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EEL660 – Controle Linear 1
Prof. Heraldo L. S. Almeida
O Método do
Lugar das Raízes
6
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6. O Método do Lugar das Raízes
6. O Método do Lugar das Raízes 733
6.1. Introdução
6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
6.3. Roteiro para Desenhar o Lugar das Raízes
6.4. Lugar das Raizes Generalizado
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6. O Método do Lugar das Raízes
6.1. Introdução
6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
6.3. Roteiro para Desenhar o Lugar das Raízes
6.4. Lugar das Raizes Generalizado
6. O Método do Lugar das Raízes 734
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6.1. Introdução
O projeto de um sistema de controle pelo
Método do Lugar das Raízes consiste em:
Determinar a trajetória dos polos de malha fechada em função 
de parâmetros do sistema (ganho de malha, polo, zero, etc.), 
ou seja, determinar o Lugar das Raízes, ou Root Locus.
Com base na análise do Lugar das Raízes, especificar um 
compensador e ajustar o ganho, os polos e os zeros desse 
compensador de modo que a localização dos polos de malha 
fechada corresponda ao desempenho dinâmico desejado, 
tanto em regime transitório quanto em regime estacionário.
6. O Método do Lugar das Raízes 735
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Consideremos o seguinte sistema em malha fechada:
6.1. Introdução
6. O Método do Lugar das Raízes 736
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Vamos unificar as funções de transferência no ramo
direto e no ramo de realimentação:
6.1. Introdução
6. O Método do Lugar das Raízes 737
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Vamos unificar as funções de transferência no ramo
direto e no ramo de realimentação:
6.1. Introdução
6. O Método do Lugar das Raízes 738
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Agora vamos acrescentar um ganho de malha direta �, 
que será variado de 0 a ∞ :
6.1. Introdução
6. O Método do Lugar das Raízes 739
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A função de transferência de malha fechada será dada por:
6.1. Introdução
6. O Método do Lugar das Raízes 740
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1 + �� � � � = 0
Os polos de malha fechada corresponderão às raizes da 
equação característica:
6.1. Introdução
6. O Método do Lugar das Raízes 741
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Exemplo: Sistema de rastreamento automático de 
objetos móveis em uma camera de segurança.
6.1. Introdução
6. O Método do Lugar das Raízes 742
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Exemplo: Sistema de rastreamento automático de 
objetos móveis em uma camera de segurança.
6.1. Introdução
6. O Método do Lugar das Raízes 743
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6.1. Introdução
6. O Método do Lugar das Raízes 744
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6.1. Introdução
6. O Método do Lugar das Raízes 745
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6. O Método do Lugar das Raízes
6.1. Introdução
6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
6.3. Roteiro para Desenhar o Lugar das Raízes
6.4. Lugar das Raizes Generalizado
6. O Método do Lugar das Raízes 746
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Seja
 � � � � = �
� + �
���
 + ⋯ + ��
�� + �
���
 + ⋯ + �� =
∏ � − �����
∏ � − �����
onde
� = número de zeros finitos de � � � �
� = número de polos finitos de � � � �
�
, ��, ⋯ , �� = zeros finitos de � � � �
�
, ��, ⋯ , �� = polos de � � � �
� ≤ � (função de transferência causal)
6. O Método do Lugar das Raízes 747
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
6. O Método do Lugar das Raízes 748
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
6. O Método do Lugar das Raízes 749
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
6. O Método do Lugar das Raízes 750
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 1 – Número de Trajetórias
Haverá � trajetórias, 1 para cada polo.
6. O Método do Lugar das Raízes 751
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 1 – Número de Trajetórias
O lugar das raízes é composto por � trajetórias, 1 para cada polo de malha fechada.
Por definição, o lugar das raízes é o conjunto dos pontos do plano
complexo que correspondem aos polos de malha fechada quando
� varia de 0 (início da trajetória) a	∞ (fim da trajetória).
Logo, haverá 1 trajetória para cada polo de malha fechada.
6. O Método do Lugar das Raízes 752
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 2 – Simetria
O Lugar das Raízes é simétrico em relação ao eixo horizontal.
6. O Método do Lugar das Raízes 753
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 2 – Simetria
O Lugar das Raízes é simétrico em relação ao eixo horizontal.
