EXERCÍCIOS DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1

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EXERCÍCIOS DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 
Questão 1 
A derivada de uma função é a inclinação da reta tangente da mesma, com isso, 
encontre a inclinação da reta dada pela função 
ƒ(x) = (x-3)2 + x 
Escolha uma: 
 
A resposta correta é: 2x – 5 
 
Questão 2 
A posição de uma bola é dada pela função y = 20t - 5t2 , onde y é a altura em 
metros e t o tempo em segundo. Pode-se dizer que a altura máxima atingida 
pela bola vale: 
Escolha uma: 
A resposta correta é: 20 m. 
 
 
 
Questão 3 
 
Escolha uma: 
A resposta correta é: 10. 
 
Questão 4 
Assinale a alternativa que representa a derivada da função ƒ(x) = -2x3 + 5x - 4: 
Escolha uma: 
A resposta correta é: 
 
ƒ'(x) = -6x2 + 5 
 
Questão 5 
Considerando uma função de duas variáveis z = f (x, y), tem-se como 
objetivo encontrar pontos onde o gráfico da função tenha: 
Escolha uma: 
A resposta correta é: plano tangente horizontal 
Questão 6 
Assinale a alternativa que representa a derivada da função 
ƒ(x) = -3x5 + 7x2 - 8. 
Escolha uma: 
A resposta correta é: 
ƒ'(x) = -15x4 + 14x 
 
Questão 7 
Considerando um sólido delimitado pelo cilindro x² + y² = 4 e pelos planos z = 
1 e z =5, com densidade igual a uma constante k kg/m³, calcule o momento 
de inércia com relação ao eixo y deste sólido. 
Escolha uma: 
A resposta correta é: 32πk. 
 
Questão 8 Considerando um caixa retangular de base igual 4 cm e altura igual 
a 10 cm, calcule a variação aproximada da área deste retângulo, quando a 
altura varia para 9,83 cm e a base varia para 4,8 cm. 
A resposta correta é: dA = 7,32 cm². 
 
Questão 9 
 
A resposta correta é: 
 
 . 
 
 
Questão 10 
 
Escolha uma: 
A resposta correta é: Sim, a igualdade de Schwartz é verdadeira. 
 
Questão 11 
 
A resposta correta é: 5/4. 
 
Questão 12 
A noção de diferencial torna mais preciso o conceito de taxa de variação e nos 
auxilia no estudo das equações diferenciais e, consequentemente, no da 
integral indefinida. Assinale a alternativa que representa a diferencial 
de y = x4 - 21x: 
Escolha uma: 
A resposta correta é: 
(4x3 - 21) dx 
. 
 
Questão 13 
A posição de uma pedra, que arremessada obliquamente, tem sua trajetória 
descrita pela função y = -5t2 + 20t + 12, onde y está em metros e o temo t em 
segundos. a velocidade da pedra no instante 2s vale. 
 
A resposta correta é: 0 
. 
 
Questão 14 
Dada a equação x² + yx = y², definida implicitamente, calcule y'(1,3): 
Escolha uma: 
A resposta correta é: y' (1,3) = 1. 
 
Questão 15 
Considerando a função z = f(x,y) = 3xy³ – 2x² + y, com x = t² – 2t e y = t², 
encontre a derivada da função com relação a t. 
A resposta correta é: dz/dt = 24t7 - 42t6 - 8t3 + 24t2 - 14t. 
 
Questão 16 
Dada a função f(x, y, z) = x² + 5y – 3xz, encontre o seu domínio D e f (1, -1, 
2), f (0, 3, 5) e f (4, 2, -3): 
A resposta correta é: D = R³ ; -10 ; 15 ; 62. 
 
