AP Controle Discreto

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CENTRO UNIVERSITÁRIO INTERNACIONAL UNINTER 
ESCOLA SUPERIOR POLITÉCNICA 
BACHARELADO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 
DISCIPLINA – ELETRÔNICA DE POTÊNCIA 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE PRÁTICA CONTROLE DISCRETO 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALUNO: EVERTON SILVA RIBEIRO 
PROFESSOR SAMUEL POLATO RIBAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COLATINA - ES 
2020 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
RESUMO ........................................................................................................................................................... 2 
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................ 3 
1.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.......................................................................................................... 3 
1.2 OBJETIVOS ......................................................................................................................................... 6 
2 METODOLOGIA .................................................................................................................................... 7 
2.1 DADOS TÉCNICOS E NECESSIDADES ESPECÍFICAS .................................................................... 8 
3 RESULTADOS E DISCUSSÃO .............................................................................................................. 8 
4 CONCLUSÕES ...................................................................................................................................... 16 
5 AGRADECIMENTOS ........................................................................................................................... 16 
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................................. 16 
 
 
 
 
2 
 
RESUMO 
 
Essa atividade prática auxilia o estudante a aplicar a teorização dos conteúdos de con-
trole discreto numa situação corriqueira em projetos de engenharia. Através do suporte de sof-
tware de ferramentas matemáticas (SCILAB) e adotando medidas de controle, o conteúdo 
abaixo apresentado, demonstra um projeto de um servossistema em uma fonte chaveada para 
regulação da tensão de saída, servossistemas são usados normalmente para indicar um sistema 
de controle de posição. A atividade ainda traz um conteúdo com desenvolvimento de um projeto 
de um controlador por realimentação de estados discretos utilizando uma metodologia de ga-
nhos por meio de um regulador quadrático linear (LQR). 
 
Palavras-chave: Discreto, Servossistema, Controlador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
As fontes chaveadas são circuitos cuja tensão de saída é controlada para que seja estável e 
não sofra variações mediante possíveis variações de parâmetros da planta. Uma possível topo-
logia utilizada em fontes chaveadas é mostrado na Figura 1. 
Figura 1 – Circuito de uma fonte chaveada. 
 
Com auxílio do SCILAB a atividade prática da disciplina Controle Discreto realizará uma 
sequência utilizada para projetar um sistema de controle e com a evolução e os dispositivos 
para implementação de controladores discretos, é importante que seja verificado como projetar 
tais controladores. 
1.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
Um servossistema é um sistema de controle em que, a um sinal de saída, deve-se seguir um 
sinal de entrada, que será chamado de referência. Em outras palavras, são destinados a seguir 
comandos, pois se houver uma alteração na referência, a saída deve ser corrigida, de modo que 
seu sinal seja igual ao da entrada. 
Representados abaixo os modelos de servossistemas e as características matemáticas de 
controle: 
 
 
 
4 
 
 Servossistemas com integrador; 
Nele, A, B e C são matrizes constantes, x é o vetor de estados da planta e u e y são os sinais 
escalares de controle e de saída, respectivamente. Esse tipo de servossistema é descrito, de 
forma geral, pelo diagrama de blocos da Figura 2. 
Figura 2 – Diagrama de blocos de um servossistema com integrador 
 
 
Para isso, comece considerando um sistema dado por: 
�̇� = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 (01) 
𝑦 = 𝐶x 
Matematicamente, o sinal de controle u, que é igual a u (t), na Figura 2 pode ser escrito 
como: 
𝑢 = −[ 0 𝑘2 𝑘3 … 𝑘𝑛] [
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
] + 𝑘1(𝑟 − 𝑥1) = 𝐾𝑥 + 𝑘1𝑟 (02) 
Suponha agora que o sinal de referência seja aplicado no instante t = 0. Então, para t > 0, o 
sistema é descrito conforme a equação (01), ou ainda por: 
�̇� = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 = (𝐴 − 𝐵𝐾)𝑥 + 𝐵𝑘1𝑟 (03) 
Em projeto de servossistemas, deseja-se que, em t = ∞, o sinal de controle seja nulo. Nesse 
caso, o sinal de entrada, r, será igual ao sinal de saída, y. Em regime permanente, ou seja, em t 
= ∞, os valores de x (t) e u (t) podem ser determinados da maneira que segue. Da equação (02), 
tem-se que: 
𝑥(∞)̇ = 0 = (𝐴 − 𝐵𝐾)𝑥(∞) + 𝐵𝑘1𝑟 (04) 
 
