Eds - 10° semestre (Vibrações M)

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ED VIBRAÇOES MECANICAS 9/10 PERIODO ENG. MEC. 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 1 ( LETRA B ) 
 
Da expressão y(t)= Aocos(Wo.t+ϕ) sabemos que Wo acompanha a variável tempo, portanto é π/2 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 2 ( LETRA D ) 
 
f=w/2 π, sabendo que w é π/2, temos f=0,25. Portanto T=1/f= 4 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 3 ( LETRA B ) 
 
Substituindo t por 2, temos: 
 y= 0,06.cos((π/2).2 + (π/3)) 
y=-0,03 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 4 ( LETRA C ) 
 
Derivando a equação horária temos: 
V=-0,06sen((π/2).2 + (π/3)). π/2 
V=0,0816 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 5 ( LETRA D ) 
 
Derivando a velocidade temos: 
a= -0,06cos((π/2).2 + (π/3)).( π/2)² 
a= 0,074 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 6 ( LETRA A ) 
 
W=2 π.f 
W=2 π.5 
W=10 π 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 7 ( LETRA B ) 
 
Sabendo que 0 e π corresponde a partícula cruzando o instante 0, portanto π/2 e 3π/2 representa as 
fase seguintes da partícula, ou a fase inicial da partícula no nosso caso 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 8 ( LETRA C ) 
 
Com a equação da velocidade, temos 
v(t)=-Ao.sen(wo.t+ ϕ) 
10,88=-Ao.sen(0.0,1+ π/2).10π 
Ao=0,346m 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 9 ( LETRA D ) 
 
Da aceleração temos: 
a(t)= Ao.Wo².cos(Wo.t+ ϕ) 
a(0,1)=0,35.(10 π)².cos(10π.0,1+0) 
a(0,1)=-345,4 m/s² 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 10 ( LETRA E ) 
 
Da posição temos: 
x(t)= Ao.cos(wo.t+ ϕ) 
x(0,2)=0,35.cos(10 π.0,2+ 2π) 
x(0,2)=0,343 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 11 ( LETRA A ) 
 
f=1/T 
f=1/0,25 
f=4 
f=w/2π 
w=8 π 
Portanto, a equação horário da posição em função do tempo é: 
x(t)= 0,08.cos(8.π.t + π/4) 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 12 ( LETRA B ) 
 
V=0,08sen(8 π.t+ π/4).8 π 
V=-2.sen(8 π.t+ π/4) 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 13 ( LETRA D ) 
 
Da derivada da velocidade temos a aceleração: 
a(t)= -Ao.Wo².cos(8π.t+ π/4) 
a(t)=-0,08.(8π)².cos(8π.t+ π/4) 
a(t)= -50,53.cos(8π.t+ π/4) 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 14 ( LETRA A ) 
 
Da equação da velocidade, temos: 
V=-2.sen(8 π.t+ π/4) 
V=-2.sen(8π.4+π/4) 
V=-1,41m/s 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 15 ( LETRA B ) 
 
Da equação da velocidade, temos: 
V=-2.sen(8 π.t+ π/4) 
V=-2.sen(8π.4+π/4) 
V=-1,41m/s 
Energia Potencial Mecanica= 
Ep=m.v²/2 
Ep=0,4.(-1,41)²/2 
Ep=0,397 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 16 ( LETRA C ) 
 
Da equação da velocidade, temos: 
V=-2.sen(8 π.t+ π/4) 
V=-2.sen(8π.4+π/4) 
V=-1,41m/s 
Energia Potencial Mecanica= 
EM=Ec 
Em=m.v²/2 
Em=0,4.(-1,41)²/2 
Em=0,397.2 
Em=0,79 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 17 ( LETRA D ) 
 
v(t)=-w.x(t) 
v(t)=-8π.0,02 
v(t)=0,5 
Ec=m.v²/2 
Ec=0,4.(0,5)²/2 
Ec=0,05 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 18 ( LETRA E ) 
 
v(t)=-w.x(t) 
v(t)=-8π.0,02 
v(t)=0,5 
Ec=m.v²/2 
Ec=0,4.(0,5)²/2 
Ec=0,75 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 19 ( LETRA D ) 
 
T/2=k1.y1; T/2=k2.y2; T=k3.y3 
Y=T/2.k1; y2=T/2.k2; y3=T/k3 
T=4k1.k2.k3.y/(k2.k3+k1.k3+4k1.k2) 
a+T/m=0 
a+282,35y=0 
k=w².m 
k=292,35.0,5 
k=141,17 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 20 ( LETRA C ) 
 
Equacinando mola, temos: 
2T-Fe=m.a (não possui massa) 
2T=k1.y1 
T=(k1.y1)/2 
Equacionando Bloco, temos: 
T=-m.a 
Altura y2=2y1 
Substituindo, temos: 
(k1.y1)/2= m.a 
a+k1.y1/2m=0 
w0²=k/4m 
w0=14,14 rad/s 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 21 ( LETRA E ) 
 
K1=W0².4m 
K1=200.4.10 
K1=8000 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 22 ( LETRA C ) 
 
Massa efetiva é o que divide pelo Kef, portanto 
Mef= (I+R².m) 
Mef= (1,6 + 0,8².10) 
Mef= 8 Kg 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 23 ( LETRA B ) 
 
y= θ.R 
m.g-F=m.a 
I.a=R.F-r.(k.r. θ) 
a+(k.r².θ)/(I+R².m)=g/(I+R) 
W0²=8000.0,6²/(1,6+0,8².10) 
W0=18,97rad/s 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
CONTEUDO 3 MODULO 2 - exercicio 1 ( LETRA D ) 
 
γ= β.ωο 
γ=0,25.4 
γ=1 
ωa=√(wo- γ) 
ωa=3,873rad/s 
 
CONTEUDO 3 MODULO 2 - exercicio 2 ( LETRA E ) 
 
y(t)=0,025.e^(-t).cos(3,87.t+ π/2) 
y(0,1)=0,025.e^(-0,1).cos(3,87.0,1+ π/2) 
y(0,1)=0,009m 
 
CONTEUDO 3 MODULO 2 - exercicio 3 ( LETRA B ) 
 
m.a = Fe + Fv 
m.y’’ = -k.y – c.y’ 
y’’ + (k/m).y + (c/m).y’ = 0 (equação diferencial) 
 
B = ¼ < 1 (amortecimento fraco), solução da equação diferencial: 
y(t) = a0.[e^(-Y.t)].cos(wa.t + Q) 
 
B = Y/w0 
1/4 = Y/4 
Y = 1 
 
wa = (w0^2-Y^2)^(1/2) 
wa = (4^2-1^2)^(1/2) 
wa = 3,873 rad/s 
 
Para t=0, y=0: 
0 = a0.[e^(0)].cos(wa.0+Q) 
Como a0 > 0 e e^0 = 1: 
0 = cos (Q) 
Q = pi/2 rad 
 
Derivando a y(t): 
dy/dt = d{a0.[e^(-Y.t)].cos(wa.t + Q)}/dt 
y’(t) = a0.^[e^(-Y.t)].[-Y.cos(wa.t+Q)-wa.sin(wa.t+Q)] 
 
Para t=0, y’=0,04 m/s: 
0,04 = a0.[e^(-Y.0)].[-Y.cos(wa.0+Q)-wa.sin(wa.0+Q)] 
0,04 = a0.[-Y.cos(Q)-wa.sin(Q)] 
a0 = 0,04/[-1.cos(pi/2)-3,873.sin(pi/2)] 
a0 = -0,0103 m = 1,03 cm 
 
CONTEUDO 3 MODULO 2 - exercicio 4 ( LETRA E ) 
 
m.a = Fe + Fv 
m.y’’ = -k.y – c.y’ 
y’’ + (k/m).y + (c/m).y’ = 0 (equação diferencial) 
 
B = 4 > 1 (amortecimento forte), solução da equação diferencial: 
y(t) = A.e^{-Y+[(Y^2-w0^2)^(1/2)].t} + B.e^{-Y-[(Y^2-w0^2)^(1/2)].t} 
 
B = Y/w0 
4 = Y/4 
Y = 16 
 
Para t = 0, y = 0: 
0 = A.[e^(-Y)] + B.[e^(-Y)] 
0 = (A+B).[e^(-Y)] 
A + B = 0 (Eq. I) 
 
Derivando y(t) para obter a equação da velocidade: 
dy/dt = d(A.e^{-Y+[(Y^2-w0^2)^(1/2)].t} + B.e^{-Y-[(Y^2-w0^2)^(1/2)].t})/dt 
y’(t) = A.e^{-Y+[(Y^2-w0^2)^(1/2)].t}.[(Y^2-w0^2)^(1/2)] - B.e^{-Y-[(Y^2-w0^2)^(1/2)].t}.[(Y^2-
w0^2)^(1/2)] 
 
Para t=0, y’= 0,04 m/s: 
0,04 = A.e^(-Y).[(Y^2-w0^2)^(1/2)]– B.e^(-Y).[(Y^2-w0^2)^(1/2)] 
0,04 = (A – B).e^(-16).[(16^2-4^2)^(1/2)] 
0,04 = (A – B).1,743.10^(-6) 
A – B = 22943,740 (Eq. II) 
 
De (I) em (II): 
A + A = 22943,740 
A = 11471,87 
Portanto: 
B = -11471,87 
Logo: 
y(t) = 11471,87.e^{-16+[(16^2-4^2)^(1/2)].t} – 11471,87.e^{-16-[(16^2-4^2)^(1/2)].t} 
y(t) = 11471,87.[e^(-16+15,492.t) - e^(-16-15,492.t)] 
y(t) = 11471,87.[e^(-16)].[e^(15,492.t) - e^(-15,492.t)] 
y(t) = 0,00129.).[e^(15,492.t) - e^(-15,492.t)] m 
 
Da função da posição anterior tem-se: 
a0 = 0,00129 m = 0,129 cm 
 
CONTEUDO 3 MODULO 2 - exercicio 5 ( LETRA A ) 
 
m.a = Fe + Fv 
m.y’’ = -k.y – c.y’ 
y’’ + (k/m).y + (c/m).y’ = 0 (equação diferencial) 
 
O amortecimento tem de ser crítico: 
B = 1 
Logo, a solução para a equação diferencial: 
y(t) = (A + B.t).e^(-Y.t) 
 
w0 = (k/m)^(1/2) 
w0 = (80000/800)^(1/2) 
w0 = 10 rad/s 
 
B = Y/w0 
Y = 1.10 
Y = 10 rad/s 
 
Y = c/(2.m) 
10 = c/(2.800) 
c = 16000 N.s/m 
 
CONTEUDO 3 MODULO 2 - exercicio 6 ( LETRA C ) 
 
Da questão anterior, tem-se a equação da posição: 
y(t) = (A + B.t).e^(-Y.t) 
 
Fazendo y(0) = 1 m: 
1 = (A+B.0).e^(-Y.0) 
A = 1 
Derivando a função da posição: 
dy/dt = d[(A + B.t).e^(-Y.t)]/dt 
y’(t) = {(A + B.t).[e^(-Y.t)].(-Y)} + [e^(-Y.t).B] 
 
Fazendo y’(0) = 0: 
0 = {(A + B.0).[e^(-Y.0)].(-Y)} + [e^(-Y.0).B] 
0 = {(A).[(-Y)} + [B] 
A.Y = B 
 
A = 1 e Y = 10, logo: 
B = 1.10 
B = 10 
 
Portanto a função com todos as constantes definidas: 
y(t) = (1 + 10.t).e^(-10.t) (Esta função só é válida para o retorno) 
O período para que o cano retorne até a posição normal de tiro (y = 0,01 mm): 
0,00001 = (1 + 10.t).e^(-10.t) 
t = 1,424 s (retorno) 
 
Admitindo que a energiaabsorvida pelo cano ocorreu totalmente na posição de tiro a velocidade 
inicial v0: 
(m.v0^2)/2 = (k.a^2)/2 
v0 = a.[(k/m)^(1/2)] 
v0 = 1.[(80000/800)^(1/2) 
v0 = 10 m/s 
 
0 = v0 + S(a.dt) 
0 = v0 – S[(Fe/m).dt] 
Esse cálculo é possível por integração numérica (pois F é variável no tempo), porém seria um pouco 
mais complicado. Podemos achar um resultado aproximado fazendo Fe = (k.a)/2 = (80000.1)/2 = 
40000 N: 
0 = 10 – (40000/800).t 
t = 0,2 s (tempo de recuo) 
 
A cadência máxima C será igual a f: 
C = f = 1/(1,424 + 0,2) 
C = 0,616 s^(-1) = 36,96 min^(-1) 
 
A alternativa mais próxima é a C. Note que o pequeno erro foi devido ter considerado constante a 
força elástica, a fim de se evitar cálculos numéricos. 
 
CONTEUDO 3 MODULO 2 - exercicio 7 ( LETRA A ) 
 
Se ultrapassa a posição de equilíbrio no retorno, então trata-se de um movimento oscilatório 
amortecido. 
B < 1 
A solução é do tipo: 
x(t) = A.e^(-Y.t).cos(wa.t + Q) 
 
Se t é o instante em que o deslocamento máximo x0 é atingido, então instante em que o sistema 
retorna e ultrapassa a posição de equilíbrio em 10% é t+T/2: 
x(t) = x0 = A.e^(-Y.t).cos(wa.t + Q) (Eq. I) 
 
x(t+T/2) = A.e^(-Y.(t+T/2)).cos(wa.(t+T/2) + Q) 
-0,1.x0 = A.e^(-Y.t).e^(-Y.T/2).cos(wa.t + Q + pi) (Eq. II) 
 
Dividindo membro a membro a equação (II) pela (I): 
1/(-0,1) = e^(-Y.T/2).(-1) 
10 = e^(-Y.T/2) 
10 = e^(-Y.pi/wa) 
 
Como (-Y.pi/wa) = (-B.pi)/([(1-B^2)^(1/2)] : 
10 = e^(-B.pi/[(1-B^2)^(1/2)] 
ln(10) = (-B.pi/[(1-B^2)^(1/2)] 
(2,30)^2 = (B^2.pi^2)/(1-B^2) 
5,302 – 5,302.B^2 = B^2. pi^2 
15,171.B^2 = 5,302 
B = 0,359 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
CONTEUDO 4 MODULO 3 - exercicio 1 ( LETRA A ) 
 
m.a = -k.y – c.v 
m.y’’ = -k.y – c.y’ 
y” + (c/m).y’ + (k/m).y = 0 (Eq. Dif.) 
 
Frequencia natural: 
w0 = (k/m)^(1/2) 
w0 = (80000/100)^(1/2) 
w0 = 28,284 rad/s 
 
E = c/(2.m.w0) 
E = 2000/(2.100.28,284) 
E = 0,353 
 
FA = 1/[(1-r^2)^2 + (2.E.r)^2] 
Achando r (razão de frequências) para FA máximo, fazendod(FA)/dt = 0: 
r = 0,866 
Calculando a frequência da força f excitadora: 
r = w/w0 = 2.pi.f/w0 
0,866 = 2.pi.f/28,284 
f = 3,9 s^(-1) 
 
CONTEUDO 4 MODULO 3 - exercicio 2 ( LETRA E ) 
 
m.a = -k.y – c.v 
m.y’’ = -k.y – c.y’ 
y” + (c/m).y’ + (k/m).y = 0 (Eq. Dif.) 
 
Frequência natural: 
w0 = (k/m)^(1/2) 
w0 = (80000/100)^(1/2) 
w0 = 28,284 rad/s 
 
CONTEUDO 4 MODULO 3 - exercicio 3 ( LETRA D ) 
 
Y = c/(2.m) 
Y = 2000/(2.100) 
Y = 10 rad/s 
 
CONTEUDO 4 MODULO 3 - exercicio 4 ( LETRA C ) 
 
B = Y/w0 
B = 10/28,284 
B = 0,35 
 
CONTEUDO 4 MODULO 3 - exercicio 5 ( LETRA B ) 
 
m.a = -k.y – c.v 
m.y’’ = -k.y – c.y’ 
y” + (c/m).y’ + (k/m).y = 0 (Eq. Dif.) 
 
Frequência natural: 
w0 = (k/m)^(1/2) 
w0 = (80000/100)^(1/2) 
w0 = 28,284 rad/s 
 
 
E = c/(2.m.w0) 
E = 2000/(2.100.28,284) 
E = 0,353 
 
FA = 1/ 
Achando r (razão de frequências) para FA máximo, fazendod(FA)/dt = 0: 
r = 0,866 
 
Calculando a frequência da força f excitadora: 
r = w/w0 
0,866 = w/28,284 
w = 24,5 rad/s 
 
CONTEUDO 4 MODULO 3 - exercicio 6 ( LETRA D ) 
 
Raio da manivela: 
R = 20cm/2 = 10cm = 0,1 m 
Velocidade angular da manivela: 
w = 2.pi.f = 2.pi.(1800/60) = 60.pi 
Função velocidade do pistão: 
y’(t) = w.R.cos(w.t + fi) 
Aceleração do pistão: 
y’’(t) = - (w^2).R.sin(w.t +fi) 
Essa aceleração gera uma força de intensidade: 
F(t) = m.y’’(t) 
F(t) = - m.(w^2).R.sin(w.t +fi) 
 
Como não nos interessa saber uma fase ou posição específica, podemos simplificar para: 
F(t) = m.(w^2).R.sin(w.t) (Força harmônica que age no sistema) 
Portanto F0 = m.(w^2).R 
 
w0 = (k/M)^(1/2) 
w0 = (30000000/525)^(1/2) 
w0 = 239.046 rad/s 
 
Y = c/2.M 
Y = 200000/(2.525) 
Y = 190,476 rad/s 
 
B = Y/w0 
B = 190,476/239.046 
B = 0,797 
 
r = w/w0 
r = 60.pi/239.046 
r = 0.788 
 
A = (F0/k).(1/[((1-r^2)^2 + (2.B.r)^2)^(1/2)] 
 
A = ((m.(w^2).R) /k).(1/[((1-r^2)^2 + (2.B.r)^2)^(1/2)] 
A = ((525.((60.pi)^2).0,1/30000000).(1/[((1-0,788^2)^2 + (2.0,797.0,788)^2)^(1/2)] 
A = 0,00226 m = 2,26 mm 
 
CONTEUDO 4 MODULO 3 - exercicio 7 ( LETRA C ) 
 
A equação da posição é do tipo: 
y(t) = A.cos(w.t+fi) 
Derivando: 
y’(t) = -A.w.sin(w.t+fi) 
De onde se tira que ymax = A.w. Portanto a força máxima viscosa Fv: 
Fv = c.ymax 
Fv = c.A.w 
Fv = 200000.0,00226.60.pi 
Fv = 85200 N = 85,2 kN 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
CONTEUDO 5 MODULO 4 - exercicio 1 ( LETRA C ) 
 
Tv((1-r)²+(2ßr)²)=v(2²ß²r²+1) 
r=6,33 
 
r=w/w0 
w0=49,62 rad/s 49,62 
 
keq=w0².m 
keq=985kN/m 
 
CONTEUDO 5 MODULO 4 - exercicio 2 ( LETRA A ) 
 
Fmáx=P/2 
Fmáx=5000/2 
Fmáx=2500 N 
 
Ft=0,1.Fmáx 
Ft=250 N 
 
CONTEUDO 5 MODULO 4 - exercicio 3 ( LETRA D ) 
 
F=c*x 
 
ß=w/y 
 
y=c/2m 
 
F=2ßxwm*0,1 
F=950 N 
 
CONTEUDO 5 MODULO 4 - exercicio 4 ( LETRA A ) 
 
T(r²-1)=1 
r=3,32 
 
r=w/w0 
w0=143,42 rad/s 
 
keq=w0².m 
keq=10284 kN/m 
 
k=keq/4 
k=2571 kN/m 
 
CONTEUDO 5 MODULO 4 - exercicio 5 ( LETRA D ) 
 
Tv((1-r)²+(2ßr)²)=v(2²ß²r²+1) 
T=0,0729 
T=7,29% 
 
CONTEUDO 5 MODULO 4 - exercicio 6 ( LETRA A ) 
 
r=w/w0 
w0=3,763 rad/s 
 
keq=w0².m 
keq=85,2 kN/m 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
CONTEUDO 6 MODULO 5 - exercicio 1 ( LETRA B ) 
 
massa 1 
Fe2 -Fe1 = mx1^'' 
k2(x2 - x1) - k1x1 = mx1^'' 
k2x2 - k2x1 - k1x1 - mx1^'' = 0 
 
 
Solução 
x1 = Acos(wt +∅) 
x^'1 = -Awsen(wt +∅) 
x^''1 = -Aw^2cos(wt +∅) 
x^''1 = -w^2x1 
 
 
Massa 2 
 
 
-Fe3 -Fe2 = mx2^'' 
-k3x2 -k2(x2 - x1) = mx2^'' 
-k3x2 - k2x2 + k2x1 = mx2^'' 
-mw^2x2 + k3x2 + k2x2 - k2x1 = 0 
(-mw^2 + k3 + k2)x2 - k2x1 = 0 
 
 
┌ ┐ 
│-0,8w1^2 + 25,6 -12,8 │ 
│ │= (-0,8w1^2 + 25,6).(0,8w2^2 + 25,6) - (-12,8).(-12,8)= 0 
│ -12,8 0,8w2^2 + 25,6 │ w1 = w2 
└ ┘ 
 0,64ω^4 -40,96ω^2 + 491,52 = 0 λ= ω^2 
 0,64λ^2 -40,96λ + 491,52 = 0 
 ∆ = (40,96)^2 - 4.0,64.491,52 
 ∆ = 419,43 
 
 
λ= (+40,96 ± 20,48)/ 1,28 
λ2 = 16 → ω2 = 4 rad/s 
 
CONTEUDO 6 MODULO 5 - exercicio 2 ( LETRA A ) 
 
x1/x2 = (A1/A2)1 = (-12,8) / (-0,8.(6,9)^2 + 25,6) = 1,025 
 
CONTEUDO 6 MODULO 5 - exercicio 3 ( LETRA A ) 
 
massa 1 
Fe2 -Fe1 = mx1^'' 
k2(x2 - x1) - k1x1 = mx1^'' 
k2x2 - k2x1 - k1x1 - mx1^'' = 0 
 
 
Solução 
x1 = Acos(wt +∅) 
x^'1 = -Awsen(wt +∅) 
x^''1 = -Aw^2cos(wt +∅) 
x^''1 = -w^2x1 
 
 
Massa 2 
 
 
-Fe3 -Fe2 = mx2^'' 
-k3x2 -k2(x2 - x1) = mx2^'' 
-k3x2 - k2x2 + k2x1 = mx2^'' 
-mw^2x2 + k3x2 + k2x2 - k2x1 = 0 
(-mw^2 + k3 + k2)x2 - k2x1 = 0 
 
 
┌ ┐ 
│-0,8w1^2 + 25,6 -12,8 │ 
│ │= (-0,8w1^2 + 25,6).(0,8w2^2 + 25,6) - (-12,8).(-12,8)= 0 
│ -12,8 0,8w2^2 + 25,6 │ w1 = w2 
└ ┘ 
 0,64ω^4 -40,96ω^2 + 491,52 = 0 λ= ω^2 
 0,64λ^2 -40,96λ + 491,52 = 0 
 ∆ = (40,96)^2 - 4.0,64.491,52 
 ∆ = 419,43 
 
 
λ= (+40,96 ± 20,48)/ 1,28 
λ1 = 48 → ω1 = 6,9 rad/s 
 
CONTEUDO 6 MODULO 5 - exercicio 4 ( LETRA B ) 
 
x1/x2 = (A1/A2)2 = (-12,8) / (-0,8.(4)^2 + 25,6) = -1 
 
CONTEUDO 6 MODULO 5 - exercicio 5 ( LETRAE ) 
 
∆ = y - 0,3θ 
sin⁡θ = y/0,3 
y = 0,3θ 
∑F = m.a 
Fk1 = -m.γ^'' 
k1.(y-0,3θ) = m.ω^2 y 
y(k1-mω^2 )-0,3k1θ = 0 
y(3500 - 35ω^2) - 1050θ = 0 
 
 
∑M = I.α 
Fk1.0,3 - kt.θ = Iθ^'' 
k1(y - 0,3θ).0,3 - kt.θ + Iω^2θ = 0 
kl.0,3y + θ(-kl.0,3^2 - kt+ Iω^2) = 0 
1050y + (-5315 + 50ω^2)θ = 0 
 
 
┌ ┐ 
│3500-35w^2 -1050 │ 
│ │= 18602500 + 175000ω^2 + 186025ω^2 -1750ω^4 +1102500 = 0 
│ 1050 -5315 + 50w^2 │ -1750ω^4 + 361025ω^2 -17500000 = 0 
└ ┘ 
 ∆= (-361025 ± 88538)/ -3500 
σ2 = 77,85 ⟶ ω^2 = 8,8 rad/s 
 
CONTEUDO 6 MODULO 5 - exercicio 6 ( LETRA E ) 
 
(3500 - 35ω^2).y -1050θ = 0 
(y/θ)1 = 1050/(3500 - 35ω^2) = 1,05 
 
CONTEUDO 6 MODULO 5 - exercicio 7 ( LETRA D ) 
 
∆ = y - 0,3θ 
sin⁡θ = y/0,3 
y = 0,3θ 
∑F = m.a 
Fk1 = -m.γ^'' 
k1.(y-0,3θ) = m.ω^2 y 
y(k1-mω^2 )-0,3k1θ = 0 
y(3500 - 35ω^2) - 1050θ = 0 
 
 
∑M = I.α 
Fk1.0,3 - kt.θ = Iθ^'' 
k1(y - 0,3θ).0,3 - kt.θ + Iω^2θ = 0 
kl.0,3y + θ(-kl.0,3^2 - kt+ Iω^2) = 0 
1050y + (-5315 + 50ω^2)θ = 0 
 
 
┌ ┐ 
│3500-35w^2 -1050 │ 
│ │= 18602500 + 175000ω^2 + 186025ω^2 -1750ω^4 +1102500 = 0 
│ 1050 -5315 + 50w^2 │ -1750ω^4 + 361025ω^2 -17500000 = 0 
└ ┘ 
 
∆= (-361025 ± 88538)/ -3500 
σ1 = 128,44 ⟶ ω1 = 11,33 rad/s 
 
CONTEUDO 6 MODULO 5 - exercicio 8 ( LETRA B ) 
 
(3500 - 35ω^2).y -1050θ = 0 
(y/θ)2 = -1,33 
 
 
--------------------------------------------------------------------------------------- 
CONTEUDO 7 MODULO 6 - exercicio 1 ( LETRA A ) 
 
BLOCO 1 
-Fk1-Fk2-Ft=M.x1=-m.w²x1 
--m.w².x1+Fk1-Fk2=Ft 
-mm.w².x1+kx1-K(x2-x1)=Ft 
x1(-mw²+2k)+x2(-K)=Ft 
 
BLOCO 2 
-Fk2-Fk3=m2x2=-m2w²x2 
m2w²x2-k(x2-x1)-kx2=0 
kx1+x2(m2w²-2K)=0 
 
I.| -mw²+2k -k| . |x1| = |F1| 
 | k mw²-2k| |x2| |0| 
 
 
I = |-mw²+2k -k| . |x1| 
 | k mw²-2k| |x2| 
 
|x1| = |mw²-2k k | . 1/s . |F1| . cos (wt) 
|x2| | -k -mw²+2k| |0| 
 
 
(mw²-2k).(mw²-2k) + k²= ? 
?=-m²w+2mkw²+2mkw²-4k²+k² 
?=-m²w4+4mkw²-3k² 
?=163,84 
 
x1=((mw²-24).F1/163,84).cos(wt) ----- A=0 
x2=((-kF1/163,84).cos (wt)) ----- B=0,2 
 
-m²s²+4mks-3k²=0 
?=(-4mk±2mk)/2m² 
 
s2=(-6mk/-2m²) ----- w2=raiz(3k/m) 
s1=(-2mk/-2m²) ------ w1=raiz(k/m) 
 
 
w1=4rad/s 
w2=6,928 rad/s 
 
Solução: 
A=0 
 
CONTEUDO 7 MODULO 6 - exercicio 2 ( LETRA B ) 
 
 
BLOCO 1 
-Fk1-Fk2-Ft=M.x1=-m.w²x1 
--m.w².x1+Fk1-Fk2=Ft 
-mm.w².x1+kx1-K(x2-x1)=Ft 
x1(-mw²+2k)+x2(-K)=Ft 
 
BLOCO 2 
-Fk2-Fk3=m2x2=-m2w²x2 
m2w²x2-k(x2-x1)-kx2=0 
kx1+x2(m2w²-2K)=0 
 
I.| -mw²+2k -k| . |x1| = |F1| 
 | k mw²-2k| |x2| |0| 
 
 
I = |-mw²+2k -k| . |x1| 
 | k mw²-2k| |x2| 
 
|x1| = |mw²-2k k | . 1/s . |F1| . cos (wt) 
|x2| | -k -mw²+2k| |0| 
 
 
(mw²-2k).(mw²-2k) + k²= ? 
?=-m²w+2mkw²+2mkw²-4k²+k² 
?=-m²w4+4mkw²-3k² 
?=163,84 
 
x1=((mw²-24).F1/163,84).cos(wt) ----- A=0 
x2=((-kF1/163,84).cos (wt)) ----- B=0,2 
 
-m²s²+4mks-3k²=0 
?=(-4mk±2mk)/2m² 
 
s2=(-6mk/-2m²) ----- w2=raiz(3k/m) 
s1=(-2mk/-2m²) ------ w1=raiz(k/m) 
 
 
w1=4rad/s 
w2=6,928 rad/s 
 
Solução: 
B=0,2 
 
CONTEUDO 7 MODULO 6 - exercicio 3 ( LETRA E ) 
 
X1 = ((m . w² - 2k ) . F1) / (-m2 . w^4 + 4.m.k.w² - 3.k²) = 0 
( m² . w² - 2.k ) . F1 = 0 
 m . w² - 2k = 0 
2. k = m . w² 
w² = 2k / m 
w = (2.k/m)^ (1/2) 
w = 8,84 rad/s 
 
CONTEUDO 7 MODULO 6 - exercicio 4 ( LETRA E ) 
 
b2 = ( -k1.F1 ) / ( -m² . w^4 + 4. m.k.w² - 3.k² ) = 
( -265,625 / 976,56 ) = -0,272 
 
CONTEUDO 7 MODULO 6 - exercicio 5 ( LETRA B ) 
 
F1-F2= m1.y1= m1.wº.y1 
 
m1w^2y1-k1(y1-yb)+k2(y2-y1)=0 
 
y1(m1w^2-k1-k2)+k2.y2)= -k1yb 
 
y1(-mw^2+k1+k2)-k2.y2)= k1yb 
 
F2=m2.y2=m2w^2y2 
 
m2w^2y2-k2(y2-y1)=0 
 
 I [-m,w²+K1+K2 -K2][Y1]---> [ K, yb ] 
 [ K2 m2,w² - K2 ][Y2]---> [ 0 ] 
 
 I [-0,8w²+31,25+31,25 -31,25] 
 [- 31,25 0,8,w² - 31,25 ] 
 
Δ = (0,64.w^4 +25w²+50w²-1953,12) W=5,2 
Δ = -393,06 
 
[Y1] = [0,8.w² - 31,25 31,25 ] .1/Δ .[ K, yb ] 
[Y2] = [-31,25 -0,8.w².62,25 ] .1/Δ .[ 0 ] 
 
Δ = (-0,8.w² + 62,5) . (0,8.w² - 31,25) + 31,25² 
Δ = 583,44 
 
y1= (0,8.w²-31,25).k1.0,15/ 583,44 . sen(5,2t) 
 
A= 0,08 
 
CONTEUDO 7 MODULO 6 - exercicio 6 ( LETRA E ) 
 
F1-F2= m1.y1= m1.wº.y1 
 
m1w^2y1-k1(y1-yb)+k2(y2-y1)=0 
 
y1(m1w^2-k1-k2)+k2.y2)= -k1yb 
 
y1(-mw^2+k1+k2)-k2.y2)= k1yb 
 
F2=m2.y2=m2w^2y2 
 
m2w^2y2-k2(y2-y1)=0 
 
 I [-m,w²+K1+K2 -K2][Y1]---> [ K, yb ] 
 [ K2 m2,w² - K2 ][Y2]---> [ 0 ] 
 
 I [-0,8w²+31,25+31,25 -31,25] 
 [- 31,25 0,8,w² - 31,25 ] 
 
Δ = (0,64.w^4 +25w²+50w²-1953,12) W=5,2 
Δ = -393,06 
 
[Y1] = [0,8.w² - 31,25 31,25 ] .1/Δ .[ K, yb ] 
[Y2] = [-31,25 -0,8.w².62,25 ] .1/Δ .[ 0 ] 
 
Δ = (-0,8.w² + 62,5) . (0,8.w² - 31,25) + 31,25² 
Δ = 583,44 
 
y1= (0,8.w²-31,25).k1.0,15/ 583,44 . sen(5,2t) 
 
A= 0,08 
 
y2= -31,25.31,25.0,15/ 583,44 . sen(5,2t) 
 
B= 0,25 
 
CONTEUDO 7 MODULO 6 - exercicio 7 ( LETRA D ) 
 
[-m,w²+K1+K -K2] ---> [-0,8.w² + 25 + 36 -36] 
[ K2 m,,w² - K2 ] ---> [ 36 0,8w² - 36] 
 
Δ = (0,8.w² + 61) . (0,8.w² - 36) + 36² 
Δ = 730,36 
 
[Y1] = 1/Δ [0,8.w² - 36 36 ] . [ K, yb ] 
[Y2] [ 36 -0,88.w² + 61 ] . [ 0 ] 
 
Y2 = ( 36K1 . 0,15 ) / ( 730,36 ) . sen( 5,2t ) 
 
B = 0,18 
 
CONTEUDO 7 MODULO 6 - exercicio 8 ( LETRA D ) 
 
 
[ - 0,8. w² + 61 -36 ] ----> Δ = ( -0,8. w² + 61 ) . ( m2 . W². 36) + 36² 
[ 36 m2. w² + 36 ] 
 Δ = 1064,5 m2 - 121,248 
 
[Y1] = [ m2 . w² - 36 36] . [ K1. Yb ] 
[Y2] = [ -36 -0,8. w² + 61 ] . [ 0 ] 
 
Y1 = 0 = ((m2 . w² - 36). 25. 0,15) / (1064,5 . m2 - 121,248) 
m2 . w² - 36 = 0 
m2.w² = 36 
m2 = 36 / w² = 1,33Kg 
 
B = ( -36,25 . 0,15/ 1294,53 ) 
B = 0,1 
 
CONTEUDO 7 MODULO 6 - exercicio 9 ( LETRA D ) 
 
Somatório dos Momentos para o disco: 
M-Cw=Id.ad 
Somatório dos momentos para a Polia: 
Cw=Ip.ap 
 
Id/Ip=0,333 
 
------------------------------------------------------------------------------------- 
CONTEUDO 8 MODULO 7 - exercicio 1 ( LETRA C ) 
 
Ip.θ"= Me+ Mv + Mo.e^(i.wt) 
Ip.θ"= -k.θ- c.(θ'-φ') + Mo.e^(i.wt) 
Ip.θ"+k.θ+ c.(θ'-φ') = Mo.e^(i.wt) 
 
Sabendo que que neste instante agem forças do tipo: 
Ip.φ"= Mv 
Ip.φ" - c(θ"- φ")=0 
Solução geral 
 
θ"= -W².θ 
φ"=-W ².φ 
Substituindo 
(k+c.i.W-W^2.Ip)θo-i.c.W.φo=Mo 
(k+c.i.W-W^2.Ip- (i^2.c^2.W²)/(i.c.W-Ip.W²))θo=Mo 
(k+c.i.W-W^2.Ip- (i^2.c^2.W²)/(i.c.W-Ip.W²))θo=Mo 
(k-W2.Ip)Id.W^2+i.c.W(Id.W^2-(k-W^2.Ip))=Mo.(Id.W^2-i.c.W) 
Assim: 〖Wo〗^2=k/IP 
Substituindo M1= 0,2 kg e E.I = 1000N.m², L= 0,3 
 
W1= 125,6 rad/s 
 
CONTEUDO 8 MODULO 7 - exercicio 2 ( LETRA D ) 
 
Ip.θ"= Me+ Mv + Mo.e^(i.wt) 
Ip.θ"= -k.θ- c.(θ'-φ') + Mo.e^(i.wt) 
Ip.θ"+k.θ+ c.(θ'-φ') = Mo.e^(i.wt) 
 
Sabendo que que neste instante agem forças do tipo: 
Ip.φ"= Mv 
Ip.φ" - c(θ"- φ")=0 
Solução geral 
 
θ"= -W².θ 
φ"=-W ².φ 
Substituindo 
(k+c.i.W-W^2.Ip)θo-i.c.W.φo=Mo 
(k+c.i.W-W^2.Ip- (i^2.c^2.W²)/(i.c.W-Ip.W²))θo=Mo(k+c.i.W-W^2.Ip- (i^2.c^2.W²)/(i.c.W-Ip.W²))θo=Mo 
(k-W2.Ip)Id.W^2+i.c.W(Id.W^2-(k-W^2.Ip))=Mo.(Id.W^2-i.c.W) 
Assim: 〖Wo〗^2=k/IP 
Substituindo M2= 0,2 kg e E.I = 1000N.m², L= 0,6 m 
 
W2= 760,7 rad/s 
 
CONTEUDO 8 MODULO 7 - exercicio 3 ( LETRA E ) 
 
 
Ip.θ"= Me+ Mv + Mo.e^(i.wt) 
Ip.θ"= -k.θ- c.(θ'-φ') + Mo.e^(i.wt) 
Ip.θ"+k.θ+ c.(θ'-φ') = Mo.e^(i.wt) 
 
Sabendo que que neste instante agem forças do tipo: 
Ip.φ"= Mv 
Ip.φ" - c(θ"- φ")=0 
Solução geral 
 
θ"= -W².θ 
φ"=-W ².φ 
Substituindo 
(k+c.i.W-W^2.Ip)θo-i.c.W.φo=Mo 
(k+c.i.W-W^2.Ip- (i^2.c^2.W²)/(i.c.W-Ip.W²))θo=Mo 
(k+c.i.W-W^2.Ip- (i^2.c^2.W²)/(i.c.W-Ip.W²))θo=Mo 
(k-W2.Ip)Id.W^2+i.c.W(Id.W^2-(k-W^2.Ip))=Mo.(Id.W^2-i.c.W) 
Assim: 〖Wo〗^2=k/IP 
Substituindo M3= 0,2 kg e E.I = 1000N.m², L= 0,9 m 
 
W3= 1666,7 rad/s 
 
CONTEUDO 8 MODULO 7 - exercicio 4 ( LETRA A ) 
 
Da questão 1 Tem-se W1 
Assim: 〖Wo〗^2=k/IP 
Substituindo M1= 0,2 kg e E.I = 1000N.m², L= 0,3 m 
W1= 125,6 rad/s 
Assim: 
Ip.θ"= Me+ Mv + Mo.e^(i.wt) 
Ip.θ"= -k.θ- c.(θ'-φ') + Mo.e^(i.wt) 
Ip.θ"+k.θ+ c.(θ'-φ') = Mo.e^(i.wt) 
 
Isolando θ/( x)=A , substituindo W1 tem-se 
 
A2 = 0,053 
 
CONTEUDO 8 MODULO 7 - exercicio 5 ( LETRA B ) 
 
Da questão 1 Tem-se W1 
Assim: 〖Wo〗^2=k/IP 
Substituindo M1= 0,2 kg e E.I = 1000N.m², L= 0,3 m 
W1= 125,6 rad/s 
Assim: 
Ip.θ"= Me+ Mv + Mo.e^(i.wt) 
Ip.θ"= -k.θ- c.(θ'-φ') + Mo.e^(i.wt) 
Ip.θ"+k.θ+ c.(θ'-φ') = Mo.e^(i.wt) 
 
Isolando θ/( x)=A , substituindo W1 tem-se 
 
A3 = 0,016 
 
CONTEUDO 8 MODULO 7 - exercicio 6 ( LETRA C ) 
 
Da questão 2 Tem-se W2 
Assim: 〖Wo〗^2=k/IP 
Substituindo M1= 0,2 kg e E.I = 1000N.m², L= 0,6 m 
W1= 760,7 rad/s 
Assim: 
Ip.θ"= Me+ Mv + Mo.e^(i.wt) 
Ip.θ"= -k.θ- c.(θ'-φ') + Mo.e^(i.wt) 
Ip.θ"+k.θ+ c.(θ'-φ') = Mo.e^(i.wt) 
 
Isolando θ/( x)=A , substituindo W2 tem-se no segundo modulo normal 
 
A2 = 0,130 
 
CONTEUDO 8 MODULO 7 - exercicio 7 ( LETRA D ) 
 
Da questão 2 Tem-se W2 
Assim: 〖Wo〗^2=k/IP 
Substituindo M1= 0,2 kg e E.I = 1000N.m², L= 0,6 m 
W1= 760,7 rad/s 
Assim: 
Ip.θ"= Me+ Mv + Mo.e^(i.wt) 
Ip.θ"= -k.θ- c.(θ'-φ') + Mo.e^(i.wt) 
Ip.θ"+k.θ+ c.(θ'-φ') = Mo.e^(i.wt) 
 
Isolando θ/( x)=A , substituindo W2 tem-se no segundo modulo normal 
 
A3 = 0,150 
 
CONTEUDO 8 MODULO 7 - exercicio 8 ( LETRA E ) 
 
Da questão 3 Tem-se W3 
Assim: 〖Wo〗^2=k/IP 
Substituindo M1= 0,2 kg e E.I = 1000N.m², L= 0,6 m 
W1= 1666,7 rad/s 
Assim: 
Ip.θ"= Me+ Mv + Mo.e^(i.wt) 
Ip.θ"= -k.θ- c.(θ'-φ') + Mo.e^(i.wt) 
Ip.θ"+k.θ+ c.(θ'-φ') = Mo.e^(i.wt) 
 
Isolando θ/( x)=A , substituindo W3 tem-se no terceiro modulo normal 
 
A3 = 0,250 
 
-------------------------------------------------------------------------------------- 
CONTEUDO 9 MODULO 8 - exercicio 1 ( LETRA A ) 
 
F1=-k.x1 
F2=-k.(x2-x1) 
F3=-k.(x3-x2) 
F4=-k.(x4-x3) 
F5=-k.x5 
 
x''=-w^2.x para qualquer x 
 
Para m1 - -F1+F2=m.x1'' que simplifica em (mw^2+2k)x1-kx2=0 
 
Para m2 - -F2+F3=m.x2'' que simplifica em -k.x1+(mw^2+2k)x2-k.x3=0 
 
Para m3 - -F1+F2=m.x1'' que simplifica em -k.x2+(mw^2+2k)x3-k.x4=0 
 
Para m4 - -F1+F2=m.x1'' que simplifica em (mw^2+2k)x4-kx3=0 
 
Pode-se escrever a seguinte matriz 
 
0,2w^2+200 -100 0 0 
 -100 0,2w^2+200 -100 0 
 0 -100 0,2w^2+200 -100 
 0 0 -100 0,2w^2+200 
 
que resulta o seguinte determinante: 
0,016w^8+6,4w^6+8400w^4+4000000w^2+500000000=0 
 
w1=13,81 
 
CONTEUDO 9 MODULO 8 - exercicio 2 ( LETRA B ) 
 
F1=-k.x1 
F2=-k.(x2-x1) 
F3=-k.(x3-x2) 
F4=-k.(x4-x3) 
F5=-k.x5 
 
x''=-w^2.x para qualquer x 
 
Para m1 - -F1+F2=m.x1'' que simplifica em (mw^2+2k)x1-kx2=0 
 
Para m2 - -F2+F3=m.x2'' que simplifica em -k.x1+(mw^2+2k)x2-k.x3=0 
 
Para m3 - -F1+F2=m.x1'' que simplifica em -k.x2+(mw^2+2k)x3-k.x4=0 
 
Para m4 - -F1+F2=m.x1'' que simplifica em (mw^2+2k)x4-kx3=0 
 
Pode-se escrever a seguinte matriz 
 
0,2w^2+200 -100 0 0 
 -100 0,2w^2+200 -100 0 
 0 -100 0,2w^2+200 -100 
 0 0 -100 0,2w^2+200 
 
que resulta o seguinte determinante: 
0,016w^8+6,4w^6+8400w^4+4000000w^2+500000000=0 
 
w2=26,28 
 
CONTEUDO 9 MODULO 8 - exercicio 3 ( LETRA D ) 
 
F1=-k.x1 
F2=-k.(x2-x1) 
F3=-k.(x3-x2) 
F4=-k.(x4-x3) 
F5=-k.x5 
 
x''=-w^2.x para qualquer x 
 
Para m1 - -F1+F2=m.x1'' que simplifica em (mw^2+2k)x1-kx2=0 
 
Para m2 - -F2+F3=m.x2'' que simplifica em -k.x1+(mw^2+2k)x2-k.x3=0 
 
Para m3 - -F1+F2=m.x1'' que simplifica em -k.x2+(mw^2+2k)x3-k.x4=0 
 
Para m4 - -F1+F2=m.x1'' que simplifica em (mw^2+2k)x4-kx3=0 
 
Pode-se escrever a seguinte matriz 
 
0,2w^2+200 -100 0 0 
 -100 0,2w^2+200 -100 0 
 0 -100 0,2w^2+200 -100 
 0 0 -100 0,2w^2+200 
 
que resulta o seguinte determinante: 
0,016w^8+6,4w^6+8400w^4+4000000w^2+500000000=0 
 
w3=36,18 
 
CONTEUDO 9 MODULO 8 - exercicio 4 ( LETRA E ) 
 
F1=-k.x1 
F2=-k.(x2-x1) 
F3=-k.(x3-x2) 
F4=-k.(x4-x3) 
F5=-k.x5 
 
x''=-w^2.x para qualquer x 
 
Para m1 - -F1+F2=m.x1'' que simplifica em (mw^2+2k)x1-kx2=0 
 
Para m2 - -F2+F3=m.x2'' que simplifica em -k.x1+(mw^2+2k)x2-k.x3=0 
 
Para m3 - -F1+F2=m.x1'' que simplifica em -k.x2+(mw^2+2k)x3-k.x4=0 
 
Para m4 - -F1+F2=m.x1'' que simplifica em (mw^2+2k)x4-kx3=0 
 
Pode-se escrever a seguinte matriz 
 
0,2w^2+200 -100 0 0 
 -100 0,2w^2+200 -100 0 
 0 -100 0,2w^2+200 -100 
 0 0 -100 0,2w^2+200 
 
que resulta o seguinte determinante: 
0,016w^8+6,4w^6+8400w^4+4000000w^2+500000000=0 
 
w4= 42,53 
 
CONTEUDO 9 MODULO 8 - exercicio 5 ( LETRA C ) 
 
Resolvendo a matriz com o primeiro modo 
 
238,642 -100 0 0 
-100 238,642 -100 0 
 0 -100 238,642 0 
 0 0 -100 238,642 
 
Resolvendo a primeira equação x2=2,38 
 
CONTEUDO 9 MODULO 8 - exercicio 6 ( LETRA A ) 
 
Utilizando dados do exercicios anteriores e resolvendo a segunda equação 
x3=-4,68 
 
CONTEUDO 9 MODULO 8 - exercicio 7 ( LETRA D ) 
 
Utilizando dados do exercicios anteriores e resolvendo a segunda equação 
x4=-13,54 
 
CONTEUDO 9 MODULO 8 - exercicio 8 ( LETRA D ) 
 
O resultado para a primeira linha da matriz para o segundo modo normal é 
336,24 -100 0 0 
Resolvendo essa linha temos: 
x2=3,36