Sobre a Indução

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SOBRE A INDUÇÃO 
 
Maria Cláudia Cabrini Grácio 
Faculdade de Filosofia e Ciências 
UNESP / Marília 
e-mail: cabrini@marilia.unesp.br 
 
 
1 Definindo indução 
 
Os primeiros estudos sobre indução que se tem notícia foram realizados 
por Aristóteles, em seus tratados sobre o raciocínio formal, buscando o estabe-
lecimento das proposições universais mediante a observação de casos particu-
lares destas. 
Na obra Primeiros analíticos, o uso do termo aparece associado ao méto-
do pelo qual estabelecemos proposições de universalidade restrita, uma vez 
que “se realiza levando-se em conta a totalidade dos casos particulares” (A-
RISTÓTELES, 1967a, 68b). Neste caso, a noção de indução se parece mais 
com um tipo de silogismo. 
Na obra Segundos analíticos, Aristóteles está interessado no estabeleci-
mento de verdades necessárias, proposições de universalidade irrestrita, usan-
do princípios de compatibilidade e incompatibilidade. Neste contexto, a indu-
ção pode, então, ser considerada como o método pelo qual estabelecemos 
proposições universais na metafísica, uma vez que, segundo Aristóteles, “a 
intuição é sempre verdadeira ... [e] é a intuição que apreende as premissas 
primárias” (ARISTÓTELES, 1967b, 100b). 
Entretanto, o sentido da palavra indução pelo qual estamos interessados 
aqui é aquele usado nas ciências naturais, ou seja, os procedimentos ou méto-
dos racionais pelos quais proposições são estabelecidas nas ciências naturais, 
cuja característica mais notável é o fato de suas conclusões estarem “em al-
gum sentido além de suas premissas, que são os fatos singulares da experiên-
cia” (KNEALE, 1952, p. 44). 
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Nesse sentido, o significado da palavra indução pode ser apresentado pe-
la definição dada em Edwards (1967), segundo a qual a palavra indução é usa-
da para cobrir os argumentos não demonstrativos, nos quais a verdade das 
premissas, embora não acarrete a verdade da conclusão, representa uma boa 
razão para acreditarmos na conclusão. 
Classicamente, a palavra “indução” é usada para descrever uma inferên-
cia que “conduza de enunciados singulares (por vezes denominados também 
enunciados ‘particulares’) tais como as descrições dos resultados de observa-
ções ou experimentos, para enunciados universais” (POPPER, 1975b, p. 27). 
 
