MEcanica 17 abr 2020

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UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
Movimentos de um Corpo Rígido
Os diversos tipos de movimento de um corpo rígido podem ser convenientes
agrupados como se segue:
1. TRANSLAÇÃO
Um movimento é de translação quando qualquer reta, unindo dois pontos
quaisquer do corpo, conserva a mesma direção durante o movimento. Na
translação todos os pontos materiais que forma o corpo deslocam-se segundo
trajetórias paralelas.
Fig. 1 – Translação Retilínea Fig. 2 – Translação Curvilínea
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
Movimentos de um Corpo Rígido
2. ROTAÇÃO
Neste movimento, os pontos materiais que formam o corpo rígido se deslocam
em planos paralelos ao longo de circunferências, cujos centros estão sobre uma
mesma reta fixa. Se essa reta, chamada de EIXO DE ROTAÇÃO, intercepta o
corpo rígido, os pontos materiais situados sobre ela possuem velocidade e
aceleração nulas .
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
Movimentos de um Corpo Rígido
3. MOVIMENTO PLANO GERAL
É o movimento em que todos os pontos materiais do corpo se deslocam em planos
paralelos. Qualquer movimento plano que não seja de ROTAÇÃO ao redor de um eixo
fixo e nem de TRANSLAÇÃO, considera-se como um MOVIMENTO PLANO GERAL.
A seguir dois exemplos de movimento plano geral:
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
Movimentos de um Corpo Rígido
4. MOVIMENTO EM TORNO DO PONTO FIXO
É o movimento tridimensional de um corpo rígido com um ponto fixo 0.
Um exemplo típico é o movimento de um PIÃO sobre o solo.
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
Movimentos de um Corpo Rígido
5. MOVIMENTO GERAL
Qualquer movimento de um corpo rígido que não esteja incluído nos tipos
anteriormente mencionados é denominado MOVIMENTO GERAL.
5.1 TEOREMA DE CHASLES
O movimento plano geral de um corpo pode sempre ser considerado como a
combinação dos movimentos de translação e de rotação - lei de Chasles.
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
TRANSLAÇÃO
Seja um corpo rígido animado de um movimento de TRANSLAÇÃO (retilínea ou
curvilínea) e sejam A e B dois quaisquer de seus PONTOS. Chamando de rA e rB os
VETORES DE POSIÇÃO de A e B em relação a um sistema de referência fixo e de
rB/A o VETOR que une A e B.
APP
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
TRANSLAÇÃO
Derivando em relação t TEMPO, o VETOR rB/A deve ser constante, já que A e B
pertencem ao corpo rígido. Assim, a derivada de rB/A é NULA temos:
Derivando novamente:
Logo, quando um corpo rígido está em TRANSLAÇÃO, todos os pontos
do corpo têm a mesma ACELERAÇÃO em qualquer instante dado.
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
ROTAÇÃO
Considere um corpo rígido que gira em torno de um
eixo fixo AA’. Seja P um ponto do corpo e r seu
vetor de posição em relação a um sistema de
referência fixo. Por conveniência, vamos assumir
que o sistema de referência esteja centrado no
ponto 0 sobre AA’ e que o eixo z coincida com
AA’. Seja B a projeção de P sobre AA’. Como P
precisa permanecer a uma distância constante de
B, ele descreverá um círculo de centro B e de raio
r sen ø, onde ø representa o ângulo formado
entre r e AA’.
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
ROTAÇÃO
A posição de P e de todo corpo fica totalmente
definida pelo ângulo ɵ que a linha BP forma com o
plano zx. O ângulo ɵ é denominado de
coordenada angular corpo e é definido como
positivo quando visto no sentido anti-horário a
partir de A’. A coordenada angular será expressa
em radianos (rad) ou, ocasionalmente, em graus (°)
ou revoluções (rev).
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
ROTAÇÃO
A VELOCIDADE v = dx/dt de uma partícula P é um vetor tangente á trajetória de P e de
INTENSIDADE v = ds/dt. O COMPRIMENTO Δs do arco descrito por P quando o corpo gira de
um ÂNGULO Δɵ é:
e dividindo ambos os membros por Δt, obtemos no limite, com Δt tendendo a zero,
onde ɵ representa a derivada temporal de ɵ.
.
