Prova Final Calculo Numerico

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1. Os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel são métodos que encontram uma solução aproximada
da solução de um sistema linear. Quando não temos mais um sistema linear e sim um sistema
não linear devemos fazer uso de outros métodos para encontrar uma solução aproximada para
o sistema, dois deles são: o método da interação linear e o método de Newton. O método da
interação linear em geral é mais fácil de ser implementado, porém requer mais condições do
sistema que o método de Newton. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a solução
(com um arredondamento de 3 casas decimais) do sistema não linear depois de duas iterações
(k = 2) e o ponto inicial (0; - 0,5) usando o método da iteração linear:
 a) x = 0,125 e y = - 0,492
 b) x = 0 e y = - 0,5
 c) x = 0,125 e y = - 0,5
 d) x = 0,495 e y = 0,124
2. Em análise numérica, uma regra de quadratura é uma aproximação da integral de uma função,
geralmente estabelecida como um somatório com pesos dos valores assumidos pela função
em pontos específicos dentro do domínio de integração. Utilizando a integração numérica via
Quadratura Gaussiana e considerando 4 casas decimais, calcule no intervalo [0, 3] a integral da
função:
 a) 7,1467.
 b) 12,6581.
 c) 8,4391.
 d) 10,9566.
Anexos:
CN - Quadratura de Gauss2
3. A interpolação é um método que permite definir uma nova função a partir de um conjunto
discreto de dados pontuais previamente conhecidos e que represente a função inicial. Sobre a
interpolação polinomial de uma função f, podemos afirmar que: 
I- Ela é útil quando conhecemos explicitamente f.
II- Quanto maior for a quantidade de pontos em que conhecemos f, melhor será a aproximação
obtida por meio do polinômio.
III- Sua vantagem se deve principalmente ao fato de os polinômios serem funções bem
comportadas.
IV- O polinômio, uma vez determinado, é único.
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) As sentenças I, II e III estão corretas.
 b) As sentenças II, III e IV estão corretas.
 c) As sentenças I, II e IV estão corretas.
 d) As sentenças I, III e IV estão corretas.
4. Durante a resolução numérica de um problema matemático podem ocorrer certos erros que
farão com que o resultado encontrado não coincida exatamente com o resultado esperado. Um
erro de resolução pode ser justificado por:
 a) Troca de um sinal ou erro de cálculo cometido no decorrer da resolução do problema.
 b) Limitação do modelo matemático escolhido para solucionar numericamente o problema.
 c) Escolha inadequada do modelo matemático que deve descrever e resolver a situação-
problema.
 d) Impossibilidade de representar todos os algarismos significativos dos números na resolução
numérica do problema.
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5. Em meados de 1798, Gauss, grande matemático alemão, demonstrou o Teorema Fundamental
da Álgebra. Nele, demonstra-se a relação do número de soluções de uma equação com seu
maior grau. Sabe-se que as equações biquadradas são aquelas que possuem ordem de grau
quatro. Logo, com relação às equações biquadradas, assinale a alternativa CORRETA:
 a) Elas possuirão 4 raízes reais distintas entre si.
 b) São um caso especial de equações fracionárias.
 c) Elas possuirão 2 raízes reais e duas raízes complexas.
 d) Elas possuirão 2 pares de raízes, sendo cada par igual em módulo.
6. Em análise numérica, os métodos de Runge-Kutta formam uma família importante de métodos
iterativos implícitos e explícitos para a resolução numérica (aproximação) de soluções de
equações diferenciais ordinárias. Portanto, uma equação diferencial ordinária pode ser
resolvida através dos métodos de Runge-Kutta. Qual é a vantagem do método de Runge-Kutta
de segunda ordem em relação ao método de Euler?
 a) Ele melhora a precisão dos resultados sem diminuir muito o valor da altura do intervalo.
 b) Ele divide o intervalo em décimos, ao contrário do método de Euler.
 c) Não há vantagem de um sobre o outro.
 d) O número de cálculos diferenciais torna-se menor.
