Eds - 10° semestre (Vibrações M)
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ED VIBRAÇOES MECANICAS 9/10 PERIODO ENG. MEC. 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 1 ( LETRA B ) 
 
Da expressão y(t)= Aocos(Wo.t+\u3d5) sabemos que Wo acompanha a variável tempo, portanto é \u3c0/2 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 2 ( LETRA D ) 
 
f=w/2 \u3c0, sabendo que w é \u3c0/2, temos f=0,25. Portanto T=1/f= 4 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 3 ( LETRA B ) 
 
Substituindo t por 2, temos: 
 y= 0,06.cos((\u3c0/2).2 + (\u3c0/3)) 
y=-0,03 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 4 ( LETRA C ) 
 
Derivando a equação horária temos: 
V=-0,06sen((\u3c0/2).2 + (\u3c0/3)). \u3c0/2 
V=0,0816 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 5 ( LETRA D ) 
 
Derivando a velocidade temos: 
a= -0,06cos((\u3c0/2).2 + (\u3c0/3)).( \u3c0/2)² 
a= 0,074 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 6 ( LETRA A ) 
 
W=2 \u3c0.f 
W=2 \u3c0.5 
W=10 \u3c0 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 7 ( LETRA B ) 
 
Sabendo que 0 e \u3c0 corresponde a partícula cruzando o instante 0, portanto \u3c0/2 e 3\u3c0/2 representa as 
fase seguintes da partícula, ou a fase inicial da partícula no nosso caso 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 8 ( LETRA C ) 
 
Com a equação da velocidade, temos 
v(t)=-Ao.sen(wo.t+ \u3d5) 
10,88=-Ao.sen(0.0,1+ \u3c0/2).10\u3c0 
Ao=0,346m 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 9 ( LETRA D ) 
 
Da aceleração temos: 
a(t)= Ao.Wo².cos(Wo.t+ \u3d5) 
a(0,1)=0,35.(10 \u3c0)².cos(10\u3c0.0,1+0) 
a(0,1)=-345,4 m/s² 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 10 ( LETRA E ) 
 
Da posição temos: 
x(t)= Ao.cos(wo.t+ \u3d5) 
x(0,2)=0,35.cos(10 \u3c0.0,2+ 2\u3c0) 
x(0,2)=0,343 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 11 ( LETRA A ) 
 
f=1/T 
f=1/0,25 
f=4 
f=w/2\u3c0 
w=8 \u3c0 
Portanto, a equação horário da posição em função do tempo é: 
x(t)= 0,08.cos(8.\u3c0.t + \u3c0/4) 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 12 ( LETRA B ) 
 
V=0,08sen(8 \u3c0.t+ \u3c0/4).8 \u3c0 
V=-2.sen(8 \u3c0.t+ \u3c0/4) 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 13 ( LETRA D ) 
 
Da derivada da velocidade temos a aceleração: 
a(t)= -Ao.Wo².cos(8\u3c0.t+ \u3c0/4) 
a(t)=-0,08.(8\u3c0)².cos(8\u3c0.t+ \u3c0/4) 
a(t)= -50,53.cos(8\u3c0.t+ \u3c0/4) 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 14 ( LETRA A ) 
 
Da equação da velocidade, temos: 
V=-2.sen(8 \u3c0.t+ \u3c0/4) 
V=-2.sen(8\u3c0.4+\u3c0/4) 
V=-1,41m/s 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 15 ( LETRA B ) 
 
Da equação da velocidade, temos: 
V=-2.sen(8 \u3c0.t+ \u3c0/4) 
V=-2.sen(8\u3c0.4+\u3c0/4) 
V=-1,41m/s 
Energia Potencial Mecanica= 
Ep=m.v²/2 
Ep=0,4.(-1,41)²/2 
Ep=0,397 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 16 ( LETRA C ) 
 
Da equação da velocidade, temos: 
V=-2.sen(8 \u3c0.t+ \u3c0/4) 
V=-2.sen(8\u3c0.4+\u3c0/4) 
V=-1,41m/s 
Energia Potencial Mecanica= 
EM=Ec 
Em=m.v²/2 
Em=0,4.(-1,41)²/2 
Em=0,397.2 
Em=0,79 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 17 ( LETRA D ) 
 
v(t)=-w.x(t) 
v(t)=-8\u3c0.0,02 
v(t)=0,5 
Ec=m.v²/2 
Ec=0,4.(0,5)²/2 
Ec=0,05 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 18 ( LETRA E ) 
 
v(t)=-w.x(t) 
v(t)=-8\u3c0.0,02 
v(t)=0,5 
Ec=m.v²/2 
Ec=0,4.(0,5)²/2 
Ec=0,75 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 19 ( LETRA D ) 
 
