M
A
N
T
E
R
O 
S
I
N
A
L
Observação:
No exemplo, adotamos A como sendo o ponto de partida e 
sentido de rotação, o horário.
Logo:
D = x
A
y
B
 + x
B
y
c
 + ... + x
N
y
A
 – x
B
y
A
 – x
C
y
B
 ... – x
A
y
N
Daí, pode-se efetuar o cálculo da área fazendo-se 
A D= ⋅
1
2
Exercícios
01. Seja A o ponto de intersecção das retas r e s dadas, respectivamente, 
pelas equações x + y = 3 e x – y = –3. Sejam B e C pontos situados 
no primeiro quadrante com B ∈ r e C ∈ s. Sabendo que d(A, B) 
= d (A, C) = 2 , então a reta passando por B e C é dada pela 
equação.
A) 2x + 3y = 1
B) y = 1
C) y = 2
D) x = 1
E) x = 2
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Módulo de estudo
02. Seja ABC um triângulo de vértices A = (1, 4), B = (5, 1) e 
C = (5, 5). O raio da circunferência circunscrita ao triângulo mede, 
em unidades de comprimento,
A) 
15
8
 B) 5 17
4
C 
3 17
5
 D) 
5 17
8
E) 
17 5
8
03. Determine a área da figura plana situada no primeiro 
quadrante e delimitada pelas curvas ( )y x y
x
− − + −



=2
2
2 0 e 
x2 – 2x + y2 – 8 = 0
04. A área do polígono, situado no primeiro quadrante, que 
é delimitado pelos eixos coordenados e pelo conjunto 
{(x, y) ∈ R2 : 3x2 + 2y2 + 5xy – 9x – 8y + 6 = 0}, é igual a:
A) 6 B) 
5
2
C) 2 2 D) 3
E) 
10
3
05. No plano cartesiano são dados o ponto P – (0, 3) e o triângulo de 
vértices A – (0, 0), B – (3, 0) e C – (3, 2). Determine um ponto N 
sobre o eixo dos x de modo que a reta que passa por P e N divida 
o triângulo ABC em duas regiões de mesma área.
06. Se a reta de equação x – a divide o quadrilátero cujos vértices são 
(0, 1), (2, 0), (4, 0) e (6, 4) em duas regiões de mesma área, então 
o valor de a é igual a
A) 2 5 1− B) 2 6 1− 
C) 3 5 4− D) 2 7 2−
E) 3 7 6−
07. A área do quadrilátero definido pelos eixos coordenados as retas 
r : x – 3y + 3 = 0 e s : 3x + y – 21 = 0, em unidades de área, é 
igual a
A) 
19
2
 B) 10
C) 
25
2
 D) 
27
2
E) 29
2
08. Considere no plano cartesiano xy o triângulo delimitado pelas 
retas 2x – y, x – 2y e x = 2y + 10. A área desse triângulo mede
A) 15
2
 B) 13
4
C) 
11
6
 D) 9
4
E) 
7
2
09. A área de um triângulo é de 4 unidades de superfície, sendo dois 
de seus vértices os pontos A:(2, 1) e B: (3, –2). Sabendo que o 
terceiro vértice encontra-se sobre o eixo das abcissas, pode-se 
afirmar que suas coordenadas são
A) −




1
2
0 5 0, ( , )ou B) −


1
2
0 4 0, ( , )ou
C) −




1
3
0 5 0, ( , )ou D) −




1
3
0 4 0, ( , )ou
E) −


1
5
0 3 0, ( , )ou
10. As retas y = 0 e 4x + 3y + 7 =0 são retas suportes das diagonais 
de um paralelogramo. Sabendo que estas diagonais medem 4 cm 
e 6 cm, então, a área deste paralelogramo, em cm2, vale:
A) 
36
5
 B) 
27
4
C) 
44
3
 D) 
48
3
E) 
48
5
11. Sejam os pontos A(0, 0), B(–1, 1), C(1, 2), D(4, 1) e E 3
1
2
,



 . 
A reta r passa por A e corta o lado CD, dividindo o pentágono 
ABCDE em dois polígonos de mesma área. Determine a soma das 
coordenadas do ponto de interseção da reta r com a reta que liga 
C e D.
A) 
25
7
 B) 
51
14
 
C) 
26
7
 D) 
53
14
E) 
27
7
12. No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, 
escolhida uma unidade de comprimento (u ⋅ c), a medida em 
(u ⋅ c)2 da área da região do plano limitada pelas retas 
x – 3y – 0, 3x – y –0 e x + y – 4 – 0 é
A) 8 B) 9
C) 4 D) 6
E) 8
13. Considere os pontos A = (0, 6) e B = (12, 0). Tomamos um ponto 
P sobre o segmento de reta AB . Considere o retângulo R com 
um vértice na origem, um vértice em P e lados sobre os eixos x e 
y conforme a figura a seguir
y
6
0
A
P
B
12 x
 
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Módulo de estudo
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A) Encontre a equação da reta r que passa pelos pontos A e B.
B) Sejam (x, y) as coordenadas do ponto P. Escreva, emfunção 
apenas de x, uma fórmula para a área do retângulo R.
C) Qual é a maior área possível para o retângulo R?
14. A forma de uma montanha pode ser descrita pela equação 
y = –x2 + 17x – 66 (6 ≤ x ≤ 11). Considere um atirador munido de 
um rifle de alta precisão, localizado no ponto (2, 0). A partir de que 
ponto, na montanha, um indefeso coelho estará 100% seguro?
A) (8, 9) B) (8, 6)
C) (7, 9) D) (7, 5)
E) (7, 4)
15. Os pontos A(0, 1), B(1, 1), C(1, 0) e D(–k, -k), com k > 0, formam o 
quadrilátero convexo ABCD, com eixo de simetria sobre a bissetriz 
dos quadrantes ímpares.
y
–K
–KD
A
B
C
0 1
1
y = x
x
 O valor de k para que o quadrilátero ABCD seja dividido em dos 
polígonos de mesma área pelo eixo y é igual a
A) 
2 5
4
+
 B) 
3 2
4
+
C) 
1 2
2
+
 D) 1 3
2
+
E) 
1 5
2
+
Gabarito
01 02 03 04 05
D D – B – 
06 07 08 09 10
D D A C E
11 12 13 14 15
C C – B E
– Demonstração
SUPERVISOR(A)/DIRETOR(A): MARCELO PENA – AUTOR(A): FABRÍCIO MAIA
DIGITADOR(A): VICENTINA – REVISOR(A): ??