Como os polos com parte imaginária só ocorrem em pares 
conjugados, para cada trajetória atravessando o plano superior, 
haverá outra trajetória simétrica no plano inferior.
6. O Método do Lugar das Raízes 754
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 3 – Início e Fim das Trajetórias
As � trajetórias têm início nos � polos de � � � � , sendo que � delas terminam nos
� zeros finitos de � � � � e as � − � trajetórias restantes divergem para o infinito.
6. O Método do Lugar das Raízes 755
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6.2.Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 3 – Início e Fim das Trajetórias
As � trajetórias têm início nos � polos de � � � � , sendo que � delas terminam nos
� zeros finitos de � � � � e as � − � trajetórias restantes divergem para o infinito.
6. O Método do Lugar das Raízes 756
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 3 – Início e Fim das Trajetórias
As � trajetórias têm início nos �	polos de � � � � , sendo que	� delas terminam nos
� zeros finitos de � � � � e as � �� trajetórias restantes divergem para o infinito.
Para � 	 0 (início da trajetória), os polos de
malha fechada corresponderão às raízes de 
� � �! � , ou seja, aos polos de � � � � .
6. O Método do Lugar das Raízes 757
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 3 – Início e Fim das Trajetórias
As � trajetórias têm início nos �	polos de � � � � , sendo que	� delas terminam nos
� zeros finitos de � � � � e as � �� trajetórias restantes divergem para o infinito.
Para � 	 0 (início da trajetória), os polos de
malha fechada corresponderão às raízes de 
� � �! � , ou seja, aos polos de � � � � .
Para � 	 ∞ (fim da trajetória), � polos de
malha fechada corresponderão às raízes de 
" � "! � , ou seja, aos zeros de � � � � , 
enquanto que os outros � � � polos se 
tornarão infinitos em módulo. 
6. O Método do Lugar das Raízes 758
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 4 – Condição Angular
Um ponto do plano �∗ faz parte do Lugar das Raízes se e somente se
$ /� − ��
�
��
− $ /� − ��
�
��
= ±180( 2� + 1 , � = 0, 1, 2, ⋯
6. O Método do Lugar das Raízes 759
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 4 – Condição Angular
Um ponto do plano �∗ faz parte do Lugar das Raízes se e somente se
$ /� − ��
�
��
− $ /� − ��
�
��
= ±180( 2� + 1 , � = 0, 1, 2, ⋯
� � � � = ∏ � − ��
���
∏ � − �����
Pela condição de modulo,
/� � � � = ∑ /� − �����
 − ∑ /� − �����
 = 180(
6. O Método do Lugar das Raízes 760
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 4 – Condição Angular
Um ponto do plano �∗ faz parte do Lugar das Raízes se e somente se
$ /� − ��
�
��
− $ /� − ��
�
��
= ±180( 2� + 1 , � = 0, 1, 2, ⋯
� � � � = ∏ � − ��
���
∏ � − �����
Pela condição de modulo,
/� � � � = ∑ /� − �����
 − ∑ /� − �����
 = 180(
6. O Método do Lugar das Raízes 761
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 5 – Interseção com o Eixo Real
Fazem parte do Lugar das Raízes os segmentos do eixo real situados
à esquerda de um número ímpar de polos e/ou zeros reais.
6. O Método do Lugar das Raízes 762
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 5 – Interseção com o Eixo Real
Fazem parte do Lugar das Raízes os segmentos do eixo real situados
à esquerda de um número ímpar de polos e/ou zeros reais.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-1
-0.5
0
0.5
1
Cada zero à direita de um ponto de teste 
contribui com +180o = 180o.
Cada polo à direita de um ponto de teste 
contribui com –180o = 180o.
Polos ou zeros à esquerda de um ponto de 
teste contribuem com 0o.
Pares de polos ou zeros complexos
conjugados contribuem com 0o.
Portanto, a soma dos ângulos será 0o se o 
número de polos/zeros à direita do ponto
de teste for par, ou 180o se for ímpar .
