Um Curso de Cálculo e Equações Diferenciais com Aplicações

.
Como b, x, y ∈ Q enta˜o y′(x) avaliada em P = (x, y) e´ um nu´mero Racional, que
denoto aqui de A.
A equac¸a˜o da reta tangente e´ do tipo:
rP : y = Ax+B
onde o valor do coeficiente linear B se obteˆm de:
y = Ax+B ⇔ B = y − Ax,
e portanto B tambe´m e´ um nu´mero Racional.
As coordenadas x dos pontos na intersecc¸a˜o F (x, y) ∩ rP sa˜o as soluc¸o˜es de:
F (x, y) = 0 e y = Ax+B,
ou seja, soluc¸o˜es de
(Ax+B)2 − x3 − b x− a = 0,
ou, equivalentemente,
−x3 + A2 x2 + (2AB − b) x+B2 − a = 0.
Agora e´ o momento de lembrar que a coordenada x de P = (x, y) e´ uma ra´ız dupla
ou tripla desse polinoˆmio, ja´ que rP e´ tangente a` curva F (x, y) nesse ponto (tripla
seria o caso de um ponto de inflexa˜o).
CAPI´TULO 15. DERIVADAS DE FUNC¸O˜ES IMPLI´CITAS 215
No caso em que x e´ ra´ız dupla exatamente, pelo Teorema 4.1 do Cap´ıtulo 13:
−x3 + A2 x2 + (2AB − b) x+B2 − a = (x− x)2 · q(x).
onde o grau do polinoˆmio q(x) e´ 3 − 2 = 1. Ademais os coeficientes de q(x) sa˜o
Racionais (Teorema 7.1, Cap´ıtulo 6 e Digressa˜o).
Ou seja, q(x) = q1 x+ q0, com q0, q1 ∈ Q e a ra´ız de q(x) e´
−q0
q1
.
O ponto Q 6= P buscado e´ portanto:
Q = (
−q0
q1
, A (
−q0
q1
) +B ),
que nitidamente tem coordenadas Racionais.
Se P e´ ponto de inflexa˜o, enta˜o Q = P , ou seja,
rP ∩ F (x, y) = {P,Q} = {P}.
�
Exemplo 4.1. Considere a curva analisada por Billing, em 1937:
y2 − x3 + 82 x = 0.
Fora o o´bvio (0, 0) ha´ treˆs pontos com coordenadas Racionais relativamente simples
P1 = (−1, 9), P2 = (−8, 12), P3 = (49
4
,
231
8
).
A Figura a seguir mostra como o Maple plota para essa curva:
15
y
50
10
x
5-5
0
-50
20
100
-100
0
Vou implementar neste Exemplo o que a prova da Afirmac¸a˜o 4.1 nos ensinou (as
contas tediosas foram feita com o Maple).
4. TANGENTES, PONTOS RACIONAIS DE CU´BICAS E CO´DIGOS
SECRETOS 216
A reta tangente ao gra´fico local y = y(x) de F (x, y) = 0 em P1 = (−1, 9) e´:
rP1 : −
79
18
x+
83
18
.
A intersecc¸a˜o rP1 ∩ F (x, y) = {P1, Q1} tem
Q1 = (
6889
324
,−517339
5832
) ∼ (21,−88).
Ver a Figura:
y
50
100
0
-100
x
1510 205-5-10
-50
0
Agora podemos continuar o processo.
Tomo Q1, a tangente rQ1 e determino rQ1 ∩ F (x, y) = {q1, Q2} onde Q2 tera´
coordenadas Racionais.
Fac¸o as contas e obtenho:
rQ1 : −
44588977
6208068
x+
4653507299
72701712
Q2 = (
3143435938720609
346860974633616
, −6994054838592555031151
6460009551215289641664
) ∼ (9,−1).
A Figura a seguir mostra isso:
CAPI´TULO 15. DERIVADAS DE FUNC¸O˜ES IMPLI´CITAS 217
y
50
100
x
0
2010-10 155
-100
-50
-5 0
Um Teorema de Billing diz que se continuamos o processo, agora em Q2 e assim
sucessivamente, produzimos uma infinidade de pontos da curva com coordenadas
Racionais.
O mesmo ocorreria se tive´ssemos comec¸ado com P2 ou P3.
4.1. Co´digos secretos.
Agora imagine que algue´m quer criar uma operac¸a˜o de duplicac¸a˜o muito estranha.
Poderia definir que, para4
P1 := (−1, 9),
2 ? P1 := Q1 = (
6889
324
,−517339
5832
).
E depois, do mesmo modo5
2 ? Q1 := Q2
Ou seja:
4 ? P1 = (
3143435938720609
346860974633616
, −6994054838592555031151
6460009551215289641664
).
Agora note que:
• 4 ? P1 e´ obtido a partir de P1 de modo exato (por ser Racional), computa-
cionalemte de modo ra´pido, apesar de ser completamente diferente de P1
• mas a natureza de 4 ? P1 torna-se impenetra´vel se na˜o digo quem e´ P1 ou
qual a equac¸a˜o da cu´bica que usei.
4De fato na teoria de curvas el´ıpticas se tomaria no lugar de Q1 o ponto da cu´bica que e´ sime´trico
de Q1 em relac¸a˜o ao eixo dos x.
5Novamente, se usa de fato que o ponto da cu´bica que e´ sime´trico de Q2 em relac¸a˜o ao eixo dos
x.
5. DERIVAC¸A˜O IMPLI´CITA DE SEGUNDA ORDEM 218
• essa enorme assimetria entre a passagem
P1 7→ 4 ? P1
e a passagem
4 ? P1 7→ P1
e´ a base de um co´digo secreto poderoso.