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
ROTAÇÃO
Se traçássemos em AA’ um VETOR w = ɵk
efetuássemos o produto vetorial w x r .
Então,
O VETOR
orientado ao longo do eixo de rotação, é
denominado velocidade angular do corpo, sendo
igual em intensidade à taxa de variação ɵ da
coordenada angular.
Seu sentido pode ser obtido pela REGRA DA MÃO
DIREITA.
.
.
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
ROTAÇÃO
A aceleração a da partícula P será determinada, a
seguir:
O vetor dw/dt é representada por é denominado
aceleração angular do corpo.
Sendo k a constante em intensidade e direção,
temos:
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
ROTAÇÃO
A rotação de um corpo rígido animado em
torno de um eixo fixo pode ser definida pelo
movimento de uma PLACA REPRESENTATIVA
em um plano de referência perpendicular ao
eixo de rotação.
ROTAÇÃO DE PLACA REPRESENTATIVA
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
ROTAÇÃO
Substituindo:
ROTAÇÃO DE PLACA REPRESENTATIVA
Em:
Decompondo a nas direções TANGENCIAL
e NORMAL, teremos:
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
ROTAÇÃO
1. MOVIMENTO DE ROTAÇÃO UNIFORME
Este caso se caracteriza por uma aceleração NULA. Assim, a velocidade angular é
constante, e a coordenada angular é dada pela expressão:
MOVIMENTOS DE ROTAÇÃO
2. MOVIMENTO DE ROTAÇÃO UNIFORMEMENTE ACELERADO
Neste caso a aceleração angular é constante.
De
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
ROTAÇÃO
O peso B está ligado a uma polia dupla por um dos dois
cabos inextensíveis mostrados na figura ao lado. O
movimento da polia é controlado pelo cabo C, que tem
uma aceleração constante de 0,229 m/s² e uma velocidade
inicial de 0,305 m/s, ambas para a direita.
1º EXERCÍCIO DE ROTAÇÃO
Determine:
a) O número de revoluções executadas pela polia em 2 s.
b) A velocidade e a variação da posição do peso B depois de 2 s.
c) A aceleração do ponto D na periferia da polia interna, no instante inicial.
De
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
a) Movimento da Polia - Uma vez que o cabo é inextensível (o
cabo não escorrega sobre a polia), a velocidade do ponto D é
igual à velocidade do ponto C e a componente tangencial da
aceleração D é igual à aceleração de C.
Observando que a distância de D ao centro da polia é de 7,62 cm:
30,5 cm/s
7,62 cm
4,00 rad/s
7,62 cm
22,9 cm/s²
3,00 rad/s²
De
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
Usando as equações do MOVIMENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO, obtemos, para t
= 2s,
a) O número de revoluções executadas pela polia em 2 s.
De
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
b) Movimento da carga B - Usando as seguintes
relações entre movimento linear e angular, com r
= 12,7 cm:
= (10 rad/s) . (0,127 m)
= (14 rad) . (0,127 m)
b) A velocidade do peso B depois de 2 s.
b) A variação da posição do peso B depois de 2 s.
De
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
c) Aceleração do ponto D em t = 0 – O componente
tangencial de aceleração é:
Como, em t = 0, 4,00 rad/s , o compo -
nente normal da aceleração é:
(4 rad/s)² . (0,0762 m)
De
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
O módulo, a direção e o sentido da aceleração total
podem ser obtidos da figura ao lado e da
trigonometria:
1,22 m/s²
0,229 m/s²
= 5,3275
ø = arc tg 5,3275 ø = 79,4°
ø = 
1,22 m/s²
0,9829
c) A aceleração do ponto D na periferia da polia interna, no instante inicial.
De
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
Quando um motor elétrico é ligado, ele alcança sua velocidade
nominal de 3.300 rpm em 6s, e quando é desligado, o motor livre
atinge o repouso em 80s. Admitindo um movimento uniformemente
acelerado.
ROTAÇÃO
2º EXERCÍCIO DE ROTAÇÃO
Determine:
a) O número de revoluções que o motor executa para alcançar sua velocidade nominal
b) O número de revoluções que o motor executa para atingir o repouso.