 
5 
 
Considerando que o sistema em questão é totalmente controlável, então é possível alocar 
os polos em qualquer parte do plano s. Sendo assim, considerando que todos os polos estão 
localizados no lado esquerdo do plano complexo, a matriz A–BK admite inversa, e, portanto, x 
(∞) pode ser escrito como: 
𝑥(∞) = −(𝐴 − 𝐵𝐾)−1𝐵𝑘1𝑟 (05) 
Da mesma maneira como pode ser obtido: 
𝑢(∞) = −𝐾𝑥(∞) + 𝑘1𝑟 = 0 (06) 
 
 Servossistemas sem integrador; 
Quando o servossistema não tem integradores na sua planta, deve-se inserir um entre o 
sinal de erro e a planta. Dessa forma, o sinal de erro será a entrada do integrador, e a sua saída 
será o sinal de entrada da planta. A Figura 3 apresenta o diagrama de blocos de um servossis-
tema com a inserção de um integrador conforme a descrição. 
Figura 3 – Servossistema com a inclusão de um integrador 
 
O servossistema da Figura 3 pode ser descrito matematicamente pelas seguintes equações: 
�̇� = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 (07) 
𝑦 = 𝐶x (08) 
𝑢 = −𝐾𝑥 + 𝑘1ξ (09) 
ξ ̇ = 𝑟 − 𝑦 = 𝑟 − 𝐶𝑥 (10) 
Nele, ξ é o sinal de saída do integrador. 
Vamos considerar, como no exemplo anterior, o sinal de entrada como um degrau unitário. 
Combinando as equações (07) e (08), tem-se: 
[
𝑥(𝑡)̇
(t)̇
] = [
𝐴 0
−𝐶 0
] . [
𝑥(𝑡)̇
(t)̇
] + [
𝐵
0
] 𝑢(𝑡) + [
0
1
] 𝑟(𝑡) (11) 
 
 
6 
 
A equação corresponde à representação do sistema da Figura 3 em espaço de estados. A 
teoria para a dedução das equações utilizadas está disponível em Ogata (2010, p. 676). 
1.2 OBJETIVOS 
Projetar um servossistema para controle de uma fonte chaveada para estabilização e regu-
lação da tensão de saída. 
Com o auxílio do Scilab, realize as etapas a seguir para projetar e analisar um sistema de 
controle para esta fonte chaveada e respectivamente apresentar os processos experimentais da 
primeira parte da atividade pratica representados abaixo. 
QUESTÃO 1) A partir da função de transferência da fonte chaveada, apresente a repre-
sentação por variáveis de estado. 
QUESTÃO 2) A partir da representação em espaço de estados, mostre a resposta a uma 
entrada do tipo degrau. 
Considere o tempo total da simulação 0,01 segundo, em intervalos de 0,0001 segundo. 
Verifique o valor da saída em regime permanente. 
QUESTÃO 3) Altere o valor de R para 4Ω, realize nova simulação a uma entrada do tipo 
degrau. Depois altere o valor para 10Ω e realize novasimulação. 
Mostre os resultados de simulação e comente a respeito. 
QUESTÃO 4) Para R = 2Ω, mostre a posição dos polos da planta no plano complexo. 
Lembrando que os polos são os autovalores da matriz A. 
QUESTÃO 5) Projete um servossistema utilizando a técnica de alocação de polos, de 
forma que os autovalores da matriz A–BK em malha fechada fiquem posicionados em –2500 
+ j4000, –2500 – j4000 e em –5000. Por se tratar de uma planta sem integrador, utilize o cri-
tério para projetos de servossistemas sem integrador. 
Mostre a rotina implementada no Scilab. 
QUESTÃO 6) Quais os ganhos da realimentação de estados resultante da alocação de 
polos? 
QUESTÃO 7) Mostre a resposta do sistema em malha fechada frente a uma entrada de-
grau. 
Multiplique a saída por 24 e compare com a do sistema em malha aberta. 
Comente as diferenças entre ambas. 
QUESTÃO 8) Para o sistema compensado, qual o tempo de pico e o sobressinal? 
 