6. O Método do Lugar das Raízes 763
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 6 – Assíntotas das Trajetórias Divergentes
As � − � trajetórias que divergem para o infinito aproximam-se assintoticamente de 
� − � retas cujos ângulos em relação ao eixo real são dados por
+, =
180(
� − � 2� + 1 , � = 0,1,2, ⋯ , � − � − 1
Estas � − � retas se interceptam no ponto -, do eixo real, dado por
-, =
∑ �����
 − ∑ �����
� − �
Demonstração: ver no Apêndice M.1 do livro do Norman Nise
6. O Método do Lugar das Raízes 764
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 6 – Assíntotas das Trajetórias Divergentes
As � − � trajetórias que divergem para o infinito aproximam-se assintoticamente de 
� − � retas cujos ângulos em relação ao eixo real são dados por
+, =
180(
� − � 2� + 1 , � = 0,1,2, ⋯ , � − � − 1
Estas � − � retas se interceptam no ponto -, do eixo real, dado por
-, =
∑ �����
 − ∑ �����
� − �
Exemplo:
6. O Método do Lugar das Raízes 765
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 6 – Assíntotas das Trajetórias Divergentes
As � − � trajetórias que divergem para o infinito aproximam-se assintoticamente de 
� − � retas cujos ângulos em relação ao eixo real são dados por
+, =
180(
� − � 2� + 1 , � = 0,1,2, ⋯ , � − � − 1
Estas � − � retas se interceptam no ponto -, do eixo real, dado por
-, =
∑ �����
 − ∑ �����
� − �
Exemplo:
6. O Método do Lugar das Raízes 766
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 6 – Assíntotas das Trajetórias Divergentes
As � − � trajetórias que divergem para o infinito aproximam-se assintoticamente de 
� − � retas cujos ângulos em relação ao eixo real são dados por
+, =
180(
� − � 2� + 1 , � = 0,1,2, ⋯ , � − � − 1
Estas � − � retas se interceptam no ponto -, do eixo real, dado por
-, =
∑ �����
 − ∑ �����
� − �
Exemplo:
6. O Método do Lugar das Raízes 767
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 6 – Assíntotas das Trajetórias Divergentes
As � − � trajetórias que divergem para o infinito aproximam-se assintoticamente de 
� − � retas cujos ângulos em relação ao eixo real são dados por
+, =
180(
� − � 2� + 1 , � = 0,1,2, ⋯ , � − � − 1
Estas � − � retas se interceptam no ponto -, do eixo real, dado por
-, =
∑ �����
 − ∑ �����
� − �
Exemplo:
6. O Método do Lugar das Raízes 768
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 7 – Pontos de Partida e de Chegada no Eixo Real
Os pontos de partida e de chegada das trajetórias no eixo real são os pontos do Lugar 
das Raízes que satisfazem .′ � 0 � − . � 0′ � = 0 , onde 0 � e . � são o 
numerador e o denominador de � � � � , respectivamente.
6. O Método do Lugar das Raízes 769
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade7 – Pontos de Partida e de Chegada no Eixo Real
Os pontos de partida e de chegada das trajetórias no eixo real são os pontos do Lugar 
das Raízes que satisfazem .′ � 0 � − . � 0′ � = 0	, onde 0 � e . � são o 
numerador e o denominador de � � � � , respectivamente.
A equação característica 1 � �� � � � 	 0 pode ser reescrita como o polinomio
. � � �0 � 	 0, onde 0 � é o numerador e . � é o denominador de � � � � .
6. O Método do Lugar das Raízes 770
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 7 – Pontos de Partida e de Chegada no Eixo Real
Os pontos de partida e de chegada das trajetórias no eixo real são os pontos do Lugar 
das Raízes que satisfazem .′ � 0 � − . � 0′ � = 0	, onde 0 � e . � são o 
numerador e o denominador de � � � � , respectivamente.
A equação característica 1 � �� � � � 	 0 pode ser reescrita como o polinomio
. � � �0 � 	 0, onde 0 � é o numerador e . � é o denominador de � � � � .
Devido à propriedade da simetria, os pontos de partida e chegada são
necessariamente raizes de multiplicidade par do polinômio . � � �0 � 	 0. 
6. O Método do Lugar das Raízes 771
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 7 – Pontos de Partida e de Chegada no Eixo Real
Os pontos de partida e de chegada das trajetórias no eixo real são os pontos do Lugar 
das Raízes que satisfazem .′ � 0 � − . � 0′ � = 0	, onde 0 � e . � são o 
numerador e o denominador de � � � � , respectivamente.
A equação característica 1 � �� � � � 	 0 pode ser reescrita como o polinomio
. � � �0 � 	 0, onde 0 � é o numerador e . � é o denominador de � � � � .
