Aula 6 - (PTV) - PÓRTICOS

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Método do Trabalho Virtual
Objetivos
Calcular os deslocamentos de uma estrutura a partir do 
principio do Trabalho Virtual
 Como vimos o método do Trabalho Virtual nos permite
determinar os deslocamentos de uma estrutura mesmo que
haja mais forças ou momentos atuando.
 Vimos como utilizar esse principio em treliças e vigas, agora
veremos como aplica-lo a pórticos
3
Método do Trabalho Virtual
Método do Trabalho Virtual
• Procedimento:
– 1º) Identificamos se a treliça, viga ou pórtico é isostático ou hiperestático.
– 2º) Se isostático calculamos as reações nos apoios utilizando as equações da estática. Se 
hiperestático, primeiro determinamos a reação redundante e depois as demais.
– 3º) Para vigas e pórticos calculamos o momento fletor para cada uma das vigas causados pelas 
forças e pelas reações nos apoios.
– 4º) Para treliças, calculamos a força normal atuante m cada uma das vigas
– 5º) Aplicamos a carga unitária no ponto e na direção onde queremos calcular a deformação.
– 6º) Recalculamos as reações de apoio como no item 2, para a carga unitária.
– 7º) Repetimos os itens 3 pra vigas e pórticos, e o item 4 para treliças, considerando os valores 
encontrados pela carga unitária
– 8º) Para treliça utilizamos a tabela e a expressão de cálculo apresentada na aula anterior
– 9º) Para vigas e pórticos utilizamos a expressão da deformação para esse tipo de elemento
Método do Trabalho Virtual
 Exercícios
 Calcule o deslocamento horizontal do apoio B do pórtico Isostático representado pela
figura abaixo. Considere as barras 1 e 3 de inércia = 22000 . e a barra 2 de
inércia 3EI, todas trabalhando fundamentalmente à flexão.
Método do Trabalho Virtual
 Cálculo das reações nos apoios
Pórtico isostático utilizaremos as equações da estática
Σ = 0; − 8 = 0; = 8 
Σ = 0; + = 0;
Σ = 0; ∗ 5 + 8 ∗ 4 − 3 ; =
8
5
; = −1,6 
+ = 0; Ray=1,6 kN
Rax
Ray Rby
Método do Trabalho Virtual
 Aplicando a carga virtual
Σ = 0; − 1 = 0; = 1 
Σ = 0; + = 0;
Σ = 0; ∗ 5 + 1 ∗ 4 − 3 ; =
1
5
; = −0,2 
+ = 0; Ray=0,2 kN
Método do Trabalho Virtual
 Pelo método das seções calculamos o momento para cada 
uma das barras do pórtico
 Momento real da viga BD
Com origem de em B → = 8 → 0 ≤ ≤ 3
8
1,6
Método do Trabalho Virtual
 Pelo método das seções calculamos o momento para cada 
uma das barras do pórtico
 Momento virtual da viga BD
Com origem de em B → = → 0 ≤ ≤ 3
1
0,2
Método do Trabalho Virtual
 Pelo método das seções calculamos o momento para cada 
uma das barras do pórtico
 Momento real via CD
Com origem de em D → = 3 ∗ 8 + 1,6 → 0 ≤ ≤ 5
8
1,6
24
Método do Trabalho Virtual
 Pelo método das seções calculamos o momento para cada 
uma das barras do pórtico
 Momento virtual viga CD
Com origem de em D → = 3 ∗ 1 + 0,2 → 0 ≤ ≤ 5
1
0,2
3
Método do Trabalho Virtual
 Pelo método das seções calculamos o momento para cada 
uma das barras do pórtico
 Momento real viga AC
Com origem de em A → = −8 → 0 ≤ ≤ 4
8
1,6
Método do Trabalho Virtual
 Pelo método das seções calculamos o momento para cada 
uma das barras do pórtico
 Momento virtual viga AC
Com origem de em A → = − → 0 ≤ ≤ 4
1
0,2
Método do Trabalho Virtual
Solução
Montamos a tabela com os valores encontrados
Barra Limites . 
BD 0 ≤ ≤ 3 8 8
CD 0 ≤ ≤ 5 24 + 1,6 3 + 0,2x 72 + 9,6 + 0,32
AC 0 ≤ ≤ 4 −8 − 8
Método do Trabalho Virtual
Aplicando a equação da deformação 1. ∆=
1. ∆=
(8 )
+
(72 + 9,6 + 0,32 )
3
+
(8 )
1. ∆=
8
3
3
0 +
72 + 9,62 +
0,32
3
3
5
0 +
8
3
4
0
∆=
407,03
22000
= 0,0185 18, 5
Método do Trabalho Virtual
 Exercícios
 Calcule o deslocamento horizontal para a direita do nó B do quadro isostático
representado pela figura abaixo. Considere o quadro trabalhando basicamente à flexão
com inércia EI = 80000 kN.m2.
Método do Trabalho Virtual
 Aplicando a carga virtual
Método do Trabalho Virtual
 Pelo método das seções calculamos o momento real e o 
virtual para cada uma das barras do pórtico
 Momento real
Com origem de em B → = 20 → 0 ≤ ≤ 2
20
Método do Trabalho Virtual
 Pelo método das seções calculamos o momento real e o 
virtual para cada uma das barras do pórtico
 Momento virtual
Com origem de em B → = −1 → 0 ≤ ≤ 2
1
Método do Trabalho Virtual
 Pelo método das seções calculamos o momento real e o 
virtual para cada uma das barras do pórtico
 Momento real
Com origem de em D → = 20 ∗ 2 + 6 → 0 ≤ ≤ 5
20
40
12
Método do Trabalho Virtual
 Pelo método das seções calculamos o momento real e o 
virtual para cada uma das barras do pórtico
 Momento virtual
Com origem de em D → = −2 → 0 ≤ ≤ 5
1
2
Método do Trabalho Virtual
 Pelo método das seções calculamos o momento real e o 
virtual para cada uma das barras do pórtico
 Momento real
Com origem de em A → = 190 − 20 → 0 ≤ ≤ 4
20
60
190
Método do Trabalho Virtual
 Pelo método das seções calculamos o momento real e o 
virtual para cada uma das barras do pórtico
 Momento virtual
Com origem de em A → = − 2 → 0 ≤ ≤ 4
12
Método do Trabalho Virtual
Solução
Montamos a tabela com os valores encontrados
Barra Limites
BD 0 ≤ ≤ 2 20 − −20
CD 0 ≤ ≤ 5 40 + 6 −2 −40 − 12
AC 0 ≤ ≤ 4 190 − 20 − 2 −380 + 230 − 20
Método do Trabalho Virtual
Aplicando a equação da deformação 1. ∆=
1. ∆=
(−20 )
+
(−80 − 12 )
+
(−380 + 230 − 20 )
1. ∆=
−20
3 2
0 +
−80 − 123 5
0 +
−380 + 2302 −
40
3 4
0
1. ∆= −
1060
= −
1060
80000
= −0,1325 
∆= 13,3 
Método do Trabalho Virtual
 Exercício
 Calcule o deslocamento horizontal do apoio B do pórtico isostático representado pela
figura abaixo. Considere as barras 1 e 3 de inércia EI=22000 kN.m2 e a barra 2 de inércia
3EI, todas trabalhando fundamentalmente à flexão.
Resposta: Deslocamento horizontal do nó B é ∆=27,7 mm 
(para esquerda) 
Bibliografia
• HIBBELER, R.C. – Resistência dos Materiais
7 ed. –São Paulo - Pearson Education do 
Brasil – 2010 – 670 pg.