A3 - Cálculo Numérico

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UNIVERSIDADE POTIGUAR – UNP 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NATAL/RN 
2020 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
Estudo de caso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relatório apresentado ao professor 
como parte das exigências para 
avaliação A3 
 
Professor: Bonnie Ives 
Aluno: Gustavo Pereira Silva de Melo 
 
 
 
 
 
 
 Sumário 
 
 
1. Considerações gerais................................................................................ 4 
2. Gráficos dos insumos ............................................................................... 4 
2.1. Produção Cafeeira .................................................................................... 5 
2.2. Produção canavieira ................................................................................. 6 
2.3. Produção de trigo ..................................................................................... 7 
3. Interpolação ............................................................................................... 8 
3.1. Polinômios (Café) ..................................................................................... 9 
3.1.1. Referência de pontos (Café) ................................................................. 9 
3.2. Polinômios (Cana) .................................................................................. 10 
3.2.1. Referência de pontos (Cana) .............................................................. 10 
3.3. Polinômios (Trigo) .................................................................................. 11 
3.3.1. Referências de pontos (Trigo) ............................................................. 12 
4. Comparação gráfica ................................................................................ 12 
4.1. Interpolação (Café) ................................................................................. 12 
4.2. Interpolação (Cana) ................................................................................ 14 
4.3. Interpolação (Trigo) ................................................................................ 16 
5. Projeções de insumos para 2020 ........................................................... 17 
5.1. Café ........................................................................................................ 17 
5.2. Cana ....................................................................................................... 17 
5.3. Trigo ....................................................................................................... 17 
6. Conclusão ................................................................................................ 18 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ..................................................................... 19 
ANEXOS .......................................................................................................... 19 
 
 
 
 
1. Considerações gerais 
 
Para o presente estudo de caso será utilizado o Café, Cana e Trigo como 
referência. O método de interpolação que será utilizado como ferramenta chave 
para execução da análise será o Método de Lagrange, pois graças a estudos 
feitos com base no livro Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e 
Computacionais 2ª edição, esse método por escolha pessoal se demostrou o 
mais eficaz para tal análise. Por fim toda análise será feita pela ferramenta Excel 
seguindo todos os passos descritos na situação problema em questão. 
• Todos os gráficos e dados também serão disponibilizados em arquivos 
Excel e bloco de notas. 
 
2. Gráficos dos insumos 
 
Para cada insumo foi gerado um gráfico adequado para o tipo de informação 
disponibilizada pelo IBGE. O eixo das abscissas representa o decorrer dos anos, 
já o eixo das ordenadas representa a produção agrícola brasileira em milhões de 
hectares. Tudo organizado de uma maneira onde temos domínio e imagem, para 
uma análise posterior. 
 
 
2.1. Produção Cafeeira 
 
 
 
 
 
 
CAFÉ 
x 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 
f(x) 2,4 2,4 2,4 2,3 2,3 2,3 2,3 2,2 2,1 2,2 
2,4 2,4 2,4
2,3 2,3 2,3 2,3
2,2
2,1
2,2
2,05
2,1
2,15
2,2
2,25
2,3
2,35
2,4
2,45
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
y 
= 
 M
ilh
õ
es
 d
e 
h
ec
ta
re
s
x = Anos
CAFÉ 
2.2. Produção canavieira 
 
 
CANA 
x 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 
f(x) 5,2 5,4 5,6 5,8 6,4 7,1 8,2 9,5 10 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5,2 5,4
5,6 5,8
6,4
7,1
8,2
9,5
10
11
0
2
4
6
8
10
12
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
y 
= 
M
ilh
õ
es
 d
e 
h
ec
ta
re
s
x = Anos
CANA 
2.3. Produção de trigo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRIGO 
x 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 
f(x) 2,2 2,6 2,8 2,4 1,8 1,9 2,4 2,6 2,4 2,2 
2,2
2,6
2,8
2,4
1,8
1,9
2,4
2,6
2,4
2,2
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
y 
= 
M
ilh
õ
es
 d
e 
h
ec
ta
re
s
x = Anos
TRIGO 
3. Interpolação 
 
Sejam X0, X1, ..., Xn , (n+1) pontos distintos e y1 = f(xi), i = 0,...,n. 
Seja Pn(x) o polinômio de grau ≤ n que interpola f em X0,...,Xn. Podemos 
representar Pn(x) na forma Pn(x) = f(x0)L(x0) + f(x1)L(x1) + ... + f(xn)L(xn), onde os 
polinômios L(xk) são de grau n. Para cada i, queremos que a condição Pn(xi) = yi 
seja satisfeita, ou seja: 
 
Pn(xi) = f(x0)L(x0) + f(x1)L(x1) + ... + f(xn)L(xn) = yi 
 
• Como a situação problema não solicita memorial de cálculo, as 
expressões serão o mais resumidas possíveis, sendo colocado apenas 
expressões relevantes a compreensão do leitor. 
 
• As expressões polinomiais geradas por Lk(xi) serão vistas apenas na 
substituição dos termos da função genérica Pn(xi), evitando entrar em 
detalhes de como Lk(xi) é gerada. 
 
• As expressões polinomiais serão simplificadas ao máximo possível para 
que (se fosse uma situação real) o usuário do polinômio não encontrasse 
dificuldades para aplicar valores de x na função polinomial. 
 
• Como cada polinômio foi testado por meio de MATLAB, será 
disponibilizado o bloco de notas referente ao script de programação 
(rascunho). 
 
• Para cada situação serão disponibilizados três polinômios de grau 3,4 e 
5 respectivamente. 
 
3.1. Polinômios (Café) 
 
 
 
3.1.1. Referência de pontos (Café) 
 
 
CAFÉ 
xn x f(x) f(xn) 
 2002 2,4 
 2003 2,4 
x0 2004 2,4 f(x0) 
 2005 2,3 
x5 2006 2,3 f(x5) 
x1 2007 2,3 f(x1) 
 2008 2,3 
x2 2009 2,2 f(x2) 
x4 2010 2,1 f(x4) 
x3 2011 2,2 f(x3) 
 
 
 
3.2. Polinômios (Cana) 
 
 
 
 
 
3.2.1. Referência de pontos (Cana) 
 
CANA 
xn x f(x) f(xn) 
 2002 5,2 
 2003 5,4 
x0 2004 5,6 f(x0) 
 2005 5,8 
x5 2006 6,4 f(x5) 
x1 2007 7,1 f(x1) 
 2008 8,2 
x2 2009 9,5 f(x2) 
x4 2010 10 f(x4) 
x3 2011 11 f(x3) 
 
 
 
 
3.3. Polinômios (Trigo) 
 
 
 
 
 
3.3.1. Referências de pontos (Trigo) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Comparação gráfica 
 
4.1. Interpolação (Café) 
 
TRIGO 
xn x f(x) f(xn) 
 2002 2,2 
 2003 2,6 
x0 2004 2,8 f(x0) 
 2005 2,4 
x5 2006 1,8 f(x5) 
x1 2007 1,9 f(x1) 
 2008 2,4 
x2 2009 2,6 f(x2) 
x4 2010 2,4 f(x4) 
x3 2011 2,2 f(x3) 
2,4 2,4 2,4
2,3 2,3
2,2
2,1
2,2
1,9
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2002 2003 2004 2006 2007 2009 2010 2011
P1(x)
f(x)
Polinomial (f(x))
 
 
 
 
 
 
 
 
2,4 2,4 2,4
2,3 2,3
2,2
2,1
2,2
2,05
2,1
2,15
2,2
2,25
2,3
2,35
2,4
2,45
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
P2(x)
f(x)
Polinomial (f(x))
2,4 2,4 2,4
2,3 2,3
2,2
2,1
2,2
1,9
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2002 2003 2004 2006 2007 2009 2010 2011
P3(x)
f(x)
Polinomial (f(x))
4.2. Interpolação (Cana) 
 
 
 
 
 
5,6
6,4
7,1
9,5
10
11
0
2
4
6
8
10
12
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
P1(x)
f(x)
Polinomial (f(x))5,6
6,4
7,1
9,5
10
11
0
2
4
6
8
10
12
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
P2(x)
f(x)
Polinomial (f(x))
5,6
6,4
7,1
9,5
10
11
0
2
4
6
8
10
12
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
P3(x)
f(x)
Polinomial (f(x))
4.3. Interpolação (Trigo) 
 
 
 
 
2,8
1,8
1,9
2,6
2,4
2,2
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
P1(x)
f(x)
Polinomial (f(x))
2,8
1,8
1,9
2,6
2,4
2,2
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
P2(x)
f(x)
Polinomial (f(x))
 
 
5. Projeções de insumos para 2020 
 
5.1. Café 
 
• 𝑃1(2020) ≅ 6,3486 
• 𝑃2(2020) ≅ 98,6857 
• 𝑃3(2020) ≅ 𝟐𝟑𝟕, 𝟔𝟎𝟎𝟎 
 
5.2. Cana 
 
• 𝑃1(2020) ≅ −39,8114 
• 𝑃2(2020) ≅ 498,6857 
• 𝑃3(2020) ≅ 𝟐, 𝟑𝟓𝟑𝟔𝒆 + 𝟎𝟑 = 𝟗, 𝟑𝟗𝟕𝟕𝟒𝟖𝟏𝟏𝟏 
 
5.3. Trigo 
 
• 𝑃1(2020) ≅ −62,3943 
• 𝑃2(2020) ≅ 226,0571 
• 𝑃3(2020) ≅ 𝟏. 𝟏𝟎𝟎𝟒𝒆 + 𝟎𝟑 = 𝟓, 𝟗𝟗𝟏𝟏𝟗𝟕𝟑𝟐𝟒 
 
2,8
1,8
1,9
2,6
2,4
2,2
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
P3(x)
f(x)
Polinomial (f(x))
6. Conclusão 
 
Ao elaborar os polinômios referentes as informações disponibilizadas, fica 
claro que quanto mais informações temos na nossa tabela, mais precisa é a 
função, ou seja, quanto mais valores de x e f(x) temos, mais nosso polinômio se 
torna preciso. Nos testes que foram feitos por meio do MATLAB fica claro que 
ao colocarmos em uma função P1(x) por exemplo, que tem grau 3 um ponto que 
esteja acima do seu grau, ela nos resulta um valor bastante aproximado. Assim 
dessa forma conclui-se que quanto maior o grau do polinômio, maior é a precisão 
dos resultados. 
A cada teste foi utilizado todos os pontos conhecidos, os resultados após 
aplicá-los em cada função polinomial referente aos insumos foi o mesmo dos 
valores conhecidos, ou seja, isso prova a autenticidade de que o polinômio obtido 
por meio do Método de Lagrange atende todos os requisitos necessários para 
a autenticidade do teorema, assim como dos resultados obtidos. Esse método 
pode ser comparado ao Big Data da Estatística Aplicada pois quanto mais 
informações temos no nosso Big Data, mais preciso se torna nosso polinômio, 
graficamente (Excel) fica mais claro enxergar a precisão dos polinômios. com o 
tempo certo e dedicação é possível criar um algoritmo para diminuir o esforço 
computacional que o método exige. 
Ao adquirir tais conhecimentos por meio de testes, fica claro que os 
resultados dos polinômios P3(2020) obtidos para as projeções dos insumos, sem 
sombras de dúvidas são os mais coerentes, pelo simples fato de apresentarem 
resultados dentro da realidade, e pelo teorema citado acima. 
 
• Todos os cálculos foram revisados mais de uma vez para se ter certeza 
do êxito da aplicação do método. 
 
• Todos os testes de interpolação foram revisados mais de uma vez no 
MATLAB e consequentemente todos os pontos conhecidos foram 
aplicados na função polinomial, para se ter certeza de que todos os 
resultados e a própria função encontrada está correta. 
• Todos os scripts e memoriais estão disponíveis nos anexos (no próprio 
Word) para provar a autenticidade dos resultados. 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
GOMES RUGGIERO, Márcia A.; ROCHA LOPES, Vera L. Cálculo Numérico: 
Aspectos Teóricos e Computacionais. 2ª Edição. Departamento de Matemática 
Aplicada IME – UNICAMP. PEARSON (Makron Books) São Paulo. 
 
ANEXOS 
 
Café: 
Projeção do café 
para 2020.txt
Comprovação de 
Interpolação.txt
Script de 
programação - Café.txt
 
 
Cana: 
Projeção da Cana 
para 2020.txt
Comprovação de 
interpolação.txt
Script de 
programação - Cana.txt
 
 
Trigo: 
Projeção do trigo 
para 2020.txt
Comprovação de 
interpolação - Trigo.txt
Script de 
programação - Trigo.txt
 
 
Gráficos: 
Graficos.xlsx