Modelagem_no_Dominio_da_Frequencia

Prévia do material em texto

1
Equação Diferencial Ordinária portaleletronica.com.br
Equação Diferencial 
Ordinária (EDO)
Equação Algébrica
Solução da Equação 
Diferencial
Solução da Equação 
Algébrica
𝓛−𝟏
𝓛
𝑰𝒔𝒐𝒍𝒂𝒓 𝑭(𝒔)
2
Expansão em Fração Parcial
Expansão em Fração Parcial portaleletronica.com.br
Para obter a transformada de Laplace inversa de uma função complicada, podemos converter a função em soma de
termos mais simples para cada um dos quais se conhece a transformada de Laplace.
O resultado é chamado de expansão em frações parciais. Se 𝐹1(𝑠) = Τ𝑁(𝑠) 𝐷(𝑠), onde a ordem de 𝑁(𝑠) é inferior à
ordem de 𝐷(𝑠), então é possível fazer uma expansão em frações parciais. Se a ordem de 𝑁(𝑠) for superior ou igual à
ordem de 𝐷(𝑠), deve-se então dividir 𝑁(𝑠) por 𝐷(𝑠), sucessivamente, até que o resultado apresente um resto cujo
numerador seja de ordem inferior ao denominador.
Exemplo:
13
2
213
1 6
6 +
1
2
⇒ ⇒
3
Expansão em Fração Parcial
Exemplo A:
𝒔𝟐 + 𝒔 + 𝟓𝑠3 + 2𝑥2 + 6𝑠 + 7
−𝑠3 − 𝑠2 − 5s 𝒔 + 𝟏
𝐹1(𝑠) =
𝑠3 + 2𝑠2 + 6𝑠 + 7
𝑠2 + 𝑠 + 5
𝑠2 + s + 7
−𝑠2 − 𝑠 − 5
𝟐
𝐹1 𝑠 = 𝑠 + 1 +
2
𝑠2 + 𝑠 + 5
Expansão em Fração Parcial (Nise pag. 30) portaleletronica.com.br
4
Expansão em Fração Parcial
Exemplo A:
𝐹1 𝑠 = 𝑠 + 1 +
2
𝑠2 + 𝑠 + 5
Expansão em Fração Parcial (Nise pag. 30) portaleletronica.com.br
ℒ−1 𝐹1 𝑠 = ℒ
−1 𝑠 + ℒ−1 1 + ℒ−1
2
𝑠2 + 𝑠 + 5
𝑓1 𝑡 = ℒ
−1 𝑠 + ℒ−1 1 + ℒ−1
2
𝑠2 + 𝑠 + 5
5
Expansão em Fração Parcial (Nise pag. 31) portaleletronica.com.br
Exemplo B:
𝐹(𝑠) =
2
𝑠 + 1 (𝑠 + 2)
𝐹 𝑠 =
2
𝑠 + 1 𝑠 + 2
=
𝐴
𝑠 + 1
+
𝐵
𝑠 + 2
𝐹 𝑠 =
2
𝑠 + 1 𝑠 + 2
=
𝐴 𝑠 + 2
𝑠 + 1 𝑠 + 2
+
𝐵 𝑠 + 1
𝑠 + 1 𝑠 + 2
2
𝑠 + 1 𝑠 + 2
=
𝐴 𝑠 + 2
𝑠 + 1 𝑠 + 2
+
𝐵 𝑠 + 1
𝑠 + 1 𝑠 + 2
𝟐 = 𝑨 𝒔 + 𝟐 + 𝑩 𝒔 + 𝟏
➢ 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑠 = −2➢ 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑠 = −1
2 = 𝐴 −2 + 2 + 𝐵 −2 + 1
𝐵 = −2
2 = 𝐴 −1 + 2 + 𝐵 −1 + 1
𝐴 = 2
𝑠 = −1 𝑠 = −2
CASO 1 – Raízes do Denominador de F(s) Reais e Distintas.
6
𝐹 𝑠 =
2
𝑠 + 1
−
2
𝑠 + 2
𝑇𝑒𝑚𝑜𝑠 ⇒ 𝐹 𝑠 =
𝐴
𝑠 + 1
+
𝐵
𝑠 + 2
ℒ−1 𝐹 𝑠 = ℒ−1
2
𝑠 + 1
− ℒ−1
2
𝑠 + 2
ℒ−1 𝐹 𝑠 = 2ℒ−1
1
𝑠 + 1
− 2ℒ−1
1
𝑠 + 2
𝑓(𝑡) = 2 𝑒−𝑡𝑢(𝑡) − 2 𝑒−2𝑡𝑢(𝑡) 𝑓(𝑡) = 2𝑒−𝑡𝑢(𝑡) − 2𝑒−2𝑡𝑢(𝑡) 𝑓(𝑡) = 2𝑒−𝑡 − 2𝑒−2𝑡 𝑢(𝑡)⇒ ⇒
Expansão em Fração Parcial (Nise pag. 31) portaleletronica.com.br
CASO 1 – Raízes do Denominador de F(s) Reais e Distintas.
Exemplo B:
7
Exemplo 2.3:
Expansão em Fração Parcial (Nise pag. 32) portaleletronica.com.br
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+ 12
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 32𝑦 = 32𝑢(𝑡)
Dada a seguinte equação diferencial, obter a solução y(t) se todas as condições iniciais forem zero. Usar a transformada
de Laplace.
CASO 1 – Raízes do Denominador de F(s) Reais e Distintas.
8
Exemplo 2.3:
Expansão em Fração Parcial (Nise pag. 32) portaleletronica.com.br
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+ 12
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 32𝑦 = 32𝑢(𝑡)
ℒ
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+ ℒ 12
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ ℒ 32𝑦 = ℒ 32𝑢(𝑡)
ℒ
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+ 12ℒ
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 32ℒ 𝑦 = 32ℒ 𝑢(𝑡)
𝑠2𝑌(𝑠) + 12𝑠𝑌(𝑠) + 32𝑌(𝑠) = 32
1
𝑠
𝑌(𝑠) 𝑠2 + 12𝑠 + 32 =
32
𝑠
𝑌 𝑠 =
32
𝑠 𝑠2 + 12𝑠 + 32
CASO 1 – Raízes do Denominador de F(s) Reais e Distintas.