3300 rev
1 min
3300 rev
60 s
55 rev
s
1 rev = 2π rad 
55 . 2π rad
s
110 π rad/sDe
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
Usando as equações do MOVIMENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO, obtemos, para t
= 6s,
a) O número de revoluções que o motor executa para alcançar
sua velocidade nominal
De
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
Quando
b) O número de revoluções que o motor executa para atingir o repouso.
De
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
Um dispositivo simples de acionamento por atrito
consiste em dois discos A e B. Inicialmente, o disco A
tem uma velocidade angular de 500 rpm e o disco B
encontra-se em repouso. Sabe-se que o disco A
chegará livremente ao repouso em 60 s. Entretanto,
em vez de esperar até que ambos os discos estejam
em repouso para pô-los em contato, uma aceleração
angular constante de 2,5 rad/s² é aplicada ao disco B
no sentido horário.
ROTAÇÃO
3º EXERCÍCIO DE ROTAÇÃO
Determine:
a) Em que instante os discos podem ser postos em contato para não haver deslizamento.
b) A velocidade angular de cada disco quando o contato é estabelecido.
De
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
Disco A
Disco A chegará livremente ao repouso em 60 s
60 s
- 52.36 rad/s
=
Disco B
No instante t 0 + 2,5 rad/s².t
500 rev
1 min
1 rev = 2π rad 
8,33 rev
s
500 rev
60 s
8,33 . 2π rad
s
De
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
Disco A
a) Em que instante os discos podem ser postos em contato para não haver deslizamento.
3 in 3 x 25,4 mm 76,2 mm 80 mm
b) A velocidade angular de cada disco quando o contato é estabelecido.
43,1 rad/s
2π rad
6,863 x 60
0 + 2,5(10,61)
26,53 rad/s
2π rad
4,225 x 60
rB = 5 in = 5 x 25,4 mm = 127 mm = 130 mm
(130 mm) (2,5t) 325t
394,813t 10,61 s
(10,61)
43,1 412 rpm
(10,61)
26,53 rad/s 254 rpm
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
MOVIMENTO PLANO GERAL
Movimento Plano Geral é um movimento plano que não é uma TRANSLAÇÃO nem uma ROTAÇÃO.
Todavia, um MOVIMENTO PLANO GERAL pode ser sempre considerado como a soma de uma translação e
de uma rotação.
Uma roda que rola sobre uma pista reta, durante um certo intervalo de tempo, dois pontos A e B, se
moverão de A1 até A2 e de B1 até B2 respectivamente. O mesmo resultado poderia ser obtido por meio de
uma translação que levaria A e B para A2 e B’1 (com a linha AB permanecendo na vertical), seguida de
uma rotação em torno de A para trazer B até B2. Embora o movimento original de rolamento difira da
combinação de translação e rotação quando esses movimentos são considerados em sucessão, o
movimento original pode ser duplicado exatamente por uma combinação de TRANSLAÇÃO e ROTAÇÃO
simultâneas.
1º EXEMPLO
Movimento Plano Translação com A= Rotação com A+
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
MOVIMENTO PLANO GERAL
Uma barra roda cujas as extremidades deslizam ao longo de uma pista horizontal e de uma vertical,
respectivamente.
Esse movimento pode ser substituído por uma TRANSLAÇÃO em uma direção horizontal e uma ROTAÇÃO
em torno de A.
2º EXEMPLO
Ou por uma TRANSLAÇÃO em uma direção vertical e uma ROTAÇÃO em torno de B.
Movimento Plano = Translação com A Rotação em torno de A+
Movimento Plano = Translação com A Rotação em torno de A+
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
MOVIMENTO PLANO GERAL
VELOCIDADE ABSOLUTA E VELOCIDADE RELATIVA NO MOVIMENTO PLANO
A VELOCIDADE ABSOLUTA VB de uma partícula B da placa é obtida a partir da fórmula da
velocidade relativa, descrita a seguir:
A velocidade VA corresponde à translação da placa junto com A, enquanto a velocidade
relativa VA/B está associada à rotação da placa em torno de A e é medida em relação aos eixos
centrados em A , de orientação fixa. Representado por rB/A o vetor de posição de B relativo a
A e por ωk a velocidade angular da placa em relação aos eixos de orientação x’ e y”.
