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AOL 5 CALCULO INTEGRAL

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AOL 5 
1. 
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Pergunta 1
1 ponto
As substituições trigonométricas são úteis para facilitar a resolução de inúmeras integrais com integrandos que são compostos de raízes específicas. Busca-se substituir os argumentos dessas raízes por algumas funções trigonométricas, tais como sen(x), sec(x) e tg(x).
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica do método de substituições trigonométricas e dos conceitos estudados em Cálculo Diferencial e integral, associe os itens a seguir com os processos de substituição descritos:
1) x²/√(4 – x²).
2) 1/√(16 + x²).
3) (x² -16)/ √(x² + 8x + 16).
4) (x² – 16).
( ) Substituição x = 2sen(w).
( ) Substituição x = 4sec(w).
( ) Substituição x = 4tg(w).
( ) Não é necessário realizar substituição trigonométrica.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
1. 1, 4, 2, 3.
2. 1, 4, 3, 2.
3. 1, 3, 2, 4.
4. 2, 3, 1, 4.
5. 2, 1, 3, 4.
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2. 
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Pergunta 2
1 ponto
Algumas funções algébricas requerem substituições especiais para a resolução analítica de sua integral. Utiliza-se o recurso de substituição para conseguir evidenciar algum termo que possua integração mais simples, e isso ocorre, por exemplo, em integrais de funções com raízes, nas quais nos valemos, muitas das vezes, de identidades trigonométricas.
Dessa forma, considerando as funções f(x) = √(x²-4) e g(x) = 1/√(x²+4) e também seus conhecimentos sobre o método da integração por substituições trigonométricas desses tipos de funções, é correto afirmar que x passei direto
1. ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais
2. ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica correspondente restrito no intervalo [-pi/2, pi/2].
3. f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = atg(w).
4. ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica correspondente restrito no intervalo [0, pi/2[ ou [pi, 3pi/2].
5. f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = asen(w).
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3. 
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Pergunta 3
1 ponto
O estudo acerca das integrais é essencial para aqueles que estudam cálculo. Por meio delas, obtém-se uma medida analítica de algumas áreas, volumes e comprimentos. Portanto, reconhecê-las e utilizá-las é essencial. Existem inúmeros métodos de integração, cada um para um fim definido. O método de integração por partes é um deles, e é extremamente útil para a integração de uma categoria de funções.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integração por partes, analise as afirmativas a seguir:
I. A integração por partes é útil para se integrar certos tipos de produtos de funções.
II. A integração por partes pode ser concebida por meio da regra do produto das derivadas, realizando manipulações algébricas e integrando ambos lados da igualdade.
III. Esse método de integração consiste em transformar uma integral em termos de dv em outra em termos de du e um termo independente de integral.
IV. A função cos(x) é integrável por esse método.
Está correto apenas o que se afirma em:
1. II e IV.
2. I, III e IV.
3. II e III.
4. I, II e III.
5. I, II e IV.
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4. 
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Pergunta 4
1 ponto
As integrais são um dos principais objetos matemáticos utilizados pelo cálculo. É por meio delas que se tem uma mensuração mais precisa de áreas, volumes e comprimento de arcos de funções.
De acordo com seu conhecimento acerca das integrais definidas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) As integrais definidas de interesse para o cálculo de áreas entre curvas podem ser definidas em termos de subtrações ou soma de outras integrais.
II. ( ) A fórmula  representa o cálculo do volume de um sólido de revolução construído com eixo de rotação em x.
III. ( )  representa a fórmula para o cálculo do comprimento do arco de uma função.
IV. ( )  pode ser utilizada para o cálculo do volume de um sólido de revolução construído com eixo de rotação y.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
1. V, F, V, V.
2. F, F, V, F.
3. V, V, F, F
4. V, V, V, F.
5. V, V, F, V.
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5. 
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Pergunta 5
1 ponto
Os métodos de integração buscam auxiliar na resolução das integrais, em geral reescrevendo as integrais complexas em integrais mais simples e facilmente solucionáveis.
Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca dos métodos de integração, associe os itens a seguir com os significados descritos:
1) Integração por partes.
2) Integração por substituição trigonométrica.
3) Integração por frações parciais.
4) Integração por substituição u du.
( ) Método de substituição mais simples, que pode ser utilizado em inúmeros casos de integrais.
( ) Útil para integração de certos tipos de produtos de funções.
( ) Útil para a eliminação de tipos específicos de radicais nos integrandos.
( ) Utilizado para integração de funções racionais.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
1. 1, 2, 3, 4.
2. 1, 2, 4, 3.
3. 4, 1, 2, 3.
4. 3, 4, 2, 1.
5. 2, 1, 3, 4.
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6. 
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Pergunta 6
1 ponto
As integrais são instrumentos matemáticos valiosos para o cálculo de áreas, volumes e comprimentos de arcos de funções. Para o cálculo de áreas entre curvas, especificamente, elas podem ser manipuladas com somas e subtrações para a determinação de uma área de interesse.
Considere o cálculo da seguinte área, definida por uma reta e uma parábola:
1.png
Com base no seu conhecimento acerca do cálculo de áreas entre curvas por meio de integrais e do entendimento acerca de funções quadráticas e lineares, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A área hachurada na figura pode ser calculada pela fórmula da área de um triângulo, (base*altura)/2, que resultaria em 3/2.
II. ( ) As funções referentes a essa representação são y= x²+1 e y= 2.
III. ( ) A área hachurada na figura pode ser encontrada resolvendo as seguintes integrais: 
IV. ( ) É possível a determinação dessa área hachurada com apenas uma integral.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
1. V, F, F, V.
2. F, V, V, F.
3. F, V, F, F.
4. F, F, V, V.
5. V, F, V, F.
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7. 
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Pergunta 7
1 ponto
A escolha de um método de integração para a resolução de uma determinada integral pauta-se na identificação dos integrandos presentes nas integrais, ou seja, identificar se eles se tornam mais fáceis de serem resolvidos por um método ou outro. Os métodos mais comuns para esse uso são os de substituições trigonométricas, frações parciais, integrais por partes e afins.
Utilizando seus conhecimentos sobre os métodos de integração, analise as afirmativas a seguir:
I.  pode ser resolvida pelo método de frações parciais.
II.  pode ser resolvida pelo método de substituição u du.
III.  é solúvel pelo método das substituições trigonométricas.
IV.  pode ser resolvida pelo método de substituição trigonométrica
Está correto apenas o que se afirma em:
1. II e IV.
2. III e IV.
3. II, III e IV.
4. I, II e IV.
5. I, II e III.
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8. 
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Pergunta 8
1 ponto
As funções racionais possuem diversas aplicações em diversos estudos de fenômenos modelados matematicamente, de forma que o conhecimento da regra de integração de funções racionais por frações parciais é essencial para o bom aproveitamento dos conceitos estudados. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre regras de integração de funções racionais por frações parciais, é correto afirmar que:
I. f(x) = cos(x)/sen(x) é uma função integrável pelo fato de ser possível aplicar o método das frações parciais ou fazer alguma outra substituição para sua resolução.