9
Expansão em Fração Parcial (Nise pag. 32) portaleletronica.com.br
𝑌 𝑠 =
32
𝑠 𝑠2 + 12𝑠 + 32
𝑥′ =
−𝑏 + 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
➢ 1° 𝑃𝑎𝑠𝑠𝑜: 𝑠2 + 12𝑠 + 32
𝑥′′ =
−𝑏 − 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥′ =
−12 + 12 2 − 4.1.32
2.1
𝑥′ = −4
𝑥′′ =
−12 − 12 2 − 4.1.32
2.1
𝑥′′ = −8
𝑎. 𝑠 − 𝑟1 . (𝑠 − 𝑟2)
➢ 2° 𝑃𝑎𝑠𝑠𝑜: 𝑠2 + 12𝑠 + 32
“𝑟1” e “𝑟2” são as raízes da função que queremos fatorar
𝑟1⇒ 𝑟2⇒
1. 𝑠 − −4 . (𝑠 − −8 )
𝑠 + 4 . (𝑠 + 8)
Exemplo 2.3:
CASO 1 – Raízes do Denominador de F(s) Reais e Distintas.
10
Expansão em Fração Parcial (Nise pag. 32) portaleletronica.com.br
𝑌 𝑠 =
32
𝑠 𝑠2 + 12𝑠 + 32
𝑌 𝑠 =
32
𝑠 𝑠2 + 12𝑠 + 32
=
32
𝑠 𝑠 + 4 (𝑠 + 8)
𝑌 𝑠 =
32
𝑠 𝑠 + 4 (𝑠 + 8)
=
𝐴
𝑠
+
𝐵
𝑠 + 4
+
𝐶
(𝑠 + 8)
➢ 𝐹𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑃𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠
𝑠 = −4 𝑠 = −8𝑠 = 0
Exemplo 2.3:
CASO 1 – Raízes do Denominador de F(s) Reais e Distintas.
11
Expansão em Fração Parcial (Nise pag. 32) portaleletronica.com.br
𝑌 𝑠 =
32
𝑠 𝑠 + 4 (𝑠 + 8)
=
𝐴 𝑠 + 4 𝑠 + 8 + 𝐵𝑠 𝑠 + 8 + 𝐶𝑠 𝑠 + 4
𝑠 𝑠 + 4 (𝑠 + 8)
32 = 𝐴 𝑠 + 4 𝑠 + 8 + 𝐵𝑠 𝑠 + 8 + 𝐶𝑠 𝑠 + 4
➢ 𝑠 = −4 ➢ 𝑠 = −8➢ 𝑠 = 0
32 = 𝐴 4 8
𝐴 = 1
32 = 𝐵(−4) −4 + 8
𝐵 = −2
32 = 𝐶(−8) −4
𝐶 = 1
Exemplo 2.3:
CASO 1 – Raízes do Denominador de F(s) Reais e Distintas.
12
Expansão em Fração Parcial (Nise pag. 32) portaleletronica.com.br
𝑌 𝑠 =
32
𝑠 𝑠 + 4 (𝑠 + 8)
=
𝐴
𝑠
+
𝐵
𝑠 + 4
+
𝐶
(𝑠 + 8)
𝑌 𝑠 =
32
𝑠 𝑠 + 4 (𝑠 + 8)
=
1
𝑠
−
2
𝑠 + 4
+
1
(𝑠 + 8)
𝑌 𝑠 =
1
𝑠
−
2
𝑠 + 4
+
1
(𝑠 + 8)
ℒ−1 𝑌 𝑠 = ℒ−1
1
𝑠
− ℒ−1
2
𝑠 + 4
+ ℒ−1
1
(𝑠 + 8)
𝑦 𝑡 = 𝑢(𝑡) − 2𝑒−4𝑡𝑢(𝑡) + 𝑒−8𝑡𝑢(𝑡) 𝑦 𝑡 = 1 − 2𝑒−4𝑡 + 𝑒−8𝑡 𝑢(𝑡)⇒
Exemplo 2.3:
CASO 1 – Raízes do Denominador de F(s) Reais e Distintas.
𝑦 𝑡 = 1 − 2𝑒−4𝑡 + 𝑒−8𝑡
13
Expansão em Fração Parcial (Nise pag. 32) portaleletronica.com.br
CASO 2 – Raízes do Denominador de F(s) Reais e Repetidas.
𝐹 𝑠 =
2
𝑠 + 1 𝑠 + 2 2
𝑠 = −2𝑠 = −1 𝑠 = −2
𝐹 𝑠 =
2
𝑠 + 1 𝑠 + 2 2
=
𝐴
𝑠 + 1
+
𝐵
𝑠 + 2
+
𝐶
𝑠 + 2 2
𝐹 𝑠 =
2
𝑠 + 1 𝑠 + 2 2
=
𝐴 𝑠 + 2 2 + 𝐵 𝑠 + 1 𝑠 + 2 + 𝐶 𝑠 + 1
𝑠 + 1 𝑠 + 2 2
2 = 𝐴 𝑠 + 2 2 + 𝐵 𝑠 + 1 𝑠 + 2 + 𝐶 𝑠 + 1
Exemplo 2.4:
14
Expansão em Fração Parcial (Nise pag. 32) portaleletronica.com.br
CASO 2 – Raízes do Denominador de F(s) Reais e Repetidas.
Exemplo 2.4:
➢ 𝑠 = −2
➢ 𝑠 = −1
𝐴 = 2
𝐶 = −2
2 = 𝐴 𝑠 + 2 2 + 𝐵 𝑠 + 1 𝑠 + 2 + 𝐶 𝑠 + 1
2 = 𝐴 −1 + 2 2 + 𝐵 −1 + 1 −1 + 2 + 𝐶 −1 + 1
2 = 𝐴 −2 + 2 2 + 𝐵 −2 + 1 −2 + 2 + 𝐶 −2 + 1
2 = 0 + 0 + 𝐶 −1
➢ 𝑠 = 0
𝐴 = 2
𝐶 = −2
2 = 2 0 + 2 2 + 𝐵 0 + 1 0 + 2 − 2 0 + 1
2 = 8 + 𝐵2 − 2
𝐵 = −2
15
Expansão em Fração Parcial (Nise pag. 32) portaleletronica.com.br
CASO 2 – Raízes do Denominador de F(s) Reais e Repetidas.
