Um Curso de Cálculo e Equações Diferenciais com Aplicações

origem, ou na˜o.
Exerc´ıcio 6.6. Considere a Figura a seguir, que da´ o gra´ficos de f(x) = arctan(x)
(func¸a˜o inversa da tangente), de sua derivada f ′(x) = 1
1+x2
(assuma que sua derivada
CAPI´TULO 16. FUNC¸O˜ES INVERSAS E SUAS DERIVADAS 233
e´ essa) e de sua segunda derivada f ′′(x), restritas ao eixo positivo x > 0.
1
0
0,5
2,5
-0,5
x
3,5321 1,50,50
Vemos que o gra´fico de f ′(x) = 1
1+x2
tem um ponto de inflexa˜o, ou seja, onde as
inclinac¸o˜es de suas tangentes tem um mı´nimo e depois va˜o aumentando, ficando cada
vez mais pro´ximas de zero quando x >> 1. Dito de outro modo, um ponto onde a
segunda derivada f ′′(x) = (f ′(x)′) teˆm um mı´nimo.
Para encontrar onde e´ esse mı´nimo de f ′′(x), calcule pela regra do quociente a
terceira derivada f ′′′(x) e procure por seus zeros ! (Va˜o ser duas soluc¸o˜es, uma positiva
e outra negativa, pois o gra´fico de f ′(x) = 1
1+x2
e´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo dos y).
Exerc´ıcio 6.7. Considere a func¸a˜o g : (−1, 1)→ R dada por
g(y) =
y
1− y , se y ∈ [0, 1),
g(y) =
y
1 + y
, se y ∈ (−1, 0].
(Chamo a varia´vel de y pois foi assim que a vimos na Parte 1 do Curso). Ja´ vimos
que g e´ uma tremenda expansa˜o, pois a imagem do intervalo pela g e´ toda a reta R !
Prove que a derivada da g em y ∈ [0, 1) e´ 1
(1−y)2 e que a derivada da g em y ∈ (−1, 0]
e´ de 1
(1+y)2
. Chamamos essas derivadas de taxas de expansa˜o.
Exerc´ıcio 6.8. Comprove geometricamente que:
arccos(x) = − arcsin(x) + pi
2
, ∀x ∈ [−1, 1].
Para isso:
i) fac¸a o gra´fico qualitativamente correto do seno restrito a [−pi
2
, pi
2
],
ii) reflita o gra´fico de i) na diagonal para obter o de arcsin.
iii) reflita no eixo dos x o gra´fico de ii) para obter o de − arcsin
iv) Translade o gra´fico de iii) verticalmente por pi
2
para obter o de − arcsin+pi
2
.
v) reflita o gra´fico de iv) na diagonal para obter um gra´fico qualitativamente
correto do cosseno a [0, pi].
Exerc´ıcio 6.9. Descreva de modo qualitativamente correto a curva x
1
2 + y
1
2 = a
1
2 ,
para a > 0 fixado e x, y ≥ 0.
Para isso mostre que:
i) y = y(x) = (a
1
2 −x 12 )2 e´ deriva´vel para 0 < x ≤ a e tem y′(x) ≤ 0 em 0 < x ≤ a.
ii) y′(a) = 0, ou seja, o gra´fico tangencia o eixo x em x = a.
iii) por simetria se obte´m o mesmo tipo de fenoˆmeno para x = x(x) = (a
1
2 − y 12 )2.
6. EXERCI´CIOS 234
iv) a inclinac¸a˜o da curva no ponto (a
4
, a
4
) e´ −1.
v) sempre o gra´fico y = y(x) tem concavidade para cima.
Exerc´ıcio 6.10. Se algue´m pede para trac¸armos qualitativamente o gra´fico de y =
x6 − 6x4 + 9x2 pode parecer muito dif´ıcil.
Mas se notamos que y = x6 − 6x4 + 9x2 = (x3 − 3x)2 enta˜o o que aprendemos na
prova da Afirmac¸a˜o 2.1 torna a tarefa fa´cil, desde que saibamos o de y = x3 − 3x.
CAP´ıTULO 17
Taxas relacionadas
Uma utilidade da regra da derivada da composta e´ a de permitir estabelecer de
modo quantitativamente exato como a variac¸a˜o de uma grandeza afeta a variac¸a˜o de
outra.
1. Como varia um aˆngulo
Vou considerar primeiro uma interessante aplicac¸a˜o da derivada do arcotangente,
que vimos no Cap´ıtulo anterior.
Um objeto tem posic¸a˜o P (t) = (x(t), y(t)) no plano em cada instante t. Ambas
coordenadas podem mudar com o tempo e suas velocidades em cada instante - suas
derivadas - sa˜o denotadas x′(t) e y′(t) (que suponho existem).
Na origem algue´m observa o objeto com uma caˆmera e o aˆngulo anti-hora´rio que a
caˆmera faz com o eixo dos x sera´ denotado θ(t). Que suponho e´ uma func¸a˜o deriva´vel
de t.
Como mostra a figura, onde o vetor em preto da´ a posic¸a˜o em cada instante e o
vetor em vermelho indica a velocidade em cada instante:
A questa˜o e´: como muda a caˆmera quando o objeto muda de posic¸a˜o ? Ou seja,
como x′(t) e y′(t) e a posic¸a˜o do objeto em cada instante afetam θ′(t) ?
Supondo para simplificar que
x(t) > 0, y(y) ≥ 0 e 0 ≤ θ(t) < pi
2
∀t,
enta˜o:
θ(t) = arctan(
y(t)
x(t)
).
Derivo em t, pela regra da composta:
θ′(t) = arctan′(
y(t)
x(t)
) =
1
1 + ( y(t)
x(t)
)2
· (y(t)
x(t)
)′(t) =
235
2. COMO VARIA UMA DISTAˆNCIA 236
=
y′(t) · x(t)− y(t) · x′(t)
x(t)2 + y(t)2
.
Essa fo´rmula da´ va´rias informac¸o˜es, que servem para resolver va´rios problemas
pra´ticos:
• se o objeto se move apenas verticalmente, enta˜o x ≡ x > 0, x′(t) ≡ 0 e
quando esta´ numa altura y(t) num instante t:
θ′(t) =
y′(t) · x
x2 + y(t)2
,
o que se simplifica ainda mais quando y(t) = 0 para:
θ′(t) =
y′(t)
x
.
• se o objeto se move apenas horizontalmente, enta˜o y ≡ y ≥ 0, y′(t) ≡ 0 e
quando esta´ numa posic¸a˜o x(t) num instante t:
θ′(t) =
−y · x′(t)
x(t)2 + y2
.
• quando o objeto se move radialmente temos:
y′(t)
x′(t)
=
y(t)
x(t)
e enta˜o:
θ′(t) = 0.
• quando objeto se move num c´ırculo de raio r > 0 centrado na origem enta˜o:
θ′(t) =
y′(t) · x(t)− y(t) · x′(t)
r2
.
Ha´ va´rios modos de descrever esse movimento, por exemplo com:
(x(t), y(t)) = (r · cos(k · t) , r · sin(k · t)), k ∈ R
pois claramente x2(t)+y2(t) ≡ r2. Enta˜o nesse caso teremos, usando de novo
a regra da derivada da composta:
θ′(t) =
y′(t) · x(t)− y(t) · x′(t)
r2
= k, ∀t
2. Como varia uma distaˆncia
Imagine dois objetos cujas posic¸o˜es P1 = (x1(t), y1(t)) e P2 = (x2(t), y2(t)) variam
ao longo de segmentos de retas c1 e c2 que se encontram em aˆngulo α (constante)
num ponto I, como na figura a seguir:
CAPI´TULO 17. TAXAS RELACIONADAS 237
α
P
P2
1
I
c
d
c 1
2
A questa˜o e´: como variam as distaˆncias relativas umas a`s outras ?
Denoto d(t) a distaˆncia entre P1 e P2. Temos pela lei dos cossenos (Afirmac¸a˜o
3.1, na pro´xima Sec¸a˜o):
d2(t) = c21(t) + c
2
2(t)− c1(t) · c2(t) cos(α).
Note que se α = pi
2
(aˆngulo reto) o tamanho d(t) e´ o que se espera por Pita´goras. Se
0 < α < pi
2
(aˆngulo agudo) enta˜o d(t) fica menor que o que se espera por Pita´goras,
mas se pi
2
< α < pi (aˆngulo obtuso) enta˜o d(t) fica maior que o que se espera por
Pita´goras.
Enta˜o:
2 · d(t) · d′(t) = 2 · c1(t) · c′1(t) + 2 · c2(t) · c′2(t)− [c′1(t) · c2(t) + c1(t) · c′2(t)] · cos(α),
ou seja:
d′(t) =
c1(t) · c′1(t) + c2(t) · c′2(t)− cos(α)2 · [c′1(t) · c2(t) + c1(t) · c′2(t)]
d(t)
.
Essa fo´rmula se presta para resolver va´rios problemas pra´ticos, mesmo em casos
bem particulares:
• Se
c2(t) ≡ C e α = pi
2
.
Enta˜o c′2(t) ≡ 0 e cos(α) = 0 e obtemos da expressa˜o acima:
2 · d(t) · d′(t) = 2 · c1(t) · c′1(t),
ou seja,
d′(t) =
c1(t)
d(t)
· c′1(t).
• quando uma escada desliza ao longo de uma parede enta˜o d(t) ≡ d > 0 e´ o
tamanho da escada e α = pi
2
. Enta˜o a expressa˜o acima vira:
0 = c1(t) · c′1(t) + c2(t) · c′2(t)
que diz como o aumento/diminuic¸a˜o da posic¸a˜o de um extremo repercute no
outro extremo da escada.
3. LEI DOS COSSENOS E PRODUTO ESCALAR DE VETORES 238
3. Lei dos cossenos e produto escalar de vetores
Falta explicar de onde surge a:
Afirmac¸a˜o 3.1. (Lei dos cossenos)
Considere um triaˆngulo 4ABC com aˆngulo α em A.
Enta˜o
BC2 = AB2 + AC2 − 2 · AB · AC · cos(α).
Demonstrac¸a˜o.
Como para aˆngulo reto a fo´rmula e´ o Pita´goras, o correto seria considerar aˆngulos
agudos e obtusos. Por brevidade considero apenas o caso de aˆngulo agudo α e deixo
o caso de obtuso como exerc´ıcio para o leitor.
Escolho H no segmento AC tal que BH seja ortogonal a AC em H , como mostra
a figura:
α
A
B
H
C
Enta˜o Pita´goras se aplica em dois triaˆngulos retaˆngulos:
AB2 = BH2 + AH2 e BC2 = BH2 + CH2.
De onde:
BC2 − AB2 = CH2 −AH2.
Mas
CH = CA−AH
e portanto:
BC2 − AB2 = (CA2 − 2 · CA · AH + AH2)−AH2 = CA2 − 2 · CA · AH,
ou seja:
BC2 = AB2 + AC2 − 2 · AC · AH.
Para terminar note que:
AH = AB · cos(α).
�
A lei dos cossenos embasa as propriedades