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
MOVIMENTO PLANO GERAL
VELOCIDADE ABSOLUTA E VELOCIDADE RELATIVA NO MOVIMENTO PLANO
Movimento Plano = Translação com A Rotação em torno de A+
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
MOVIMENTO PLANO GERAL
VELOCIDADE ABSOLUTA E VELOCIDADE RELATIVA NO MOVIMENTO PLANO
Examinaremos novamente a barra deslizante AB. Considerando que a velocidade VA da
extremidade A é conhecida, nos propomos encontrar a velocidade VB da extremidade B e a
velocidade angular ω da barra em termos da velocidade VA, do comprimento l e do ângulo ɵ.
Movimento Plano = Translação com A Rotação em torno de A+
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
MOVIMENTO PLANO GERAL
VELOCIDADE ABSOLUTA E VELOCIDADE RELATIVA NO MOVIMENTO PLANO
O mesmo resultado pode ser obtido usando-se B como ponto de referência.
Rotação em torno de A+Translação com A=Movimento Plano
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
MOVIMENTO PLANO GERAL
ACELERAÇÃO ABSOLUTA E ACELERAÇÃO RELATIVA NO MOVIMENTO PLANO
A ACELERAÇÃO ABSOLUTA aB de uma partícula B da placa é obtida a partir da fórmula da
aceleração relativa, descrita a seguir:
A aceleração aA corresponde à translação da placa junto com A, enquanto a aceleração
relativa aB/A está associada à rotação da placa em torno de A e é medida em relação aos eixos
centrados em A , de orientação fixa.
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
MOVIMENTO PLANO GERAL
ACELERAÇÃO ABSOLUTA E ACELERAÇÃO RELATIVA NO MOVIMENTO PLANO
A ACELERAÇÃO RELATIVA aB/A pode ser decomposta em dois componentes, um
Componente Tangencial (aB/A)t perpendicular à linha AB e um Componente Normal (aB/A)n
orientado para A.
Representado por rB/A o vetor de posição de B relativo a A e, respectivamente, por ωK e
αK a velocidade angular e a aceleração angular da placa em relação aos eixos de orientação
fixa, temos:
Rotação em torno de A+Translação com A=Movimento Plano
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
MOVIMENTO PLANO GERAL
ACELERAÇÃO ABSOLUTA E ACELERAÇÃO RELATIVA NO MOVIMENTO PLANO
Examinaremos novamente a barra deslizante AB. Considerando que a velocidade e a
aceleração VA e aA da extremidade A são conhecidas, nos propomos determinar a aceleração
aB da extremidade B e a aceleração angular α da barra. Escolhendo A como um ponto de
referência, estabelecemos que o movimento dado é equivalente a uma TRANSLAÇÃO junto
com A e a uma ROTAÇÃO em torno de A.
A ACELERAÇÃO ABSOLUTA de B deve ser
igual à soma:
Onde, (aB/A)n tem a intensidade lω² e é
orientada para A, enquanto (aB/A)t tem
intensidade lα e é perpendicular a AB.
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
MOVIMENTO PLANO GERAL
ACELERAÇÃO ABSOLUTA E ACELERAÇÃO RELATIVA NO MOVIMENTO PLANO
Rotação em torno de A+Translação com A=Movimento Plano
No caso do polígono (a), escrevemos:
De
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
O centro da engrenagem dupla mostrada na
figura rola sobre a cremalheira inferior fixa,
sendo a velocidade de seu centro A de 1,2
m/s para a direita e uma aceleração de 3
m/s² para a direita.
MOVIMENTO PLANO GERAL
1º EXERCÍCIO DE MOVIMENTO PLANO GERAL
Determine:
a) A velocidade angular da engrenagem.
b) As velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da engrenagem.
c) A aceleração angular da engrenagem.
d) A aceleração dos pontos B, C e D da engrenagem.
De
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
a) A velocidade angular da engrenagem.
Uma vez que a engrenagem rola sobre a cremalheira inferior, seu centro A desloca-se por
meio de uma distância igual ao perímetro da circunferência externa 2πr1 a cada revolução
completa da engrenagem.
1 rev = 2π rad 
Quando A desloca-se para a direita xA > 0 
A engrenagem gira no sentindo horário ɵ < 0 
Diferenciando em relação ao tempo t e substituindo os valores conhecidos:
VA = 1,2 m/s r1 = 150 mm = 0,150 m
Onde k é um vetor unitário que aponta para fora do papel. 