Exemplo 2.4:
𝐹 𝑠 =
2
𝑠 + 1 𝑠 + 2 2
=
𝐴
𝑠 + 1
+
𝐵
𝑠 + 2
+
𝐶
𝑠 + 2 2
𝐹 𝑠 =
2
𝑠 + 1
−
2
𝑠 + 2
−
2
𝑠 + 2 2
ℒ−1 𝐹 𝑠 = ℒ−1
2
𝑠 + 1
− ℒ−1
2
𝑠 + 2
+ ℒ−1
2
𝑠 + 2 2
𝑦 𝑡 = 2𝑒−𝑡𝑢 𝑡 − 2𝑒−2𝑡𝑢 𝑡 − 2𝑡𝑒−2𝑡𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 2𝑒−𝑡 − 2𝑒−2𝑡 − 2𝑡𝑒−2𝑡
16
Expansão em Fração Parcial (Nise pag. 33) portaleletronica.com.br
CASO 3 – Raízes do Denominador de F(s) Complexas e Imaginárias.
Exemplo 2.4:
𝐹 𝑠 =
3
𝑠 𝑠2 + 2𝑠 + 5
3
𝑠 𝑠2 + 2𝑠 + 5
=
𝐾1
𝑠
+
𝐾2𝑠 + 𝐾3
𝑠2 + 2𝑠 + 5
𝑛° 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑜𝑠 = 0
3
𝑠 𝑠2 + 2𝑠 + 5
=
𝐾1 𝑠
2 + 2𝑠 + 5
𝑠
+
𝐾2𝑠 + 𝐾3 𝑠
𝑠2 + 2𝑠 + 5
3 = 𝐾1 𝑠
2 + 2𝑠 + 5 + 𝐾2𝑠 + 𝐾3 𝑠
3 = 𝐾1𝑠
2 + 2𝐾1𝑠 + 5𝐾1 + 𝐾2𝑠
2 + 𝐾3𝑠
3 = 0 + 0 + 5𝐾1 + 0 + 0
𝑲𝟏 =
𝟑
𝟓
⇒ 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑠 = 0
17
Expansão em Fração Parcial (Nise pag. 33) portaleletronica.com.br
CASO 3 – Raízes do Denominador de F(s) Complexas e Imaginárias.
Exemplo 2.4:
⇒ 𝑲𝟏 =
𝟑
𝟓
3 = 𝐾1𝑠
2 + 2𝐾1𝑠 + 5𝐾1 + 𝐾2𝑠
2 + 𝐾3𝑠
3 =
3
5
𝑠2 + 2
3
5
𝑠 + 5
3
5
+ 𝐾2𝑠
2 + 𝐾3𝑠
3 =
3
5
𝑠2 +
6
5
𝑠 + 3 + 𝐾2𝑠
2 + 𝐾3𝑠
3 = 𝑠2
3
5
+ 𝐾2 + 𝑠
6
5
+ 𝐾3 + 3
3 = 𝑠2
3
5
+ 𝐾2 + 𝑠
6
5
+ 𝐾3 + 3
𝑲𝟐 = −
𝟑
𝟓
𝑲𝟑 = −
𝟔
𝟓
18
Expansão em Fração Parcial (Nise pag. 33) portaleletronica.com.br
CASO 3 – Raízes do Denominador de F(s) Complexas e Imaginárias.
Exemplo 2.4:
𝐹(𝑠) =
3
𝑠 𝑠2 + 2𝑠 + 5
=
𝐾1
𝑠
+
𝐾2𝑠 + 𝐾3
𝑠2 + 2𝑠 + 5
⇒ 𝐾1 =
3
5 ⇒ 𝐾2 = −
3
5
⇒ 𝐾3 = −
6
5
𝐹(𝑠) =
3
𝑠 𝑠2 + 2𝑠 + 5
=
3
5
𝑠
+
−
3
5
𝑠 −
6
5
𝑠2 + 2𝑠 + 5
𝐹(𝑠) =
3
𝑠 𝑠2 + 2𝑠 + 5
=
3
5𝑠
+
−
3
5
𝑠 + 2
𝑠2 + 2𝑠 + 5
𝐹 𝑠 =
3
𝑠 𝑠2 + 2𝑠 + 5
=
3
5𝑠
−
3
5
.
𝑠 + 2
𝑠2 + 2𝑠 + 5
19
Expansão em Fração Parcial (Nise pag. 32) portaleletronica.com.br
20
TABELA: Relações tensão-corrente, Tensão-carga e Impedância para capacitores, resistores e indutor
𝑣 𝑡 = 𝑅 . 𝑖(𝑡) 𝑖 𝑡 =
1
𝑅
. 𝑣(𝑡) 𝑣 𝑡 = 𝑅 .
𝑑𝑞(𝑡)
𝑑𝑡
𝑅
𝑣 𝑡 = 𝐿 .
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
𝑖 𝑡 =
1
𝐿
න
0
𝑡
𝑣 𝜏 . 𝑑𝜏 𝑣 𝑡 = 𝐿
𝑑2𝑞(𝑡)
𝑑𝑡
𝐿𝑠
𝑁𝑜𝑡𝑎: 𝑣 𝑡 = 𝑉 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠, 𝑖 𝑡 = 𝐴 𝑎𝑚𝑝è𝑟𝑒𝑠 , 𝑞 𝑡 = 𝑄 𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏𝑠 , 𝐶 = 𝐹 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑𝑠 , 𝑅 = Ω 𝑜ℎ𝑚𝑠 , 𝐿 = 𝐻 (ℎ𝑒𝑛𝑟𝑖𝑒𝑠)
𝑣 𝑡 =
1
𝐶
න
0
𝑡
𝑖 𝜏 . 𝑑𝜏 𝑖 𝑡 = 𝐶 .