T/2=k1.y1; T/2=k2.y2; T=k3.y3 
Y=T/2.k1; y2=T/2.k2; y3=T/k3 
T=4k1.k2.k3.y/(k2.k3+k1.k3+4k1.k2) 
a+T/m=0 
a+282,35y=0 
k=w².m 
k=292,35.0,5 
k=141,17 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 20 ( LETRA C ) 
 
Equacinando mola, temos: 
2T-Fe=m.a (não possui massa) 
2T=k1.y1 
T=(k1.y1)/2 
Equacionando Bloco, temos: 
T=-m.a 
Altura y2=2y1 
Substituindo, temos: 
(k1.y1)/2= m.a 
a+k1.y1/2m=0 
w0²=k/4m 
w0=14,14 rad/s 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 21 ( LETRA E ) 
 
K1=W0².4m 
K1=200.4.10 
K1=8000 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 22 ( LETRA C ) 
 
Massa efetiva é o que divide pelo Kef, portanto 
Mef= (I+R².m) 
Mef= (1,6 + 0,8².10) 
Mef= 8 Kg 
 
CONTEUDO 2 MODULO 1 - exercicio 23 ( LETRA B ) 
 
y= \u3b8.R 
m.g-F=m.a 
I.a=R.F-r.(k.r. \u3b8) 
a+(k.r².\u3b8)/(I+R².m)=g/(I+R) 
W0²=8000.0,6²/(1,6+0,8².10) 
W0=18,97rad/s 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
CONTEUDO 3 MODULO 2 - exercicio 1 ( LETRA D ) 
 
\u3b3= \u3b2.\u3c9\u3bf 
\u3b3=0,25.4 
\u3b3=1 
\u3c9a=\u221a(wo- \u3b3) 
\u3c9a=3,873rad/s 
 
CONTEUDO 3 MODULO 2 - exercicio 2 ( LETRA E ) 
 
y(t)=0,025.e^(-t).cos(3,87.t+ \u3c0/2) 
y(0,1)=0,025.e^(-0,1).cos(3,87.0,1+ \u3c0/2) 
y(0,1)=0,009m 
 
CONTEUDO 3 MODULO 2 - exercicio 3 ( LETRA B ) 
 
m.a = Fe + Fv 
m.y\u2019\u2019 = -k.y \u2013 c.y\u2019 
y\u2019\u2019 + (k/m).y + (c/m).y\u2019 = 0 (equação diferencial) 
 
B = ¼ < 1 (amortecimento fraco), solução da equação diferencial: 
y(t) = a0.[e^(-Y.t)].cos(wa.t + Q) 
 
B = Y/w0 
1/4 = Y/4 
Y = 1 
 
wa = (w0^2-Y^2)^(1/2) 
wa = (4^2-1^2)^(1/2) 
wa = 3,873 rad/s 
 
Para t=0, y=0: 
0 = a0.[e^(0)].cos(wa.0+Q) 
Como a0 > 0 e e^0 = 1: 
0 = cos (Q) 
Q = pi/2 rad 
 
Derivando a y(t): 
dy/dt = d{a0.[e^(-Y.t)].cos(wa.t + Q)}/dt 
y\u2019(t) = a0.^[e^(-Y.t)].[-Y.cos(wa.t+Q)-wa.sin(wa.t+Q)] 
 
Para t=0, y\u2019=0,04 m/s: 
0,04 = a0.[e^(-Y.0)].[-Y.cos(wa.0+Q)-wa.sin(wa.0+Q)] 
0,04 = a0.[-Y.cos(Q)-wa.sin(Q)] 
a0 = 0,04/[-1.cos(pi/2)-3,873.sin(pi/2)] 
a0 = -0,0103 m = 1,03 cm 
 
CONTEUDO 3 MODULO 2 - exercicio 4 ( LETRA E ) 
 
m.a = Fe + Fv 
m.y\u2019\u2019 = -k.y \u2013 c.y\u2019 
y\u2019\u2019 + (k/m).y + (c/m).y\u2019 = 0 (equação diferencial) 
 
B = 4 > 1 (amortecimento forte), solução da equação diferencial: 
y(t) = A.e^{-Y+[(Y^2-w0^2)^(1/2)].t} + B.e^{-Y-[(Y^2-w0^2)^(1/2)].t} 
 
B = Y/w0 
4 = Y/4 
Y = 16 
 
Para t = 0, y = 0: 
0 = A.[e^(-Y)] + B.[e^(-Y)] 
0 = (A+B).[e^(-Y)] 
A + B = 0 (Eq. I) 
 
Derivando y(t) para obter a equação da velocidade: 
dy/dt = d(A.e^{-Y+[(Y^2-w0^2)^(1/2)].t} + B.e^{-Y-[(Y^2-w0^2)^(1/2)].t})/dt 
y\u2019(t) = A.e^{-Y+[(Y^2-w0^2)^(1/2)].t}.[(Y^2-w0^2)^(1/2)] - B.e^{-Y-[(Y^2-w0^2)^(1/2)].t}.[(Y^2-
w0^2)^(1/2)] 
 
Para t=0, y\u2019= 0,04 m/s: 
0,04 = A.e^(-Y).[(Y^2-w0^2)^(1/2)]\u2013 B.e^(-Y).[(Y^2-w0^2)^(1/2)] 
0,04 = (A \u2013 B).e^(-16).[(16^2-4^2)^(1/2)] 
0,04 = (A \u2013 B).1,743.10^(-6) 
A \u2013 B = 22943,740 (Eq. II) 
 
De (I) em (II): 
A + A = 22943,740 
A = 11471,87 
Portanto: 
B = -11471,87 
Logo: 
y(t) = 11471,87.e^{-16+[(16^2-4^2)^(1/2)].t} \u2013 11471,87.e^{-16-[(16^2-4^2)^(1/2)].t} 
y(t) = 11471,87.[e^(-16+15,492.t) - e^(-16-15,492.t)] 
y(t) = 11471,87.[e^(-16)].[e^(15,492.t) - e^(-15,492.t)] 
y(t) = 0,00129.).[e^(15,492.t) - e^(-15,492.t)] m 
 
Da função da posição anterior tem-se: 
a0 = 0,00129 m = 0,129 cm 
 
CONTEUDO 3 MODULO 2 - exercicio 5 ( LETRA A ) 
 
m.a = Fe + Fv 
m.y\u2019\u2019 = -k.y \u2013 c.y\u2019 
y\u2019\u2019 + (k/m).y + (c/m).y\u2019 = 0 (equação diferencial) 
 
O amortecimento tem de ser crítico: 
B = 1 
Logo, a solução para a equação diferencial: 
y(t) = (A + B.t).e^(-Y.t) 
 
w0 = (k/m)^(1/2) 
w0 = (80000/800)^(1/2) 
w0 = 10 rad/s 
 
B = Y/w0 
Y = 1.10 
Y = 10 rad/s 
 
Y = c/(2.m) 
10 = c/(2.800) 
c = 16000 N.s/m 
 
CONTEUDO 3 MODULO 2 - exercicio 6 ( LETRA C ) 
 
Da questão anterior, tem-se a equação da posição: 
y(t) = (A + B.t).e^(-Y.t) 
 
Fazendo y(0) = 1 m: 
1 = (A+B.0).e^(-Y.0) 
A = 1 
Derivando a função da posição: 
dy/dt = d[(A + B.t).e^(-Y.t)]/dt 
y\u2019(t) = {(A + B.t).[e^(-Y.t)].(-Y)} + [e^(-Y.t).B] 
 
Fazendo y\u2019(0) = 0: 
0 = {(A + B.0).[e^(-Y.0)].(-Y)} + [e^(-Y.0).B] 
0 = {(A).[(-Y)} + [B] 
A.Y = B 
 
A = 1 e Y = 10, logo: 
B = 1.10 
B = 10 
 
Portanto a função com todos as constantes definidas: 
y(t) = (1 + 10.t).e^(-10.t) (Esta função só é válida para o retorno) 
O período para que o cano retorne até a posição normal de tiro (y = 0,01 mm): 
0,00001 = (1 + 10.t).e^(-10.t) 
t = 1,424 s (retorno) 
 
Admitindo que a energia
Brksor
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