PPT_CONJ NUMERICOS

Prévia do material em texto

Unidade 2 - Categorização e 
teoria dos conjuntos
Aula 2Aula 2
� Conjuntos numéricos; Operações com 
conjuntos; Diagramas de VENN e 
problemas com categorias / conjuntos
Olá! Você sabe o 
que são conjuntos 
numéricos? 
Então preste 
atenção nessa 
unidade, ok!
Conjuntos numéricos
Observe o diagrama:
Os conjuntos numéricos são compreendidos como os conjuntos dos
números que possuem características semelhantes.
A concepção dos conjuntos numéricos recebeu maior rigor em sua
construção com Georg Cantor, que pesquisou a respeito do número
infinito.
Cantor iniciou diversos estudos sobre os conjuntos numéricos,
constituindo, assim, a teoria dos conjuntos.
Georg Cantor
Temos os seguintes conjuntos numéricos:
Atenção!
Não nos dedicaremos a este último
conjunto numérico, Conjunto dos
números Complexos.
O conjunto dos números naturais é constituído por números inteiros positivos mais oO conjunto dos números naturais é constituído por números inteiros positivos mais o
zero.
Quanto a construção do conjunto dos números naturais, temos que:
1) Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem logo
depois do número dado), considerando também o zero. Seja n um número
natural, o sucessor de n é n+1.
Exemplos:
(a) O sucessor de 0 é 1.
(d) O sucessor de 1 é 2.
(c) O sucessor de 99 é 100.
2) Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números
juntos são chamados números consecutivos.
Exemplos:
(a) 0 e 1 são números consecutivos.
(b) 7 e 8 são números consecutivos.(b) 7 e 8 são números consecutivos.
3) Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos
se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o
quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.
Exemplos:
(a) 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são consecutivos.
(b) 1, 2 e 3 são consecutivos.
(c) 25, 26, 27 e 28 são consecutivos.
4) Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor 
(número que vem antes do número dado). Seja n um número natural 
diferente de zero, o antecessor de n é n-1.
Exemplos: 
O antecessor de 2 é 1.
(a) O antecessor de 6 é 5.
(b) O antecessor de 1514 é 1513.
Os números inteiros estão presentes até hoje em diversas situações do
cotidiano da humanidade, como, por exemplo, para medir temperaturas,
contar dinheiro, marcar as horas, etc.
O conjunto dos números inteiros é constituído por números inteiros
positivos, o zero e números inteiros negativos. Logo, o conjunto dospositivos, o zero e números inteiros negativos. Logo, o conjunto dos
números naturais é parte do conjunto dos números inteiros.
O conceito de sucessor e consecutivos para o conjunto
dos números inteiros são exatamente equivalente ao do
conjunto dos números naturais.conjunto dos números naturais.
O conceitos de antecessor que é mais amplo, já que no
conjunto dos números inteiros é valido para qualquer
elemento pertencente ao conjunto.
Seja n um números inteiro, então dizemos o antecessor de n é n-1.
Exemplos:
(a) 3 é sucessor de 2 e) 0 é antecessor de 1
(b) 2 é antecessor de 3
(c) -5 é antecessor de -4
(d) -4 é sucessor de -5
(f) 1 é sucessor de 0
(g) -1 é sucessor de -2
(h) -2 é antecessor de -1
Exemplos:
(a) O oposto de +3 é -3.
(b) O oposto de -2 é +2.
(c) O oposto de -1 é 1
Conceitos como desigualdade e valor
absoluto também são validos para os
número inteiros, no entanto serão
abordados mais a frente nesta aula.
Imagine colocar para ferver um litro de água que originalmente estava à
30° C, quando a água começar a evaporar isso significa que a água
atingiu 100° C, no entanto a temperatura não subiu abruptamente, e tão
pouco de 1° em um 1°.
Se durante o processo de fervura parássemos em um momento
específico para efetuarmos a medição da temperatura, provavelmenteespecífico para efetuarmos a medição da temperatura, provavelmente
não encontraríamos um número inteiro.
Desta forma, no nosso cotidianos números não inteiros também estão
presentes.
Números racionais são todos aqueles que podem ser expressos na forma
de fração.