Questão 17 
Assinale a alternativa que representa os pontos de máximos e mínimos da 
função ƒ(x) = x3 + 6x2. 
A resposta correta é: (0,0) e (-4,32) 
 
Questão 18 
Considerando a função ƒ(x) = x3 + 3x2 - 10 , então o ponto de inflexão é: 
A resposta correta é: (-1,-8) 
 
Questão 19 
Considerando que a função de uma parábola seja dada por ƒ(x) = 3x2 - 5x + 4. 
Então se pode afirmar que a derivada é uma função afim e que no ponto x0 = 0 
vale: 
Escolha uma: A resposta correta é: -5 
ƒ(x) = 3x2 - 5x + 4 → ƒ'(x) = 6x - 5 → ƒ'(0) = 6 · 0 - 5 = 0 - 5 = - 5 
Questão 20 
 
A resposta correta é: ƒ'(x) = 1 
 
Questão 21 
Determine as curvas de nível da função f(x,y) = (x - 2)² + (y + 1)² usando k = 1,9,16 . 
A resposta correta é: {1 = (x – 2)² + (y + 1)², 9 = (x – 2)² + (y + 1)², 16 = (x – 
2)² + (y + 1)² 
 
 
Questão 22 
Determine os pontos críticos da função f (x,y) = - 2x² – 4x – y² + 4y – 5: 
A resposta correta é: (-1, 2) 
 
Questão 23 
 Nem todas as funções possuem limite, para exibir esse fato nos casos 
unidimensionais basta mostrarmos que os limites laterais são diferentes. 
Porém, para os casos bidimensionais, ou seja, com duas variáveis utilizamos: 
A resposta correta é: Curvas. 
Nem todas as funções possuem limite, para exibir esse fato nos casos 
unidimensionais basta mostrarmos que os limites laterais são diferentes. 
Porém, para os casos bidimensionais, ou seja, com duas variáveis utilizamos 
curvas (caminhos). P. 24. Livro da disciplina. 
Questão 24 
 No estudo de funções de uma variável, a Regra da Cadeia é utilizada para: 
A resposta correta é: derivar funções compostas. 
Questão 25 
O gráfico de uma função de duas variáveis pode ser entendido como: 
A resposta correta é: uma superfície. 
O gráfico de uma função de duas variáveis pode ser entendido como uma superfície. P. 
71. Livro da disciplina. 
Questão 26 
Para qual valor de b à função f (x, y, z) = x³ + 3x²y + 7y²b + 5b é contínua: 
A resposta correta é: qualquer valor real. 
Questão 27 
Carlos, um aluno de graduação de matemática, não está conseguindo resolver 
a derivada de 3ª ordem da função ƒ(x) = x3 - 2x2 + 3x - 1 e resolve pedir ajuda 
ao seu colega. Após alguns minutos o colega de Carlos lhe diz que o resultado 
é um número inteiro maior que zero e menor que 10. Assinale a alternativa que 
representa o resultado encontrado pelo colega de Carlos: 
A resposta correta é: 6. 
ƒ(x) = x3 - 2x2 + 3x - 1 
ƒ'(x) = 3x2 - 4x 
ƒ''(x) = 6x - 4 
ƒ'''(x) = 6 
Questão 28 
Considerando a função polinomial do 2º grau ƒ(x) = 6x2 - 24x, pode-se dizer 
que o valor de x em que a função tem seu valor mínimo vale: 
A resposta correta é: 2 
 
Questão 29 
 Assinale Verdadeiro ou Falso: 
 Resposta: F, V, V, V. 
( F ) Para qualquer ponto onde precisarmos da derivada, poderemos substituir 
o valor de x direto na função, mesmo antes de derivar. 
( V ) A derivada nos permite a obter o valor máximo de uma função 
( V ) Usa-se derivadas para mostrar que a velocidade é a taxa de variação da 
posição em relação ao tempo. 
( V ) Um limite é chamado de limite fundamental, quando possui seu resultado 
conhecido antes mesmo de fazer a operação que o levará ao seu resultado 
Questão 30 
Considerando que o custo, chamado de C, para produzir x unidades de certo 
produto é dado por C(x) = x2 - 80x + 3000 (em reais). Então, a quantidade de 
unidades que a empresa deve produzir, para que seu custo seja MÍNIMO será 
de: 
 A resposta correta é: 40 Unidades 
 
