Conteúdo - 8 Modulo - 7 Sistemas Lineares

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20/05/2020 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
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Módulo 7 – Sistemas lineares
 
 
Texto 1
 
Chamamos de sistema linear do primeiro grau a um grupo de equações com n variáveis,
cujo conjunto solução é comum a todas elas.
Num sistema, não é possível resolver uma equação isoladamente, porque em geral cada
equação tem mais de uma incógnita (variável), sendo comum a ocorrência de até três
variáveis nas equações.
Existem diversas técnicas que nos permitem encontrar a solução de um sistema linear.
Vamos começar com o caso mais simples, que é o sistema linear de duas equações e
duas incógnitas. Vejamos um exemplo:
5x – 2y = 4 (i)
3x + y = 9 (ii)
Encontrar a solução desse sistema significa descobrir os valores de x e de y que tornam
as duas equações verdadeiras ou válidas.
A primeira técnica que mostraremos é chamada método da adição. Vamos multiplicar a
segunda equação por 2:
5x – 2y = 4 (i)
6x + 2y = 18 (iii)
Observe agora que, se somarmos as duas equações, termo a termo, a variável y vai
desaparecer. Assim, temos:
(i) + (iii) = 11x = 22 → x = 22/11 → x = 2
Agora, substituindo x = 2 na segunda equação (ii), temos:
3.2 + y = 9 → y = 9 – 6 → y = 3
 
Uma outra técnica também eficiente consiste em isolar uma incógnita em uma equação e
substituí-la na outra. Essa técnica é conhecida como método da substituição.
Usando a equação (ii), vamos isolar y:
y = 9 – 3x
Substituindo na equação (i), temos:
5x – 2.(9 – 3x) = 4
5x – 18 + 6x = 4
11x = 4 + 18
11x = 22
x = 22/11 = 2
Feito isso, substituímos esse resultado na equação (ii), conforme mostramos acima.
 
Texto 2
 
Um sistema 3 x 3 é constituído de 3 equações e 3 incógnitas. Veja o exemplo abaixo:
5x – 2y + z = 5
4x + y – z = 10
x + 3y + 2z = 13
 
Para resolver esse tipo de sistema, recomendamos a Regra de Cramer. Por essa regra,
primeiro calculamos o determinante do sistema, formado pelos coeficientes das
incógnitas. Esse determinante será chamado de D.
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Depois construímos outro determinante, substituindo os coeficientes de x pelos termos
independentes. Esse determinante será chamado de Dx.
Analogamente, construímos Dy substituindo a coluna dos coeficientes de y pelos termos
independentes. Esse determinante será chamado de Dy.
Por fim, construímos Dz, que será formado a partir de D, substituindo a coluna dos
coeficientes de z pelos termos independentes.
De posse desses resultados, os valores das variáveis x, y e z podem ser obtidos pelas
seguintes razões:
x = Dx/D
y = Dy/D
z = Dz/D
Para obter esses resultados, obrigatoriamente deveremos ter D diferente de 0. Isso nos
remete à discussão do sistema.
Discutir um sistema significa avaliá-lo quanto às possibilidades de solução que ele possui.
A regra de Cramer facilita bastante a discussão.
Primeiro, devemos saber que existem 3 classificações possíveis para um sistema linear:
Sistema Possível e Determinado (SPD)
Sistema Possível e Indeterminado (SPI)
Sistema Impossível (SI)
Um sistema será chamado de SPD se todos os determinantes calculados forem diferentes
de zero. Nesse caso, o sistema tem uma única solução.
Um sistema será chamado de SPI quando todos os determinantes do sistema forem iguais
a zero. Nesse caso, o sistema tem infinitas soluções.
Um sistema será chamado de SI quando o determinante do sistema (D) for igual a zero e
algum outro determinante (Dx, Dy ou Dz) for diferente de zero. Nesse caso, o sistema
não tem solução.
Como você pode perceber, para executar a regra de Cramer você precisa saber como
calcular determinantes, por isso recomendamos que você procure estudar esse assunto.
Entretanto, alternativamente, podemos propor outro método de resolução, que é feito por
substituição. Vamos considerar o mesmo exemplo anterior:
5x – 2y + z = 5 (i)
4x + y – z = 10 (ii)
x + 3y + 2z = 13 (iii)
 