O leitor que se sentiu instigado deve procurar enta˜o estudar a teoria de criptografia
sobre as chamadas cu´bicas na forma de Wierstrass.
5. Derivac¸a˜o impl´ıcita de segunda ordem
Na Sec¸a˜o 5 do Cap´ıtulo 3 associamos a Figura:
y
1
2
0
-2
-1
x
21,50,50 1-1 -0,5
a` curva y2 − x3 − 1 = 0. Mas tem algo que na˜o ficou plenamente justificado. Parece
na Figura que ha´ 2 pontos de inflexa˜o, em torno de x ∼ 0.8.
Vamos considerar ao inve´s daquela curva, outra bem parecida (mas mais adequada
para nossas contas):
F (x, y) = y2 − x3 − 4x = 0.
A inflexa˜o deve aparecer onde a segunda derivada y′′(x) muda de sinal, ou seja
onde y′′(x) = 0.
So´ que ja´ sabemos que aqui na˜o se trata de um gra´fico, mas apenas de uma curva.
Por isso precisamos da derivac¸a˜o impl´ıcita, so´ que agora para calcular a segunda
derivada.
Ja´ sabemos que se y 6= 0:
y′(x) = −
∂F
∂x
∂F
∂y
=
3x2 + 4
2y
.
Enta˜o calculo
y′′(x) = (
3x2 + 4
2y
)′
pela regra do quociente, obtendo:
y′′(x) =
12x · y − (3x2 + 4) · 2y′(x)
4y2
=
CAPI´TULO 15. DERIVADAS DE FUNC¸O˜ES IMPLI´CITAS 219
=
12x · y − (3x2 + 4) · 2( 3x2+4
2y
)
4y2
=
=
12xy2 − 9x4 − 24x2 − 16
4y3
.
Preciso ver as ra´ızes de y′′(x), ou seja, as ra´ızes de
12x(x3 + 4x)− 9x4 − 24x2 − 16
ja´ que posso substituir
y2 = x3 + 4x.
Ora,
12x(x3 + 4x)− 9x4 − 24x2 − 16 = 3x4 + 24x2 − 16,
que sabemos resolver (pense em z = x2 e resolva 15z2 + 72z − 16 = 0).
Assim obtenho as ra´ızes:
−2
3
√
−9 + 6
√
3,
2
3
√
−9 + 6
√
3, −2
3
√
−9− 6
√
3,
2
3
√
−9− 6
√
3,
das quais a u´nica Real e positiva e´
x :=
2
3
√
−9 + 6
√
3 ∼ 0.78.
Para este valor de x ha´ dois valores de y na curva y2 = x3 + 4x:
2
9
√
6(−9 + 6
√
3)3/2 + 54
√
−9 + 6
√
3 ∼ 1.9
e
−2
9
√
6(−9 + 6
√
3)3/2 + 54
√
−9 + 6
√
3 − 1.9
Agora, ja´ que ja´ temos y′(x), e´ um trabalho tedioso achar a equac¸a˜o da reta tangente
em por exemplo:
(
2
3
√
−9 + 6
√
3 ,
2
9
√
6(−9 + 6
√
3)3/2 + 54
√
−9 + 6
√
3 ).
Com essa equac¸a˜o posso plotar a cu´bica e sua tangente, que mostra bem que ha´
uma inflexa˜o nesse ponto:
6. EXERCI´CIOS 220
y
4
8
0
-8
x
51 40-2
-4
2 3-1
6. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 6.1. (resolvido)
Considere F (x, y) = y2 − x3 = 0. Considere o ponto (1, 1) dessa curva.
i) usando o Teorema 2.1 verifique que perto de (1, 1) essa curva e´ o gra´fico de uma
func¸a˜o y = y(x).
ii) calcule a derivada da func¸a˜o do item i) em (1, 1).
iii) note que (1,−1) tambe´m esta´ na curva F (x, y) = y2 − x3 = 0 e portanto ela
na˜o e´ globalmente um gra´fico de y = y(x).
Exerc´ıcio 6.2. Considere a cu´bica F (x, y) = y2 − x3 − 4x = 0.
Um fato muito bonito e´ que esta curva so´ tem 3 pontos com coordenadas Racionais:
(0, 0), (2, 4) e (2,−4).
Suponha esse fato.
Por outro lado ∂F (x,y)
∂y
= 2y na˜o se anula em (2, 4) nem em (2,−4), o que nos da´
a oportunidade de usar o me´todo das tangentes (Afirmac¸a˜o 4.1) para obter pontos
racionais a partir deles.
i) conclua sem fazer nenhuma conta que as retas tangentes a F (x, y) em (2, 4) e
em (2,−4) passam pela origem (0, 0).
ii) fac¸a as contas e obtenha as equac¸o˜es dessas duas retas tangentes.
CAP´ıTULO 16
Func¸o˜es inversas e suas derivadas
Vimos na Sec¸a˜o 1.2 do Cap´ıtulo 5 da Parte 1, que quando referidos ao mesmo
sistema cartesiano os gra´ficos de y = f(x) e de sua inversa y = f−1(x) , enta˜o elas se
relacionam por uma reflexa˜o na diagonal y = x.
Logo uma reta tangente ao gra´fico y = f(x) de coeficiente angular a = B/A 6= 0 se
transforma numa reta tangente ao gra´fico refletido, mas agora de coeficiente angular
1
a
= A/B (ja´ que os acre´scimos na coordenada x e y que definem A e B ficam
invertidos quando refletimos na diagonal).