Devido à propriedade da simetria, os pontos de partida e chegada são
necessariamente raizes de multiplicidade par do polinômio . � � �0 � 	 0. 
Uma raiz múltipla de um polinômio também é raiz da derivada deste polinômio.
6. O Método do Lugar das Raízes 772
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 7 – Pontos de Partida e de Chegada no Eixo Real
Os pontos de partida e de chegada das trajetórias no eixo real são os pontos do Lugar 
das Raízes que satisfazem .′ � 0 � − . � 0′ � = 0	, onde 0 � e . � são o 
numerador e o denominador de � � � � , respectivamente.
A equação característica 1 � �� � � � 	 0 pode ser reescrita como o polinomio
. � � �0 � 	 0, onde 0 � é o numerador e . � é o denominador de � � � � .
Devido à propriedade da simetria, os pontos de partida e chegada são
necessariamente raizes de multiplicidade par do polinômio . � � �0 � 	 0. 
Uma raiz múltipla de um polinômio também é raiz da derivada deste polinômio.
Logo, toda raiz múltipla de . � � �0 � 	 0 é raiz de .′ � � �0′ � 	 0 e 
portanto satisfaz . � 0 �⁄ 	 .′ � 0′ �⁄ , ou .′ � 0 � � . � 0′ � 	 0
6. O Método do Lugar das Raízes 773
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 7 – Pontos de Partida e de Chegada no Eixo Real
Os pontos de partida e de chegada das trajetórias no eixo real são os pontos do Lugar 
das Raízes que satisfazem .′ � 0 � − . � 0′ � = 0	, onde 0 � e . � são o 
numerador e o denominador de � � � � , respectivamente.
A equação característica 1 � �� � � � 	 0 pode ser reescrita como o polinomio
. � � �0 � 	 0, onde 0 � é o numerador e . � é o denominador de � � � � .
Devido à propriedade da simetria, os pontos de partida e chegada são
necessariamente raizes de multiplicidade par do polinômio . � � �0 � 	 0. 
Uma raiz múltipla de um polinômio também é raiz da derivada deste polinômio.
Logo, toda raiz múltipla de . � � �0 � 	 0 é raiz de .′ � � �0′ � 	 0 e 
portanto satisfaz . � 0 �⁄ 	 .′ � 0′ �⁄ , ou .′ � 0 � � . � 0′ � 	 0
Portanto, os pontos de partida e chegada serão todas as raízes de .′ � 0 � �
. � 0′ � 	 0 que pertencerem ao Lugar das Raízes. 
6. O Método do Lugar das Raízes 774
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 7 – Pontos de Partida e de Chegada no Eixo Real
Os pontos de partida e de chegada das trajetórias no eixo real são os pontos do Lugar 
das Raízes que satisfazem .′ � 0 � − . � 0′ � = 0 , onde 0 � e . � são o 
numerador e o denominador de � � � � , respectivamente.
Exemplo:
6. O Método do Lugar das Raízes 775
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 7 – Pontos de Partida e de Chegada no Eixo Real
Os pontos de partida e de chegada das trajetórias no eixo real são os pontos do Lugar 
das Raízes que satisfazem .′ � 0 � − . � 0′ � = 0 , onde 0 � e . � são o 
numerador e o denominador de � � � � , respectivamente.
Exemplo:
2� + 3 �� − 8� � 15 − �� + 3� + 2 2� − 8 	 0
2�4 − 16�� + 30� + 3�� − 24� + 45 − 2�4 + 6�� + 4� + 8�� � 24� � 16 = 0
−11�� + 26� + 61 = 0
Ponto de Partida em −1.45 e ponto de chegada em +3.82
6. O Método do Lugar das Raízes 776
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 8 – Cruzamento com o Eixo Imaginário
O Lugar das Raízes cruza o eixo imaginário nos pontos onde alguma das raízes do 
polinômio característico tem parte real nula.
6. O Método do Lugar das Raízes 777
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 8 – Cruzamento com o Eixo Imaginário
O Lugar das Raízes cruza o eixo imaginário nos pontos onde alguma das raízes do 
polinômio característico tem parte real nula.
O cruzamento com o eixo imaginário pode ser obtido solucionando-se a equação
característica �� � � � = −1 para � 	 89.