 
Questão 31 
Encontre as curvas de nível e o gráfico da função ƒ(x,y) = 2x2 + y, usando k = 
0,2,5. 
A resposta correta é: 
{y = - 2x², y = - 2x² + 2, y = -2x² + 5} 
 
Questão 32 
 Se f (x,y) = - 3x² + 2yx, encontre o vetor gradiente e o valor da função no ponto 
(1,2). 
A resposta correta é: 
∇ f (1,2) = (-2,2) e f (1,2) = 1 
 
 
 
Questão 33 
 Determine o ponto de inflexão da função ƒ(x) = x3 - 3x2 + 4x - 12: 
A resposta correta é: X= 1 e Y= 10 
 
 
 
Questão 34 
 
A resposta correta é: 18 
 
 
Questão 35 
 Deseja-se construir uma janela retangular, com perímetro igual a 200 m e cuja 
área seja máxima. Determine suas dimensões. 
 A resposta correta é: 50 e 50 
 
 
Questão 36 
Determine a derivada de 3 ordem da função ƒ(x) = cos (2x) e assinale a 
alternativa correta. 
A resposta correta é: 8 sen (2x) 
 
Questão 37 
Seja f (x,y) = 3x³y + 5y², com f(x,y) = z. O valor de dz, quando se faz a variação 
do ponto P = (1,2) para o ponto Q = (2,4), é de: 
A resposta correta é: dz= 64 
 
Questão 38 
Seja f (x,y) = - 2x²y³ + x³y. Calcule o diferencial dz e determine o incremento 
Δz da função quando x varia de 2 para 2,05 e y varia de -5 para -5,34. 
A resposta correta é: dz = 248,28 e Δz ≈ 273,85 
 
 
Questão 39 
 Sempre que encontramos o valor do limite igual em dois ou mais caminhos, 
devemos usar a definição de limites ou o: 
A resposta correta é: Teorema do Confronto 
Sempre que encontramos o valor do limite igual em dois ou mais caminhos, 
devemos usar a definição de limites ou o Teorema do Confronto para provar o 
valor e consequentementea existência do limite. P. 28. Livro da disciplina; 
Questão 40 
 Uma função definida em um intervalo fechado [a; b] será contínua em [a; b], se 
e somente se ela for contínua no intervalo aberto (a; b), isto é: 
A resposta correta é: contínua à direita de a e à esquerda de b. 
 
 
Questão 41 
 Um agricultor deseja plantar grama em toda a área do seu terreno que tem a 
forma de um triângulo retângulo de altura igual a 5 m e base de 9 m, sabe-se 
que a medição pode ter erro máximo de 0,1 m e 0,2 m, respectivamente, para a 
base e a altura, devido à localidade do triângulo. Utilize diferencial para 
aproximar a maior variação na área (A) deste terreno, para o agricultor saber 
se deve comprar uma maior quantidade de grama. 
A resposta correta é: dA = 1,15 m² 
 
Questão 42 
 Uma caixa retangular com tampa tem capacidade de volume igual a 8 m³. 
Determine as dimensões da caixa retangular que comporte este volume. 
A resposta correta é: 2m, 2m, 2m 
 
Questão 43 
 Determine o valor da derivada da função ƒ(x) = x2 + 5x - 3 no ponto x0= 1: 
A resposta correta é: 7 
 
Questão 44 
Determine o valor de x que representa o mínimo absoluto ƒ(x) = 2x2 + 20x é: 
A resposta correta é: x= -5 
 
Questão 45 
 Observe essa sentença: Para verificarmos se a sentença acima é verdadeira, 
basta: 
 
A resposta correta é: atribuirmos valores para x; 
Questão 46 
 Seja a função ƒ(u,v,w) = ln|uvw|, com u = sen (xz), v = x2z e w = 3x3, determine 
as derivadas parciais com relação a x, y e z da função. 
A resposta correta é: 
 
 
Questão 47 
 
A resposta correta é: