MEC SOLOS

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ANGELA MARIA PEREIRA 
	
MECANICA DOS SOLOS
Redes de Fluxo e Tensões Verticais
	
SÃO PAULO
2020
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 – Fluxo confinado	4
Figura 2 – Fluxo não confinado	4
Figura 3 – Traçado de rede de fluxo não confinado	5
Figura 4 – Analogia elétrica	5
Figura 5 – Modelagem numérica	6
Figura 6 – Modelo fisico	6
Figura 7 – magnitude das tensões induzidas	8
Figura 8 – profundidade de bulbo de tensões	9
Figura 9 – Carga distribuída em um solo com angulação de 30º	10
Figura 10 – Tensões atuantes por uma carga pontual Q	13
Figura 11 – Tensões atuantes num ponto interior da massa	13
Figura 12 – Ábaco para a determinação de coeficientes para carga concentrada: Solução de Boussinesq	15
Figura 13 – Tensões na vertical abaixo da carga	15
Figura 14 – Tensões verticais induzidas por carga uniformemente distribuída em área retangular	19
Figura 15 – Aplicação da solução de Newmark para qualquer posição	21
Figura 16 – Tensões verticais induzidas por carga uniformemente distribuída em área circular	21
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Coeficientes para carga concentrada	14
Tabela 2 – Valores de I em função de m e n para equação de Newmark	20
sumário
1.	traçado de rede de fluxo	4
2.	Método de análises de filtrações	5
3.	Tensões Verticais	7
4.	bulbos de tensões	8
5.	ESPRAIAMENTO DE TENSÕES	10
6.	Solução de Boussinesq	12
7.	Solução de Newmark	17
REFERêNCIAS	24
1. traçado de rede de fluxo
Rede de fluxo também conhecido como fluxo bidimensional, permite determinar a vazão que filtra através de um meio solido, e é possível calcular a pressão neutra, e a tensão efetiva em cada ponto maciço.
O traçado de rede de fluxo é composto pelo fluxo confinado e fluxo não-confinado, onde o fluxo confinado tem todas as condições de contorno conhecida como fluxo que filtra através de barragens de concreto, o fluxo não confinado não tem todas as condições de contorno, e filtra através de barragens de arreia.
Figura 1 – Fluxo confinado
Fonte: Douglas M. (2018)
Figura 2 – Fluxo não confinado
Fonte: Douglas M. (2018)
2. Método de análises de filtrações
Construções gráficas:
Conhecida como fluxo não confinado contorno não definido, e produzem distribuição de carga hidráulica.
Figura 3 – Traçado de rede de fluxo não confinado
Fonte: Douglas M. (2018)
Figura 4 – Analogia elétrica
Fonte: Gitirana Jr. (2009)
Figura 5 – Modelagem numérica
Fonte: Giratana Jr. (2009)
Modelos físicos:
Figura 6 – Modelo físico 
Fonte: Ortigão (2007)
3. Tensões Verticais
A tensão vertical, em qualquer profundidade, é calculada simplesmente considerando o peso de solo acima daquela profundidade.
Logo, se o peso específico do solo é constante em cada uma das camadas, a tensão vertical total pode ser calculada a partir da seguinte formulação:
σv​=γ⋅z
Onde:
· σv​ : tensão vertical total em um determinado ponto do solo;
· γ : peso específico do solo;
· z: profundidade do ponto analisado.
No caso em que há estratificação do terreno, ou seja, existam mais de uma camada de solo, deve ser calculado de maneira similar, porém levando em conta o peso de todas as camadas de solo, seguindo a seguinte formulação:
σv​=∑γi​⋅zi​
Outro caso possível é a presença do nível d’água no solo.
Nesse caso, os vazios do solo são preenchidos por água. Para uma situação em que não há fluxo de água no interior do solo, ou seja, a água encontra-se em condição estática, o cálculo da pressão suportada pela água é feito simplesmente considerando o peso da coluna de água acima do ponto analisado:
u=γw​⋅hw​
Onde:
· u: pressão resistida pela coluna d’água ;
· γw​: peso específico da água;
· hw​: altura da coluna d’água.
4. bulbos de tensões
Bulbo de tensões ou bulbo de pressões é o conjunto de várias curvas de isovalores de tensões verticais no solo induzidas por um carregamento externo. Podemos representar a magnitude das tensões induzidas por uma fundação, bem como seus pontos de alcance, através do bulbo de tensões, como ilustrado na figura abaixo.
Figura 7 – magnitude das tensões induzidas
