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Unidade 2 - Categorização e teoria dos conjuntos Aula 2Aula 2 � Conjuntos numéricos; Operações com conjuntos; Diagramas de VENN e problemas com categorias / conjuntos Olá! Você sabe o que são conjuntos numéricos? Então preste atenção nessa unidade, ok! Conjuntos numéricos Observe o diagrama: Os conjuntos numéricos são compreendidos como os conjuntos dos números que possuem características semelhantes. A concepção dos conjuntos numéricos recebeu maior rigor em sua construção com Georg Cantor, que pesquisou a respeito do número infinito. Cantor iniciou diversos estudos sobre os conjuntos numéricos, constituindo, assim, a teoria dos conjuntos. Georg Cantor Temos os seguintes conjuntos numéricos: Atenção! Não nos dedicaremos a este último conjunto numérico, Conjunto dos números Complexos. O conjunto dos números naturais é constituído por números inteiros positivos mais oO conjunto dos números naturais é constituído por números inteiros positivos mais o zero. Quanto a construção do conjunto dos números naturais, temos que: 1) Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem logo depois do número dado), considerando também o zero. Seja n um número natural, o sucessor de n é n+1. Exemplos: (a) O sucessor de 0 é 1. (d) O sucessor de 1 é 2. (c) O sucessor de 99 é 100. 2) Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos. Exemplos: (a) 0 e 1 são números consecutivos. (b) 7 e 8 são números consecutivos.(b) 7 e 8 são números consecutivos. 3) Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente. Exemplos: (a) 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são consecutivos. (b) 1, 2 e 3 são consecutivos. (c) 25, 26, 27 e 28 são consecutivos. 4) Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado). Seja n um número natural diferente de zero, o antecessor de n é n-1. Exemplos: O antecessor de 2 é 1. (a) O antecessor de 6 é 5. (b) O antecessor de 1514 é 1513. Os números inteiros estão presentes até hoje em diversas situações do cotidiano da humanidade, como, por exemplo, para medir temperaturas, contar dinheiro, marcar as horas, etc. O conjunto dos números inteiros é constituído por números inteiros positivos, o zero e números inteiros negativos. Logo, o conjunto dospositivos, o zero e números inteiros negativos. Logo, o conjunto dos números naturais é parte do conjunto dos números inteiros. O conceito de sucessor e consecutivos para o conjunto dos números inteiros são exatamente equivalente ao do conjunto dos números naturais.conjunto dos números naturais. O conceitos de antecessor que é mais amplo, já que no conjunto dos números inteiros é valido para qualquer elemento pertencente ao conjunto. Seja n um números inteiro, então dizemos o antecessor de n é n-1. Exemplos: (a) 3 é sucessor de 2 e) 0 é antecessor de 1 (b) 2 é antecessor de 3 (c) -5 é antecessor de -4 (d) -4 é sucessor de -5 (f) 1 é sucessor de 0 (g) -1 é sucessor de -2 (h) -2 é antecessor de -1 Exemplos: (a) O oposto de +3 é -3. (b) O oposto de -2 é +2. (c) O oposto de -1 é 1 Conceitos como desigualdade e valor absoluto também são validos para os número inteiros, no entanto serão abordados mais a frente nesta aula. Imagine colocar para ferver um litro de água que originalmente estava à 30° C, quando a água começar a evaporar isso significa que a água atingiu 100° C, no entanto a temperatura não subiu abruptamente, e tão pouco de 1° em um 1°. Se durante o processo de fervura parássemos em um momento específico para efetuarmos a medição da temperatura, provavelmenteespecífico para efetuarmos a medição da temperatura, provavelmente não encontraríamos um número inteiro. Desta forma, no nosso cotidianos números não inteiros também estão presentes. Números racionais são todos aqueles que podem ser expressos na forma de fração. O numerador e o denominador desta fração devem pertencer ao conjunto dos números inteiros e obviamente o denominador não poderá ser igual a zero, pois não há divisão por zero. Nesta dízima periódica dizemos que o período é igual a 6 (número que se repete infinitamente) Exemplos: Dízimas periódicas Uma dízima periódica é simples se a parte decimal é formada apenas pelo período. Alguns exemplos são: Uma dízima periódica é composta se possui uma parte que não se repete entre a parte inteira e o período. Por exemplo: Para representarmos uma fração em um número decimal, basta efetuarmos a divisão do numerador pelo denominador. Exemplos: Dado um número decimal exato ou uma dízima periódica, podemos representar esse número na forma fracionária. A fração que dá origem a uma dízima é dita geratriz da dízima periódica. Números decimais exatos: Dízimas periódicas: No caso das dízimas periódicas, precisamos primeiro identificar o período e identificarmos quantos algarismos formam este período e para cada algarismos representarmos no denominador um nove. Mas por que devemos usar o nove? Podemos observar que: Para que o método de conversão fique mais claro, observe a seguinte construção: E não esqueça! Simplifique a fração sempre que possível. Observe a seguinte construção: Veja mais alguns exemplos: Às vezes algumas manipulações numéricas são necessárias. Observe o exemplo 1 Observe agora o exemplo 2 A primeira descoberta de um número irracional é geralmente atribuída a Hipaso de Metaponto, um seguidor de Pitágoras. Ele teria produzido uma demonstração (provavelmente geométrica) de que a raiz de 2 (ou talvez que o número de ouro) é irracional. Hipaso de Metaponto Existem dois tipos de números irracionais: Números reais algébricos irracionais Números reais transcendentes. Vejamos um de cada vez! Números reais algébricos irracionais: � São raízes de polinômios com coeficientes inteiros. � Todo número real que pode ser representado através de uma quantidade finita de somas, subtrações, multiplicações, divisões equantidade finita de somas, subtrações, multiplicações, divisões e raízes de grau inteiro a partir dos números inteiros é um número algébrico. O conjunto dos números reais surge para designar a união do conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. Os números reais podem ser representados graficamente por pontos sobre uma reta horizontal chamada eixo numérico ou reto numérico. Vemos que a < b se e somente se o ponto que representa o número a está à esquerda do ponto que representa o número b. N conjunto dos números Reais conceitos como antecessor, sucessor e consecutivos, por exemplo, são desconsiderados, permanecendo conceitos como “maior que”, “menor que” e suas variações. Desigualdades � Uma expressão da forma a < b é uma desigualdade Desigualdades estritas � a > b se, e somente se, a – b é positivo� a > b se, e somente se, a – b é positivo � a < b se, e somente se, b – a é positivo Desigualdades não estritas � se, e somente se, a < b ou a = b � se, e somente se, a > b ou a = b Propriedades: 1) Se a > b e b > c, então a > c 2) Se a < b, então c em IR, a + c < b + c 3) Se a > b e c > d, então a + c > b + d 4) Se a > b e c > 0, então a.c > b.c 5) Se a > b e c < 0, então a.c < b.c 6) Se a > b > 0 e c > d > 0 então a.c > b.d Valor Absoluto Chama-se valor absoluto (módulo) de um número real x ao número real não negativo, que satisfaz as seguintes condições: Teorema Intervalos � Intervalo Aberto Se a < b, o conjunto de todos os números entre a e b é chamado intervalo aberto e é denotado por ou intervalo aberto e é denotado por ou Ou seja, Intervalo Fechado � Se juntarmos ao intervalo aberto (a, b) os pontos extremos a e b, temos um intervalo fechado denotado por [a, b]. Ou seja, Outros intervalos � Semiaberto à esquerda:� Semiaberto à direita: � Ilimitado fechado à esquerda: � Ilimitado aberto à esquerda: � Ilimitado fechado à direita: � Ilimitado aberto à direita:
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