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
𝑣 𝑡 =
1
𝐶
. 𝑞(𝑡)
1
𝐶𝑠
Tensão - Corrente Corrente - Tensão Tensão - Carga
Impedância
𝑍 𝑠 = Τ𝑉(𝑠) 𝐼(𝑠)
Função de Transferência de Circuitos Elétricos (pag. 38) portaleletronica.com.br
21
Exemplo 2.6:
Obter a função de transferência relacionado a tensão, 𝑉𝑐(𝑠), no capacitor à tensão de entrada, 𝑉 𝑠 .
−𝑣 𝑡 + 𝐿 .
𝑑𝑖 𝑡
𝑑𝑡
+ 𝑅 . 𝑖 𝑡 +
1
𝐶
න
0
𝑡
𝑖 𝜏 . 𝑑𝜏 = 0
𝑖(𝑡) =
𝑑𝑞(𝑡)
𝑑𝑡
−𝑣 𝑡 + 𝐿 .
𝑑
𝑑𝑞 𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
+ 𝑅 .
𝑑𝑞 𝑡
𝑑𝑡
+
1
𝐶
න
0
𝑡 𝑑𝑞(𝑡)
𝑑𝑡
. 𝑑𝜏 = 0
−𝑣 𝑡 + 𝐿 .
𝑑2𝑞 𝑡
𝑑𝑡2
+ 𝑅 .
𝑑𝑞 𝑡
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑞(𝑡) = 0
𝑉𝑐(𝑠)
𝑉(𝑠)
= ?
Função de Transferência de Circuitos Elétricos (pag. 38) portaleletronica.com.br
𝐿 𝑅
𝑣𝑐 𝑡
𝑣 𝑡
𝑖 𝑡
𝐶
22
−𝑣 𝑡 + 𝐿 .
𝑑2𝑞 𝑡
𝑑𝑡2
+ 𝑅 .
𝑑𝑞 𝑡
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑞(𝑡) = 0
𝑣 𝑡 = 𝐿 .
𝑑2𝑞 𝑡
𝑑𝑡2
+ 𝑅 .
𝑑𝑞 𝑡
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑞(𝑡)
Tensão – carga no capacitor: 𝑣𝑐 𝑡 =
1
𝐶
. 𝑞(𝑡)
𝑞 𝑡 = 𝐶. 𝑣𝑐 𝑡
𝑣 𝑡 = 𝐿 .
𝐶. 𝑑2𝑣𝑐 𝑡
𝑑𝑡2
+ 𝑅 .
𝐶. 𝑑𝑣𝑐 𝑡
𝑑𝑡
+
1
𝐶
. 𝐶. 𝑣𝑐 𝑡
Obter a função de transferência 
relacionado a tensão, 𝑉𝑐 𝑠 .
Exemplo 2.6:
Função de Transferência de Circuitos Elétricos (pag. 38) portaleletronica.com.br
23
𝑣 𝑡 = 𝐿 .
𝐶. 𝑑2𝑣𝑐 𝑡
𝑑𝑡2
+ 𝑅 .
𝐶. 𝑑𝑣𝑐 𝑡
𝑑𝑡
+
1
𝐶
. 𝐶. 𝑣𝑐 𝑡
𝑣 𝑡 = 𝐿 . 𝐶.
𝑑2𝑣𝑐 𝑡
𝑑𝑡2
+ 𝑅. 𝐶 .
𝑑𝑣𝑐 𝑡
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑐 𝑡
Aplicando a transformada de Laplace com 
condições iniciais nulas:
ℒ 𝑣(𝑡) = 𝐿 . 𝐶. ℒ
𝑑2𝑣𝑐 𝑡
𝑑𝑡2
+ 𝑅. 𝐶. ℒ
𝑑𝑣𝑐 𝑡
𝑑𝑡
+ ℒ 𝑣𝑐 𝑡
Exemplo 2.6:
Função de Transferência de Circuitos Elétricos (pag. 38) portaleletronica.com.br
24
x
ℒ 𝑣(𝑡) = 𝐿 . 𝐶. ℒ
𝑑2𝑣𝑐 𝑡
𝑑𝑡2
+ 𝑅. 𝐶. ℒ
𝑑𝑣𝑐 𝑡
𝑑𝑡
+ ℒ 𝑣𝑐 𝑡
𝑉 𝑠 = 𝐿 . 𝐶. 𝑠2. 𝑉𝐶 𝑠 + 𝑅. 𝐶. 𝑠. 𝑉𝐶(𝑠) + 𝑉𝐶(𝑠)
𝑉 𝑠 = (𝐿 . 𝐶. 𝑠2 + 𝑅. 𝐶. 𝑠 + 1). 𝑉𝐶 (𝑠)
𝑉𝑐(𝑠)
𝑉(𝑠)
= ?
𝑉𝐶(𝑠)
𝑉 𝑠
=
1
(𝐿 . 𝐶. 𝑠2 + 𝑅. 𝐶. 𝑠 + 1)
1
(𝐿 . 𝐶. 𝑠2 + 𝑅. 𝐶. 𝑠 + 1)
𝑉𝐶(𝑠)𝑉(𝑠)
𝑉 𝑠 = 𝑉𝐶 𝑠 . (𝐿 . 𝐶. 𝑠
2 + 𝑅. 𝐶. 𝑠 + 1)
Diagrama de blocos de um 
circuito elétrico RLC série
Exemplo 2.6:
Função de Transferência de Circuitos Elétricos (pag. 38) portaleletronica.com.br
25
Resolução 2 – Resolvendo o circuito na Modelagem no Domínio de Frequência. Com os valores das
impedâncias
Domínio da frequência, (s)
𝑉𝑐 𝑠 = 𝐼 𝑠
1
𝑠𝐶
⇒ 𝑉𝑐 𝑠 =
𝑉(𝑠)
𝐿𝑠 + 𝑅 +
1
𝑠𝐶
.