Fonte: Nelson Schneider (2018)
Podemos dizer que a tensão em qualquer ponto no interior da massa de solo limitada por uma curva do bulbo de tensões é superior ao valor de tensão dessa curva. Ou seja, qualquer ponto no interior do bulbo delimitado pela curva de 0,2xσ0​ tem tensão igual ou superior a 0,2xσ0​. 
É comum nos depararmos com estudos de sondagem que apontam para solos com várias camadas. Dentre essas camadas, é possível que a camada de maior resistência esteja na superfície.
Logo, é preciso determinar qual o alcance do bulbo de tensões da fundação para saber se a mesma terá efeito sobre a camada de menor resistência.
Inicialmente, precisamos entender que, na prática, para valores de tensão menores que 0,1xσ0​, podemos desconsiderar os efeitos de deformação do solo de fundação.
Então, podemos definir que o bulbo de tensões é delimitado pela curva de isovalor de 0,1xσ0​. Logo, para definirmos qual o alcance do bulbo de uma fundação, basta sabermos a profundidade desse bulbo.
Pelos resultados obtidos de experimentos e simulações computacionais, percebeu-se que quanto maior for a dimensão da fundação, maior a massa de solo afetada pelo bulbo de tensões, logo, maior será sua profundidade. Chegou-se à conclusão que a profundidade do bulbo de tensões é Z=α⋅B, onde B é a menor dimensão da fundação considerada, conforme ilustrado na figura abaixo. 
Figura 8 – profundidade de bulbo de tensões
Fonte: Nelson Schneider (2018)
5. ESPRAIAMENTO DE TENSÕES
Para estimar o valor das tensões verticais em certa profundidade, uma prática recorrente é considerar que as tensões se espraiam (ou seja, expandem) segundo áreas crescentes, mas sempre se mantendo uniformemente distribuídas.
Método do espraiamento das tensões:
Figura 9 – Carga distribuída em um solo com angulação de 30º
Fonte: Roza (2009).
Ângulo de espraiamento:
O ângulo de espraiamento varia de acordo com os solos:
Solos muito moles Ɵ < 40º;
Areias puras Ɵ  ≅ 40º a 45º;
Areias rijas e duras Ɵ ≅ 70º;
Rochas Ɵ > 70º.
Equação:
 = × 
Contradição do Método:
O método embora útil em certas circunstâncias, adotado em alguns códigos de fundações em virtude de sua simplicidade, ele não satisfaz o princípio da superposição dos efeitos, pois as tensões não são uniformemente distribuídas em uma determinada profundidade, mas concentram-se no eixo de simetria da área carregada, apresentando forma de sino. 
6. Solução de Boussinesq
Em 1885 Boussinesq determinou que dentro da massa de um solo existam tensões atuantes causadas por uma carga concentrada (Q) atuante na superfície do solo.
As equações referem-se em detalhe a Teoria da Elasticidade determinada por Cauchy em 1822, o qual se aplica em diversos estudos referentes à Engenharia Geotécnica.
Boussinesq assumiu algumas hipóteses a fim de solucionar as propagações de tensões induzidas do solo, dentre elas:
· As tensões induzidas atuantes no solo atuam em uma massa semi-infinitas.
· As tensões induzidas atuam em uma massa de solo homogênea, ou seja, onde possui as mesmas propriedades em todos os pontos.
· As tensões induzidas atuam em uma massa de solo isotrópica, onde os solos mantem formação regular e uma área de carregamento menor.
· As tensões induzidas atuam em uma massa de solo que possui um comportamento linear entre as tensões atuantes no solo e as deformações sofridas pelo solo, onde esteja muito distante da ruptura o seu estado de tensão.
O cálculo das tensões induzidas, ela independe do solo, e na figura 1.1 ocorre uma por um carregamento de carga pontual onde se utiliza a equação de Boussinesq.
Figura 10 – Tensões atuantes por uma carga pontual Q
Fonte: https://www.guiadaengenharia.com/ (2019)
Onde a equação de Boussinesq é:
Figura 11 – Tensões atuantes num ponto interior da massa
Fonte: Pinto (2006)
A figura 11 retrata uma carga pontual Q, onde as tensões atuantes ocorrem no interior da massa, ou seja, a expressão para esse caso é:
Nesse caso, onde os pontosna vertical abaixo da carga mantem uma relação (r/z = 0) a expressão pode ser substituída por:
Essa substituição ocorre conforme a tabela a seguir:
 
Tabela 1 – Coeficientes para carga concentrada
 
Fonte: Ortigão (2007)
 
Figura 12 – Ábaco para a determinação de coeficientes para carga concentrada: Solução de Boussinesq
Fonte: Ortigão (2007)
Figura 13 – Tenções na vertical abaixo da carga
Fonte: Pinto (2006)
Exemplo
Qual o acréscimo de tensão nos pontos A e B ocasionado por uma carga pontual vertical de módulo 250 kN aplicada na superfície do solo? Sabe-se que os pontos está há 2,0 m de profundidade.
Ponto A
Ponto B
7. Solução de Newmark
Carregamento em áreas retangulares
Nathan Mortimore Newmark (22 de setembro de 1910 – 25 de janeiro de 1981) foi um engenheiro estadunidense, renomado e premiado por várias academias de ciência, foi um dos pioneiros na utilização de sofware para a solução de problemas de engenharia. Em sua memória, a Sociedade Americana de Engenheiros Civis (ASCE) concede a “Medalha Nathan M. Newmark” para os que se destacam nas áreas da engenharia sísmica e geotecnia.
Newmark é mundialmente conhecido por desenvolver um procedimento numérico para a solução de equações diferenciais utilizadas para calcular tensões provocadas por carregamentos em superfícies horizontais distribuídas uniformemente numa área retangular. Em outras palavras, Newmark desenvolveu uma integração da equação de Boussinesq, determinando as tensões num ponto abaixo da vertical passando pelo vértice da área retangular, verificando que a solução era a mesma para situações em que as relações entre os lados da área retangular e a profundidade fossem as mesmas. Definiu, então, as seguintes relações com parâmetros m e n.
Sendo: 
Fonte: Pinto (2006)
Em função desses parâmetros, a solução de Newmark se expressa pela equação:
A expressão acima demonstra como as soluções da teoria da elasticidade são muito trabalhosas. Porém, considerando que a tensão num ponto qualquer é função somente dos parâmetros m e n, toda a expressão entre chaves pode ser tabelada, obtendo a equação:
Observando o ábaco abaixo, vemos que o maior valor de I é 0,25, e que corresponde a valores de m e n muito elevados, ou seja, existem situações em que as dimensões do retângulo de carregamento são muito grandes em relação à profundidade em que se quer calcular o acréscimo de tensão. O valor 0,25 justifica-se. Ao carregar-se toda a superfície, o acréscimo de tensão em qualquer ponto seria igual à tensão aplicada na superfície (I=1). Se o carregamento for feito em um só quadrante (um quarto da área total), o coeficiente de influência é 0,25. Como a solução de Newmark se refere a um ponto na vertical pela aresta de um retângulo, nenhum carregamento isolado pode apresentar I>0,25.
Figura 14 – Tensões verticais induzidas por carga uniformemente distribuída em área retangular
Fonte: 
>FinteshfweijFon
Tabela 2 – Valores de I em função de m e n para equação de Newmark
Fonte: Pinto (2006)
	