7. Em matemática, existe uma grande família de algoritmos, cujo principal objetivo é aproximar o
valor de uma dada integral definida de uma função sem o uso de uma expressão analítica para
a sua primitiva. Esses algoritmos são os métodos de integração numérica. O método de
integração numérica não substitui o método de resolução normal, apenas o complementa.
Neste sentido, quando se usa a integração numérica?
 a) Quando a integral não tem intervalos.
 b) Quando a derivada for constante.
 c) Quando a função for descontínua.
 d) Quando a função é definida por meio de uma tabela de pontos.
8. Com relação à integração numérica, o método do Trapézio Generalizado consiste em aplicar o
método do Trapézio tantas vezes quantas forem os pontos em que conheçamos o valor da
função f. Consideremos então o intervalo [2, 3], considerando n = 4. O valor encontrado para a
integral de f(x) = 5x é igual a:
Atenção: h = (b - a)/n
 a) O valor encontrado para a integral será 13,5.
 b) O valor encontrado para a integral será 15.
 c) O valor encontrado para a integral será 12,5.
 d) O valor encontrado para a integral será 14,5.
Anexos:
CN - Regra do Trapezio Gen2
9. Equação fracionária é aquela que possui, pelo menos, um termo que é uma fração algébrica,
ou seja, pelo menos um termo que apresente incógnita no denominador. Com relação à
equação fracionária a seguir, podemos afirmar que:
 a) Possui duas raízes reais iguais.
 b) Possui mais de duas raízes.
 c) Possui duas raízes complexas.
 d) Possui duas raízes reais distintas.
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10.Para resolver um sistema linear através do método iterativo, podemos usar o método da
iteração linear. Mas no caso de equações não lineares, nem sempre é possível aplicar o
método. Para podermos aplicar o método, precisamos que ele satisfaça trêscondições, sendo
que uma delas é que as derivadas parciais das funções F e G satisfaçam os itens
 a) Somente o item II é satisfeito.
 b) Somente o item I é satisfeito.
 c) Os itens I e II são satisfeitos.
 d) Os itens I e II não são satisfeitos.
11.(ENADE, 2008) A Matemática no Ensino Médio tem papel formativo - contribui para o
desenvolvimento de processos de pensamento e para a aquisição de atitudes - e caráter
instrumental - pode ser aplicada às diversas áreas do conhecimento -, mas deve ser vista
também como ciência, com suas características estruturais específicas. OCNEM (com
adaptações). Ao planejar o estudo de funções no Ensino Médio, o professor deve observar
que:
 a) o objetivo do estudo de exponenciais é encontrar os zeros dessas funções.
 b) o estudo de funções polinomiais deve contemplar propriedades de polinômios e de equações
algébricas.
 c) as funções logarítmicas podem ser usadas para transformar soma em produto.
 d) a função quadrática é exemplo típico de comportamento de fenômenos de crescimento
populacional.
12.(ENADE, 2014) Em uma loja de material escolar, as mercadorias caneta, lápis e borracha, de
um único tipo, cada uma, são vendidas para três estudantes. O primeiro comprou uma caneta,
três lápis e duas borrachas pagando R$ 10,00; o segundo adquiriu duas canetas, um lápis e
uma borracha pagando R$ 9,00; o terceiro comprou três canetas, quatro lápis e três borrachas
pagando R$ 19,00. Os estudantes, após as compras, sem verificarem os valores de cada
mercadoria, procuraram resolver o problema: " A partir das compras efetuadas e dos
respectivos valores totais pagos por eles, qual o preço da caneta, do lápis e da borracha?".
Para isso, montaram um sistema de equações lineares cujas incógnitas são os preços das
mercadorias. Esse sistema de equações é:
 a) possível determinado, sendo o preço da borracha mais caro que o do lápis.
 b) impossível, pois saber os totais das compras não garante a existência de solução.
 c) possível determinado, podendo admitir como solução, o valor do preço da caneta, do lápis e
da borracha.
 d) possível indeterminado, de forma que a soma dos valores possíveis da caneta, do lápis e da
borracha é igual a 1/5 da adição do preço da borracha com R$ 28,00.
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