1
𝑠𝐶
𝑉𝑐 𝑠
𝑉(𝑠)
=
1
𝐿𝐶𝑠2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1
Exemplo 2.6:
𝐿𝑠 𝑅
𝑉𝑐 𝑠
𝑉 𝑠
𝐼 𝑠 1
𝑠𝐶
Função de Transferência de Circuitos Elétricos (pag. 38) portaleletronica.com.br
26
Dado o circuito obter a função de transferência, 𝐼2 𝑠 , 𝑉(𝑠)
Exemplo 2.9:
Função de Transferência de Circuitos Elétricos (pag. 38) portaleletronica.com.br
27
➢ 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒊𝟏 𝒕 :
− 𝑉 𝑠 + 𝑅1 𝐼1 𝑠 + 𝐿𝑠 𝐼1 𝑠 − 𝐼2 𝑠 = 0
𝑅1 𝐼1 𝑠 + 𝐿𝑠𝐼1 𝑠 − 𝐿𝑠𝐼2 𝑠 = 𝑉 𝑠
[𝑅1 +𝐿𝑠] 𝐼1 𝑠 − 𝐿𝑠 𝐼2 𝑠 = 𝑉 𝑠
➢ 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒊𝟐 𝒕 :
𝐿𝑠 𝐼2 𝑠 − 𝐼1 𝑠 + 𝑅2 𝐼2 𝑠 + 𝑉𝐶(𝑡) = 0
𝐿𝑠 𝐼2 𝑠 − 𝐿𝑠𝐼1 𝑠 + 𝑅2 𝐼2 𝑠 +
1
𝐶𝑠
𝐼2 𝑠 = 0
−𝐿𝑠 𝐼1 𝑠 + 𝐿𝑠 𝐼2 𝑠 + 𝑅2 𝐼2 𝑠 +
1
𝐶𝑠
𝐼2 𝑠 = 0
−𝐿𝑠 𝐼1 𝑠 + 𝐿𝑠 + 𝑅2 +
1
𝐶𝑠
𝐼2 𝑠 = 0
Exemplo 2.9:
Amplificadores Operacionais (Nise pag. 48) portaleletronica.com.br
28
[𝑅1 +𝐿𝑠] 𝐼1 𝑠 − 𝐿𝑠 𝐼2 𝑠 = 𝑉 𝑠
−𝐿𝑠 𝐼1 𝑠 + 𝐿𝑠 + 𝑅2 +
1
𝐶𝑠
𝐼2 𝑠 = 0
Pela de regra de Cramer temos:
∆ =
𝑅1 + 𝐿𝑠 −𝐿𝑠
−𝐿𝑠 𝐿𝑠 + 𝑅2 +
1
𝐶𝑠
∆ 𝐼1(𝑠) =
𝑉(𝑠) −𝐿𝑠
0 𝐿𝑠 + 𝑅2 +
1
𝐶𝑠
∆ 𝐼2(𝑠) =
𝑅1 + 𝐿𝑠 𝑉(𝑠)
−𝐿𝑠 0
Exemplo 2.9:
Amplificadores Operacionais (Nise pag. 48) portaleletronica.com.br
29
[𝑅1 +𝐿𝑠] 𝐼1 𝑠 − 𝐿𝑠 𝐼2 𝑠 = 𝑉 𝑠
−𝐿𝑠 𝐼1 𝑠 + 𝐿𝑠 + 𝑅2 +
1
𝐶𝑠
𝐼2 𝑠 = 0
𝐼2 𝑠 =
∆ 𝐼2(𝑠)
∆
∆ 𝐼2(𝑠) =
𝑅1 + 𝐿𝑠 𝑉(𝑠)
−𝐿𝑠 0
∆ =
𝑅1 + 𝐿𝑠 −𝐿𝑠
−𝐿𝑠 𝐿𝑠 + 𝑅2 +
1
𝐶𝑠
Exemplo 2.9:
Amplificadores Operacionais (Nise pag. 48) portaleletronica.com.br
30
∆ = (𝑅1 +𝐿𝑠) . 𝐿𝑠 + 𝑅2 +
1
𝐶𝑠
− [ −𝐿𝑠 . (−𝐿𝑠)]
∆ = (𝑅1 +𝐿𝑠) . 𝐿𝑠 + 𝑅2 +
1
𝐶𝑠
− [ −𝐿𝑠 . (−𝐿𝑠)]
∆ 𝐼2(𝑠) =
𝑅1 + 𝐿𝑠 𝑉(𝑠)
−𝐿𝑠 0
∆ =
𝑅1 + 𝐿𝑠 −𝐿𝑠
−𝐿𝑠 𝐿𝑠 + 𝑅2 +
1
𝐶𝑠
∆ 𝐼2(𝑠) = (𝑅1 +𝐿𝑠) . 0 − [𝑉 𝑠 . −𝐿𝑠 ]
∆ 𝐼2(𝑠) = 𝑉 𝑠 . 𝐿𝑠
∆ = 𝑅1𝐿𝑠 + 𝑅1𝑅2 +
𝑅1
𝐶𝑠
+ 𝐿2𝑠2 + 𝐿𝑠𝑅2 +
𝐿𝑠
𝐶𝑠
− 𝐿2𝑠2
∆ = 𝑅1𝐿𝑠 + 𝑅1𝑅2 +
𝑅1
𝐶𝑠
+ 𝐿𝑠𝑅2 +
𝐿𝑠
𝐶𝑠
Exemplo 2.9:
Amplificadores Operacionais (Nise pag. 48) portaleletronica.com.br
31
∆ = 𝑅1𝐿𝑠 + 𝑅1𝑅2 +
𝑅1
𝐶𝑠
+ 𝐿𝑠𝑅2 +
𝐿𝑠
𝐶𝑠
∆ =
𝑅1𝐿𝑠𝐶𝑠 + 𝑅1𝑅2𝐶𝑠 + 𝑅1 + 𝐿𝑠𝑅2𝐶𝑠 + 𝐿𝑠
𝐶𝑠
∆ =
(𝑅1+𝑅2)𝐿𝐶𝑠
2 + (𝑅1𝑅2𝐶 + 𝐿)𝑠 + 𝑅1
𝐶𝑠
∆ =
𝑅1𝐿𝐶𝑠
2 + 𝑅1𝑅2𝐶𝑠 + 𝑅1 + 𝑅2𝐿𝐶𝑠
2 + 𝐿𝑠
𝐶𝑠
Exemplo 2.9:
Amplificadores Operacionais (Nise pag. 48) portaleletronica.com.br
32
∆ 𝐼2(𝑠) = 𝑉 𝑠 . 𝐿𝑠
∆ =
(𝑅1+𝑅2)𝐿𝐶𝑠
2 + (𝑅1𝑅2𝐶 + 𝐿)𝑠 + 𝑅1
𝐶𝑠
𝐼2 𝑠 =
det 𝐼2(𝑡)
∆
𝐼2 𝑠 =
𝑉 𝑠 . 𝐿𝑠
(𝑅1+𝑅2)𝐿𝐶𝑠
2 + (𝑅1𝑅2𝐶 + 𝐿)𝑠 + 𝑅1
𝐶𝑠
𝐼2 𝑠 = 𝑉 𝑠 . 𝐿𝑠
𝐶𝑠
(𝑅1+𝑅2)𝐿𝐶𝑠
2 + (𝑅1𝑅2𝐶 + 𝐿)𝑠 + 𝑅1
𝐼2 𝑠 =
𝑉 𝑠 . 𝐿𝐶𝑠2
(𝑅1+𝑅2)𝐿𝐶𝑠
2 + (𝑅1𝑅2𝐶 + 𝐿)𝑠 + 𝑅1
𝐺 𝑠 =
𝐼2 𝑠
𝑉 𝑠
=
𝐿𝐶𝑠2
(𝑅1+𝑅2)𝐿𝐶𝑠
2 + (𝑅1𝑅2𝐶 + 𝐿)𝑠 + 𝑅1