Para o cálculo do acréscimo de tensão em qualquer outro ponto que não abaixo da aresta da área retangular, divide-se a área carregada em retângulos com uma aresta na posição do ponto considerado, e considera-se separadamente o efeito de cada retângulo. No caso de um ponto no interior da área, como o ponto P no caso (a) da figura abaixo, a ação da área ABCD é a soma das ações de cada uma das áreas AJPM, BKPJ, DLPK e CMPL.
No caso de ponto externo, como o ponto P na situação (b) da figura abaixo, considera-se a ação da área PKDM, subtraem-se os efeitos dos retângulos PKBL e PJCM e soma-se o efeito do retângulo PJAL, porque essa área foi subtraída duas vezes nos retângulos anteriores.
Figura 15 – Aplicação da solução de Newmark para qualquer posição
Fonte: Pinto (2006)
Figura 16 – Tensões verticais induzidas por carga uniformemente distribuída em área circular
Fonte: Pinto (2006)
Exemplo: “Uma edificação sobre radier apresenta uma planta em “L” formada pelos pontos EFCAGH conforme figura abaixo, e vai aplicar ao terreno uma pressão uniformemente distribuída de 100kPa. Determinar o acréscimo de tensão, segundo a vertical pelos pontos I e E, a 10m de profundidade, aplicando a solução de Newmark. “
Fonte: Barreto (2019)
Solução: 
Sendo: m = a/z , n = b/z e σᵥ=I.σₒ , teremos para:
Ponto I para z=10m
	Retângulo
	Área (m²)
	a(m)
	b(m)
	m
	n
	I da área
	ICAG
	10x10
	10
	10
	1
	1
	0,175
	IFEH
	6x5
	6
	5
	0,6
	0,5
	-0,095
IR = 0,080
σᵥ=I.σₒ
σᵥ = 0,080.100
σᵥ = 8kPa
Ponto E para z= 10m
	Retângulo
	Área (m²)
	a(m)
	b(m)
	m
	n
	I da área
	EHGD
	6X5
	6
	5
	0,6
	0,5
	0,095
	EDAB
	5X4
	5
	4
	0,5
	0,4
	0,071
	EBCF
	5X5
	5
	4
	0,5
	0,4
	0,071
IR = 0,237
σᵥ=I.σₒ
σᵥ = 0,237.100
σᵥ = 23,7kPa
REFERêNCIAS
Guia da Engenharia - Distribuição de tensões nos solos: tensões induzidas – Prof.  FILIPE MARINHO 2019. DISPONIVEL EM https://www.guiadaengenharia.com/tensoes-solos-induzidas/
PINTO, CARLOS DE SOUSA. Livro: CURSO BÁSICO DE MECÂNICA DE SOLOS EM 16 AULAS / 3ª EDIÇÃO. São Paulo, 2006.
SANTOS, H; OLIVEIRA, E; VICTOR, P. Tensões verticais devido a cargas aplicadas em superfícies do terreno. Caraúbas. 05 nov. 2016. 19 slides. Apresentação em Powerpoint.
r/zNb
 0.0 0.477
 0.1 0.465
 0.3 0.385
 0.6 0.221
 1.0 0.084
 1.5 0.025
 2.0 0.008
 2.5 0.003
 3.0 0.0015
Plan1
	r/z	Nb
	 0.0	 0.477
	 0.1	 0.465
	 0.3	 0.385
	 0.6	 0.221
	 1.0	 0.084
	 1.5	 0.025
	 2.0	 0.008
	 2.5	 0.003
	 3.0	 0.0015