2 O problema da indução 
 
Embora a palavra indução nunca tenha aparecido nos textos de David 
Hume, o questionamento sobre a validade ou justificativa racional para as infe-
rências indutivas, realizadas em ciências naturais, surge de forma indireta em 
suas obras que tratam da teoria do conhecimento, mais especificamente do 
conhecimento incerto. 
Na obra Investigação acerca do entendimento humano, publicada origi-
nalmente em 1748, Hume parte do princípio de que todas as percepções da 
mente podem ser classificadas em dois tipos: impressões e idéias, sendo que 
todas as nossas idéias ou percepções mais fracas são consideradas cópias de 
nossas impressões ou percepções mais vivas (HUME, 1972). 
Hume também afirma que todos os objetos da investigação humana po-
dem ser divididos em duas espécies: relações de idéias e questões de fato. À 
primeira espécie pertencem todas as afirmações que sejam intuitivamente ou 
demonstrativamente certas. A conexão com o “problema da indução” surge de 
sua visão segundo a qual todas as leis da natureza são raciocínios sobre ques-
tões de fato e estes, por sua vez, fundam-se na relação de causa e efeito, cujo 
conhecimento “não se obtém, em nenhum caso, por raciocínios a priori, porém 
nasce inteiramente da experiência quando vemos que quaisquer objetos parti-
culares estão constantemente conjugados entre si” (HUME, 1972, p. 31). 
Sobre a indução 3
Em sua teoria da causalidade, Hume defende a existência de três princí-
pios de conexão entre as idéias: semelhança, contigüidade e causação, consi-
derando esta última como uma relação entre eventos (causa e efeito), uma co-
nexão necessária. 
Segundo ele, a “transição do pensamento da causa ao efeito não se ba-
seia na razão. Sua origem deriva completamente do hábito e da experiência” 
(HUME, 1972, p. 54) e essa transição costumeira seria “o sentimento ou im-
pressão que origina a idéia de poder ou de conexão necessária” (HUME, 1972, 
p. 72). 
Tal necessidade consiste, então, na conjunção constante de objetos se-
melhantes, derivada inteiramente da uniformidade que se pode observar nas 
operações da natureza. 
Um exemplo clássico utilizado para representar o uso das inferências in-
dutivas é a nossa crença de que o sol nascerá amanhã. Tal expectativa está 
baseada na uniformidade da natureza que experimentamos (RUSSELL, 1939). 
Ao afirmar que todas as leis da natureza baseiam-se na relação de causa 
e efeito e que “após a conjunção constante de dois objetos somos levados tão 
somente pelo costume a esperar após um deles, o aparecimento do outro” 
(HUME, 1972, p. 149), esse filósofo tem gerado, desde então, uma inquietação 
entre os autores da área, levando-os à procura de uma teoria que se contrapo-
nha à sua. 
A teoria de Hume é, assim, a propulsora do “problema da indução”, apre-
sentado por meio de dois questionamentos que focalizavam especificamente 
dois aspectos: o lógico e o psicológico. Aqui estamos interessados em analisar 
o problema lógico da indução, ou em outras palavras: “HL: somos justificados 
em raciocinar partindo de exemplos (repetidos), dos quais temos experiências, 
para outros exemplos (conclusões), dos quais não temos experiência?” (POP-
PER, 1975a, p. 15). 
Hume responde que não há justificativa para a indução. Segundo ele, a 
indução não é válida porque leva a um regresso infinito, gerado pelo fato de 
que 
 
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todas as nossas conclusões experimentais decorrem da suposição 
de que o futuro estará em conformidade com o passado. Portanto, 
tentar provar a última suposição, por argumentos prováveis, por ar-
gumentos referentes à existência, consiste, certamente, em girar 
num círculo vicioso e dar por admitido o que precisamente se pro-
blematiza (HUME, 1972, p. 39). 
 
Com base nesse argumento, Hume afirma que a repetição de exemplos 
experimentados, por maior que seja o número e por mais uniforme que tenham 
sido as operações da natureza, não tem qualquer força como argumento racio-
nal para justificar que o futuro continuará do mesmo modo. 
A solução para o problema da justificação da indução tem sido perseguida 
há tempos pelos filósofos e encarada por alguns como um dos maiores desafi-
os da ciência. Esboçaremos na seção seguinte algumas das soluções propos-
tas para o problema da indução, lembrando, todavia, que todas se mostraram 
insuficientes. 
 
3 Respostas para o problema da indução 
 
Apresentamos, a seguir, as correntes mais significativas existentes1, isto 
é, aquelas que mais se destacam por oferecer respostas, ainda que insuficien-
tes para a solução do problema da indução, não falaciosas e com maior núme-
ro de defensores. 
 
3.1 Rejeição da indução 
 
Entre os autores contemporâneos que defendem a rejeição da indução 
como forma racional de gerar conhecimento científico, o mais influente é Karl 
Popper. Em 1934, Popper defende que a indução por repetição não existe, ou 
seja, “inferências que levam a teorias, partindo-se de enunciados singulares 
 
1 A categorização adotada para as respostas ao Problema de Hume é apresentada em Ed-
wards (1967). 
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‘verificados por experiência’ são logicamente inadmissíveis” (POPPER, 1975b, 
p. 41). 
Em contrapartida, Popper desenvolve uma teoria, amplamente conhecida 
por método hipotético-dedutivo,na qual usa a expressão “senso comum” para 
denotar a opinião de muitas pessoas, às vezes adequados ou verdadeiros e às 
vezes inadequados ou falsos. Por sua tese, o ponto de partida é o senso co-
mum e o grande instrumento para progredir é a crítica. 
Segundo Popper, devemos encarar todas as leis, ou teorias, como hipó-
teses ou conjecturas. Como a palavra “hipótese” é usada no sentido de uma 
proposição que apenas se conjectura ser verdadeira, uma vez que todas as 
teorias são hipóteses, todas elas podem ser derrubadas. 
Com base nas idéias novas, formuladas conjecturalmente e ainda não jus-
tificadas de algum modo, podemos tirar conclusões por meio da dedução lógi-
ca. Essas conclusões são em seguida comparadas entre si, com o que se põe 
à prova a coerência interna do sistema e, então, com outras teorias, com o ob-
jetivo sobretudo de determinar se a teoria representará um avanço de ordem 
científica. Finalmente, fazemos a comprovação da teoria por meio de aplica-
ções empíricas das conclusões que dela se possam deduzir. 
O critério adotado por Popper para a busca de teorias empíricas verdadei-
ras é a comprovação pela experiência por meio do método de falsificação. Ele 
não exige que 
 
um sistema científico seja suscetível de ser dado como válido, de 
uma vez por todas, em sentido positivo, [exige] porém, que sua forma 
lógica seja tal que se torne possível validá-lo por meio de recurso a 
provas empíricas, em sentido negativo: deve ser possível refutar, pe-
la experiência, um sistema científico empírico (POPPER, 1975b, p. 
42). 
 
Podemos assim, determinar no máximo a falsidade das teorias; em ne-
nhum caso o método pode estabelecer a verdade de uma teoria. Aceitamos, 
provisoriamente, uma teoria enquanto ela não for refutada. 
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3.2 Reconstrução da indução 
 
Nessa linha de resposta, abordamos os trabalhos desenvolvidos por John 
Stuart Mill e seguidores, que se enveredam a justificar a indução mediante a 
busca por um princípio indutivo supremo, e por Rudolf Carnap e seguidores, 
que recorrem a conceitos de probabilidade em sua justificação. 
Na obra A system of logic, publicada originalmente em 1843, Mill defende 
o estabelecimento de um princípio supremo da indução, baseado na justificati-
va de que se as induções de um certo tipo produzem sistematicamente conclu-
sões verdadeiras, deve existir uma regularidade global no universo que deve 
ser suscetível de expressão na forma de um princípio ou postulado da indução. 
Mill propõe que esse princípio é obtido por meio do Princípio de Causali-
dade Universal, a saber, “todo evento, ou o começo de todo fenômeno, tem 
uma causa, um antecedente, sobre a existência do qual ele é invariavelmente e 
incondicionalmente conseqüente” (MILL, 1967, p. 562). 
O método que Mill propõe usarmos para a descoberta da causa de um 
evento é uma adaptação da indução por eliminação de Francis Bacon. Ele ofe-
rece alguns métodos, cada um concebido como um argumento positivo ou 
mesmo como uma demonstração da conexão causal, a serem aplicados à 
hipótese sobre a causa de um fenômeno. O método da concordância (corres-
pondente ao teste de co-presença de Bacon) fornece-nos as condições neces-
sárias de um fenômeno; o método das diferenças (correspondente ao teste de 
co-ausência de Bacon) leva-nos às condições suficientes de um fenômeno e o 
método das variações concomitantes (correspondente ao teste de co-variação) 
leva-nos às condições necessárias e suficientes. 
Mill defende que a suposição subjacente em todo o desenvolvimento de 
seu método, a saber, que existe alguma causa para o fenômeno, é derivada do 
Princípio de Causalidade Universal. 
Sob o questionamento de como podemos garantir a verdade deste princí-
pio, Mill tenta não admitir qualquer demonstração a priori e admite que esse 
princípio é por si mesmo estabelecido por indução. Ele defende que a indução 
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usada para o estabelecimento do Princípio de Causalidade não é a mesma que 
o princípio pressupõe, não existindo, assim, um círculo vicioso no método. 
Entre as tentativas de se justificar a lógica indutiva por meio da associa-
ção a noções de probabilidade, consideramos o sistema proposto por Carnap, 
que procura definir um conceito de confirmação da hipótese H, confirmada pela 
evidência observacional E, que seja puramente lógico e, especificamente, ex-
presse relações lógicas entre proposições. 
A lógica indutiva desenvolvida por Carnap é construída sobre o conceito 
de grau confirmação. Ele usa o símbolo “c” para denotar o grau de confirmação 
e anota c(H, E) = q como “ ‘o grau de confirmação de H com respeito a E é q’, 
onde H e E são sentenças e q é um número real do intervalo 0 – 1” (CAR-
NAP, 1950, p. 23). 
O conceito de grau de confirmação está associado ao conceito de proba-
bilidade, definida como uma certa relação lógica objetiva entre duas proposi-
ções (hipótese e evidência). Quando dizemos que a probabilidade de H sobre 
E é alta, entendemos que E dá forte suporte para a suposição H, ou que H é 
altamente confirmada por E. 
Carnap concebe, então, a lógica indutiva como a teoria do conceito de 
probabilidade enquanto “grau de confirmação de uma hipótese H com respeito 
a uma proposição de evidência E, por exemplo, uma informação observacional” 
(CARNAP, 1950, p. 19). 
A lógica indutiva de Carnap é construída tomando-se por base a lógica 
dedutiva, mediante a introdução de uma definição de “c”. Desse modo, os teo-
remas da lógica indutiva não tratam somente da função c, mas também das 
sentenças obtidas pelas regras de dedução. A definição de c constitui as regras 
de indução. 
Carnap destaca que a verdade e o conhecimento da evidência E, embora 
sejam relevantes para as aplicações da regra indutiva, “são irrelevantes para a 
validade das proposições em lógica indutiva, como para aquelas em lógica de-
dutiva” (CARNAP, 1950, p. 192). 
 
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3.3 Defesa pragmática 
 
O princípio defendido por autores que apresentam soluções para o pro-
blema da indução sob este tipo de abordagem é a reflexão que, na vida cotidi-
ana, algumas vezes, surgem situações nas quais, na falta de argumentos váli-
dos, ou seja, do conhecimento das conclusões verdadeiras, as tomadas de de-
cisões podem ser justificadas no efeito prático do conhecimento formulado no 
argumento. Entre as soluções desse tipo estão as oferecidas por Charles S. 
Peirce e por Hans Reichenbach. 
Em sua obra Ampliative reasoning, Peirce concebe a indução como um 
processo de testar hipóteses estatísticas mediante o exame de amostras alea-
tórias. Ele usa esse procedimento combinado com o processo de dedução es-
tatística, que consiste em deduzir com base na freqüência da ocorrência de um 
atributo em uma população, a ocorrência provável e aproximada daquele atri-
buto numa amostra retirada aleatoriamente dela. Assim, a justificação da indu-
ção defendida por ele depende essencialmente da casualidade das amostras 
usadas. 
Uma concepção menos complexa de método indutivo sob a defesa prag-
mática da indução é aquela oferecida em Reichenbach (1938). Do ponto de 
vista de Reichenbach, o único modo possível de se defender racionalmente 
uma conclusão de um argumento indutivo é usando o conceito de probabilida-
de, concebido como um limite de freqüências relativas da ocorrência do atributo 
em uma seqüência infinitamente longa de eventos. 
Reichenbach sustenta o uso de freqüência relativa averiguada experimen-
talmente sob uma justificação pragmática, ou seja, que não perdemos nada ao 
adotarmos esse procedimento indutivo, uma vez que se uma seqüência de e-
ventos sob investigação é suficientemente regular para tornar possívela indu-
ção, o uso de freqüência relativa é compelido a produzir o resultado definitiva-
mente desejado, ao passo que, se a seqüência é irregular o suficiente para der-
rotar a política indutiva por ele adotada, nenhuma outra política fornecerá solu-
ção satisfatória. 
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3.4 Justificação como pseudo-problema 
 
Existem autores, como P. Edwards, que argumentam que a justificação 
racional solicitada para uma resposta positiva ao problema da indução, como 
tradicionalmente formulado, é uma tarefa impossível de se cumprir (ED-
WARDS, 1949). Segundo esses autores, uma vez que a indução é por defini-
ção uma operação não dedutiva (no sentido clássico), exigir que ela satisfaça 
condições de correção apropriadas somente para a dedução da lógica clássica 
é transferir os critérios de avaliação de um domínio para outro, em que eles são 
inadequados. 
Sob esta abordagem, está a defesa de que o uso correto de termos como 
“razoável” e “boas razões” provém de uma instituição indutiva, definida como 
um sistema complexo de modos de aprendizagem com base na experiência. 
Segundo Edwards, como outras instituições, esta “tem uma estrutura relativa-
mente fixa, embora não imutável, transmitida de uma geração para outra e cris-
talizada na forma de proibições e licenças, máximas de conduta e preceitos 
informais de performance” (EDWARDS, 1967, p. 178). 
As regras que constituem a instituição indutiva são, segundo esta aborda-
gem, altamente abstratas, esquemáticas e limitadas em sua utilidade prática, 
uma vez que elas estipulam importantes condições gerais que não podem ser 
violadas sem gerar insensatez. 
As normas podem ser pensadas como cristalizações formais dentro das 
regras lingüísticas que oferecem maneiras gerais de responder ao universo, 
fundadas pelos nossos antecedentes, para garantir sua sobrevivência. Entre-
tanto, as experiências anteriores da raça nunca têm autoridade absoluta. 
 
4 Considerações finais 
 
Observamos que, aparentemente, cada abordagem parece estar preocu-
pada em explicar uma forma diferente de raciocínio indutivo e estar dirigida a 
uma finalidade específica; por exemplo, inferências realizadas no dia a dia e 
justificação das leis das ciências naturais. 
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Peirce e Reichenbach estavam ocupados com modos de tomarmos a me-
lhor decisão diante de situações em que não temos todas as informações. 
Popper estava preocupado em justificar a presença de generalizações univer-
sais nas teorias naturais, uma vez que a construção de teorias e hipóteses a-
ceitas provisoriamente, após testa-las, constitui traço marcante da atividade 
científica (POPPER, 1975b). 
Carnap não se propõe a atribuir certeza absoluta às suas proposições de 
confirmação. Ele afirma que os conceitos de “verdadeiro” e “conhecido como 
verdadeiro” são de natureza totalmente diferente. O segundo refere-se às evi-
dências dadas e o primeiro não. Assim, valores de probabilidade são funda-
mentalmente diferentes de valores de verdade. 
Por vezes, o método pragmático, que não tenciona levar em conta a ver-
dade absoluta da proposição, parece ser a melhor abordagem, dado que até 
hoje nosso conhecimento parcial tem-nos levado a avanços em todas as áreas 
da ciência; por vezes, o método hipotético-dedutivo que toma hipóteses como 
verdadeiras e trabalha sob esta teoria até que ela se mostre errada parece ser 
o melhor. 
Segundo Da Costa (1981, p. 17), “em certo sentido óbvio, as inferências 
indutivas todas se reduzem ao método hipotético-dedutivo”. Essa inserção de 
uma teoria indutiva dentro do método de Popper pode ser considerada assu-
mindo como hipóteses todas as proposições válidas daquela teoria que este-
jam baseadas na experiência. 
Existem, todavia, críticas sobre todas essas abordagens destinadas a so-
lucionar o problema da indução (conferir em Edwards (1967)), que nos indicam 
que nenhuma delas constitui uma teoria de indução plenamente satisfatória. 
Nas últimas décadas, observamos o desenvolvimento de várias outras 
tentativas para a representação de algumas formas de argumento indutivo. 
Em 1980, a revista Artificial Intelligence dedicou uma edição inteira às a-
bordagens não-monotônicas destinadas à formalização de raciocínio sob incer-
teza. Nessa edição, R. Reiter chama um sistema lógico não-monotônico, em 
que algumas proposições inferidas não são certas (válidas), de Lógica do Pa-
drão (Default Logic). 
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Em tais sistemas, essas inferências correspondem ao processo de derivar 
conclusões baseadas em padrões (defaults), isto é, em argumentos da forma 
“na ausência de qualquer informação contrária, assuma que...”. Esse tipo de 
raciocínio, justifica o autor, representa uma forma de inferência indutiva, tipica-
mente requerida quando conclusões devem ser tiradas, apesar da ausência de 
conhecimento completo do mundo. 
As abordagens não-monotônicas para a formalização do raciocínio sob in-
certeza têm sido bastante criticadas por alguns autores. Entre eles, Sette, Car-
nielli e Veloso (1999) afirmam que a lógica de Reiter não captura a noção de 
“maioria” ou “quase todos”. Argumentam que a identificação proposta por Rei-
ter, de “na ausência de qualquer informação contrária” com “é consistente as-
sumir que”, é inadequada ao tratamento do problema de como atribuirmos a 
um indivíduo genérico da população, para o qual não temos informação com-
pleta, uma propriedade que é quase sempre verdadeira para os indivíduos da 
população. 
Numa proposta de 1994, destinada a buscar um sucedâneo para a lógica 
não-monotônica, A. M. Sette e W. A. Carnielli apresentaram uma tentativa de 
substituir a Lógica do Padrão de Reiter por uma lógica monotônica baseada no 
conceito de ultrafiltro (Carnielli e Sette (1994)). 
Esta proposta foi bastante criticada naquele momento em que a aborda-
gem mais popular era a de Reiter (1980). Entretanto, as mesmas críticas atraí-
ram o interesse de P. A. S. Veloso, dando origem às publicações Sette, 
Carnielli e Veloso (1999) e Carnielli e Veloso (1997)2. 
 
Nesses artigos, Sette, Carnielli e Veloso apresentam um sistema lógico 
monotônico para a formalização de argumentos do tipo “maioria” ou “quase 
todos”, mediante a introdução de um quantificador generalizado na linguagem 
clássica de primeira ordem. A idéia central nessa proposta é a interpretação 
semântica do quantificador “quase sempre” por uma estrutura de ultrafiltro pró-
prio. Esta abordagem proporciona uma base para o raciocínio genérico em que 
 
2 Desde então, diversos trabalhos sobre a Lógica dos Ultrafiltros têm sido desenvolvi-
dos (por exemplo, Veloso (1999), Veloso (2001a), Veloso (2001b) e Veloso e Carnielli 
(2001)). 
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o indivíduo definido como genérico é “aquele que possui as propriedades que a 
maioria dos indivíduos possui” (CARNIELLI e VELOSO, 1997, p. 34). 
Grácio (1999), elaborando perspectivas abertas em Sette, Carnielli e Ve-
loso (1999), apresentou uma família de sistemas lógicos denominada lógicas 
moduladas. Essa família é caracterizada, sintaticamente, pela inclusão de 
quantificadores generalizados na linguagem da lógica clássica de primeira or-
dem, chamados quantificadores modulados, semanticamente interpretados por 
subconjuntos do conjunto das partes do universo. Tais quantificadores repre-
sentam algumas formas de raciocínio indutivo. Particularmente, propõem-se 
três sistemas lógicos monotônicos, formalizando as noções de “ maioria”, “mui-
tos” e “para uma ‘boa’ parte”. 
Como podemos observar, têm surgido, na atualidade, diferentes aborda-
gens formais destinadas à formalização de proposições sustentadaspor evi-
dências empíricas. Entre as propostas contemporâneas, consideramos que as 
abordagens monotônicas apresentam-se como as propostas que melhor atin-
gem seus objetivos. Além disso, essas lógicas constituem extensões conserva-
tivas da lógica clássica, com a qual compartilham algumas propriedades, como 
o fato de serem sistemas dedutivos simples, corretos e completos. 
 
Referências: 
 
ARISTÓTELES. Analítica primera. In: ARISTÓTELES. Obras. 2. ed. Tradução 
de F. R. Samaranch. Madri: Aguilar, 1967a. p. 273-348. 
ARISTÓTELES. Analítica posterior. In: ARISTÓTELES. Obras. 2. ed. Tradução 
de F. R. Samaranch. Madri: Aguilar, 1967b. p. 351-412. 
CARNAP, R. Logical foundations of probability. London: Routledge and Kegan 
Paul, 1950. 
DA COSTA, N. C. A. Lógica indutiva e probabilidade. São Paulo: [s. n.], 1981. 
CARNIELLI, W. A.; SETTE, A. M. Default Operators. In: WORKSHOP ON 
LOGIC, LANGUAGE, INFORMATION AND COMPUTATION (WOLLIC’94), 
1994, Recife. Abstracts ... Recife: UFPE, 1994. 
Sobre a indução 13
CARNIELLI, W. A.; VELOSO, P. A. S. Ultrafilter logic and generic reasoning. In: 
KURT GÖDEL COLLOQUIUM, 5, 1997, Berlin. Proceedings... Berlin: Springer-
Verlag, 1997. p. 34-53. 
EDWARDS, P. Russell’s doubts about induction. Mind, v.58, p. 141-163, 1949. 
EDWARDS, P. (Ed.). The encyclopedia of philosophy. London: Collier MacMil-
lan Publishers, 1967. v. 3, p. 169-181. 
GRÁCIO, M. C. C. (1999). Lógicas moduladas e raciocínio sob incerteza. Tese 
de Doutorado, Instituto de Filosofia e Ciências Humanas, Universidade Estadu-
al de Campinas, Campinas, Brasil. 194 p. 
HUME, D. Investigação acerca do entendimento humano. São Paulo: Ed. Na-
cional, EdUSP, 1972. 
KNEALE, W. Probability and induction. Oxford: Clarendon Press, 1952. 
KNEALE, W. Probability and inductive logic. London: McMillan, 1970. 
MILL, J. S. A system of logic. 8th.ed. London: Longmans, 1967. v.3. 
PEIRCE, C. S. Ampliative reasoning. In: HARTSHORNE, C.; WEISS, P.; 
BURKS, A. (Ed.). Collected papers of Charles Sanders Peirce. Cambridge: 
Harvard University Press, 1931-1958. v. 2, p. 372-507. 
POPPER, K. R. Conhecimento objetivo. São Paulo: EdUSP, 1975a. 
POPPER, K. R. A lógica da pesquisa científica. São Paulo: EdUSP, 1975b. 
REICHENBACH, H. Probability and induction. In: REICHENBACH, H. Experi-
ence and prediction. Chicago: University of Chicago Press, 1938. cap. 5, p. 
297-403. 
REITER, R. A logic for default reasoning. Artificial Intelligence v. 13, p. 81-132, 
1980. 
RUSSELL, B. Os problemas da filosofia. São Paulo: Saraiva, 1939. 
SETTE, A. M.; CARNIELLI, W. A.; VELOSO, P. An alternative view of default 
reasoning and its logic. In: HAUESLER, E. H. , PEREIRA, L. C. (Ed.) Pratica: 
Proofs, types and categories. Rio de Janeiro: PUC, 1999. p. 127-58. 
VELOSO, P. A. S. On ‘almost all’ and some presuppositions. IN: Pereira, L. C. 
P. D., Wrigley, M. B. (eds.). Logic, Language and Knowledge: essays in honour 
of Oswaldo Chateaubriand Filho, Manuscrito XXII, 1999, p. 469-505. 
VELOSO, P. A. S. On some meanings for ‘generally’ and ‘rarely’. IN: Proc. Sec-
ond Symposium International Principia, Florianópolis, 2001a. 
Sobre a indução 14
VELOSO, P. A. S. On justifying induction: a logical appraisal. IN: Proc. Second 
Symposium International Principia, Florianópolis, 2001b. 
VELOSO, P. A. S.; Carnielli, W. A. Logics for qualitative reasoning. CLE e-
Prints electronic version, page /www.cle.unicamp.br/e-prints/articles.htm, Octo-
ber 2001.