De
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
b) As velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da engrenagem.
O movimento de rolamento é decomposto em dois movimentos componentes:Uma
TRANSLAÇÃO junto com o centro A e uma ROTAÇÃO em torno do centro A. Na translação,
todos os pontos da engrenagem deslocam-se com a mesma velocidade VA.
Na rotação, cada ponto P da engrenagem desloca-se em torno de A com uma VELOCIDADE
RELATIVA:
Rotação+Translação = Movimento de Rolamento
De
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
b) A velocidade da cremalheira superior R.
A velocidade da cremalheira superior é igual à velocidade do ponto B:
b) A velocidade do ponto D da engrenagem.
VD² = (1,2 m/s)² + (1,2 m/s)²
APLICANDO O TEOREMA DE PITÁGORAS
De
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
d) A aceleração dos pontos B, C e D da engrenagem.
c) A aceleração angular da engrenagem. , ,
Rotação+Translação = Movimento de Rolamento
De
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
d) A aceleração do ponto B da engrenagem.
Somando vetorialmente as acelerações correspondentes à translação e à rotação, obtemos:
= (3 m/s²)i – (20 rad/s²)k x (0,100 m)j – (64 rad/s²) . (0,100 m)j
= (3 m/s²)i + (2 m/s²)i – (6,4 m/s²)j = (5 m/s²)i – (6,4 m/s²)j
aB² = (5 m/s²)²i + (6,4 m/s²)²j aB² = 25 (m/s²)²i + 40,96 (m/s²)²j
6,4 m/s²
5 m/s²
= 1,28
ø = arc tg 1,28 = 52°
De
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
d) A aceleração do pontos C da engrenagem.
Somando vetorialmente as acelerações correspondentes à translação e à rotação, obtemos:
= (3 m/s²)i – (3 m/s²)i – (64 rad/s²) . (– 0,150 m)j
= (3 m/s²)i – (3 m/s²)i + (9,6 m/s²)j
De
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO
d) A aceleração do pontos D da engrenagem.
Somando vetorialmente as acelerações correspondentes à translação e à rotação, obtemos:
= (3 m/s²)i – (20 rad/s²)k x (– 0,150 m)i – (64 rad/s²) . (– 0,150 m)i
aD² = (12,6 m/s²)²i + (3 m/s²)²j 
= (3 m/s²)i + (3 m/s²)j + (9,6 m/s²)i
aD² = 158,76 (m/s²)²i + 9 (m/s²)²j
3 m/s²
12,6 m/s²
= 0,238
ø = arc tg 0,238 = 13,4°
Ferro homogêneo
Não é homogênea. 
Alumínio homogêneo
Densidade → d= m/V ; d= m/A
Ferro não homogêneo
dm
dM
dM>dm
Ferro homogêneo Ferro não homogêneo
dm
dM
dM>dm
Ferro homogêneo
dm
dM
dM>dm
Centro massa 
centro de gravidade 
C
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS
3.1 CENTRO MASSA
CENTRO DE MASSA
EXEMPLOS
1º EXERCÍCIO
( 2 ; 0,5)
Y
X0
Y
X0
C
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS
3.1 CENTRO MASSA
CENTRO DE MASSA
Para um grande número de partículas coplanares ou distribuídas no espaço, o
CENTRO DE MASSA estará em xcm, ycm e zcm, dados por:
xcm = 
m1 x1 + m2 x2 + m3 x3
m1 + m2 + m3
ycm = 
m1 y1 + m2 y2 + m3 y3
m1 + m2 + m3
zcm = 
m1 z1 + m2 z2 + m3 z3
m1 + m2 + m3
xcm = 
Σ mi xi
Σ mi
ycm = 
Σ mi yi
Σ mi
zcm = 
Σ mi zi
Σ mi
ycm = Σ mi yi
M 
1 
xcm = Σ mi xi
M 
1 
zcm = Σ mi zi
M 
1 
C
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS
3.1 CENTRO MASSA
CENTRO DE MASSA
2º EXERCÍCIO
Determine o CENTRO DE MASSA do sistema constituído por três partículas
2,3 m
rcm
0,90 m
C
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS
3.1 CENTRO MASSA
CENTRO DE MASSA
Pela notação vetorial, cada partícula do sistema pode ter sua posição definida
pelo vetor posição ri em um sistema de referência particular e o CENTRO DE MASSA
pode ser definido pelo vetor posição rcm. Estes valores são relacionados a xi, yi, zi e
xcm, ycm, zcm nas equações a seguir:
ri = xi i + yi j + zi k 
rcm = xcm i + ycm j + zcm k 
Então, as três equações escalares, xcm, ycm, zcm podem ser substituídas por uma
única equação vetorial:
rcm = Σ mi ri
M 
1 
C
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS
3.1 CENTRO MASSA
CENTRO DE MASSA
3º EXERCÍCIO
Determine o CENTRO DE MASSA do sistema constituído por três partículas m1 =
1,0 kg, m2 = 2,0 kg e m3 = 3,0 kg localizadas nos vértices de um triângulo
equilátero de 1,0 m de lado.