6. O Método do Lugar das Raízes 778
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 8 – Cruzamento com o Eixo Imaginário
O Lugar das Raízes cruza o eixo imaginário nos pontos onde alguma das raízes do 
polinômio característico tem parte real nula.
O cruzamento com o eixo imaginário pode ser obtido solucionando-se a equação
característica �� � � � = −1 para � 	 89.
Exemplo: � � � � 	
: :;
 :;�
6. O Método do Lugar das Raízes 779
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 8 – Cruzamento com o Eixo Imaginário
O Lugar das Raízes cruza o eixo imaginário nos pontos onde alguma das raízes do 
polinômio característico tem parte real nula.
O cruzamento com o eixo imaginário pode ser obtido solucionando-se a equação
característica �� � � � = −1 para � 	 89.
Exemplo: � � � � 	
: :;
 :;�
Neste caso
<
�= �=;
 �=;�
	 �1 � 08, logo 9 	 & 2> para � = 6.
6. O Método do Lugar das Raízes 780
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 8 – Cruzamento com o Eixo Imaginário
O Lugar das Raízes cruza o eixo imaginário nos pontos onde alguma das raízes do 
polinômio característico tem parte real nula.
O cruzamentocom o eixo imaginário pode ser obtido solucionando-se a equação
característica �� � � � = −1 para � 	 89.
Exemplo: � � � � 	
: :;
 :;�
Neste caso
<
�= �=;
 �=;�
	 �1 � 08, logo 9 	 & 2> para � = 6.
Pode-se também utilizar o critério de Routh para encontrar os valores de � para os
quais o sistema em malha fechada fica criticamente estável e, em seguida, encontrar
os valores correspondentes de 9 igualando a parte real do polinômio característico a 
zero (somente as potências pares de � terão parte real não nula).
6. O Método do Lugar das Raízes 781
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 9 – Ângulos de partida/chegada nos polos/zeros complexos
O ângulo de chegada da trajetória em um zero complexo é dado por
+ �? = 180( − ∑ /�? − �����
�@?
+ ∑ /�? − �����
O ângulo de chegada da trajetória em um polo complexo é dado por
+ �? = 180( − ∑ /�? − �����
�@?
+ ∑ /�? − �����
6. O Método do Lugar das Raízes 782
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 9 – Ângulos de partida/chegada nos polos/zeros complexos
O ângulo de chegada da trajetória em um zero complexo é dado por
+ �? = 180( � ∑ 	/�? � �����
�@?
� ∑ 	/�? � ��
�
��
O ângulo de chegada da trajetória em um polo complexo é dado por
+ �? 	 180
( � ∑ 	/�? � ��
�
��
�@?
� ∑ 	/�? � ��
�
��
Condição angular :
∑ 	/� � �����
 � ∑ 	/� � �����
 	 180(
6. O Método do Lugar das Raízes 783
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 9 – Ângulos de partida/chegada nos polos/zeros complexos
O ângulo de chegada da trajetória em um zero complexo é dado por
+ �? = 180( � ∑ 	/�? � �����
�@?
� ∑ 	/�? � ��
�
��
O ângulo de chegada da trajetória em um polo complexo é dado por
+ �? 	 180
( � ∑ 	/�? � ��
�
��
�@?
� ∑ 	/�? � ��
�
��
Condição angular :
∑ 	/� � �����
 � ∑ 	/� � �����
 	 180(
Para �	muito próximo de �� :
/� � �� 	 180
( � ∑ 	/�? � ��
�
��
�@?
� ∑ 	/�? � ��
�
��
6. O Método do Lugar das Raízes 784
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 9 – Ângulos de partida/chegada nos polos/zeros complexos
O ângulo de chegada da trajetória em um zero complexo é dado por
+ �? = 180( � ∑ 	/�? � �����
�@?
� ∑ 	/�? � ��
�
��
O ângulo de chegada da trajetória em um polo complexo é dado por
+ �? 	 180
( � ∑ 	/�? � ��
�
��
�@?
� ∑ 	/�? � ��
�
��
Condição angular :
∑ 	/� � �����
 � ∑ 	/� � �����
 	 180(
Para �	muito próximo de �� :
/� � �� 	 180
( � ∑ 	/�? � ��
�
��
�@?
� ∑ 	/�? � ��
�
��
Para �	muito próximo de �� :
/� � �� 	 180
( � ∑ 	/�? � ��
�
��
�@?
� ∑ 	/�? � ��
�
��
6. O Método do Lugar das Raízes 785
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 9 – Ângulos de partida/chegada nos polos/zeros complexos
O ângulo de chegada da trajetória em um zero complexo é dado por
+ �? = 180( − ∑ /�? − �����
�@?
+ ∑ /�? − �����
O ângulo de chegada da trajetória em um polo complexo é dado por
+ �? = 180( − ∑ /�? − �����
�@?
+ ∑ /�? − �����
Exemplo:
6. O Método do Lugar das Raízes 786
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 9 – Ângulos de partida/chegada nos polos/zeros complexos
O ângulo de chegada da trajetória em um zero complexo é dado por
+ �? = 180( − ∑ /�? − �����
�@?
+ ∑ /�? − �����
O ângulo de chegada da trajetória em um polo complexo é dado por
+ �? = 180( − ∑ /�? − �����
�@?
+ ∑ /�? − �����
Exemplo:
6. O Método do Lugar das Raízes 787
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 9 – Ângulos de partida/chegada nos polos/zeros complexos
O ângulo de chegada da trajetória em um zero complexo é dado por
+ �? = 180( − ∑ /�? − �����
�@?
+ ∑ /�? − �����
O ângulo de chegada da trajetória em um polo complexo é dado por
+ �? = 180( − ∑ /�? − �����
�@?
+ ∑ /�? − �����
Exemplo:
6. O Método do Lugar das Raízes 788
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 1 – Número de Trajetórias
Haverá � trajetórias, 1 para cada polo.
Propriedade 2 – Simetria
O Lugar das Raízes é simétrico em relação ao eixo horizontal.
Propriedade 3 – Início e Fim das Trajetórias
As � trajetórias têm início nos � polos de � � � � , sendo que � delas terminam nos
� zeros finitos de � � � � e as � − � trajetórias restantes divergem para o infinito.
6. O Método do Lugar das Raízes 789
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 4 – Condição Angular
Um ponto do plano �∗ faz parte do Lugar das Raízes se e somente se
$ /� − ��
�
��
− $ /� − ��
�
��
= ±180( 2� + 1 , � = 0, 1, 2, ⋯
Propriedade 5 – Interseção com o Eixo Real
Fazem parte do Lugar das Raízes os segmentos do eixo real situados
à esquerda de um número ímpar de polos e/ou zeros reais.
6. O Método do Lugar das Raízes 790
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 6 – Assíntotas das Trajetórias Divergentes
As � − � trajetórias que divergem para o infinito aproximam-se assintoticamente de 
� − � retas cujos ângulos em relação ao eixo real são dados por
+, =
180(
� − � 2� + 1 , � = 0,1,2, ⋯ , � − � − 1
Estas � − � retas se interceptam no ponto -, do eixo real, dado por
-, =
∑ �����
 − ∑ �����
� − �
Propriedade 7 – Pontos de Partida e de Chegada no Eixo Real
Os pontos de partida e de chegada das trajetórias no eixo real são os pontos do Lugar 
das Raízes que satisfazem .′ � 0 � − . � 0′ � = 0 , onde 0 � e . � são o 
numerador e o denominador de � � � � , respectivamente.
6. O Método do Lugar das Raízes 791
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6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
Propriedade 8 – Cruzamento com o Eixo Imaginário
O Lugar das Raízes cruza o eixo imaginário nos pontos onde alguma das raízes do 
polinômio característico tem parte real nula.
Propriedade 9 – Ângulos de partida/chegada nos polos/zeros complexos
O ângulo de chegada da trajetória em um zero complexo é dado por
+ �? = 180( − ∑ /�? − �����
�@?
+ ∑ /�? − �����
O ângulo de chegada da trajetória em um polo complexo é dado por
+ �? = 180( − ∑ /�? − �����
�@?
+ ∑ /�? − �����
6. O Método do Lugar das Raízes 792
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6. O Método do Lugar das Raízes
6.1. Introdução
6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
6.3. Roteiro para Desenhar o Lugar das Raízes
6.4. Lugar das Raizes Generalizado
6. O Método do Lugar das Raízes 793
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6.3. Roteiro para Desenhar o Lugar das Raízes
Passo 1 : Marcar os polos e zeros de � � � � .
Passo 2 : Marcar segmentos do eixo real à esquerda de no ímpar de polos/zeros.
Passo 3 : Traçar � − � assíntotas com ângulos +, = 
ABC��� 2� + 1 , � = 1,2, ⋯ , � − �
interceptando-se em -, =
∑ DEFEGH �∑ IJKJGH
��� .
Passo 4 : Marcar os pontos de partida e de chegada no eixo real, que são as
raízes de .′ � 0 � − . � 0′ � = 0 , onde 0 � . �⁄ = � � � � .
Passo 5 : Marcar os pontos de cruzamento com o eixo Imaginário, resolvendo
�� 89 � 89 = −1.
Passo 6 – Marcar os ângulos de partida/chegada nos polos/zeros complexos:
+ �? = 180( − ∑ /�? − �����
�@?
+ ∑ /�? − �����
+ �? = 180( − ∑ /�? − �����
�@?
+ ∑ /�? − �����
6. O Método do Lugar das Raízes 794
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6.3. Roteiro para Desenhar o Lugar das Raízes
Exercícios
Desenhe o Lugar das Raízes para as seguintes funções de transferência de 
malha aberta, presumindo realimentação unitária (confira no Matlab!) :
a) d) g) 
b) e) h)
c) f) i)
6. O Método do Lugar das Raízes 795
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6.3. Roteiro para Desenhar o Lugar das Raízes
Formatos Típicos do Lugar das Raízes
6. O Método do Lugar das Raízes 796
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6.3. Roteiro para Desenhar o Lugar das Raízes
Formatos Típicos do Lugar das Raízes
6. O Método do Lugar das Raízes 797
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6. O Método do Lugar das Raízes
6.1. Introdução
6.2. Propriedades do Lugar das Raízes
6.3. Roteiro para Desenhar o Lugar das Raízes
6.4. Lugar das Raizes Generalizado
6. O Método do Lugar das Raízes 798
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6.4. Lugar das Raízes Generalizado
Podemos também utilizar o método do Lugar das Raízes para determinar a 
trajetória dos polos de malha fechada em função de outros parâmetros que 
não sejam o ganho de malha aberta, tais como polos, zeros ou coeficientes
polinomiais dos blocos que compõem o sistema.
6. O Método do Lugar das Raízes 799
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6.4. Lugar das Raízes Generalizado
Podemos também utilizar o método do Lugar das Raízes para determinar a 
trajetória dos polos de malha fechada em função de outros parâmetros que 
não sejam o ganho de malha aberta, tais como polos, zeros ou coeficientes
polinomiais dos blocos que compõem o sistema.
6. O Método do Lugar das Raízes 800
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6.4. Lugar das Raízes Generalizado
Podemos também utilizar o método do Lugar das Raízes para determinar a 
trajetória dos polos de malha fechada em função de outros parâmetros que 
não sejam o ganho de malha aberta, tais como polos, zeros ou coeficientes
polinomiais dos blocos que compõem o sistema.
6. O Método do Lugar das Raízes 801
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6.4. Lugar das Raízes Generalizado
Podemos também utilizar o método do Lugar das Raízes para determinar a 
trajetória dos polos de malha fechada em função de outros parâmetros que 
não sejam o ganho de malha aberta, tais como polos, zeros ou coeficientes
polinomiais dos blocos que compõem o sistema.
6. O Método do Lugar das Raízes 802
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6.4. Lugar das Raízes Generalizado
Podemos também utilizar o método do Lugar das Raízes para determinar a 
trajetória dos polos de malha fechada em função de outros parâmetros que 
não sejam o ganho de malha aberta, tais como polos, zeros ou coeficientes
polinomiais dos blocos que compõem o sistema.
6. O Método do Lugar das Raízes 803
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6.4. Lugar das Raízes Generalizado
Podemos também utilizar o método do Lugar das Raízes para determinar a 
trajetória dos polos de malha fechada em função de outros parâmetros que 
não sejam o ganho de malha aberta, tais como polos, zeros ou coeficientes
polinomiais dos blocos que compõem o sistema.
6. O Método do Lugar das Raízes 804
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6.4. Lugar das Raizes Generalizado
Exercício – Determine o Lugar das Raizes dos polos do sistema em malha
fechada abaixo em função do parâmetro p
1
.
6. O Método do Lugar das Raízes 805