 
7 
 
Para a mesma função de transferência da PARTE 1, projetar e analisar um controlador discreto 
por realimentação de estados, cujos ganhos são calculados por meio do regulador quadrático linear 
(LQR). 
Com a evolução e os dispositivos para implementação de controladores discretos, é importante 
que seja verificado como projetar tais controladores. 
Para a discretização e o projeto dos ganhos pelo LQR utilize os seguintes parâmetros. 
Período de Amostragem: 0,001 segundos. 
Matriz Q: Matriz diagonal com a diagonal principal igual 10 em todas as posições. 
Matriz R: Escalar igual a 1. 
Com o auxílio do Scilab, realize as etapas a seguir para projetar e analisar um sistema de 
controle para esta fonte chaveada e respectivamente apresentar os processos experimentais da 
primeira parte da atividade pratica representados abaixo. 
QUESTÃO 1: Apresente as matrizes da planta em espaço de estado discretizadas. 
QUESTÃO 2: Apresente a rotina implementada no Scilab que calcula os ganhos do LQR 
discreto para a planta em questão. 
QUESTÃO 3: Apresente os ganhos calculados pelo LQR discreto. 
QUESTÃO 4: Apresente a resposta do sistema com controle a uma entrada do tipo de-
grau unitário. 
QUESTÃO 5: Apresente as posições dos polos em malha fechada com os ganhos calcula-
dos pelo LQR discreto 
2 METODOLOGIA 
Circuito da Figura 1 a ser analisado e responder as necessidades o projeto prático: 
Figura 1 – Circuito de uma fonte chaveada. 
 
 
 
8 
 
2.1 DADOS TÉCNICOS E NECESSIDADES ESPECÍFICAS 
Circuito da Figura 1 é representado pela função de transferência dada por: 
Equação 12 – Função de transferência fonte chaveada 
 
Para obtenção dos resultados, considere os seguintes parâmetros da função de transferência, 
para que a tensão de saída da fonte chaveada seja de 24V. 
- D = 0,1333; 
- L = 1x10-3 H; 
- C = 220x10-6 F; 
- R = 2 Ω; 
- Vi = 180V; 
 O resultado da atividade pratica de Controle Discreto será utilizada com a utilização do 
software de simulação gratuito SCILAB. Download do software no endereço. 
http://www.scilab.org/en/download/6.0.1 
3 RESULTADOS E DISCUSSÃO 
PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS PARTE 1 
QUESTÃO 1) A partir da função de transferência da fonte chaveada, apresente a repre-
sentação por variáveis de estado. 
-->D = 0.1333; 
-->L = 1*10^-3; 
-->C = 220*10^-6; 
-->R = 2; 
-->Vi = 180; 
-->//F unção de Transferência 
-->s=%s 
-->G=syslin('c', D*V i/ (L*C *s^2+( L/ R)* s+1)) 
-->Gss=tf2ss(G) 
 
 
9 
 
-->A=Gs s(2) 
-->B=Gs s(3) 
-->C=Gss(4) 
-->D=Gs s(5) 
 
 
QUESTÃO 2) A partir da representação em espaço de estados, mostre a resposta a uma 
entrada do tipo degrau. 
Considere o tempo total da simulação 0,01 segundo, em intervalos de 0,0001 segundo. 
Verifique o valor da saída em regime permanente. 
-->t = 0:0.0001:0.01; 
-->y = csim('s tep',t,Gss); 
-->plot(t,y) 
-->xgrid : 
 
 
10 
 
 
 
QUESTÃO 3) Altere o valor de R para 4Ω, realize nova simulação a uma entrada do tipo 
degrau. Depois altere o valor para 10Ω e realize nova simulação. 
Mostre os resultados de simulação e comente a respeito. 
 
Notamos que o controle não se torna estável, tendo variações no plano complexo. 
 
QUESTÃO 4) Para R = 2Ω, mostre a posição dos polos da planta no plano complexo. 
Lembrando que os polos são os autovalores da matriz A. 
-->auto_valores =spec(Ahat) Auto_valores = 0. 
- 1136.3636 + 1803.9213i 
- 1136.3636 - 1803.9213i 
 
 
 
11 
 
QUESTÃO 5) Projete um servossistema utilizando a técnica de alocação de polos, de 
forma que os autovalores da matriz A–BK em malha fechada fiquem posicionados em –2500 
+ j4000, –2500 – j4000 e em –5000. Por se tratar de uma planta sem integrador, utilize o cri-
tério para projetos de servossistemas sem integrador. 
Mostre a rotina implementada no Scilab. 
-->Ahat=[ A zeros(2,1) ;- C 0] 
Ahat = 
0. 2048. 0. 
- 2219.4602 - 2272.7273 0. 
- 5.0992938 0. 0. 
-->Bhat=[ B;0 ] 
Bhat = 
0. 
10443.354 
0. 
--> Khat=ppol(Ahat,Bhat,[- 2500+4000*% i,- 2500- 4000*% i,- 5000]) 
Khat = 
1.9966602 0.7399225 - 1020.0467 
 
QUESTÃO 6) Quais os ganhos da realimentação de estados resultante da alocação de 
polos? 
Khat = 
1.9966602 0.7399225 - 1020.0467 
K = [khat (1) Khat (2)] 
K = 1.9966602 0.7399225 
Ki= 
1020.0467 
 
QUESTÃO 7) Mostre a resposta do sistema em malha fechada frente a uma entrada de-
grau. 
Multiplique a saída por 24 e compare com a do sistema em malha aberta. 
//Sistema em malha fechada 
Gnovo=A- B*K 
Hnovo=B*K i 
 
 
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Gservo= [Gnovo, Hnovo;- C 0] 
U=[0;0 ;1] 
Cnovo=[C 0] 
Gservo_comp=syslin(' c',Gservo,U,C novo,D ) 
yservo=csim('step',t, Gservo_comp) 
plot( t,24* y_servo ) 
xgrid 
 
QUESTÃO 8) Para o sistema compensado, qual o tempo de pico e o sobressinal? 
 
X:0.001 
Y:25.703 
 
PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS PARTE 2 
 
QUESTÃO 1: Apresente as matrizes da planta em espaço de estado discretizadas. 
 
 
13 
 
 
 
 
 
14 
 
 
 
QUESTÃO 2: Apresente a rotina implementada no Scilab que calcula os ganhos do LQR 
discreto para a planta em questão. 
 
 
QUESTÃO 3: Apresente os ganhos calculados pelo LQR discreto. 
0.0169897 0.0162669 - 0.0046724 
 
 
15 
 
 
QUESTÃO 4: Apresente a resposta do sistema com controle a uma entrada do tipo de-
grau unitário. 
 Gd_novo=Gd-Hd*K sistema_ mf=syslin(‘d’,Gd_novo,Hd,Cd_novo,Dd); 
=ones(1:5000); 
y_mf=flts(t,sistema_mf); 
plot(y_mf) xgrid; 
 
QUESTÃO 5: Apresente as posições dos polos em malha fechada com os ganhos calcula-
dos pelo LQR discreto 
auto_valores=spec(Gd_novo) 
plzr(sistema_mf)= 
- 0.0718172 + 0.4435468i 
- 0.0718172 - 0.4435468i 
 
 
 
 
16 
 
4 CONCLUSÕES 
Concluímos com exceto as experiências abortadas no controle de servossistemas, enfatiza-
mos também o auxílio da ferramenta matemática SCILAB, que com uma linguagem simples é 
capas de esboçar e representar cálculos complexos, embora um controle discreto seja utilizado 
em controle de plantas, observamos que no desenvolvimento e elaboração de ações no nosso 
cotidiano por mais simples que seja existe uma malha estruturada de controle realizando a ope-
rações de acordo com as necessidade funcionalidade e desempenho de máquinas e equipamen-
tos. 
5 AGRADECIMENTOS 
Agradecimento em especial ao Professor Samuel Polato Ribas, minha família e a institui-
ção por me propiciar condições e um conteúdo teórico de didático capaz de desenvolver um 
trabalho com essa importância na minha vida profissional e acadêmica. 
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
FRANKLIN, G. F.; POWELL, J. D.; EMAMI-NAEINI, A. Sistemas de Controle para En-
genharia. 6. ed. São Paulo: Bookman, 2013. 
NISE, N.S. Engenharia de sistemas de controle. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 
OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson, 2010.