xcm = 
1,0 kg . 0 + 2,0 kg . 1,0 m + 3,0 kg . 0,5 m
1,0 kg + 2,0 kg + 3,0 kg
xcm = 0,5833 m 
ycm = 
1,0 kg . 0 + 2,0 kg . 0 + 3,0 kg . 0,866 m
1,0 kg + 2,0 kg + 3,0 kg
ycm = 0,433 m 
x(m) 
y (m) 
1
m2
0,866
m1
m3
0 0,5
0,5833
0,433
rcm
C
C
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS
3.1 CENTRO MASSA
CENTRO DE MASSA
Portanto, CENTRO DE MASSA é a posição média de toda a massa do corpo ou
sistema. Num corpo homogêneo e simétrico o CENTRO DE MASSA esta no centro
geométrico.
C
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS
3.1 CENTRO MASSA
CENTRO DE MASSA
EXEMPLOS
Partículas de massas iguais. Formando um triângulo.
Triângulos 
Baricentro
É o ponto de encontro 
das medianas.
O baricentro divide cada 
mediana em dois 
seguimentos na razão 
2:1. 
k
2k
C
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS
3.1 CENTRO MASSA
CENTRO DE MASSA
Introdução à Engenharia. Florianópolis: UFSC, 2000. 
Referências Bibliográficas
• BEER, F. P. e JOHNSTON, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros:
Estática. 9ª. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2012.
• HALLIDAY, D. e RESNICK, R. Física 1. 4ª. Ed. Rio de Janeiro: LTC, 1984.
C
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS
3.1 CENTRO DE GRAVIDADE - Baricentro
C
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS
3.1 CENTRO DE GRAVIDADE - Baricentro
C
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS
3.1 CENTRO DE GRAVIDADE - Baricentro
C
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS
3.1 CENTRO DE GRAVIDADE - Baricentro
C
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS
3.1 CENTRO DE GEOMÉTRICO - Centróide
C
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS
3.1 CENTROÍDE DE LINHA
C
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS
3.1 CENTROÍDE DE ÁREA
C
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS
3.1 CENTROÍDE DE VOLUMES
C
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS
C
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS
C
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS
EXERCÍCIO 1:
Especifique as coordenadas x, y e z do centro de massa do quadrante do
cilindro sólido homogêneo.
C
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS
3.2 DETERMINAÇÃO DO CENTROÍDE DE FIGURAS COMPOSTAS
C
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS
3.2 DETERMINAÇÃO DO CENTROÍDE DE FIGURAS COMPOSTAS - Áreas
C
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS
3.2 DETERMINAÇÃO DO CENTROÍDE DE FIGURAS COMPOSTAS - Volumes
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UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS
Exemplo 1:
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UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS
Exemplo 1: continuação
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UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA
MOMENTO DE INÉRCIA DE MASSA
Assim como um corpo tende a manter seu estado de movimento
translacional – para mudar seu estado de movimento ele precisa vencer
a sua inercia (“resistência à mudança de movimento)” – ele também
tende a manter seu estado de movimento rotacional.
Em outras palavras, o corpo que está girando precisa de um agente
externo para deixar de girar ou passar a girar mais rápido. E um corpo
que não está em rotação, precisa de um agente externo para passar a
girar. Essa medida da dificuldade de rotacionar um corpo, chamamos de
momento de inércia.
“1ª lei de Newton para a rotação.”