Exemplo 2.9:
Amplificadores Operacionais (Nise pag. 48) portaleletronica.com.br
33
𝐼2(𝑠)𝑉(𝑠)
Diagrama de blocos de um circuito elétrico
𝐿𝐶𝑠2
(𝑅1+𝑅2)𝐿𝐶𝑠
2 + (𝑅1𝑅2𝐶 + 𝐿)𝑠 + 𝑅1
Exemplo 2.9:
Amplificadores Operacionais (Nise pag. 48) portaleletronica.com.br
34
Um amplificador operacional, esboço na figura, é um amplificador eletrônico usado como bloco construtivo
básico para implementar funções de transferência. Possui as seguintes características:
1) Entrada diferencial, 𝑣2 𝑡 − 𝑣1 𝑡
2) Elevada impedância de entrada, 𝑍𝑖 = ∞ 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙
3) Baixa impedância de saída, 𝑍𝑜 = 0 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙
4) Elevado ganho de amplificação, 𝐴 = ∞ 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙
Amplificadores Operacionais (Nise pag. 47) portaleletronica.com.br
+ 𝑣2 𝑡
+ 𝑣1 𝑡
+
-
𝐴
𝑣𝑜 𝑡
+𝑉
−𝑉
A saída, 𝑣𝑜 𝑡 é da por:
𝑣𝑜 𝑡 = 𝐴(𝑣2 𝑡 − 𝑣1 𝑡 )
Amplificador Operacional
35
Amplificador Operacional Inversor
Amplificadores Operacionais (Nise pag. 47) portaleletronica.com.br
+ 𝑣2 𝑡
+ 𝑣1 𝑡
+
-
𝐴
𝑣𝑜 𝑡
+𝑉
−𝑉
Se for aterrada, como mostrado na figura, o amplificador é chamado amplificador operacional inversor. Para
o amplificador operacional inversor, temos:
𝑣𝑜 𝑡 = 𝐴(𝑣2 𝑡 − 𝑣1 𝑡 )
+ 𝑣2 𝑡
+ 𝑣1 𝑡
+
-
𝐴
𝑣𝑜 𝑡
Amplificador operacional Amplificador operacional inversor
⇒ 𝑣2 𝑡 = 0 ⇒ 𝑣𝑜 𝑡 = −𝐴𝑣1 𝑡
36
Amplificador Operacional Inversor
Amplificadores Operacionais (Nise pag. 47) portaleletronica.com.br
Se duas impedâncias forem conectadas ao amplificador operacional inversor, como mostra a figura,
podemos deduzir um resultado interessante se o amplificador possuir as características 1, 2, 3 e 4. Se a
impedância de entrada for elevada, então pela lei de Kirchhoff das correntes, temos:
Amplificador operacional inversor configurado para a
realização de uma função de transferência. Comumente
o ganho, A, do amplificador é omitido.
𝑉𝑖 𝑠
+
-
𝑉𝑜 𝑠
𝑍2 𝑠
𝑍1 𝑠 𝑉1 𝑠
𝐼1 𝑠 𝐼𝑎 𝑠
𝐼2 𝑠 𝐼𝑎 = 0
𝐼𝑎 𝑠 = 𝐼1 𝑠 + 𝐼2(𝑠)
𝐼1 𝑠 = −𝐼2(𝑠)
𝐼1 𝑠 =
𝑉1 𝑠
𝑍1 𝑠
𝐼2 𝑠 =
𝑉𝑜 𝑠
𝑍2 𝑠
𝑉1 𝑠
𝑍1 𝑠
= −
𝑉𝑜 𝑠
𝑍2 𝑠
𝑉𝑜 𝑠
𝑉1 𝑠
= −
𝑍2 𝑠
𝑍1 𝑠
37
Amplificadores Operacionais (Nise pag. 48) portaleletronica.com.br
Função de transferência – circuito com amplificador operacional
Obter a função de transferência, Τ𝑉𝑜(𝑠) 𝑉𝑖(𝑠) , para o circuito dado.
