Teoria das estruturas Mecanicas

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Teoria das estruturas
Modulo 1
Exercício 1 
Q= 80 Kn 
Ix= 301,3*(10^-6) m^4 
Calculo do Momento Estático em A (Mas) – MSa= Y*A 
MSa= (0,25*0,02)*0,16 
MSa= 8*(10^-4) m^3 
Calculo da Tensão Máxima de Cisalhamento (Za) – Za= (Q*MSa)/(b*Ix) 
Za= ((80*(10^3))*(8*(10^-4)))/(0,02*(301,3*(10^-6))) 
Za= 10,6*(10^6) 
Za= 10,6MPa 
Calculo do Momento Estático em B e C (MSb=MSc), que são iguais devido aos pontos na 
figura se encontrarem na mesma posição. 
MSb=MSc= A*Y 
MSb=MSc= (0,25*0,009)*0,165 
MSb=MSc= 371,25*(10^-6) m^3. 
Calculo da Tensão Máxima de Cisalhamento (Zb=Zc), que são iguais devido aos pontos na 
figura se encontrarem na mesma posição. 
Zb=Zc= ((80*(10^3))*(371,25*(10^-6)))/(0,02*(301,3*(10^-6))) 
Zb=Zc= 4,9*(10^6) 
Zb=Zc= 4,9MPa. 
Exercício 2 
Tensão de Cisalhamento = V*Q/b*I 
V (Cortante) = 80KN 
I = 301,3*10^-6 m^-4 
Q1 = b*y²/2 (com y variando de 0,15 a 0), LOGO: 0,02*(0,15²/2) 
Q1 = 2,25*10^-4 m³ 
Q2 = ʃy dA = b *y²/2 (com y variando d e 0 ,17 a 0,15), LOGO: 
0,25*(0,17²/2 – 0,15²/2) 
Q2 = 8*10^-4 m³ 
Qtotal = Q1 + Q2 = (2,25*10^-4) + (8*10 ^-4) 
Qtotal = 1,025*10^-3 m³ 
Tensão de Cisalhamento = ((80*10^3)*(1,025*10^-3)) / ((0,02)*(301,3*10^-6)) 
Tensão de Cisalhamento = 13,6 MPa. 
Exercício 3 
V( Cortante) = 80 kn 
I = 301,3*10^-6 m ^4 
Q1 = A1*yc1 =(0,25*0,02)*(0,16) 
Q1 = 8*10^-4 [m ^3] 
Q2 = A2*yc2 = (0,02*(0,15 –y))*(y + 0,5(0,15 – y)) 
Q2 = 2,25*10^-4 – 0,01*y^2 m ^3 
Qtotal = 1,025*10^-3 – 0,01*y^2 m ^3 
Tensão de Cisalhamento = V*Q/b*I 
Tensão de Cisalhamento = ((13,6*10^6) – (132,76*10^6*(y^2) Pa 
INTEGRANDO EM RALAÇÃO A y: 
Vr = 20*10^3*(13,6y – (132,76*y^3)/3) 
Variando de 0,15 á -0,15 
Vr (Cortante Resultante) = 80 Kn 
 
Exercício 4 
V( Cortante) = 80 [KN] 
I = 301,3*10^-6 [m ^4] 
Qflange = A*yc 
A = b*x = 0,02*xm^2 ; yc = 0,16m 
Qflange = 0,02x*0,16 
Qflange = 3,2*10^-3x m^3 
Vr (Cortante Resultante) = ʃ τ dA; e 
Tensão de Cisalhamento = V*Q/b*I 
Tensão de Cisalhamento = (80*10^3*3,2*10^-3x)/(0,02*301,3*10^-6) 
Tensão de Cisalhamento = 42,48257x Pa 
Vr (Cortante Resultante) = (42,48257*x^2)/2 
Variando de 0 á 0,115m 
Vr (Cortante Resultante) = 5,63 KN 
 
Exercício 5 
Devido ao valor do Momento Estático ser zero, ocorre que toda a equação tem o resultado igual 
a 0 (zero). 
Exercício 6 
Calculo das áreas A1 e A 2 
A1 = 3000 mm 
A2 = 5000 mm 
Calculo do Momento estático Q 
Q = 1025000 m^3 
Calculo do fluxo de cisalh amento 
Resulto não corresponde como o fo rnecido pelo sistema 
 
Exercício 7 
Calculo das áreas A1 e A2 
A1 = 3000 mm 
A2 = 5000 mm 
Calculo do Momento está tico Q 
Q = 1025000 m^3 
Calculo do fluxo de cisalhamento 
Resulto não corresponde como o fornecido pelo sistema
Exercício 8 
Através do calculo de momento de Inercia chegamos ao valor de: 
I= 5,977*10^-5 m^4 
Ybarra= (0,001436/0,0104) 
Ybarra= 138*10^-3 m^2 
Calculo da tensão de Cisalhamento 
Z= ((15*10^3)*((5*10^-3*(0,052)))/(0,03*((4,07076*10^-5)) 
Z= 3,2*10^6 
Z= 3,2MPA 
 
Exercício 9 
Q= 15 Kn 
Ix= 5,977*(10^-5) m^4 
MS= 2,15172*(10^-9) m^3 
Calculo da Tensao de Cisalhamento (Z) – Z=(Q*IX)/(b*MS) 
Z= ((15*(10^3))*(5,977*(10^-5)))/ (0,015*((2,15172*(10^-9))) 
Z= 3,6*(10^6) 
Z= 3,6Mpa
Modulo 2 
Exercício 1 
De acordo com a teoria do fluxo de cisalhamento, a direção da tensão de cisalhamento 
em cada ponto é paralela à parede. É possível observar que para os pontos de uma seção 
da barra que é um perfil de parede fina, a tensão de cisalhamento máximo, ocorre 
quando o corte efetuado tiver a direção perpendicular à parede fina. 
 
Exercício 2 
A reação nos apoios verticais imposta pela carga distribuída na viga também é de (5*6) 
/2=15kN, porém no meio do vão é onde temos V=0 sendo assim não possui um fluxo de 
tensão no ponto. 
 
Exercício 3 
Em resistência dos materiais, centro de torção, é o ponto em que se aplica uma força que 
pode provocar flexão, o centro de cisalhamento localiza-se sempre em um eixo de 
simetria de seção transversal, a localização do centro de cisalhamento é função apenas 
da geometria da seção transversal e independente da carga aplicada, sendo assim temos 
que o centro de torção está a 162mm a partir do centro de gravidade da seção. 
Exercício 4 
Para se determinar a localização do centro de c isalhamento de um e lemento de 
paredes finas no qual o cisalhamento in terno esteja na mesm a direção do eixo principa l 
do centroide da seção transversal, us amos os seguintes proced imentos: 
direção em que o cisalham ento flui através dos se gmentos 
calculo do momento de inércia 
Calculo do Q das abas Q =A.Y’ 
força F das abas pelo método da inte gral q da aba x dy 
somatória dos momentos: P xb=Vxe 
isolamos “e” 
centro de torção= 29mm 
Exercício 5 
direção em que o cisalham ento flui através dos se gmentos 
calculo do momento de inércia 
Calculo do Q das abas Q =A.Y’ 
força F das abas pelo método da inte gral q da aba x dy 
somatória dos momentos: P xb=Vxe 
isolamos “e” 
centro de torção= 48,8mm 
Exercício 6 
Calculo do Q das abas Q= A.Y’ 
Força F das abas pelo método da integra l q da aba x dy 
Somatória dos momentos tendo a Pxb=Vxe 
Isolando o “e” determinamos qual o centro de torção para figura 
CT= 19,0mm 
Exercício 7 
As forças resultantes F1 e F2 passam pelo centro de torção e ao deduzirmos uma força cortante 
que vai passar pelo centro de torção. A força cortante não provocará torção e o centro de torção 
é o vértice da seção 
Exercício 8 
Calculo do Q das abas Q =A.Y’ 
Força F das abas pelo método da integra l q da aba x dy 
Somatória dos momentos tendo a Pxb=Vxe 
Isolando o “e” determinamos o centro de torção para figura 
CT= 8,75mm 
 
 
Modulo 3 
Exercício 1 
I= b.h^3/12 
I= 240.160^3/12 – 2.(100.80^3/12) 
I= 73386666,67 mm^4 
b= 40 mm 
Q= considerando somente onde a viga é colada. 
Q= (100 + 100 + 40). (40). (60) 
Q= 576000 mm^3 
V (Cortante) = b.I.τ/Q 
V (Cortante) = (40. 73386666,67. 0,35)/576000 
V (Cortante) = 1,783 kN 
Exercício 2 
Cálculo do centroide 
Y = (0.15*0.1*0.25) + (0.15*0.25*0.10 / (0.1*0.25) + (0.25*0.1) 
Y = 0.15 m 
Momento de Inercia 
I = (0.1*(0.25^3)/12) + 0.1*0.25 + (0.15*0.15)^2 = 0.02563 m^4 
Momento Estático 
MS = 0.1*(0.25*0.1) = 2,5^-3 
Fluxo de cisalhamento 
q= V*MS / I 
q= 60*(2,5^-3)/ 0,02563 = 5,85 KN/m 
 
 
Exercício 3 
Q = 250 * 10^-3 * 20 * 10^-3 * 160 * 10^-3 
Q = 8 * 10^-4 m^3 
I = (250 * 10-3 * (240 * 10-3)3 / 12) – 2 * (115 * 10-3 * (300 * 10-3)3 / 12) 
I = 3,013 * 10-4 m^4 
Vmax (Cortante máxima) 
= 10 kN 
F = ((Vmax (Cortante máxima) * Qchapa))/ I 
F = 10 * 8 * 10^-4 / 3,013 * 10^-4 
F = 26,55 kN/m 
Número de Cordões = 4 / (150 * 10^3) 
Número de Cordões = 26,67 
F (força) = F * L / (2 *Número de Cordões) 
F (força) = 26,55 * 4 / (2 * 26,67) 
F (força) = 2 Kn 
Tensao de Cisalhamento = 105 Kn/m^2 
Tensao de Cisalhamento = F (força) / A (área) 
105 = 2 / (15 * 10^-3 * L) 
L = 2 / (105 * 15 * 10^-3) 
L = 1,33 * 10^-3 m 
L = 1,33 mm 
*O resultado do exercício não corresponde com as alternativas acima, sendo assim 
considerado como correto o resultado do mesmo. 
 
Exercício 4 
Ichapa = b * h^3 / 12 
Ichapa = 260 * 15^3 / 12 
Ichapa = 96817500 mm^2 
I = 2 * (Iu + Ichapa) 
I = 2 * (78259700 + 96817500) 
I = 350154400 mm^4 
I = 350,15 * 10^-6 m^4 
Qchapa = 0,26 * 15 * 10^-3 * 157,5 * 10^-3 
Qchapa = 6,1425 * 10^-4 m3 
Vmáx 
= 62,5 kN 
F = (Vmáx * Qchapa) / I
F = 62,5 * 6,1425 * 10^-4 / 350,15 * 10^-6 
F = 109,64 kN/m 
F (força total) = F * 2,5 
F (força total) = 109,64 * 2,5 
F (força total) = 274,1 Kn 
n = F (força total) / (2 * 47) 
n = 274,1 / (2 * 47) 
n = 2,92 
d = 2,5 / 2,92 
d = 0,85 m 
d = 850 mm 
*O resultado do exercício não corresponde com as alternativas acima, sendo assim 
considerado como correto o resultado do mesmo. 
 
Exercício 5 
50*250*2*(125-162,5)+(200-162,5)*250*100=-937500+937500 = 0 
Iy=2*(50*250^3/12+(125-162,5)^2*12500)+250*100^3/12 + (200-162,5)^2*25000= 
221354167 mm^4 
Msa= (50*250)*(125-162,5)=-468750mm^3 
F= Msa/I 
F= (468750/221354167)*551250 = 1167,4 q.Nm 
Tensão no Parafuso= (11674/0,2)*153,94 
q menor igual a 3,2Kn/m 
Exercício 6 
Através do diâmetro fornecido e a tensão de rup tura fornecida , verificamos que a força 
cortante não vai cisalhar os rebites, sendo assim seu espaçamento pode ser qualquer 
lugar. 
Exercício 7 
P=18 kN 
 I=(b*(h^3))/12 
Q=A’*Y’ 
fluxo de cisalhamento q’ =(V.Q/I) 
qadm= F/s 
d= raiz quadrada(4*F/Q*P I) 
d=7,5 mm. 
Exercício 8 
LN= 0,14m 
Momento de inercia MI TOTAL= MI da área maior – M I da parte vazada 
Momento de inercia MI TOTAL= 264*(10^6) m^ 4 
Momento Estático Q=A’y’ 
Momento Estático Q=A’y’ = 0,864*(10^-6) m^3 
Fluxo de Cisalhamento q’ = (V*Q/MI TOTAL) 
Fluxo de Cisalhamento q’ = (V*Q/MI TOTAL) = 34,36 kN/m 
2 parafusos 
s=2*F/q’ 
s= 47mm
Modulo 4 
Exercício 1 
I1 = ((d^4)*PI)/32 
I1 = ((10^4)*PI)/32 
I1 = 981,74 mm^4 
I2 = ((d^4)*PI)/32 
I2 = ((16^4)*PI/32 
I2 = 6433,98 mm^4 
N1 = ((PI^2)*E*I1)/(L^2) 
N1 = ((PI^2)*((206*(10^3))*981,74)/(600^2) 
N1 = 5544,48 N 
N2 = ((PI^2)*E*I2)/(L^2) 
N2 ((PI^2)*((206*(10^3))*6433,98)/(995^2) 
N2 = 13212,97 N 
Somatória das forças em Y=( – P – (N2*SEN 67,56°)= 0 
P = – 0,92*N2 
P = – 0,92*13212,97 
P = – 12155,93 N (barra 2 sofre compressão) 
Somatória das forças em X = (– N1 + (N2*COS 67,56°)) = 0 
N1 = 0,38*N2 
P = – N1/0,41 
P = – 5544,48/0,41 
P = – 13523,12 N (barra 1 sofre compressão) 
Segurança 3 
P = 12155,93/3 
P = 4051,97 N 
P = 4,0 kN 
A resposta não corresponde com as fornecidas pelo sistema, sendo então considerado a resposta 
acima.
= ((d^4)*PI)/32 
I1 = ((10^4)*PI)/32 
I1 = 981,74 mm^4 
I2 = ((d^4)*PI)/32 
I2 = ((16^4)*PI/32 
I2 = 6433,98 mm^4 
N1 = ((PI^2)*E*I1)/(L^2) 
N1 = ((PI^2)*((206*(10^3))*981,74)/(600^2) 
N1 = 5544,48 N 
N2 = ((PI^2)*E*I2)/(L^2) 
N2 ((PI^2)*((206*(10^3))*6433,98)/(995^2) 
N2 = 13212,97 N 
Somatória das forças em Y=( – P – (N2*SEN 67,56°)= 0 
P = – 0,92*N2 
P = – 0,92*13212,97 
P = – 12155,93 N (barra 2 sofre compressão) 
Somatória das forças em X = (– N1 + (N2*COS 67,56°)) = 0 
N1 = 0,38*N2 
P = – N1/0,41 
P = – 5544,48/0,41 
P = – 13523,12 N (barra 1 sofre compressão) 
Segurança 3 
P = 12155,93/3 
P = 4051,97 N 
P = 4,0 kN 
A resposta não corresponde com as fornecidas pelo sistema, sendo então considerado a resposta 
acima.
= ((d^4)*PI)/32 
I1 = ((10^4)*PI)/32 
I1 = 981,74 mm^4 
I2 = ((d^4)*PI)/32 
I2 = ((16^4)*PI/32 
I2 = 6433,98 mm^4 
N1 = ((PI^2)*E*I1)/(L^2) 
N1 = ((PI^2)*((206*(10^3))*981,74)/(600^2) 
N1 = 5544,48 N 
N2 = ((PI^2)*E*I2)/(L^2) 
N2 ((PI^2)*((206*(10^3))*6433,98)/(995^2) 
N2 = 13212,97 N 
Somatória das forças em Y=( – P – (N2*SEN 67,56°)= 0 
P = – 0,92*N2 
P = – 0,92*13212,97 
P = – 12155,93 N (barra 2 sofre compressão) 
Somatória das forças em X = (– N1 + (N2*COS 67,56°)) = 0 
N1 = 0,38*N2 
P = – N1/0,41 
P = – 5544,48/0,41 
P = – 13523,12 N (barra 1 sofre compressão) 
Segurança 3 
P = 12155,93/3 
P = 4051,97 N 
P = 4,0 kN 
A resposta não corresponde com as fornecidas pelo sistema, sendo então considerado a resposta 
acima.
I1= ((d^4)*PI)/32 
I1 = ((10^4)*PI)/32 
I1 = 981,74 mm^4 
I2 = ((d^4)*PI)/32 
I2 = ((16^4)*PI/32 
I2 = 6433,98 mm^4 
N1 = ((PI^2)*E*I1)/(L^2) 
N1 = ((PI^2)*((206*(10^3))*981,74)/(600^2) 
N1 = 5544,48 N 
N2 = ((PI^2)*E*I2)/(L^2) 
N2 ((PI^2)*((206*(10^3))*6433,98)/(995^2) 
N2 = 13212,97 N 
Somatória das forças em Y=( – P – (N2*SEN 67,56°)= 0 
P = – 0,92*N2 
P = – 0,92*13212,97 
P = – 12155,93 N (barra 2 sofre compressão) 
Somatória das forças em X = (– N1 + (N2*COS 67,56°)) = 0 
N1 = 0,38*N2 
P = – N1/0,41 
P = – 5544,48/0,41 
P = – 13523,12 N (barra 1 sofre compressão) 
Segurança 3 
P = 12155,93/3 
P = 4051,97 N 
P = 4,0 kN 
A resposta não corresponde com as fornecidas pelo sistema, sendo então considerado a resposta 
acima.
Exercício 3 
Somatório das forças em X e Y 
Momento de Inercia 
Carga critica aplicada 
 
I= (pi(d^4))/64 
Pad= Pcr/K =185 KN 
Exercício 4 
Dados: 
P=20 KN 
E=200GPa 
L=2m 
N=4 
Sabendo que nível de segurança é igual a 4, temos que a força: 
P=20*4 
P=80KN 
Conhecendo a formula de “P”, temos: 
P=(PI^2)*E*I/L^2 
I=P*(L^2)/E*(PI^2) 
Ficando: 
I=80000*(2^2)/(200*10^9)*(PI^2) 
I=1,6211389*10^-7 m^4 
I=162113,89 mm^4 
Momento de Inercia para carregamento de 20 KN com modulo de segurança igual a 4. 
Valor mais próximo foi utilizando as dimensões 51 x 51 x 9,5: 
I = (IX1 + A1Y1) +(IX2+ A2Y2) 
I = (51 * 9,5^3) /12 + (484,5*(11,44^2)) + (9,5 * (41,5^3)) / 12 + (394,25* (9,31^2)) 
I = 157807,24 mm^4
Dados: 
P=20 KN 
E=200GPa 
L=2m 
N=4 
Sabendo que nível de segurança é igual a 4, temos que a força: 
P=20*4 
P=80KN 
Conhecendo a formula de “P”, temos: 
P=(PI^2)*E*I/L^2 
I=P*(L^2)/E*(PI^2) 
Ficando: 
I=80000*(2^2)/(200*10^9)*(PI^2) 
I=1,6211389*10^-7 m^4 
I=162113,89 mm^4 
Momento de Inercia para carregamento de 20 KN com modulo de segurança igual a 4. 
Valor mais próximo foi utilizando as dimensões 51 x 51 x 9,5: 
I = (IX1 + A1Y1) +(IX2+ A2Y2) 
I = (51 * 9,5^3) /12 + (484,5*(11,44^2)) + (9,5 * (41,5^3)) / 12 + (394,25* (9,31^2)) 
I = 157807,24 mm^4
Exercício 5
I = 2 * (I1 + I2) 
I = 2 * (121765,4 + 32020,7) *(10^-12) 
I = 3,076 * (10^-7) m^4 
P = (Pi^2) *E*I/ L^2 
P = (Pi^2) *(206*10^6) *(3,076*10^-7) / (2,75^2) 
P = 82,7 kN 
coeficiente de segurança é 2, temos: 
P = 82,7 / 2 
P = 41,35 Kn
 Exercício 6
I = I1 
I = 1,217654 *(10^-7) 
P = π2 * E * I / L2 
P = (pi^2)*(206*10^-6)*(1,217654*10^-7)/ (2,75^2) 
P = 32,74 kN 
Como o coeficiente de segurança é 2, temos:
P = 32,74 / 2 
P = 16,37 kN
Modulo 5 
Exercício 1 
Tfl= ((Pi^2)*E)/(k*((l/ i)^2)) 
i=ÖI/A 
Icirculo= (PI*(d^4))/64 
 Icirculo =(3,14159*25^4) /4 
Icirculo =306796 mm^4 
A= (PI*(d^2))/64 
A=(3,14*50^2)/4 
A=1963.5 mm^2 
i=Raiz I/A 
i=Raiz (306796/1963.5) 
i= 12.5 
300*(10^6)= ((3,14 16^2)*(206*(1 0^9)) / (1*((/12.5)^2)) 
L=1029.04mm
Exercício 2
Tfl= ((Pi^2)*E) / (k*(( l/i)^2)) 
i=ÖI/A 
Icirculo= (PI*(d^4))/64 
Icirculo =(3,14159*25^4 )/4 
Icirculo =306796 mm^4 
A= (PI*(d^2))/64 
A=(3.14*50^2)/4 
A=1963.5 mm^2 
i=ÖI/A 
i=Ö*(306796/1963.5) 
i= 12.5 
Tfl= ((3,1416^2)*(206.1 0^9)/(1000^2) 
Tfl=600 KN
Exercício 3
Pcrítico x= ((pi^2)*E*Ix) /(KL)x^2 
Pcrítico x= (3,14^2*70*10^9*61,3*10^( -6))/(2*5)^2 
Pcrítico x= 423,5KN 
Pcrítico y= (pi^2*E*Iy)/(K L)y^2 = 
Pcrítico y= (3,14^2*70*10^9*23,2* 10^(-6))/(0, 7*5)^2 
Pcrítico y= 1,31MN P 
Adm= Pcrítico x/FS 
Adm= (423,5*10^3)/3 
Adm= 141,17KN 
Tensão crítica = Pcrítico x/A = (423,5*10^3)/(7500*10^ (-6)) 
Tensão crítica = Pcrítico x/ A = 56,47MPa