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Resistência dos Materiais I
Prof. MSc. Priscilla Camargo 1
Conteúdo Programático • Correção do exercício a aula anterior
• Exercícios sobre Tensão e Deformação
• Exercício proposto
• Correção dos exercícios propostos na 
aula passada
• Propriedades mecânicas dos materiais 
(Capítulo 3)
• Exercícios
• Exercício proposto
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Capítulo	3	– Propriedades	Mecânicas	dos	Materiais
1. Módulo de Elasticidade (E)
2. Lei de Hooke
3. Coeficiente de Poisson
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Conteúdo Programático
• Módulo de Elasticidade (E)
• Lei de Hooke
• Coeficiente de Poisson
• Exercícios
• Exercício Proposto
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Módulo de Elasticidade (E) – Módulo de Young
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• O módulo de elasticidade (E) do material
ensaiado é dado pelo coeficiente angular da
reta na região elástica;
• É um parâmetro que proporciona uma medida
da rigidez de um certo material sólido;
• Geralmente é conhecido, pois obtém-se em
ensaios, e é diferente de material para material.
𝐸 =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
=
𝜎𝑝
𝜀𝑝
Inclinação desta reta
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Módulo de Elasticidade (E) – Módulo de Young
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Quanto MAIOR o módulo de elasticidade MENOR é a sua deformação elástica 
resultante.
EXEMPLO: Imaginando-se uma borracha e um metal, e aplicando-se a mesma
tensão em ambos, verificaremos uma deformação elástica muito maior por parte da
borracha comparada ao metal.
Isto mostra que o módulo de Young do metal é mais alto que o da borracha e,
portanto, é necessário aplicar uma tensão maior para que ele sofra a mesma deformação
verificada na borracha.
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Módulo de Elasticidade (E) – Módulo de Young
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Materiais	Metálicos
Peso	
Específico	
(kg/m³)
Módulo	de	
Elasticidade	
(GPa)
Mód.
Elastic.	
Transversal	G	
(GPa)
Tensão	de	Escoamento	
se	(MPa)
Limite	de	Resistência	
sr (MPa) Coeficiente	de	
Poisson	n
Coeficiente	de	
dilatação	térmica	
a (10-6)/ºC
Tração Comp. Cisalh. Tração Comp. Cisalh.
Ligas	de	
alumínio	
forjadas
2014-T6 2790 73,1 27 414 414 172 469 469 290 0,35 23
6061-T6 2710 68,9 26 255 255 131 290 290 186 0,35 24
Ligas	de	
ferro
fundido
Cinzento	ASTM	2 7190 67 27 - - - 179 669 - 0,28 12
Maleável	ASTM	A-197 7280 172 68 - - - 276 572 - 0,28 12
Ligas	de	
cobre
Latão	vermelho	C83400 8740 101 37 70 70 - 241 241 - 0,35 18
Bronze	C86100 8830 103 38 345 345 - 655 655 - 0,34 17
Liga	de	
Magnésio Am 1004-T61 1830 44,7 18 152 152 - 276 276 - 0,3 26
Ligas	de	aço
Estrutural	A36 7850 200 75 250 250 - 400 400 - 0,32 12
Inoxidável		304 7860 193 75 207 207 - 517 517 - 0,27 17
Ferramenta	L2 8160 200 75 703 703 - 800 800 - 0,32 12
Ligas	de	
Titâneo T1-6A1-4V 4430 120 44 924 924 - 1000 1000 - 0,36 9,4
Módulo de Elasticidade (E) 
em GPa
Magnésio 45,0
Alumínio 69,0
Latão 97,0
Titânio 107,0
Cobre 110,0
Níquel 207,0
Aço 207,0
Tungstênio 407,0
Propriedades mecânicas médias de materiais típicos de engenharia - SI
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Lei de Hooke
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• Em 1676, Robert Hooke descobriu devido a relação linear mostrada no diagrama, que
um aumento na tensão provoca um aumento proporcional na deformação, o que
ficou conhecido como Lei de Hooke, que descobriu essa relação através de MOLAS.