𝑣𝑖 𝑡
+
-
𝑣𝑜 𝑡
𝑅1= 360 𝑘Ω
𝑣1 𝑡
𝑖2 𝑡
𝐶1= 5,6 𝜇𝐹
𝑅2= 220 𝑘Ω 𝐶2= 0,1 𝜇𝐹
𝑖1 𝑡 𝑖𝑎 𝑡
𝑉𝑖 𝑠
+
- 𝑉𝑜 𝑠
𝑅1
𝑉1 𝑠 𝐼2 𝑠
1
𝐶1𝑠
𝑅2
1
𝐶2𝑠
𝐼1 𝑠 𝐼𝑎 𝑠
Exemplo 2.14:
38
Amplificadores Operacionais (Nise pag. 48) portaleletronica.com.br
𝑉𝑖 𝑠
+
- 𝑉𝑜 𝑠
𝑅1
𝑉1 𝑠 𝐼2 𝑠
1
𝐶1𝑠
𝑅2
1
𝐶2𝑠
𝐼1 𝑠 𝐼𝑎 𝑠
Exemplo 2.14:𝑍1 𝑒𝑞𝑢 𝑠 =
1
𝐶1𝑠
. 𝑅1
1
𝐶1𝑠
+ 𝑅1
𝑍1 𝑒𝑞𝑢 𝑠 =
𝑅1
𝐶1𝑠
1 + 𝐶1𝑠𝑅1
𝐶1𝑠
𝑍1 𝑒𝑞𝑢 𝑠 =
𝑅1
𝐶1𝑠
𝐶1𝑠
1 + 𝐶1𝑠𝑅1
𝑍1 𝑒𝑞𝑢 𝑠 =
𝑅1
1 + 𝐶1𝑠𝑅1
𝑍1 𝑒𝑞𝑢 𝑠 =
360𝑥103
1 + 5,6𝑥10−6 𝑠 360𝑥103
𝑍1 𝑒𝑞𝑢 𝑠 =
360𝑥103
2,061𝑠 + 1
39
Amplificadores Operacionais (Nise pag. 48) portaleletronica.com.br
𝑉𝑖 𝑠
+
- 𝑉𝑜 𝑠
𝑅1
𝑉1 𝑠 𝐼2 𝑠
1
𝐶1𝑠
𝑅2
1
𝐶2𝑠
𝐼1 𝑠 𝐼𝑎 𝑠
Exemplo 2.14:
𝑍2 𝑒𝑞𝑢 𝑠 = 𝑅2+
1
𝐶2𝑠
𝑍2 𝑒𝑞𝑢 𝑠 = 220𝑥10
3 +
1
0,1𝑥10−6𝑠
𝑍2 𝑒𝑞𝑢 𝑠 = 220𝑥10
3 +
107
𝑠
40
Amplificadores Operacionais (Nise pag. 48) portaleletronica.com.br
Exemplo 2.14:
𝑉𝑖 𝑠
+
-
𝑉𝑜 𝑠
𝑍2 𝑒𝑞𝑢 𝑠
𝑍1 𝑒𝑞𝑢 𝑠 𝑉1 𝑠
𝐼1 𝑠 𝐼𝑎 𝑠
𝐼2 𝑠
𝑉𝑜 𝑠
𝑉1 𝑠
= −
𝑍2 𝑠
𝑍1 𝑠
𝑉𝑜 𝑠
𝑉1 𝑠
= −
220𝑥103 +
107
𝑠
360𝑥103
2,061𝑠 + 1
𝑉𝑜 𝑠
𝑉1 𝑠
= −
220𝑥103𝑠 + 107
𝑠
360𝑥103
2,061𝑠 + 1
𝑍2 𝑒𝑞𝑢 𝑠 = 220𝑥10
3 +
107
𝑠
𝑍1 𝑒𝑞𝑢 𝑠 =
360𝑥103
2,061𝑠 + 1
𝑉𝑜 𝑠
𝑉1 𝑠
= −
(220𝑥103𝑠 + 107) (2,061𝑠 + 1)
360𝑥103𝑠
𝑉𝑜 𝑠
𝑉1 𝑠
= −
453420𝑠2 + 220𝑥103𝑠 + 2,061𝑥107𝑠 + 107
360𝑥103𝑠
41
Amplificadores Operacionais (Nise pag. 48) portaleletronica.com.br
Exemplo 2.14:
𝑉𝑖 𝑠
+
-
𝑉𝑜 𝑠
𝑍2 𝑒𝑞𝑢 𝑠
𝑍1 𝑒𝑞𝑢 𝑠 𝑉1 𝑠
𝐼1 𝑠 𝐼𝑎 𝑠
𝐼2 𝑠
⇒
𝑉𝑜 𝑠
𝑉1 𝑠
= −
453420𝑠2 + 20,83𝑥106𝑠 + 107
360𝑥103𝑠
𝑉𝑜 𝑠
𝑉1 𝑠
= −1,25𝑠2 − 57,86𝑠 − 27,77
O circuito resultante é chamado controlador PID e pode ser usado para melhorar o desempenho de um sistema de
controle, e será explorado no Cap. 9.
42
Amplificadores Operacionais (Nise pag. 49) portaleletronica.com.br
Amplificador Operacional Não-inversor
Vamos agora deduzir a função de transferência do amplificador operacional não-inversor:
𝑍1 𝑠 e 𝑍2 𝑠 formam um divisor de tensão
𝑉𝑜 𝑠 = 𝐴(𝑉𝑖 𝑠 − 𝑉1 𝑠 )
𝑉𝑖 𝑠
+
-
𝑉𝑜 𝑠
𝑍2 𝑠
𝑍1 𝑠
𝑉1 𝑠 𝐼2 𝑠
𝐼𝑎 𝑠
𝐼1 𝑠
𝑉𝑖 𝑠
+
-
𝑉𝑜 𝑠
𝑍2 𝑠
𝑍1 𝑠
𝑉1 𝑠 𝐼2 𝑠
𝐼𝑎 𝑠
𝐼1 𝑠
43
Amplificadores Operacionais (Nise pag. 49) portaleletronica.com.br
Amplificador Operacional Não-inversor
𝐼𝑎 𝑠 = 0 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑒𝑑â𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
𝐼2 𝑠 = 𝐼1 𝑠 + 𝐼𝑎 𝑠
𝐼2 𝑠 = 𝐼1 𝑠 = 𝐼 𝑠
𝑉𝑖 𝑠
+
-
𝑉𝑜 𝑠
𝑍2 𝑠
𝑍1 𝑠
𝑉1 𝑠 𝐼2 𝑠
𝐼𝑎 𝑠
𝐼1 𝑠
𝑉𝑜 𝑠 = 𝐼 𝑠 . (𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠))
𝐼 𝑠 =
𝑉𝑜 𝑠
𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)
𝑉1 𝑠 = 𝐼 𝑠 . 𝑍1
𝑉1 𝑠 =
𝑉𝑜 𝑠
𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)
. 𝑍1(𝑠)
𝑍1 𝑠 e 𝑍2 𝑠 formam um divisor de tensão
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟
44
Amplificadores Operacionais (Nise pag. 49) portaleletronica.com.br
Amplificador Operacional Não-inversor
𝑉𝑖 𝑠
+
-
𝑉𝑜 𝑠
𝑍2 𝑠
𝑍1 𝑠
𝑉1 𝑠 𝐼2 𝑠
𝐼𝑎 𝑠
𝐼1 𝑠
𝑉𝑜 𝑠 = 𝐴(𝑉𝑖 𝑠 − 𝑉1 𝑠 )
𝑉𝑜 𝑠 = 𝐴 𝑉𝑖 𝑠 −
𝑉𝑜 𝑠
𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)
. 𝑍1(𝑠)
𝑉𝑜 𝑠 = 𝐴. 𝑉𝑖 𝑠 − 𝐴.
𝑉𝑜 𝑠 . 𝑍1(𝑠)
𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)
𝑉𝑜 𝑠 + 𝐴.
𝑉𝑜 𝑠 . 𝑍1(𝑠)
𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)
= 𝐴. 𝑉𝑖 𝑠
𝑉𝑜 𝑠 . 1 +
𝐴. 𝑍1(𝑠)
𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)
= 𝐴. 𝑉𝑖 𝑠
𝐼 𝑠 =
𝑉𝑜 𝑠
𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)
𝑉1 𝑠 =
𝑉𝑜 𝑠
𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)
. 𝑍1(𝑠)
45
Amplificadores Operacionais (Nise pag. 49) portaleletronica.com.br
Amplificador Operacional Não-inversor
𝑉𝑖 𝑠
+
-
𝑉𝑜 𝑠
𝑍2 𝑠
𝑍1 𝑠
𝑉1 𝑠 𝐼2 𝑠
𝐼𝑎 𝑠
𝐼1 𝑠
𝑉𝑜 𝑠
𝑉𝑖 𝑠
=
𝐴
1 +
𝐴. 𝑍1(𝑠)
𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)
𝑉𝑜 𝑠
𝑉𝑖 𝑠
=
𝐴
𝐴. 𝑍1(𝑠)
𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝐴 ≫ 𝑚𝑢𝑖𝑡𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑧𝑎𝑟 1
𝑉𝑜 𝑠
𝑉𝑖 𝑠
= 𝐴 .
𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)
𝐴. 𝑍1(𝑠)
𝑉𝑜 𝑠
𝑉𝑖 𝑠
=
𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)
𝑍1(𝑠)
46
Amplificadores Operacionais (Nise pag. 49) portaleletronica.com.br
Exemplo 2.15:
Função de transferência – circuito com amplificador operacional não-inversor.
Obter a função de transferência, Τ𝑉𝑜(𝑠) 𝑉𝑖(𝑠) , para o circuito dado.
𝑣𝑖 𝑡
+
- 𝑣𝑜 𝑡
𝑅2
𝑅1
𝑣1 𝑡 𝑖2 𝑡
𝑖𝑎 𝑡
𝑖1 𝑡
𝐶2
𝐶1
𝑉𝑖 𝑠
+
-
𝑉𝑜 𝑠
𝑍2 𝑒𝑞𝑢 𝑠
𝑍1 𝑒𝑞𝑢 𝑠
𝑉1 𝑠 𝐼2 𝑠
𝐼𝑎 𝑠
𝐼1 𝑠
⇒
47
Amplificadores Operacionais (Nise pag. 49) portaleletronica.com.br
Exemplo 2.15:
𝑉𝑖 𝑠
+
-
𝑉𝑜 𝑠
𝑍2 𝑒𝑞𝑢 𝑠
𝑍1 𝑒𝑞𝑢 𝑠
𝑉1 𝑠 𝐼2 𝑠
𝐼𝑎 𝑠
𝐼1 𝑠
𝑍1 𝑒𝑞𝑢 𝑠 = 𝑅1+
1
𝐶1𝑠
𝑍2 𝑒𝑞𝑢 𝑠 =
1
𝐶2𝑠
. 𝑅2
1
𝐶2𝑠
+ 𝑅2
𝑍2 𝑒𝑞𝑢 𝑠 =
𝑅2
𝐶2𝑠
.
𝐶2𝑠
1 + 𝐶2𝑠𝑅2
𝑍2 𝑒𝑞𝑢 𝑠 =
𝑅2
1 + 𝐶2𝑠𝑅2
48
Amplificadores Operacionais (Nise pag. 49) portaleletronica.com.br
Exemplo 2.15:
𝑉𝑖 𝑠
+
-
𝑉𝑜 𝑠
𝑍2 𝑒𝑞𝑢 𝑠
𝑍1 𝑒𝑞𝑢 𝑠
𝑉1 𝑠 𝐼2 𝑠
𝐼𝑎 𝑠
𝐼1 𝑠
𝑍1 𝑒𝑞𝑢 𝑠 = 𝑅1+
1
𝐶1𝑠
𝑍2 𝑒𝑞𝑢 𝑠 =
𝑅2
1 + 𝐶2𝑠𝑅2
𝑉𝑜 𝑠
𝑉𝑖 𝑠
=
𝑍1(𝑠) + 𝑍2(𝑠)
𝑍1(𝑠)
𝑉𝑜 𝑠
𝑉𝑖 𝑠
=
𝑅1+
1
𝐶1𝑠
+
𝑅2
1 + 𝐶2𝑠𝑅2
𝑅1+
1
𝐶1𝑠
Sabendo que a função de transferência do amplificador operacional 
não-inversor é:
Portanto temos: