Conteúdo - 9 Modulo - 8 Grafico de sistemas

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20/05/2020 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
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Texto 1
Os sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas podem ser resolvidos por
diversos métodos, como o método da adição ou o método da substituição que abordamos
no módulo anterior. Contudo, existe uma terceira forma de resolvê-los, que uma é a
forma gráfica.
Podemos representar as equações do sistema em um plano cartesiano e obter a sua
solução por meio do ponto de interseção das duas retas referentes às equações.
Lembrando que um ponto do plano tem duas coordenadas, x e y, os valores dessas
coordenadas referentes ao ponto de interseção será a solução procurada.
Vejamos um exemplo:
5x – 2y = 4 (i)
3x + y = 9 (ii)
Para obter o gráfico dessas expressões, pode-se atribuir valores convenientes para x e
calcular o y correspondente ou vice-versa. Devemos lembrar que, como o gráfico dessas
expressões é uma reta, bastam dois pontos para traçarmos a linha.
Na equação (i), considere x = 0
Teremos -2y = 4
y = 4/-2 = -2
Para x = 4:
5.4 – 2y = 4
-2y = 4 – 20
y = -16/-2 = 8
Assim, para essa primeira equação, temos dois pontos: (0, -2) e (4, 8)
Agora, considere a segunda equação: 3x + y = 9
Para y = 0, teremos 3x = 9
x = 9/3 = 3
Para x = 0, teremos y = 9
Assim, para essa segunda equação, temos dois pontos: (3, 0) e (0, 9)
Agora vamos marcar esses pontos no gráfico e traçar as duas retas para identificar o
ponto de interseção:
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Como podemos ver no gráfico, a solução do sistema é x = 2 e y = 3.
 
Texto 2
 
Podemos também ter sistemas envolvendo equações do 2º grau. Frequentemente, esse
tipo de sistema apresenta mais de uma solução. É possível até ter um sistema misto, com
uma equação do 1º grau e outra do segundo grau.
Além da solução gráfica, esse tipo de sistema também pode (e deve) ser resolvido por
substituição.
Vejamos um exemplo:
(i) y = x2 + 31
(ii) y = –x² + 49
Para obter o gráfico, vamos estudá-las separadamente:
(i) y = x2 + 31
Os parâmetros dessa função são: a = 1; b = 0 e c = 31.
O discriminante Δ é:
Δ = b² – 4.a.c = 0² – 4.1.31 = –124
Como vemos, Δ < 0, ou seja, é negativo, o que indica que a função não tem raízes reais.
As coordenadas do vértice são:
xv = –b/2a = 0/(2.1) = 0
yv = –Δ/4a = –(–124)/(4.1) = 124/4 = 31
O intercepto do eixo vertical é dado por y = c, ou seja, y = 31 (coincidente com o
vértice).
A concavidade da parábola é voltada para cima, pois o parâmetro a é positivo (a = 1).
 
(ii) y = –x² + 49
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Os parâmetros dessa função são: a = –1; b = 0 e c = 49.
O discriminante Δ é:
Δ = b² – 4.a.c = 0² – 4.(–1).49 = 196
Como vemos, Δ > 0, ou seja, é positivo, o que indica que a função tem duas raízes reais
distintas. Para obter as raízes, vamos fazer y = 0:
0 = –x² + 49
x² = 49
x = +7 e x = –7
As coordenadas do vértice são:
xV = 0/2.(–1) = 0
yV = –196/(4.(–1) = 49
O intercepto do eixo vertical é dado por y = c, ou seja, y = 49 (coincidente com o
vértice).
A concavidade da parábola é voltada para baixo, pois o parâmetro a é negativo (a = –1).
Os pontos de interseção podem ser obtidos igualando-se as duas funções:
x² + 31 = –x² + 49
x2 + x2 = 49 – 31
2.x² = 18
x² = 18/2 = 9
x = +3 e x = –3
Substituindo esses valorer em y = x² + 31, temos:
y = 3² + 31 = 9 + 31 = 40
y = (–3)² + 31 = 9 + 31 = 40
Os pontos de interseção são: (3, 40) e (–3, 40)
Finalmente, vamos colocar os valores calculados no gráfico:
 
 
 
Exemplo Resolvido
 
Considere o sistema:
(i) y = x2 + 31
(ii) y = –x² + 49
Vamos resolve-lo por substituição:
Primeiro, igualamos as expressões:
x² + 31 = -x² + 49
x² + x² = 49 – 31
2x² = 18
x² = 18/2
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x² = 9
x = raiz quadrada de 9 = +3 e –3
Substituindo x = 3 na primeira equação, temos:
(i) y = x2 + 31 = 3² + 31 = 9 + 31 = 40
Substituindo x = -3 na primeira equação, temos:
(i) y = x2 + 31 = (–3)² + 31 = 9 + 31 = 40
As soluções são: x = 3 e y = 40 ou x = –3 e y = 40
Exercício 1:
Considere o seguinte sistema:
(i) y – 6x = 120
(ii) y + 8x = 400
No contexto da solução gráfica, assinale a alternativa correta:
A)
a solução é x = 20 e y = 60 e a reta da equação (i) é crescente
B)
a solução é x = 20 e y = 240 e a reta da equação (i) é crescente
C)
a solução é x = 60 e y = 20 e a reta da equação (i) é decrescente
D)
a solução é x = 20 e y = 120 e a reta da equação (ii) é crescente
E)
a solução é x = 40 e y = 360 e a reta da equação (ii) é decrescente
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B) 
Exercício 2:
Considere o seguinte sistema:
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(i) x – y = – 6
(ii) 2x + y = 12
No contexto da solução gráfica, assinale a alternativa correta:
A)
a solução é x = 4 e y = 10 e a reta da equação (i) é crescente
B)
a solução é x = -8 e y = -2 e a reta da equação (ii) é decrescente
C)
a solução é x = 2 e y = 8 e a reta da equação (i) é crescente
D)
a solução é x = -2 e y = 4 e a reta da equação (ii) é crescente
E)
a solução é x = 4 e y = 4 e a reta da equação (ii) é decrescente
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
C) 
Exercício 3:
Considere o seguinte sistema:
(i) y = – x² – 3x + 54
(ii) y – x = 9
Assinale a opção que apresenta corretamente uma das soluções desse sistema:
A)
x = 3 e y = 12
B)
x = -9 e y = 0
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C)
x = 0 e y = 54
D)
x = 9 e y = 18
E)
x = -3 e y = 6
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B) 
Exercício 4:
Considere o seguinte sistema:
(i) y = – x² + 49
(ii) y = 4x + 37
Assinale a opção que apresenta corretamente uma das soluções desse sistema:
A)
x = 2 e y = 45
B)
x = 9 e y = 73
C)
x = 1 e y = 41
D)
x = -4 e y = 21
E)
x = -3 e y = 25
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O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 5:
Considere o seguinte sistema de equações:
2y + 3x = 12
– 5y + 4x = – 7
Ao obter o gráfico das duas expressões, notamos que existe um ponto comum
entre as duas retas. Esse ponto comum está:
A)
No primeiro quadrante (quadrante I)
B)
No segundo quadrante (quadrante II)
C)
No terceiro quadrante (quadrante III)
D)
No quarto quadrante (quadrante IV)
E)
Na origem do sistema de eixos
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A)