AULA especial segunda serie ao cubo 07 05 2018

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Prof. J.Carlos (Jô)
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RESUMO TEÓRICO
Divisão Euclidiana
Aplicações Imediatas
[1] Considere todas as divisões entre os números naturais tais que o divisor é 13 e o resto é o triplo do quociente. Determinar a soma dos possíveis quocientes dessa divisões.
[2] Multiplicam-se o dividendo e o divisor por 2 numa divisão não-exata. Então o quociente fica:
(a) acrescido de 2;
(b) diminuído de 2;
(c) dividido por 2;
(d) inalterado;
(e) multiplicado por 2.
[3] (UFGO) O quociente de um número inteiro b por 20 é 7 e o resto é o maior possível. Determine o valor de b.
[4] (UFRJ) Determine os números naturais maiores do que zero que, ao serem divididos por 8, apresentam resto igual ao dobro do quociente.
[5] (Escola Naval) O 1989o algarismo depois da vírgula da expansão decimal é:
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 5
(e) 8
[6] (UNICAMP) A divisão de um certo número inteiro positivo N por 1 994 deixa resto 148. Calcule o resto da divisão de N + 2 000 pelo mesmo número 1 994.
[7] (UFRJ) Um número natural deixa resto 3, quando dividido por 7, e resto 5, quando dividido por 6. Qual o resto da divisão desse número por 42?
		
Aplicações Imediatas
[8] (EPCAR) Considere o número m = 488a9b, em que b é o algarismo das unidades e a é o algarismo das centenas Sabendo-se que m é divisível por 45, o valor da soma a + b é:
(a) 7
(b) 9
(c) 16
(d) 18
[9] Determine os restos obtidos nas divisões de 1 975 363 por 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10 e 11, sem efetuá-las ?
[10](UFRJ) Determine um número inteiro cujo produto por 9 seja um número natural composto apenas pelo algarismo 1.
[11] Determine os algarismos a e b para que o número 58 a3b seja divisível ao mesmo tempo por:
(a) 5 e 9;
(b) 2 e 5;
(c) 4 e 11.
[12] Mostre que a diferença entre os inteiros abc e cba com a maior que c é múltiplo de 11.
[13] Mostre que todo inteiro com três algarismos iguais é sempre divisível por 37.
Cálculo do MDC pelo método das divisões sucessivas
Exemplo: mdc(12;53)
	
	
	
	
	
	53
	12
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Aplicações imediatas
[14] Determinar a soma dos algarismos do menor inteiro natural que, quando dividido por 2, 3, 5 ou 9, deixa sempre resto 1.
[15] Determinar o menor número natural que deixa restos 3, 5 e 6 quando dividido por 5, 7 e 8, respectivamente.
[16] Em um terminal rodoviário, sabe-se que:
 a cada 50 minutos parte um ônibus da linha Amarela;
 a cada 30 minutos parte um ônibus da linha Verde;
 a cada 40 minutos parte um ônibus da linha Branca.
Considerando-se que às 8 horas houve uma partida simultânea de um ônibus de cada uma das três linhas, e considerando que o quadro de horários não sofrerá alterações, determinar a hora exata em que a próxima partida simultânea ocorrerá.
[17] Uma sala retangular de dimensões 36 m e 40 m deverá ter o seu piso preenchido com placas idênticas, de formato quadrado e dimensões inteiras. Qual é o menor número de placas quadradas necessário para revestir esse piso nas condições dadas, de maneira que não haja cortes ou sobras de material ?
AGORA É COM VOCÊ !!!
1. (Fuvest 2017) Sejam e dois números inteiros positivos. Diz-se que e são equivalentes se a soma dos divisores positivos de coincide com a soma dos divisores positivos de 
Constituem dois inteiros positivos equivalentes: 
a) e 
b) e 
c) e 
d) e 
e) e 
 
2. (Fgvrj 2016) O número 2016 pode ser decomposto como a soma de dois números naturais ímpares de várias maneiras. Por exemplo, e são duas dessas decomposições. Considere que as decomposições e sejam iguais.
O número de decomposições diferentes é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
3. (col. naval 2016) Na divisão exata do número por uma pessoa, distraidamente, dividiu por esquecendo o zero e, dessa forma, encontrou um valor unidades maior que o esperado. Qual o valor do algarismo das dezenas do número k? 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
4. (Fatec 2017) Para a realização de uma atividade, um professor pretende dividir a sua turma em grupos. O professor observou que, se dividir a turma em grupos de alunos, exatamente um aluno ficará de fora da atividade; se dividir em grupos de alunos, exatamente um aluno também ficará de fora.
Considere que nessa turma há alunos, dos quais são homens, e que o número de mulheres é maior que o número de homens.
Nessas condições, o menor valor de é um número 
a) primo e não par. 
b) par e não divisível por 
c) ímpar e divisível por 
d) quadrado perfeito. 
e) cubo perfeito. 
 
5. (col. naval 2017) O número tem algarismos e O com natural, resolvido pelo algoritmo das divisões sucessivas de Euclides, gera o esquema a seguir:
	
	
	
	
	
 quocientes
	
	
	
	
	
 dividendos e divisores
	
	
	
	
	
 restos
Sendo assim, é correto afirmar que a soma é igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
6. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2017) Um torneio de xadrez terá alunos de escolas. Uma das escolas levará alunos; outra, alunos; e outra, alunos. Esses alunos serão divididos em grupos, de modo que cada grupo tenha representantes das três escolas, e o número de alunos de cada escola seja o mesmo em cada grupo. Dessa maneira, o maior número de grupos que podem ser formados é 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
7. (Espm 2017) Dividindo-se o número natural por obtém-se quociente e resto Aumentando-se unidades no dividendo e mantendo-se o divisor, o quociente aumenta de unidade e a divisão é exata.
Sabendo-se que podemos afirmar que os divisores primos de são: 
a) e 
b) e 
c) e 
d) e 
e) e 
 
8. (Fatec 2017) Os números naturais de a foram dispostos, consecutivamente, conforme a figura, que mostra o começo do processo.
Nessas condições, o número está na 
a) 1ª linha. 
b) 2ª linha. 
c) 3ª linha. 
d) 4ª linha. 
e) 5ª linha. 
 
9. (Fgv 2017) O dono de uma papelaria comprou uma grande quantidade de canetas de dois tipos, e ao preço de e a dúzia, respectivamente, tendo pago na compra o valor de No total, ele saiu da loja com canetas, mas sabe-se que, para cada três dúzias de um mesmo tipo de caneta que comprou, ele ganhou uma caneta extra, do mesmo tipo, de brinde. 
Nas condições descritas, o total de dúzias de canetas do tipo que ele comprou foi igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
10. (col. naval 2017) O produto das idades de quatro irmãos é Além disso, todos os irmãos têm idades diferentes. Se o mais velho tem menos de anos, é correto afirmar que a maior soma possível dessas quatro idades é igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
11. (cp2 2017) No armazém de uma pastelaria, há tonéis distintos de , 19, e litros. Um tonel está cheio de nata e os restantes estão cheios de leite ou de chocolate líquido, havendo, no total, duas vezes mais leite do que chocolate. 
A capacidade do tonel que tem a nata é de 
a) litros. 
b) litros. 
c) litros. 
d) litros. 
12. (col. naval 2017) Os números e pertencem ao conjunto e são tais que Sendo assim, pode-se concluir que na divisão por deixa resto 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
13. (cftrj 2016) Observe as igualdades a seguir:
Encontre todos os divisores primos positivos do número 
14. (Insper 2016) Dez dados convencionais não viciados serão lançados simultaneamente. Se o produto dos números obtidos nas faces dos dados for igual a então a maior soma possível dos números obtidos nas faces dos dez dados será 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
15. (Ita 2018) Quantos pares de números inteiros positivos existem cujo mínimo múltiplo comum é Para efeito de contagem, considerar 
 
4
5
3
4
N
17
4.
5.
h
241
x
h(zw).
=×
MDC(x,25),
x
y
1
4
¬
x
25
z
w
¬
z
w
0
¬
xyzw+++
274
224
199
149
99
3
120
180
252
12
23
46
69
N
13,
Q
R.
2
1
QR16,
+=
N
2
19
2,3
13
3
17
3,5
7
5
11
0
3.000
2.017
A
B,
R$20,00
R$15,00
R$1.020,00.
777
B
52.
48.
45.
41.
37.
180.
12
16
19
20
22
25
6
15,
16
18,
20
31
16
18
19
20
x
y
C{17,20,23,26,,2018}
=
K
xy.
>
xy
201728,
×+
7,
0
1
3
4
5
1214
123219
123432116
12345432125
123201420152014321N
++=
++++=
++++++=
++++++++=
++++++++++=
M
LL
N.
252
235,
××
30.
31.
32.
33.
34.
(A,B)
3
12610?
´
(A,B)(B,A).
º
a
b
a
b
a
b.
8
9.
9
11.
10
12.
15
20.
16
25.
12015
+
132003
+
12015
+
20151
+
505.
504.
507.
506.
503.
k
50,
5,
22,5
1
2
3