O numerador e o denominador desta fração devem pertencer ao conjunto
dos números inteiros e obviamente o denominador não poderá ser igual a
zero, pois não há divisão por zero.
Nesta dízima periódica
dizemos que o período é
igual a 6 (número que se
repete infinitamente)
Exemplos: Dízimas periódicas
Uma dízima periódica é simples se a parte decimal é formada apenas pelo 
período. 
Alguns exemplos são:
Uma dízima periódica é composta se possui uma parte que não se repete
entre a parte inteira e o período.
Por exemplo:
Para representarmos uma fração em um número decimal, basta efetuarmos
a divisão do numerador pelo denominador.
Exemplos:
Dado um número decimal exato ou uma
dízima periódica, podemos representar
esse número na forma fracionária. A
fração que dá origem a uma dízima é
dita geratriz da dízima periódica.
Números decimais exatos:
Dízimas periódicas:
No caso das dízimas periódicas, precisamos primeiro identificar o período e
identificarmos quantos algarismos formam este período e para cada
algarismos representarmos no denominador um nove.
Mas por que devemos usar o nove? 
Podemos observar que:
Para que o método de 
conversão fique mais claro, 
observe a seguinte 
construção:
E não esqueça!
Simplifique a fração 
sempre que possível.
Observe a seguinte construção:
Veja mais alguns exemplos:
Às vezes algumas manipulações 
numéricas são necessárias. 
Observe o exemplo 1
Observe agora o exemplo 2
A primeira descoberta de um número irracional é geralmente atribuída a
Hipaso de Metaponto, um seguidor de Pitágoras.
Ele teria produzido uma demonstração (provavelmente geométrica) de
que a raiz de 2 (ou talvez que o número de ouro) é irracional.
Hipaso de Metaponto
Existem dois tipos de números irracionais:
Números reais algébricos irracionais
Números reais transcendentes. Vejamos um de
cada vez!
Números reais algébricos irracionais:
� São raízes de polinômios com coeficientes inteiros.
� Todo número real que pode ser representado através de uma
quantidade finita de somas, subtrações, multiplicações, divisões equantidade finita de somas, subtrações, multiplicações, divisões e
raízes de grau inteiro a partir dos números inteiros é um número
algébrico.
O conjunto dos números reais surge para
designar a união do conjunto dos
números racionais e o conjunto dos
números irracionais.
Os números reais podem ser representados graficamente por pontos sobre 
uma reta horizontal chamada eixo numérico ou reto numérico.
Vemos que a < b se e somente se o ponto que representa o número a
está à esquerda do ponto que representa o número b.
N conjunto dos números Reais conceitos
como antecessor, sucessor e consecutivos,
por exemplo, são desconsiderados,
permanecendo conceitos como “maior
que”, “menor que” e suas variações.
Desigualdades
� Uma expressão da forma a < b é uma desigualdade
Desigualdades estritas
� a > b se, e somente se, a – b é positivo� a > b se, e somente se, a – b é positivo
� a < b se, e somente se, b – a é positivo
Desigualdades não estritas
� se, e somente se, a < b ou a = b
� se, e somente se, a > b ou a = b
Propriedades:
1) Se a > b e b > c, então a > c
2) Se a < b, então c em IR, a + c < b + c
3) Se a > b e c > d, então a + c > b + d
4) Se a > b e c > 0, então a.c > b.c
5) Se a > b e c < 0, então a.c < b.c
6) Se a > b > 0 e c > d > 0 então a.c > b.d
Valor Absoluto
Chama-se valor absoluto (módulo) de um número real x ao número real
não negativo, que satisfaz as seguintes condições:
Teorema
Intervalos
� Intervalo Aberto
Se a < b, o conjunto de todos os números entre a e b é chamado 
intervalo aberto e é denotado por ou intervalo aberto e é denotado por ou 
Ou seja, 
Intervalo Fechado
� Se juntarmos ao intervalo aberto (a, b) os pontos extremos a e b, 
temos um intervalo fechado denotado por [a, b].
Ou seja, 
Outros intervalos
� Semiaberto à esquerda:� Semiaberto à direita:
� Ilimitado fechado à esquerda: � Ilimitado aberto à esquerda:
� Ilimitado fechado à direita: � Ilimitado aberto à direita: