Mov Oscilato_rio - AULA 2

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Oscilações
Tópicos Abordados: Aula-2
Pêndulo Simples.
Pêndulo Físico.
Oscilações Amortecidas
Oscilações Forçadas e Ressonância.
Oscilações
Oscilações
Oscilações
12.5 O Pêndulo Físico
Se um corpo oscila em torno de um eixo fixo 
que não passa pelo seu centro de massa, 
deve ser tratado como um pêndulo 
composto ou físico.
 O torque restaurador em torno de O:
é produzido pela componente tangencial do 
peso . Isto é
 
Aplicando a segunda lei de Newton para a 
rotação
 
 onde I é o momento de inércia 
τ
θmgdsen−
Pdmgdsen
 ×=⇒−= τθτ
∑ = ατ I
Sendo assim, 
ou
 
Para pequenas oscilações do pêndulo, podemos aproximar senθ ≈ θ , e 
teremos então: 
 
A equação anterior define a frequência angular de oscilação do 
pêndulo físico e a solução da equação diferencial é: 
2
2
td
dImgdsen θθτ =−=
0
2
2
=+ θθ sen
I
mgd
td
d
0
2
2
=+ θθ
I
mgd
td
d
mgd
IT
I
mgd πω 2=⇒=
)cos()( δϖθθ += tt m
Exercício Resolvido1: Uma placa circular de massa M e raio R está 
pendurada em um prego por uma pequena alça localizada em uma de 
suas extremidades. A placa oscila em um plano vertical. Determine a 
frequência angular e o período. 
Solução: A inércia à rotação I em torno do eixo dado é:
 
Placa:
Frequência: 
Período: 
 
 
 
)(2 paraleloseixosdosteoremadMII CM +=
222
2
3
2
1 RMRMRMI placa =+=
R
g
MR
MgR
I
mgd
3
2
2
3 2
===ω
===
g
RT
2
322 π
ϖ
π
 
 
 
 
Exercício Resolvido2: Um pêndulo físico na forma de corpo plano 
realiza movimento harmônico simples com uma frequência de 0,450 Hz. 
Se o pêndulo tem uma massa de 2,20 Kg e o pivô está localizado a 
0,350m do centro de massa, determine o momento da inércia do pêndulo 
ao redor do pivô.
Solução: O período:
Cálculo do momento de inércia:
Ou,
 
...22,2
45,0
11 seg
Hzf
T ===
( ) I
mgdmgd
IT
mgd
IT
2
22 )2(22 πππ =


=⇒=
2
2
2
2
2
)2,2(
)14,34(
350,0/81,92,2
)2(
)( smsmKgTmgdI ×
×
××==
π
2.944,0 mkgI =
 
 
 
 
Exercício Proposto1: Um pêndulo simples tem uma massa de 0,250kg 
e um comprtimento de 1,0m. Ele é deslocado por um ângulo de 150 e 
então liberado. Calcule (a) a velocidade máxima, (b) a aceleração angular 
máxima e (c) a força restauradora máxima.
Exercício Proposto2: Um pêndulo físico na forma de corpo plano realiza 
movimento harmônico simples com uma frequência de 0,450Hz. Se o 
pêndulo tem uma massa de 2,20kg e o pivô está localizado a 0,350m do 
centro de massa, determine o momento de inércia do pêndulo ao redor 
do pivô.
Exercício Proposto3:Uma haste rígida muito leve com comprimento de 
0,5m se estende ao longo da extremidade de uma régua de um metro. A 
régua é suspensa de um pivô na extremidade oposta da haste e colocada 
em oscilação.(a) Determine o período da oscilação. (b) Por que 
percentagem o período difere do período de um pêndulo simples com 
comprimento de 1,0m?
 
 
 
 
 
 
12.6 Oscilações Amortecidas
Em sistemas oscilatórios reais, forças 
resistivas, como o atrito, estão presentes e 
retardam o movimento do sistema. 
Consequentemente , a energia mecânica do 
sistema diminui com o tempo e o 
movimento é conhecido como amortecido
A força resistiva: é proporcional a 
velocidade do corpo que oscila. Isto é,
 A força restauradora: é 
vbR 

−=
kxFS −=
 
 
 
 
 
Aplicando a segunda lei de Newton
 Na forma diferencial, temos:
 
 Solução da ED Homogênea.
 Se a força resistiva for pequena, tal que, 
 a solução da ED homogênea é
mkb 4<
∑ =−−= xx mabvkxF
2
2
dt
xdm
dt
dxbkx =−−
( ) )cos()2/( φω += − tAex tmb
 
 
 
 
 
Neste caso, a frequência angular do movimento é
 Ou convinientemente, 
 Onde , é a frequência na ausência de amortecimento 
2
2




−=
m
b
m
kω
2
2
2




−=
m
b
oωω
m
k
o =ω
 
 
 
 
 
Se, o sistema tem um amortecimento crítico.
Porém, se o sistema tem um superamortecimento e a 
solução da ED homogênea passa ter a seguinte forma 
Obs.: Nestes dois casos de amortecimentos, os sistemas não 
oscilam.
2
2
0 2




<
m
bω
2
2
0 2




=
m
bω
tt eCeCx 21 21
αα −− +=
 
 
 
 
Generalidades das oscilações Livres.
 
Exercício Resolvido 3: Um pêndulo com um comprimento de 1,00m é
liberado de um ângulo inicial de 15,0o. Após 1000s, sua amplitude foi
reduzida pelo atrito a 5,50o. Qual é o valor de b/2m ?
Solução
A amplitude do sistema amortecido é 
Em t = 0s , 
Em t = 1000s, 
Então, 
Ou 
( ) tmbAex 2/−=
015== Ax
( ) ombAex 5,510002/ == ×−
( ) ombe 5,515 10002/ =×−
( ) 10002/..366,0
15
5,5 ×−== mbe
 
 
 
 
( )( )1000.2/ln..)366,0ln( mbe−=
131000,1
2
−−×= s
m
b
1000.
2
00,1 



−=−
m
b
Logo,
 
 
 
 
Exercício Resolvido 4: Uma massa de 2,20Kg oscila em uma mola de 
constante igual a 250 N/m com um período de 0,615 s. (a) Esse 
sistema é amortecido ou não? Como você sabe disso? Se for 
amortecido, encontre a constante de amortecimento b. (b) Esse sistema 
é não amortecido, subamortecido, criticamente amortecido ou 
superamortecido? Como você sabe que é assim?
Solução:
ou,
 
2
2
0
2
2
2
0 22 


−=⇒



−=
m
b
m
b ωωωω
2
2
0
2
2
2




−=




m
b
T
ωπ
2
2
0
2
2
37,104
615,0
2




−==




m
bωπ
 
 
 
 
Isto implica em dizer que, . Sendo assim o sistema pode 
ser amortecido ou subamortecido. Então,
 
 
b) Se , o sistema é chamado criticamente amortecido 
mas se , o sistema é chamado superamortecido. 




>
m
b
20
ω
37,1042
2
37,104
2
2
0 −


=⇒



−=
m
kmb
m
bω
skgb /39,1337,104
2,2
2502,2.2 =−



=




=
m
b
20
ω




<
m
b
20
ω
 
 
 
 
Exercício Proposto 4: Um oscilador harmônico amortecido consiste 
em um bloco (m = 2,0kg), uma mola ( k = 10,0 N/m) e uma força de 
amortecimento . Inicialmente, ele oscila com uma amplitude de 
25,0cm; devido ao amortecimento, a amplitude é reduzida para três 
quarto do seu valor inicial, quando são completadas quatro oscilações. 
(a) Qual o valor de b?. (b) Quanta energia foi perdida durante essas 
oscilações? 
 
Exercício Proposto 5: Considere que você está examinando as 
características do sistema de suspensão de um automóvel de 2000 kg. 
A suspensão “cede” 10 cm, quando o peso do automóvel inteiro é 
colocado sobre ela. Além disso, a amplitude da oscilação diminui 50% 
durante uma oscilação completa. Estime os valores de k e b para o 
sistema de mola e amortecedor em uma roda, considerando que cada 
uma suporta 500kg. 
 
mas se , o sistema é , uma mola (k superamortecido. 
vbF −=
 
12.7 Oscilações Forçadas e RessonânciaNo oscilador forçado, além das forças elástica e a resistiva, atua 
tambuma força propulsora que é periódica sob a forma com F0 
constante
Um exemplo comum de oscilador forçado é um oscilador 
amortecido impulsionado por uma força externa(propulsora) 
senoidal, cuja a frequência angular da força propulsora é diferente 
da frequência natural do sistema oscilante, 
. 
 
 
tsenF ϖ0
0ωω ≠
 
A segunda lei de Newton nos dá
 
Depois que a força propulsora começa agir sobre o oscilador 
inicialmentte estacionário, a amplitude da oscilação do sistema 
aumentará até atingir uma condição de estado estacionário na qual as 
oscilações ocorrem com amplitude constante. Neste caso, a solução da 
ED linear de segunda ordem não homogênea é
 
A expressão da amplitude de um oscilador forçado em função é
 
)cos( φω += tAx
2
2
dt
xdmkx
dt
dxbtsenFmaF o =−−⇒=∑ ω
( )
2
22
0
2
0 /




+−
=
m
b
mFA
ωωω
 
Quando , a amplitude de oscilação é máxima .
Quando a amplitude correspondente à oscilação forçada está 
próxima da frequência da oscilação natural do sistema, essa 
amplitude atinge um pico, dizemos que ocorreu o fenômeno da 
ressonância. A ressonância de um sistema mecânico pode ser 
destrutiva. Em projetos da aviação e de engenharia este conceito é 
fundamental. O tratamento matemático da ressonância é deixado para 
um curso de mecânica geral.
 
 
 
0ωω = MaxAA =
Torção
Oscilação
 
 
 
 
 
O sistema massa-mola quando excitado tem como característica a 
existência de uma freqüência específica onde ocorre o fenômeno da 
ressonância.O fator refere-se aos valores do amortecimento 
e A é a amplitude da oscilação.
mb /=γ
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