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UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA
4.1 MOMENTO DE INÉRCIA DE MASSA
Considere um pequeno corpo de massa Δm fixado em uma barra
de massa desprezível que pode girar livremente em torno de um eixo
AA’ (na figura abaixo). Se um binário é aplicado ao sistema, a barra e o
corpo, considerados inicialmente em repouso, começarão a girar em
torno de AA’.
O produto r² . Δm fornece, portanto uma
medida da Inércia do sistema, ou seja, uma medida
da resistência que o sistema oferece quando
tentamos colocá-lo em movimento. Portanto o
produto r² . Δm é denominado Momento de Inércia
do corpo de massa Δm.
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4.1 MOMENTO DE INÉRCIA DE MASSA
Agora, considere um corpo de massa m que
deve ser posto para girar em torno de um eixo AA’
(na figura abaixo). dividindo o corpo em
elementos de massa Δm1, Δm2, etc., verificamos
que a resistência do corpo ao movimento de
rotação é medida pela soma r²1 . Δm1 + r²2 . Δm2 +
....
Essa soma define, portanto, o Momento de
Inércia do corpo em relação ao eixo AA’.
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4.1 MOMENTO DE INÉRCIA DE MASSA
O raio de giração k do corpo emrelação ao eixo AA’ é definido
pela relação.
Logo, o raio de giração k representa a distância a que toda massa
do corpo deve ser concentrada para que seu Momento de Inércia em
relação ao eixo AA’ permaneça inalterado.
O raio de giração k é expresso em metros e a massa m em
quilogramas, e assim a unidade usada para o Momento de Inércia
de um corpo é kg.m².
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4.1 MOMENTO DE INÉRCIA DE MASSA
O Momento de Inércia de um corpo em relação a um eixo de coordenadas
pode ser facilmente expresso em termos das coordenadas x, y, z do elemento
de massa dm.
O quadrado da distância r do elemento dm ao eixo y é z² + x²,
escrevemos o Momento de Inércia do corpo em relação ao eixo y , como:
Expressões similares podem ser obtidas para os
momentos de inércia em relação aos eixos x e z:
Quanto mais distribuída a massa 
(mais distante do eixo de 
rotação), maior é o momento de 
inércia.
Consequência:
Mais difícil de colocar em rotação 
e mais difícil de parar.
Conservação do momento angular
Conservação do momento angular
Conservação do momento angular
Conservação do momento angular
Conservação do momento angular
Conservação do momento angular
Aplicações em construção
O momento de inercia da seção transversal da viga quando sobre a base menor, é 
maior do que quando está sobre a base maior
Aplicações em construção
O momento de inercia da seção transversal da viga quando 
sobre a base menor, é maior do que quando está sobre a base 
maior.
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4.3 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS
Onde, y’é a distância entre o elemento dA e BB’, temos y = y’+ d, sendo d a
distância entre os eixos AA’ e BB’.
Momento de Inércia:
Raio de Giração:
Momento de Inércia Polar:
Raio de Giração Polar:
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4.3 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS
EXEMPLO 1: Utilizando o teorema dos eixos paralelos determine o momento
de inércia IT de uma superfície circular em relação a uma linha tangente ao
círculo da figura abaixo.
O momento de inércia de uma
superfície circular em relação a um eixo
centroidal é:
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4.3 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS
EXEMPLO 2: Utilizando o teorema dos eixos paralelos determine o momento
de inércia centroidal de uma superfície quando se conhece o momento de
inércia da superfície em relação a um eixo paralelo.
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4.3 MOMENTO DE INÉRCIA DE FIGURAS COMPOSTAS
O momento de inércia de uma superfície que consiste em vários dos
formatos mostrados na TABELA abaixo, pode ser obtido pelo uso das
fórmulas dadas:
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4.3 MOMENTO DE INÉRCIA DE FIGURAS COMPOSTAS
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4.3 MOMENTO DE INÉRCIA DE FIGURAS COMPOSTAS
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4.3 MOMENTO DE INÉRCIA DE FIGURAS COMPOSTAS
As propriedades das SEÇÕES TRANSVERSAIS de diversos formatos
estruturais são dadas na TABELA abaixo:
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4.3 MOMENTO DE INÉRCIA DE FIGURAS COMPOSTAS