Teoria das probabilidades

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Matemática e suas Tecnologias - Matemática
Ensino Médio, 2ª Série
TEORIA DAS PROBABILIDADES
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SEQUÊNCIA DIDÁTICA
MATEMÁTICA, 2º ano
Teoria das Probabilidades
A Mônica e seus amigos moram no mesmo bairro. A distância da casa da Mônica (vermelho) para a casa do Horácio (verde), Cebolinha (preto), Magali (amarelo), Cascão (marrom) e Bidú (azul) é de quatro quarteirões, conforme ilustra a figura. A Mônica costumava visitar seus amigos durante os dias da semana em uma ordem pré-estabelecida: segunda-feira, Horácio; terça-feira, Cebolinha; quarta-feira, Magali; quinta-feira, Cascão e sexta-feira, Bidú. Para tornar mais emocionantes os encontros, a turma combinou que o acaso escolhesse o amigo a ser visitado pela Mônica. Para isso, na saída de sua casa e a cada cruzamento, Mônica deve jogar uma moeda; se sair cara (C), andará um quarteirão para o Norte, se sair coroa (X), um quarteirão para o Leste. Cada jogada representa um quarteirão de percurso. Mônica deve jogar a moeda quatro vezes para poder chegar à casa dos amigos. (Cazorla e Santana, 2006, 44)
PASSEIOS ALEATÓRIOS DA MÔNICA
				
				
				
				
Após ler a história, responda: 
1) Qual é a diferença entre a forma antiga da Mônica visitar seus amigos e a nova forma?
2) Quais são os possíveis resultados ao lançar uma moeda?
3) Qual é a chance de sair cara? E de sair coroa?
4) Todos os amigos têm a mesma chance de serem visitados?
( ) Não. ( )Sim.
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MATEMÁTICA, 2º ano
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5) Para Mônica visitar um amigo, tem que lançar a moeda quatro vezes, que denominamos de experimento. Se sair cara (C), Mônica andará um quarteirão para o Norte, se sair coroa (X), um quarteirão para o Leste. Vocês devem repetir esse experimento 30 vezes e anotar os resultados no Quadro 1. Por exemplo, se sair a sequência: cara, cara, coroa, cara, anotar na coluna a sequência: CCXC e, na coluna do amigo visitado: Cebolinha
	Repetição	Sequência	Amigo visitado	Repetição	Sequência	Amigo visitado
	01			16		
	02			17		
	03			18		
	04			19		
	05			20		
	06			21		
	07			22		
	08			23		
	09			24		
	10			25		
	11			26		
	12			27		
	13			28		
	14			29		
	15			30		
6) Quem tem mais chance de ser visitado(a) Magali ou Horácio? 
 
7) Existe a chance da Mônica não visitar nenhum amigo? 
( ) Não. ( ) Sim. 
 
8) Depois de ter realizado o experimento, vocês mudariam de opinião na seguinte questão: “Todos os amigos têm a mesma chance de serem visitados?” Pense na sua resposta considerando a questão 4. 
 ( ) Não. ( ) Sim. 
Por quê? 
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9) Sistematizem os resultados do Quadro 1 na Tabela 1, chamada de Tabela de Distribuição de Frequência – TDF. 
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Tabela 1. Distribuição do número de visitas que cada amigo recebeu da Mônica
	Amigo	N° de vezes que foi visitado	Frequência relativa (hi)	Portentagem
	Horácio			
	Cebolinha			
	Magali			
	Cascão			
	Bidu			
	Total	30	1,00	100,00
Onde hi = fi/30, que representa uma estimativa da probabilidade
6
10) Depois que vocês organizaram os resultados na TDF, podem mudar de opinião na seguinte questão: “todos os amigos têm a mesma chance de serem visitados?”. Pense na sua resposta considerando a questão 8. 
( ) Não ( ) Sim. Por quê? 
11) Na malha quadriculada, construam um gráfico que apresente os dados da frequência relativa, constante da Tabela 1. Depois, comparem seus resultados com os dos seus colegas. Esses são iguais? 
( ) Não ( ) Sim. Por quê? 
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MATEMÁTICA, 2º ano
Teoria das Probabilidades
12) Completem a árvore de possibilidades, indicando a sequência sorteada, o número de caras e o amigo visitado. Observe que cada ramo se desdobra em dois novos ramos (um para cara e outro para coroa) a cada sorteio:
	Ponto de partida	Primeiro sorteio	Segundo sorteio	Terceiro sorteio	Quarto sorteio	Sequência sorteada	N° de caras	Amigo visitado
								
								
								
								
								
								
	Mônica							
								
								
								
								
								
								
								
								
								