Na primeira equação, vamos isolar z:
z = 5 – 5x + 2y (*)
Agora vamos substituir isso em (ii) e em (iii):
(ii): 4x + y –(5 – 5x + 2y) = 10
4x + y – 5 + 5x – 2y = 10
9x – y = 10 + 5
9x – y = 15
 
(iii): x + 3y + 2.(5 – 5x + 2y) = 13
x + 3y + 10 – 10x + 4y = 13
-9x + 7y = 13 – 10
-9x + 7y = 3
 
Agora ficamos reduzidos a um sistema de duas equações e duas incógnitas:
9x – y = 15 (iv)
-9x + 7y = 3 (v)
 
Agora, usando o método da adição, temos:
(iv) + (v): 0x + 6y = 18
y = 18/6 = 3
substituindo em (iv), temos:
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9x – 3 = 15
9x = 15 + 3
9x = 18
x = 18/9
x = 2
 
Por fim, substituindo x = 2 e y = 3 em (*), temos:
z = 5 – 5x + 2y
z = 5 – 5.2 + 2.3
z = 5 – 10 + 6
z = 1
 
No exemplo resolvido abaixo, você verá como funciona a regra de Cramer. Observe que
você sempre poderá optar em resolver um sistema pelo método que achar mais
conveniente.
 
 
Exemplo resolvido
 
Considere o seguinte sistema:
5x – 2y + z = 5
4x + y – z = 10
x + 3y + 2z = 13
 
O determinante do sistema é:
5 -2 1
4 1 -1
1 3 2
 
Resolvendo esse determinante, temos D = 54
 
Em seguida, construímos o Dx, que é obtido substituindo-se a coluna dos coeficientes de
x (primeira coluna) pelos termos independentes. Assim, temos:
5 -2 1
10 1 -1
13 3 2
 
Resolvendo esse determinante, temos Dx = 108
 
Analogamente, construímos Dy, substituindo a coluna dos coeficientes de y pelos termos
independentes::
5 5 1
4 10 -1
1 13 2
 
Resolvendo esse determinante, temos Dy = 162
 
Analogamente, construímos Dz substituindo a coluna dos coeficientes de z pelos termos
independentes:
5 -2 5
4 1 10
1 3 13
 
Resolvendo esse determinante, temos Dz = 54
 
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Feito isso, calculamos as incógnitas por meio das seguintes razões: x = Dx/D; y = Dy/D;
z = Dz/D. Assim, temos:
x = 108/54 = 2
y = 162/54 = 3
z = 54/54 = 1
Exercício 1:
Sejam K e Z os valores de x e y que solucionam o sistema:
2x + 3y = 8
5x – 2y = 1
Então, o valor de K + Z é igual a:
A)
2
B)
3
C)
4
D)
5
E)
6
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B) 
Exercício 2:
Considere o sistema:
2x + y = 4
x – y = 2
3x + 2y = 5
Assinale a alternativa correta.
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A)
x = 2 e y = 0 é a única solução
B)
O sistema admite infinitas soluções
C)
x = 3 e y = -2 é uma solução do sistema
D)
O sistema é impossível
E)
O sistema é indeterminado
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D) 
Exercício 3:
 
A)
160
B)
135
C)
120
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D)
108
E)
100
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B) 
Exercício 4:
Se considerarmos que cada valor expresso nos círculos representa a soma dos números que estão nos 2 vér�ces
que delimitam o respec�vo lado do triângulo, a soma dos valores correspondentes aos vér�ces deste triângulo
será igual a:
A)
21
B)
25
C)
30
D)
35
E)
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40
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A)