Exercício Flexão em vigas - Concreto

Prévia do material em texto

Q1 (5,0) Considere a viga de materias e seção transversal indicados na figura abaixo, com cargas 
de valores característicos, sendo gk (kN/m) a carga permanente e Qk (kN) a carga 
acidental concentrada. Dimensionar a armadura de flexão, na seção de maior solicitação 
no meio do vão, nos seguintes casos: 
 
a. somente para a carga permanente gk = 25 kN/m; (1,0) 
b. para todas as cargas, permanente gk = 25 kN/m e acidental Qk = 40 kN; (1,0) 
c. para todas as cargas, permanente gk = 25 kN/m e acidental Qk = 80 kN; (1,5) 
 
Para cada um dos três itens acima, esquematize: 
− a armadura As (cm2), indicando a sua posição na seção; 
− o diagrama de deformações (cd, sd e ’sd), indicando o domínio e a deformação última - ELU; 
− as tensões e as resultantes, nas armaduras e no concreto, e o momento resistente no ELU. 
 
d. admitindo-se que a viga foi dimensionada com uma armadura de tração As (cm2), 
que levou à uma relação entre as deformações nos materiais (sd e cd) igual à 2: (1,5) 
 
− a linha neutra (x), o diagrama de deformações, o domínio e a deformação última - ELU; 
− as resultantes no concreto e na aço, o momento resistente no ELU e a armadura As (cm2); 
− a máxima carga acidental Qk (kN), considerando a carga permanente gk=25 kN/m. 
 
Dados: concreto C30 (fck=30MPa); aço CA50 (fyk=50kN/cm²); d=54cm e d’=4cm. 
f =1,4; c=1,4; s=1,15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Formulário FNS 
coeficientes de ponderação: 4,1f ; 4,1c ; 15,1s - kfd FF   ; 
m
k
d
f
f

 
linha neutra: 









cdfbd
dMdx
2425,0
1125,1 , limites entre domínios: 





)50(628,034
259,023
CAdx
dx
 
armadura simples: 
 xdsd
dM
sA
4,0


, equilíbrio:





)4,0()4,0(
68,0
xdRxdRM
AfxbRR
sdcdu
sdscdsdcd 
, 
armadura dupla ( dx 45,0 ): 
  )(4,0 ddf
M
xdf
M
A
yd
d
yd
cd
s




 , 
)( dd
M
A
sd
d
s




, 0035,0
)(



x
dx
sd 
linha neutra: dx 45,0 ,   cdcdcd fbdxdfxbM
225,04,068,0  , cddd MMM  
a. somente para a carga permanente gk = 25 kN/m 
 
Cálculo do momento solicitante: 
 
𝑀𝑘 = 200 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑑 = 𝛾𝑓𝑀𝑘 = 280 𝑘𝑁.𝑚 
 
Dimensionamento e diagramas: 
 
Resultados: 
 
 
 
 
 
b. para todas as cargas, permanente gk = 25 kN/m e acidental Qk = 40 kN 
Cálculo do momento solicitante: 
 
+ 
 
 
𝑀𝑘 = 200 + 2𝑄𝑘 
𝑄𝑘 = 40 𝑘𝑁 → 𝑀𝑘 = 280 𝑘𝑁.𝑚 
𝑀𝑑 = 𝛾𝑓𝑀𝑘 = 280 𝑘𝑁.𝑚 
 
Dimensionamento e diagramas: 
 
Resultados: 
 
 
 
 
 
c. para todas as cargas, permanente gk = 25 kN/m e acidental Qk = 80 kN 
Cálculo do momento solicitante: 
 
+ 
 
 
𝑀𝑘 = 200 + 2𝑄𝑘 
𝑄𝑘 = 80 𝑘𝑁 → 𝑀𝑘 = 360 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀𝑑 = 𝛾𝑓𝑀𝑘 = 504 𝑘𝑁. 𝑚 
Dimensionamento e diagramas: 
 
𝑥 = 26.59𝑐𝑚 ∴ 𝑥 > 0.45𝑑 = 24.3𝑐𝑚 → 𝐴𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑢𝑝𝑙𝑎 
 
 
 
Resultados: 
 
 
 
 
d. admitindo-se que a viga foi dimensionada com uma armadura de tração As (cm2), 
que levou à uma relação entre as deformações nos materiais (sd e cd) igual à 2: 
 
− a linha neutra (x), o diagrama de deformações, o domínio e a deformação última - ELU; 
− as resultantes no concreto e na aço, o momento resistente no ELU e a armadura A s (cm2); 
− a máxima carga acidental Qk (kN), considerando a carga permanente gk=25 kN/m.. 
Diagrama de deformações: 
 
 
Linha neutra e resultante no concreto e no aço: 
𝑥 =
𝑑
3
= 18𝑐𝑚 → 𝑅𝑐𝑑 = 0.68𝑏𝑥𝑓𝑐𝑑 = 786.9 𝑘𝑁 
𝑅𝑐𝑑 = 𝑅𝑠𝑑 = 𝐴𝑠𝜎𝑠𝑑 → 𝐴𝑠 =
𝑅𝑐𝑑
𝜎𝑠𝑑
 
Armadura: 
Como 𝜀𝑠𝑑 = 0.007 > 0.00207 = 𝜀𝑦𝑑 conclui-se que o aço está escoando, então 𝜎𝑠𝑑 = 𝑓𝑦𝑑 = 43.5 𝑘𝑁/𝑐𝑚². 
 
𝐴𝑠 = 18.1 𝑐𝑚
2 
 
Momento de cálculo resistente: 
𝑀𝑅𝑑 = 𝑅𝑐𝑑(𝑑 − 0.4𝑥) = 368.27 𝑘𝑁.𝑚 
 
Momento característico resistente e máxima carga acidental característica: 
𝑀𝑅𝑘 =
𝑀𝑅𝑑
𝛾𝑓
= 263.05 𝑘𝑁.𝑚 
 
𝑀𝑘 = 200 + 2𝑄𝑘 → 𝑄𝑘 =
𝑀𝑘 − 200
2
= 31.53 𝑘𝑁