8
13) E agora, quantos caminhos existem ao todo?
14) Existe alguma relação entre o(s) caminho(s) que leva(m) a cada um dos amigos. Caso exista, que relação é observada para o(s) caminho(s) que leva(m) a:
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Horácio_____________________
Cebolinha___________________
Magali______________________
Cascão____________________
Bidu______________________
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15) Depois que vocês analisaram quantos caminhos levam a Mônica para a casa de cada amigo, podem mudar de opinião na seguinte questão: “todos os amigos têm a mesma chance de serem visitados?”. Pense na sua resposta considerando a questão 10. 
( ) Não ( ) Sim. Por quê? 
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16) Analisando e sistematizando os resultados da árvore de possibilidades, preencham a Tabela 2: 
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Tabela 2. Distribuição e probabilidade da visita da Mônica a seus amigos
	Amigo	N° de caminhos	N° de caminhos / total de caminhos (fração)	Probabilidade (Pi)*
	Horácio			
	Cebolinha			
	Magali			
	Cascão			
	Bidu			
	Total			
(*) efetuar a divisão para expressar na forma decimal.
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17) Preencham a Tabela 3 com os resultados da Tabela 1 e 2: 
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Tabela 3. Quadro comparativo da atribuição de probabilidades
	Amigo	Frequência relativa (hi)	Probabilidade
	Horácio		
	Cebolinha		
	Magali		
	Cascão		
	Bidu		
	Total		
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18) Qual é a diferença entre essas duas formas de atribuir probabilidades? 
19) Analisando os resultados, qual dessas duas maneiras de atribuir probabilidades é mais adequada? Por quê?
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20) Na grade de baixo da malha, representem os dados da probabilidade (Pi) constante na Tabela 3. Comparem seus resultados com as outras duplas. Esses são iguais? 
( )Sim ( )Não. 
 Por quê?
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SITUAÇÃO – PROBLEMA
Maria Eduarda fez uma fezinha na Loteria, apostando com o cartão da figura abaixo:
Qual a chance dos números escolhidos por Maria Eduarda serem os sorteados?
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Imagem: Nubarron / GNU Free Documentation License
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Para resolver situações dessa natureza, recorremos ao estudo das Probabilidades.
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Imagem: Nubarron / GNU Free Documentation License
Imagem: Diacritica / Creative Commons Atribuição-Partilha nos Termos da Mesma Licença 3.0 Unported
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A teoria das probabilidades é o ramo da Matemática que pesquisa e desenvolve modelos, visando estudar experimentos ou fenômenos aleatórios.
PROBABILIDADE
Experimento aleatório
É todo experimento que, mesmo repetido várias vezes, sob condições semelhantes, apresenta resultados imprevisíveis, dentre os resultados possíveis. 
Exemplos:
Lançamento de um dado;
Lançamento de uma moeda;
Loteria de números.
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Fenômenos
Aleatório
 Lançamento de uma moeda;
 lançamento de um dado;
 escolha casual de um caminho;
 extracção de uma carta num baralho.
 Furar um balão cheio;
 encherum balde;
 calcular a área de quadrado de lado 7 cm; 
 escrever uma carta.
RESULTADO DESCONHECIDO
RESULTADO CONHECIDO
Determinísticos
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Problema 
Lança-se um dado de seis faces e lê-se o número da face voltada para cima. Qual a chance de se obter um número ímpar?
Resultados possíveis ao lançar um dado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } 
Número ímpar = { 1, 3, 5 } 
Probabilidade = 
EVENTO
ESPAÇO AMOSTRAL
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Essa razão foi estabelecida pelo matemático e astrônomo francês Pierre Laplace (1749-1827).
Seja um evento A de um espaço amostral finito S (não-vazio). A probabilidade de ocorrer o evento A é a razão entre o número de elementos de A e o número de elementos de S. 
CONCEITUANDO PROBABILIDADE
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01. Jogando 2 dados simultaneamente, determine:
		1	2	3	4	5	6
	1	(1,1)	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(1,5)	(1,6)
	2	(2,1)	(2,2)	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(2,6)
	3	(3,1)	(3,2)	(3,3)	(3,4)	(3,5)	(3,6)
	4	(4,1)	(4,2)	(4,3)	(4,4)	(4,5)	(4,6)
	5	(5,1)	(5,2)	(5,3)	(5,4)	(5,5)	(5,6)
	6	(6,1)	(6,2)	(6,3)	(6,4)	(6,5)	(6,6)
a) O conjunto dos resultados possíveis (espaço amostral).
b) Qual é a probabilidade de sair dois números maiores que 4?
APLICAÇÕES
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02. Quantas refeições diferentes podemos escolher, tendo cada uma, uma entrada, um prato principal e uma sobremesa?
Prato
Arroz com camarão
 Bife acebolado
 Lasanha
Sobremesa:
 Frutas 
 Pudim
Entrada
 Sopa
 Camarão ao alho e óleo
Entrada
Prato
Sobremesa
Refeição
S
C
A
B
L
A
B
L
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
( S,A,F )
( S,A,P )
( S,B,F )
( S,B,P )
( S,L,P )
( S,L,F )
( C,A,F )
( C,A,P )
( C,B,F )
( C,B,P )
( C,L,F )
( C,L,P )
12 refeições diferentes!
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03. Escolhida uma refeição ao acaso, qual é a probabilidade de comer arroz ou fruta?
Qual é a probabilidade de não comer lombo nem pudim?
Entrada
Prato
Sobremesa
Refeição
S
C
A
B
L
A
B
L
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
( S,A,F )
( S,A,P )
( S,B,F )
( S,B,P )
( S,L,P )
( S,L,F )
( C,A,F )
( C,A,P )
( C,B,F )
( C,B,P )
( C,L,F )
( C,L,P )
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04. Como determinar a probabilidade de um acontecimento a partir da experiência?
Exemplo: 
a) Lançar uma moeda 10 vezes e anotar os resultados obtidos (cara ou coroa);
b) E se aumentassem o número de lançamentos da moeda, qual seria a tendência do resultado?
Para um grande nº de experiências, a frequência relativa de um acontecimento A é um valor aproximado da sua probabilidade
LEI DOS GRANDES NÚMEROS
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EXERCÍCIOS
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01. Lança-se um dado de seis faces e lê-se o número da face voltada para cima. Calcule a probabilidade de se obter:
a) o número 2 
b) um número ímpar 
c) um número maior que 2 
d) um número menor que 7 
e) um número maior que 6 
EXERCÍCIOS
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02. Qual a probabilidade de sair coroa em três lançamentos seguidos de uma moeda? 
 
03. No lançamento simultâneo de dois dados, calcule a probabilidade de se obter:
a) soma diferente de 11; 
b) faces diferentes. 
Respostas: 02) 1/8 03. a) 17/18 b) 5/6
EXERCÍCIOS
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04. Pegue 2 moedas e faça vários lançamentos sobre uma mesa. Descreva:
 O espaço amostral.
 O evento A: obtenção das faces de mesmo nome.
 O evento B: obtenção de faces de nomes diferentes.
EXERCÍCIOS
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05. Durante um jogo de futebol, verificam-se muitos eventos. Faça uma lista de 10 eventos e classifique-os como certos, impossíveis, pouco prováveis ou muito prováveis, de modo que se tenha pelo menos um evento de cada tipo. 
EXERCÍCIOS
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06. Crie uma frase que comece por:
“É muito provável que amanhã...”.
“É certo que amanhã...”.
“É pouco provável que amanhã...”.
EXERCÍCIOS
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07. Em uma urna há 5 bolas brancas, 3 bolas pretas e 7 bolas vermelhas. Retirando uma dessas bolas ao acaso, qual a probabilidade dela ser:
Branca
Preta
Respostas: 07) a) 1/3 b) 1/5
EXERCÍCIOS
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08. Considere um octógono regular. Tomando, ao acaso, uma das diagonais do polígono, qual a probabilidade de que ela passe pelo centro? 
Resposta:1/5 ou 20%
EXERCÍCIOS
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09. Em um pacote de balas, há 5 de sabor morango e 10 de sabor abacaxi. Se 3 balas forem retiradas ao acaso, qual é a probabilidade de serem todas de sabor morango?
Resposta: 2/91
EXERCÍCIOS
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10. Considere que três vértices de um hexágono regular são escolhidos ao acaso. Qual a probabilidade de que os vértices escolhidos formem um triângulo retângulo?
Resposta: 3/5 ou 60%
Referências
SANTOS, Paulo Avelino dos. A Modelagem como proposta para introdução á probabilidade por meio dos passeios aleatórios da Mônica. PUC/SP, 2009. Dissertação de Mestrado.
SMOLE, Kátia Cristina Stocco; DINIZ, Maria Ignez de Souza Vieira. Matemática: Ensino Médio. Editora Saraiva. 5ª edição. 2º ano Ensino Médio. São Paulo 2005.
PAIVA, M. Matemática. 2.ed. volume único. São Paulo: Moderna, 2006.
PERNAMBUCO. Base Curricular Comum para as redes públicas de ensino: matemática. Recife: SE, 2008.
PERNAMBUCO. Orientações teórico-metodológicas. Matemática. Ensino Médio. Recife: SE, 2008.
MATEMÁTICA, 2º ano
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	15	Nubarron / GNU Free Documentation License	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Resguardo_primitiva_1985.jpg?uselang=pt-br	10/05/2012
	16.a	Diacritica / Creative Commons Atribuição-Partilha nos Termos da Mesma Licença 3.0 Unported	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:6sided_dice.jpg?uselang=pt-br	10/05/2012
	16.b	Nubarron / GNU Free Documentation License	http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Resguardo_primitiva_1985.jpg?uselang=pt-br	10/05/2012
Tabela de Imagens
%
50
5
,
0
2
1
6
3
=
=
=
(
)
)
(
)
(
possíveis
 
casos
 
de
 
nº
favoráveis
 
casos
 
de
nº
S
n
A
n
A
P
=
=
9
1
36
4
=
=
P
3
2
12
8
=
=
P
3
1
12
4
=
=
P