Teoria Equações - Matemática Passo a Passo

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Folha de Matemática
Teoria/Exercícios
Prof. Tiago Machado
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Matemática Passo a Passo!
 pág. 2
Equações
Expressões algébricas
A resolução de vários problemas matemáticos faz uso de uma ferramenta muito poderosa 
ÁLGEBRA
É o ramo que estuda a manipulação formal de equações, operações matemáticas, polinômios e estruturas algébricas.
As expressões matemáticas formadas por letras e números são denominadas EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Consideremos um número racional qualquer, que denominamos x.
APLICAÇÃO DA ÁLGEBRA EM SITUAÇÕES REAIS
Podemos representar muitas situações do dia a dia com expressões algébricas. Acompanhe alguns exemplos.
Uma blusa custa x reais e um short custa y reais. Qual é o valor total desses dois produtos?
Preço da blusa: x reais
Preço do short: y reais
Valor total: (x + y) reais
Exemplo 2
Uma dúzia de ovos custa x reais. Qual é o preço da bandeja com 30 ovos?
Preço da dúzia de ovos: x reais
Quantidade de dúzia de ovos em uma bandeja 2 ½ dúzias.
Preço da bandeja: 2 ½ reais
Exemplo 3
O comprimento de um terreno retangular é 50 metros maior que a largura. Qual a área desse terreno? E qual é o perímetro?
Largura: x
Comprimento: x + 50
Área do terreno: x·(x +50)
Perímetro do terreno: x+(x+50)+x+(x+50)
Valor numérico de uma expressão algébrica
Podemos substituir as letras por alguns números racionais.
Quando calculamos a expressão para determinado número, o resultado é:
Valor numérico
Utilizaremos os exemplos anteriores
Vamos acompanhar cada exemplo para uma melhor aprendizagem!
Exemplo 1
Uma blusa custa x reais e um short custa y reais. Qual é o valor total desses dois produtos
Se o preço da blusa for 10,00 reais?
Se o preço do short for 17,00 reais?
(x + y) = ?
(10,00 + 17,00) = 27,00
Exemplo 2
Uma dúzia de ovos custa x reais. Qual é o preço da bandeja com 30 ovos?
Preço da dúzia de ovos: 3,00 reais
Quantidade de dúzia de ovos em uma bandeja: 2 ½ dúzias.
Exemplo 3
O comprimento de um terreno retangular é 50 metros maior que a largura. Qual a área desse terreno? E qual é o perímetro? 
Admitindo que x = 40 metros.
Largura: x = 40 metros
Comprimento: x + 50
Área do terreno: x·(x +50)
40·(40 +50)=1600+2000 = 3600m²
Largura: x = 40 metros
Comprimento: x + 50
Perímetro do terreno: x+(x+50)+x+(x+50)
40+(40+50)+40+(40+50) = 260 m
EQUAÇÃO
Uma sentença matemática com sinal de igualdade que apresenta, pelo menos, uma letra representando um número desconhecido chama-se EQUAÇÃO
Exemplos de equação
Observe estas sentenças:
2x = 4 
a² = 4 
m/2 + n = 3 
3x – 5y = 7 
4 + m = 5 
3x – 2x = 5 
Não são exemplo de equação
Observe estas sentenças:
2x > 4 
a² < 4 
3x – 5y < 7 
5 + 3 = 8 
Cada letra de uma equação representa um termo desconhecido da equação. Ela é denominada Incógnita
Exemplos de incógnita
Observe estas sentenças:
2x = 4 
A incógnita é x
a² = 4 
A incógnita é a
3x – 5y = 7 
As incógnitas são x e y
Raiz ou solução de uma equação
A incógnita de uma equação pode assumir diversos valores, mas apenas para alguns desses valores a sentença será verdadeira. 
Raiz ou solução de uma equação é um número que, ao substituir a incógnita, torna a sentença verdadeira. 
Exemplo 1
Vamos verificar se o número – 1 é raiz da equação 8x + 3 = - 5.
8x + 3 = - 5
Substituímos x por (-1)
8 · (-1) + 3 = - 5
-8 + 3 = - 5
- 5 = - 5
PORTANTO, - 1 é RAIZ (ou solução) 
da equação 8x + 3 = - 5.
Exemplo 2
Qual é o valor de n na equação n + 10 = 25,
para ela ser verdadeira?
n + 10 = 25
n = 25 - 10
n = 15
PORTANTO, 15 é RAIZ (ou solução) 
da equação n+ 10 = 25.
Exemplo 3
Qual é o valor de a na equação a/3 = 45, para ela ser verdadeira?
a/3 = 45
a = 3 · 45 
a = 135
PORTANTO, 135 é RAIZ (ou solução) 
da equação a/3 = 45.
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
É uma sentença aberta, ou seja, uma sentença que apresenta letras, expressa por uma igualdade envolvendo expressões matemáticas. 
Elas possuem 2 membros, o 1º está à esquerda da igualdade, e o 2º está à direita. 
No caso, estamos tratando de equação de 1º grau, por isso o expoente da variável é sempre dado por 1.
Ex: 
x + 5 = 11
1º MEMBRO 2º MEMBRO
Ex 1: Um aluno do 7º Ano da escola Dr. Adilson Bezerra de Souza, em Santa Cruz do Capibaribe-PE, alugou o filme sobre a vida de Luiz Gonzaga, com o preço dado pela expressão 6x – 9 = 9. Qual o preço do aluguel do filme? 
 6x – 9 = 9
 6x = 18
 x=18:6
 x = 3
 V {3} 
Ex2.
· Sendo U = Q , resolva a equação -3x = 5
			 4 6
MMC(4,6)=12
	-9x = 10
	12	 12	 -9x=10 => Multiplicado por (-1)
 9x=10
 		 x =-10
 9
Como -10/9 ϵ Q , então V= {-10/9}.
 
Ex3.
· Sendo U=Q, resolva a equação 2 . (x – 2) – 3 . (1 - x) = 2 . (x – 4). 
 Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação.
			2x – 4 – 3 + 3x = 2x – 8 
			2x + 3x -2x = – 8 + 4 + 3
			 3x = -1
				 X= -1
 3
Como -1/3 ϵ Q , então V= {-1}.
 3
Situações-problema
Exemplo 1. Somando as idades de Ana e de Beatriz, obtemos 15 anos. Calcule as duas idades, sabendo que o dobro da idade de Ana é igual ao quádruplo da idade de Beatriz.
Resolução
Ana: x
Beatriz: 15 – x
Equação:
2x = 4(15 – x)
2x = 60 – 4x
2x + 4x = 60
6x = 60
x = 60/6
x = 10 Beatriz: 15 – 10 = 5
Ana tem 10 anos
Beatriz tem 5 anos
Exemplo 2. Dois pacotes juntos pesam 30 kg. Quanto pesa cada um deles, se o maior tem 8 kg a mais que o menor?
Pacote menor: x
Pacote maior: x + 8
Equação
x + (x + 8) = 30 Pacote maior: 11 + 8 = 19 kg
2x + 8 = 30 Pacote menor: 11 kg
2x = 30 – 8
2x = 22
x= 22/2
x = 11
Pacote maior = 19 kg
 Pacote menor = 11 kg
Exemplo 3. Uma estante custa quatro vezes o preço de uma cadeira. Qual o preço da estante, se as duas mercadorias juntas custam R$ 120,00?
Preço da cadeira: x
Preço da estante: 4x
Equação
x + 4x = 120
5x = 120
x = 120/5
x = 24 
4x=96
O preço da estante é R$ 96,00
Exemplo 4. Um relógio que custa R$ 250,00 está sendo vendido com o seguinte plano de pagamento: R$ 30,00 de entrada e o restante em 4 prestações iguais, sem juros. Qual é o valor de cada prestação?
R$ 250 – R$ 30 = R$ 220
Equação
30 + 4x = 250
4x = 250 – 30
4x = 220
x = 220/4
x = 55
O valor de cada prestação é R$ 55,00.
Exemplo 5. Um número adicionado ao seu dobro e ao seu quádruplo resulta em 84. Qual é o número?
Um número: x
Dobro: 2x
Quádruplo: 4x
Equação
x + 2x + 4x = 84
7x = 84
x = 84/7
x = 12
O número é igual a 12.
Exercícios (Resolução no final desta folha)
1. (G1 - cp2 2019) Vanessa participará de uma corrida que acontecerá no dia 31 de dezembro de 2018.
No programa elaborado pelo seu treinador, ela deveria correr todos dias por um período de dias consecutivos. Desse modo, o treino terminaria dias antes do evento. Vanessa, porém, verificou que, nesse período, planejado inicialmente, não poderia treinar por dias. Então, para compensar, resolveu correr, por dia, a mais do que o planejado, de modo que a distância total percorrida por ela fosse a mesma, terminando também dias antes do evento. 
De acordo com o programa de treinamento de Vanessa, a data em que ela teria de começar a se preparar para a corrida é 
a) 01/12/2018. 
b) 02/12/2018. 
c) 03/12/2018. 
d) 04/12/2018. 
 
2. (Espm 2018) Para que o número se torne um cubo perfeito, devemos: 
a) multiplicá-lo por 
b) dividi-lo por 
c) multiplicá-lo por 
d) dividi-lo por 
e) multiplicá-lo por 
 
3. (Uece 2018) A soma de todas as frações da forma onde é um elemento do conjunto é 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
4. (Mackenzie 2018) Se e são números reais não nulos tais que então o valor de é igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
5. (Imed 2018) Maria e seu marido realizaram uma viagem ao Nordeste e, para maior comodidade, resolveram locar um carro.
Observe duas opções que elesencontraram.
1ª opção: Locadora Quatro Rodas: Taxa fixa de mais por quilômetro rodado;
2ª opção: Locadora Superveloz: Taxa fixa de mais por quilômetro rodado;
Inicialmente a empresa Superveloz oferece um plano mais atrativo ao cliente, mas, a partir de certa quilometragem, o valor da empresa Quatro Rodas passa a ser mais barato.
Determine a partir de quantos quilômetros passa a ser mais vantajoso locar o carro na empresa Quatro Rodas e assinale a alternativa correspondente: 
a) quando a distância for superior a 
b) quando a distância for superior a 
c) quando a distância for superior a 
d) quando a distância for superior a 
e) quando a distância for superior a 
 
6. (Ifsul 2011) Simplificando-se a expressão , obtém-se 
a) 6x 
b) - 6x 
c) 
d) 
 
7. (Insper 2009) O valor de é igual a 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
 
8. (Espm 2018) Segundo a Organização Mundial de Saúde (OMS), o Índice de Massa Corporal (IMC) ideal para um indivíduo adulto deve estar entre e Para o cálculo, usa-se a fórmula 
De acordo com o exposto, o peso ideal para um adulto de de altura deve estar entre: 
a) e 
b) e 
c) e 
d) e 
e) e 
 
9. (Enem PPL 2018) Em certa página de um livro foi anotada uma senha. Para se descobrir qual é a página, dispõe-se da informação de que a soma dos quadrados dos três números correspondentes à página da senha, à página anterior e à página posterior é igual a um certo número k que será informado posteriormente.
Denotando por o número da página da senha, qual é a expressão que relaciona e 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
10. (Unioeste 2017) Considere as seguintes afirmações:
I. para todo 
II. para todo 
III. para todo 
Assim, é CORRETO afirmar que: 
a) somente a afirmação I está correta. 
b) somente a afirmação II está correta. 
c) somente as afirmações I e II estão corretas. 
d) somente a afirmação III está correta. 
e) as três afirmações estão corretas. 
Depoimentos de quem estuda com o professor Tiago Machado:
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