𝜎 = E. 𝜀
onde:
E = módulo de elasticidade (ou módulo de Young)
ε = Deformação
O módulo de Young (E) só pode ser usado se o material tiver um 
comportamento linear elástico (ex: uma força aplicada a uma mola, ela faz 
com que ela volte ou não ao seu estado original)
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Lei de Hooke
Para entendermos melhor, considere a situação das molas a seguir:
𝜎
𝜀
=
𝜎2
𝜀2
= 𝐸	(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒	𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎)
𝑡𝑎𝑛𝛼	(𝐸) =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
=
𝜎𝑝
𝜀𝑝	
𝜎 = E. 𝜀
Como a força é proporcional a deformação, temos:
𝛼
Deformação
Te
ns
ão
CO = σ
CA = 𝛆
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Lei de Hooke
Devemos limitar nosso estudo a materiais que atendam a duas importantes condições:
1. MATERIAL HOMOGÊNEO: Uniformidade ao longo do corpo (possui as mesmas
propriedades físicas e mecânicas em todo seu volume).
2. MATERIAL ISOTRÓPICO: São materiais que apresentam as mesmas propriedades
físicas e mecânicas em todas as direções. Os líquidos, os gases e os sólidos são
exemplo de materiais isotrópicos. Ex: vidro e plástico.
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Coeficiente Poisson (𝜈)
• No início do século XIX, o cientista Siméon Denis Poisson, percebeu que dentro da faixa 
elástica, a razão entre as deformações devido às forças de tração e compressão, é uma 
constante, visto que 𝛿 e 𝛿’ são proporcionais. Essa constante foi denominada coeficiente de 
Poisson 𝜈 (nu).
Isto é, quando há o aumento de uma dimensão, a outra obrigatoriamente diminui.
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Coeficiente Poisson 
• O coeficiente de Poisson é adimensional;
• Seu valor numérico é único para um determinado material;
• O valor máximo possível para o coeficiente é de 0,5. Portanto:0 ≤ 𝜈 ≤0,5
• É representado pela letra grega 𝜈 (nu) e dada por:
𝜈 = −
𝜀;<=>?
𝜀@A>B
O sinal negativo deve-se ao alongamento longitudinal (deformação positiva) que provoca 
contração lateral (deformação negativa), e vice-versa. 
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Exercício de Fixação
1. Uma barra de aço A-36 (E = 200 GPa) tem comprimento de 1.250 mm e área da 
secção transversal de 430 mm². Determine o comprimento da barra se ela for submetida 
a uma tração axial de 25 kN. O material tem comportamento elástico linear.
𝐿 = L0 + δ𝐿 = 1250 + 0,363 = 1250,363	𝑚𝑚
𝜎 = E. 𝜀 → 𝜀 =
𝜎
𝐸
=
58,14	𝑀𝑃𝑎
200000	𝑀𝑃𝑎
= 2,907𝑥10VW
𝜎 =
F
𝐴
=
25000	𝑁
430	𝑚𝑚²
= 58,14	𝑀𝑃𝑎
δ𝐿 = L ∗ 𝜀 = 1250 ∗ 2,907𝑥10VW = 0,363	𝑚𝑚
A partir da força e área, obtemos a tensão:
Da Lei de Hooke, obtemos a deformação:
Relacionando o comprimento com a 
deformação que a barra sofrerá, temos o 
comprimento final:
𝐿 = 1250,363	𝑚𝑚
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Exercício de Fixação
2. A haste plástica é feita de Kevlar 49 e tem diâmetro de 10 mm. Supondo que seja 
aplicada uma carga axial de 80 kN, determinar as mudanças em seu comprimento e em 
seu diâmetro. EKevlar = 131 GPa; νKevlar = 0,34.
𝐿 = 100,777	𝑚𝑚
𝜙 = 99,973	𝑚𝑚
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Exercício de Fixação
3. A viga é sustentada por um pino em C e por 
um cabo de ancoragem AB de aço A-36. Se o 
cabo tiver diâmetro de 5 mm, determine quanto 
ele estica quando um carregamento distribuído 
w = 1,5 kN/m agir sobre a viga. O material 
permanece elástico. E = 200 GPa.
𝐿 = 3,97	𝑚𝑚
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Exercício de Fixação
4. A adição de plastificadores ao cloreto de polivinil
provoca a redução de sua rigidez. Os diagramas
tensão-deformação apresentados a seguir mostram
tal efeito para três tipos desse material. Especifique o
tipo que deve ser usado na fabricação de uma haste
com 125 mm de comprimento e 50 mm de diâmetro
que terá de suportar, no mínimo, uma carga axial de
100 kN e alongar, no máximo, 6 mm.
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Exercício Proposto
5. Um ensaio de tração para um aço-
liga resultou no diagrama tensão-
deformação ao lado. Calcule o módulo
de elasticidade com base em uma
formação residual de 0,2%. Identifique
no gráfico o limite de resistência e a
tensão de ruptura.
𝐸 = 215	𝐺𝑃𝑎
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Exercício Proposto
6. Um cilindro de concreto com 150 mm de
diâmetro e 300 mm de comprimento de
referência é testado sob compressão. Os
resultados do ensaio são apresentados na tabela
como carga em relação à contração.Rascunhe o
diagrama tensão-deformação, e a partir dele,
determinar o módulo de elasticidade médio.
Carga [kN] Contração [mm]
0 0
37 0,015
74 0,03
111 0,045
148 0,06
185 0,075
190 0,09
192,5 0,12
198 0,13
205,5 0,145
207 0,175
215 0,18
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Conteúdo
Fim
• Módulo de Elasticidade (E)
• Lei de Hooke
• Coeficiente de Poisson
• Exercícios
• Exercício Proposto
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Conteúdo Programático • Módulo de Elasticidade (E)
• Lei de Hooke
• Coeficiente de Poisson
• Exercícios
• Exercício Proposto
• Correção dos exercícios propostos na aula passada
• Exercícios (Capítulo 3)
• Exercício proposto
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Exercício de Fixação
7. A figura apresenta o diagrama tensão-
deformação para um aço-liga com 12 mm 
de diâmetro original e comprimento de 
referencia 50 mm. Determine os valores 
para o material, a carga aplicada ao corpo 
de prova que causa escoamento e a carga 
máxima que o corpo de prova suportará. 
𝐸 = 290	𝐺𝑃𝑎
𝑃 = 32,8	𝑘𝑁 e 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 62,2	𝑘𝑁
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Exercício de Fixação
8. A figura mostra o diagrama tensão×deformação para as fibras elásticas que
compõem a pele e os músculos dos seres humanos. Determine o modulo de
elasticidade (E) das fibras.
𝐸 = 38,5	𝑘𝑃𝑎
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Exercício de Fixação
9. Uma barra de aço A-36 tem 
comprimento de 1.500 mm e área de 
seção transversal de 450 mm². 
Determine o comprimento da barra se 
ela for submetida a uma tração axial de 
30 kN. O material tem comportamento 
elástico linear.
𝐿 = 1500,499	𝑚𝑚
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Exercício de Fixação
10. O diagrama 𝜎×𝜀 para o polietileno é determinado 
por um ensaio com um corpo de prova com 
comprimento de 250 mm. Se uma carga P aplicada 
desenvolver uma deformação 𝜀 = 0,024𝑚𝑚/𝑚𝑚 , 
determine o valor aproximado do comprimento do 
corpo de prova medido entre os pontos de referencia 
quando a carga é removida. Considere que o corpo de 
prova se recupere elasticamente. 𝐿 = 254,143	𝑚𝑚