Atividade 2 - CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL

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· Pergunta 1 
1 em 1 pontos
	
	
	
	Ao derivar uma função composta, é necessário aplicar a regra da cadeia. Verifique que a função  é uma composição da função seno com a função polinomial elevado a 2 (função potência). Assim, para derivar essa função, aplica-se inicialmente a derivada da função potência, em seguida, da função seno e, por fim, a função polinomial. 
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual é  o valor de 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
. 
	Resposta Correta: 
	
. 
	Feedback da resposta: 
	Resposta correta. De acordo com  os cálculos a seguir, o valor correto é . 
  
	
	
	
· Pergunta 2 
1 em 1 pontos
	
	
	
	Seja a função espaço tempo , em que t representa o tempo. A velocidade média em um intervalo de tempo inicial (  e tempo final  é dada por . A derivada de uma função aplicada a um ponto pode ser vista como uma taxa de variação instantânea. Na cinemática, dizemos que a função velocidade  é a derivada da função espaço em relação ao tempo , enquanto que a aceleração é a derivada da função velocidade em relação ao tempo . Com essas informações, considere a seguinte situação-problema: uma bola é atirada no ar com uma velocidade inicial de 40 m/s e sua altura (em metros), após t segundos, é dada por 
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir:
I. A velocidade média para o período de tempo que começa quando  e dura  é igual a -25,6 m/s.  
II. A velocidade instantânea quando  é igual a . 
III. O instante em que a velocidade é nula é .
IV. A altura máxima atingida pela bola é de 25 metros. 
 
Está correto o que se afirma em: 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
I, III e IV, apenas. 
	Resposta Correta: 
	
I, III e IV, apenas. 
	Feedback da resposta: 
	Resposta correta. A afirmativa I é correta, visto que a velocidade média para o período de tempo que começa quando  e dura  é igual a -25,6 m/s. De fato: . A afirmativa II é incorreta, uma vez que a velocidade instantânea quando  é igual a . 
A velocidade instantânea é dada por: 
 A afirmativa III é correta, porque o instante em que a velocidade é nula é . De fato: Por fim, a afirmativa IV é incorreta, dado que a altura máxima atingida pela bola é de 25 metros. De fato, nesse caso, o tempo para atingir a altura máxima é de  e . Portanto, a altura de máxima é de . 
	
	
	
· Pergunta 3 
0 em 1 pontos
	
	
	
	O estudante de uma universidade, para ter acesso ao seu armário, precisa de um código com 4 dígitos. O professor disponibilizou o código da seguinte forma: 1º dígito: , em que , 2º dígito: , em que , 3º dígito: , em que , 4º dígito: , em que  Para descobrir qual é o código, encontre o valor das derivadas. 
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique o código do armário do estudante. 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
2, 1, 1, 5. 
	Resposta Correta: 
	
2, 1, 1, 4. 
	
	
	
· Pergunta 4 
1 em 1 pontos
	
	
	
	As funções trigonométricas possuem características próprias, tornando-as funções de grande complexidade. Portanto, derivar essas funções a partir da definição de derivadas por limites, torna-se um trabalho árduo. Assim, a tabela de derivadas inclui fórmulas para derivar, também, as funções trigonométricas.
 
A respeito das derivadas de funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. (  ) .
II. (  ) .
III. (  ) .
IV. (  ) 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
V, F, F, V. 
	Resposta Correta: 
	
V, F, F, V. 
	Feedback da resposta: 
	Resposta correta. A afirmativa das alternativas I e IV é verdadeira, pois as derivadas estão de acordo com a tabela de derivadas. Já a afirmativa II é falsa, pois a derivada da função cossecante é dada por  Por fim, a afirmativa III também é falsa desde quando  a derivada da cotangete é 
	
	
	
· Pergunta 5 
1 em 1 pontos
	
	
	
	Para derivar funções, é necessário conhecer e saber utilizar as suas regras operatórias: deriva da soma entre duas funções, derivada do produto entre duas ou mais funções, derivada do quociente entre duas funções, derivada da cadeia, para derivar as funções constantes. Neste contexto, associe tais regras com suas fórmulas:
 
1 - Derivada do Produto.
2 - Derivada do Quociente.
3 - Derivada da Soma.
4 - Derivada da Cadeia.
 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
 
A partir das relações feitas anteriormente, assinale a alternativa que apresenta a sequência
correta. 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
2, 3, 1, 4. 
	Resposta Correta: 
	
2, 3, 1, 4. 
	Feedback da resposta: 
	Resposta correta. De acordo com as regras estudadas, temos que  = Derivada do Quociente.  = Derivada da Soma. = Derivada do Produto. = Derivada da Cadeia. 
	
	
	
· Pergunta 6 
0 em 1 pontos
	
	
	
	Para derivar a função , é necessário conhecer a derivada da função polinomial e regras operatórias da derivada. No entanto, inicialmente, deve-se simplificar a função, utilizando as regras operatórias da potência: soma, produto e quociente. 
 Nesse sentido, assinale a alternativa que indica qual o valor de 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
	Resposta Correta: 
	
  
	Feedback da resposta: 
	Sua resposta está incorreta. Os seguintes cálculos mostram que inicialmente foram aplicadas as propriedades de potência para simplificar a função e depois derivou-se a função adequadamente, obtendo o resultado de . 
  
  
  . 
	
	
	
· Pergunta 7 
1 em 1 pontos
	
	
	
	Existem funções que são definidas na forma implícita, ou seja, a variável dependente y  não se apresenta explicitamente como  A forma implícita pode ser representada como , como, por exemplo, a função  Verifique que, nesse caso, fica difícil explicitar a  variável dependente  y, portanto, é recomendável derivá-la implicitamente.  
A partir do apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I. A derivada da função  aplicada ao ponto é igual a .
Pois:
II. A função derivada de y=f(x) é igual a .
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
	Resposta Correta: 
	
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
	Feedback da resposta: 
	Resposta correta. A asserção I é uma proposição verdadeira y’=2e, desde quando a asserção II também é verdadeira. De fato, a derivada de y=f(x) é igual a  e é claro que ao aplicarmos o ponto (0,1), em que x=0 e y=1, o valor de y’ é igual a . Portanto, a segunda asserção justifica a primeira. 
	
	
	
· Pergunta 8 
0 em 1 pontos
	
	
	
	As derivadas das funções elementares podem ser obtidas através dos resultados tabelados. Os resultados da tabela foram obtidos através do limite por definição da derivada. Assim, é importante conhecer as derivadas das funções elementares para derivar funções com maior facilidade. 
A respeito das derivadas de funções elementares, considere  e analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. (  ) Se , então .
II. (  ) Se , então 
III. (  ) Se , então .
IV. (  ) Se  então .
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
V, V, V, V.
	Resposta Correta: 
	
V, F, V, F. 
	Feedback da resposta: 
	Sua resposta está incorreta.  A afirmativa I é verdadeira, se , então , por regra de derivação. A afirmativa II é falsa, visto que se , então , pois a derivada de uma constante é igual a zero. A afirmativa III é verdadeira, porque se , então, , como consta na tabela de derivadas. E finalmente, a afirmativa IV é falsa, dado que se então, . Verifique que a função  é uma função composta e, portanto, através da regra da cadeia 
	
	
	
· Pergunta 9 
1 em 1 pontos
	
	
	
	Na maioria das vezes, ao calcular o limite de uma função racional polinomial, pode ocorrer indeterminação matemática do tipo 0/0. Nesse caso, para determinar o limite, devemos fatorar as funções racionais polinomiais utilizando a fatoração do polinômio que, em certassituações, é um cálculo muito simples. 
Nesse contexto, encontre o limite   e assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para o limite. 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
4. 
	Resposta Correta: 
	
4. 
	Feedback da resposta: 
	Resposta correta. O valor correto para o limite é igual a 4. De fato, para fatorar o polinômio , utiliza-se a diferenças dos quadrados , portanto, , e o cálculo do limite é justificado da seguinte forma: . 
	
	
	
· Pergunta 10 
1 em 1 pontos
	
	
	
	Uma função, definida por várias sentenças pode ser derivada, respeitando-se a limitação do domínio para cada sentença e atendendo a condição para que a derivada de uma função exista num ponto : as derivadas laterais a direita, , e a derivada lateral à esquerda, , existem e são iguais. Segundo Fleming (2006) nem toda função contínua num ponto é derivável, no entanto, foi comprovado por teorema que toda função derivável num ponto é contínua. Considere a função f(x) a seguir, definida por várias sentenças:
FLEMING, D. M. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
 
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I.  (  ) A função   é derivável em .
II. (  ) A derivada de existe, pois as derivadas laterais são: .
III. (  ) A função  não é derivável em porque  não é contínua em .
IV. (  ) A função  é derivável em , porque  é contínua em . 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
F, F, V, F. 
	Resposta Correta: 
	
F, F, V, F. 
	Feedback da resposta: 
	Resposta correta. A afirmativa I é falsa, sendo que   é derivável em , logo, . De fato: 
. 
A afirmativa II é falsa, visto que a derivada de existe, pois , pois, . De fato:   . 
A afirmativa III é verdadeira, dado que  não é derivável em , porque  não é contínua em . De fato,  , portanto, f não é derivável em x=2. 
Já a afirmativa  IV é falsa, uma vez que  é derivável em  porque  é contínua em . O fato de uma função ser contínua não garante a sua derivabilidade.