Exercícios de Concorrência Imperfeita e Teoria dos Jogos

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APOSTILA DE EXERCÍCIOS 
 
CONCORRÊNCIA IMPERFEITA 
E TEORIA DOS JOGOS 
 
 
 
 
 
Prof. Cláudio D. Shikida 
v.2016(e.1) 
Prof. Claudio D. Shikida 
 
O uso não-autorizado desta apostila poderá ter implicações legais 
2 
Índice 
 
 
 
 
 
Manual do Usuário (“Bula” da Apostila) ......................................................................... 3 
Teoria dos Jogos.............................................................................................................. 4 
Concorrência Perfeita .................................................................................................... 11 
Monopólio..................................................................................................................... 12 
Oligopólio, Conc. Monopolista, Modelo de Hotteling, Medidas de Concentração .......... 23 
Informação Assimétrica, Agente-Principal .................................................................... 30 
Outra Questões (com dicas em itálico)........................................................................... 41 
Apêndice – a definição de “sunk costs” ......................................................................... 56 
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3 
UFPel/DECON
1
 
EXERCÍCIOS DE CONCORRÊNCIA IMPERFEITA/TEORIA DOS JOGOS 
2016.I 
Exercícios selecionados por Cláudio D. Shikida
2 
Manual do Usuário (“Bula” da Apostila) 
 
Esta apostila contém exercícios complementares à bibliografia básica e complementar do curso 
“Microeconomia III” ministrado pelo prof. Claudio D. Shikida no Decon-UFPel. 
 Originalmente, estes exercícios foram criados pelo professor e/ou adaptados de alguns artigos de 
Concorrência Imperfeita ou de Teoria dos Jogos (disciplina lecionada pelo mesmo professor em outra 
faculdade). Outros exercícios são questões de provas passadas desta cadeira, problemas inéditos ou 
adaptações de questões de outros livros. Há também algumas questões de exames de seleção para mestrado 
realizados pela ANPEC. 
 
NÍVEL DE FACILIDADE 
 Os índices de facilidade dos exercícios são codificados da seguinte forma: 
(*) - Absurdamente fácil 
(**) - Muito fácil 
(***) - Fácil 
(****) - Não tão fácil 
 
RESPOSTAS 
 A maioria dos exercícios apresenta respostas, porém essas quase sempre não são completas ou 
auto-explicativas. Isto é, essa não é a forma que você deve responder as questões formuladas em um exame 
de avaliação. As respostas aqui apresentadas são apenas referências . Obviamente, caso você encontre erros 
de qualquer espécie, agradeço a indicação. 
 
RECOMENDAÇÕES DE USO 
 Antes de tentar resolver qualquer exercício o aluno deve sempre ler (e entender) por completo o 
respectivo material referenciado no material didático indicado (livro-texto, notas de aula, etc). O aluno deve 
sempre tentar resolver sozinho o exercício antes de consultar as respostas. Caso encontre dificuldades, deve 
retornar ao material didático. O aluno só deve procurar o auxílio do(a) monitor(a) ou professor(a) quando 
tiver dúvidas específicas a respeito da resolução de certos exercícios. O(A) monitor(a) ou professor(a) não 
irá resolver os exercícios para você se você não tiver tentado primeiro. 
 
OBJETIVO 
 O objetivo dessa apostila é auxiliar a compreensão da teoria pelo aluno através da compreensão e 
resolução de exercícios baseados nas aulas e no material didático. A realização de exercícios “em si” não é 
o objetivo da disciplina (ou mesmo do curso como um todo). Ou seja, esses exercícios não são 
padronizados, de forma que nas provas o aluno poderá encontrar questões diferentes das formuladas aqui. 
DECORAR A RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS NÃO MELHORARÁ EM NADA SUA 
PERFORMANCE NAS PROVAS!! 
 
CONTRA-INDICAÇÕES 
 Esta apostila é contra-indicada para aquele que não lê o material antes de resolver exercícios. 
 
1 Prezado estudante, esta versão da apostila de exercícios tem um caráter transitório, preliminar e não se 
encontra totalmente revista. Acrescentei alguns novos exercícios, mas não espere que esta versão seja a 
mesma no próximo semestre. Possivelmente não o será. Lembre-se de que indicarei a você que exercícios 
fazer. 
2 Agradeço ao prof. Marcus Xavier (Ibmec Minas e Usiminas) por alguns dos exercícios da seção de 
informação assimétrica e agente-principal. 
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Teoria dos Jogos 
 
1. (*) Um famoso exemplo de psicologia social foi o assassinato de Kim Genovese, em 
New York. Durante o crime, 38 vizinhos assistiram o crime sem chamar a polícia. Esta 
situação é bem ilustrada pelo jogo que chamamos de “dever cívico”. O mesmo encontra-
se na forma normal abaixo. 
 
 Don-Don 
Bam-Bam Ignorar ( ) Telefonar ( 1 ) 
Ignorar ( ) 0, 0 10, 7 
Telefonar ( 1 ) 7, 10 7, 7 
a) Existe(m) equilíbrio(s) em estratégia dominante? Se sim, qual(is) é (são)? 
b) Pergunta similar para equilíbrios de Nash em estratégias puras e não se esqueça 
de indicar qual(is) é (são). 
Pergunta similar para equilíbrios de Nash em estratégias mistas e não se esqueça de 
indicar qual(is) é (são)? 
 
2. (*) O jogo abaixo ocorre entre duas firmas, é repetido infinitamente, e a estratégia do 
gatilho é tal que: 
 
, 1,..., 1
,
i j
i t tF se a a F ta
S caso contrário

     
 

 
 
 A.2 
A.1 Sair do cartel (S) Ficar no cartel (F) 
S 1, 1 5, 0 
F 0, 5 4, 4 
 
Por definição, você sabe que 
r

1
1
 . Existe um título, no mercado financeiro, que 
paga um rendimento fixo de “r” (ou, em percentual, 100*r%) e o jogador A.1 deseja sair 
do cartel (“furar o olho” de A.2). Para que valor de “r”vale a pena para A.1 (ou, o que dá 
na mesma, A.2) fica indiferente para a firma permanecer no cartel ou sair? 
 
3. (*) Verifique se o jogo abaixo possui equilíbrio de Nash. 
 
SistemasINC Borton Antivirus 
 Atualiza Não atualiza 
Desenvolve 2, 1 -1, -2 
Não desenvolve 0, -1 1, 2 
 
4. (*) No jogo anterior, suponha que a Sistemas Inc decide, primeiro, se desenvolve ou 
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não uma nova ferramenta em seus sistema operacional e, em seguida, a Borton Antivirus 
decide se atualiza ou não o antivirus que fabrica. Encontre o equilíbrio de Nash perfeito 
em subjogos e verifique se há alguma diferença com relação ao feito no exercício 5. 
 
5. (*) Considere o jogo do “estado do bem-estar”, também conhecido como o jogo do 
“bom samaritano”: 
 MISERÁVEL 
 trabalha fica à toa 
 Ajuda 3,2 -1,3 
GOVERNO 
 Não ajuda -1,1 0,0 
 
O jogo considera dois atores. Primeiro, há o governo, que deseja ajudar o pobre 
desempregado que se mostra responsável e procura trabalho. Por sua vez, existe o pobre 
desempregado que possui orgulho e só procura emprego sem ajuda do governo. O jogo é 
conhecido como “O Dilema do Bom Samaritano”. 
 
a) Existe equilíbrio em Estratégias Dominantes? 
b) Existe equilíbrio de Nash? 
c) Aleatorize o jogo e, no equilíbrio em estratégias mistas, diga qual a probabilidade do 
governo ajudar o desempregado. Idem para a probabilidade do desempregado trabalhar. 
 
6. (*) Considere um jogo do pênalti entre o goleiro e o artilheiro do time adversário. 
 
 GOLEIRO 
 E D 
 E 6,-6 3,-3 
COBRADOR 
 D 2,-2 9,-9 
 
As únicas estratégias possíveis para o jogador são: chutar à esquerda (E) ou chutar à 
direita (D). O goleiro, por sua vez, pode pular para a direita (D) e pular para a esquerda(E). Encontre o equilíbrio deste jogo em estratégias mistas. 
 
7. (*) Faça a questão 11 da prova de Microeconomia da ANPEC (2016). 
 
8. (*) Faça a questão 13 da prova de Microeconomia da ANPEC (2014). 
 
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9. (*) Faça a questão 12 da prova de Microeconomia da ANPEC (2013). 
 
10. (*) Dois dos alunos da faculdade brigaram no corredor, destruindo mesas e cadeiras. 
Foram imobilizados pela segurança e levados à direção. Considere o jogo abaixo onde os 
payoffs já foram convertidos para R$ (reais): 
 
José João 
 Coopera Não coopera 
Coopera 1, 1 -1, (2 – x) 
Não coopera (2 – x), -1 (0 – x), (0 – x) 
 
Sabemos que se x = 0, os alunos João e José não estarão em equilíbrio cooperando. A 
direção da faculdade resolve estabelecer um incentivo na forma de uma multa “x”. Para 
qual valor de x pode-se induzir a cooperação de João e José? [considere que a direção não 
deseja estabelecer qualquer valor para a multa, já que minimiza custos. Assim, não se 
trata de um intervalo de valores, mas apenas do mínimo valor que garante a cooperação] 
 
11. (*) Explique a estratégia do gatilho (trigger strategy) citada no estudo de jogos 
repetidos. 
 
12. (*) Suponha que, inicialmente, Bolívia e Brasil se encontram em uma situação 
pacífica, dividindo os benefícios de sua parceria na produção de gás natural pela metade 
(pode-se pensar nisto como percentual). Esta é a situação na qual ambos vivem sob uma 
situação na qual a Bolívia (cujas estratégias são denominadas em cor vermelha
3
) não 
expropria o Brasil
4
. 
 
 
3 Se você imprimiu a apostila, consulte-a, novamente, em sua versão online. 
4 Este exercício foi elaborado em conjunto com o prof. Ari F. Araujo Jr do Ibmec-MG. 
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Caso a Bolívia decida expropriar o Brasil, o governo deste último deve decidir se retalia 
ou não retalia (em azul, na figura acima). Se não retaliar, perde tudo. Caso contrário, 
enfrenta uma nova rodada com a Bolívia escolhendo entre ceder à retaliação brasileira ou 
não. Se ceder, o jogo termina e volta-se à situação inicial. Caso contrário, o governo 
brasileiro poderá responder com um conflito militar, no qual ambos perderão ativos 
petrolíferos, ou através da diplomacia, novamente gerando uma última rodada na qual a 
Bolívia cede ou não. No último caso, ela fica com todos os ativos e no caso de cessão, 
ambos retornam à situação inicial. 
 
a) Use indução retroativa e confirme o(s) equilíbrio(s) em estratégias puras encontrado(s). 
 
b) Suponha uma pequena alteração neste jogo de forma que temos a configuração abaixo: 
 
Uma outra forma de ver o problema seria pensar que, em caso de retaliação, há uma 
desvalorização dos ativos (máquinas paradas), o que diminui a fatia que cada um leva. 
Neste caso, o único jeito é ele não expropriar (estratégias dominadas pulam fora). 
 
Pode-se fazer o Morales achando inicialmente que é uma situação injusta. 
 
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Use indução retroativa e confirme o(s) equilíbrio(s) em estratégias puras encontrado(s). 
 
13. (*) Encontre o(s) equilíbrio(s) do jogo abaixo (o trecho pontilhado indica informação 
incompleta) em estratégias puras. 
 
14. (*) Considere o seguinte jogo entre o banqueiro central e o setor privado de uma 
economia: no primeiro momento do jogo, o setor privado forma uma expectativa de 
inflação, 
e e, no segundo, o banqueiro central observa esta expectativa e escolhe o nível 
de inflação,  . Uma vez que as escolhas sejam feitas, pode-se determinar o nível de 
desemprego que prevalecerá nesta economia. A curva de Phillips é dada por: 
 eu u      . 
 
O payoff do banqueiro central é dado por:   2,L u u   , onde u é a taxa natural de 
desemprego e , 0   . O payoff do setor privado é dado por:  
2
e   . 
 
O objetivo do banqueiro central é escolher a taxa de inflação que minimiza a função 
perda ),( uL e o objetivo do setor privado é minimizar o desvio de suas expectativas em 
relação à taxa de inflação atual. 
 
Resolva o jogo e verifique se é correto o que disse um aluno sobre este exercício: “é 
óbvio que, após resolver o jogo, o equilíbrio se dá fora do pleno emprego”. Cheque esta 
afirmação com o que encontrou na resolução do jogo. 
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15. (*)1. Considere o jogo abaixo entre o jogador Deus e o jogador “Adão e Eva”, criado 
por Steven J. Brams em Biblical Games: Game theory and the Hebrew Bible, MIT Press. 
 
a) Resolva o jogo abaixo e verifique se existe algum (ou mais de um) equilíbrio de Nash 
em estratégias puras e em estratégias mistas. Note, no último caso, que já especifiquei 
os símbolos para as probabilidades
5
. 
 
 Adão e Eva 
Deus Adere às restrições 
divinas 
(δ) 
Não aderem às 
restrições divinas 
(1-δ) 
Impõe restrições (β) (3,2) (2,3) 
Não impõe 
restrições (1 – β) 
(4,1) (1,4) 
Obs: 
i) 4 é preferível a 3 que é preferível a 2 que é preferível a 1. 
ii) (x,y) = (Deus, Adão e Eva) 
 
b) Construa o jogo entre Deus e Adão e Eva na forma extensiva considerando que Deus 
age primeiro e a informação é perfeita. Verifique se existe algum (ou mais de um) 
equilíbrio de Nash perfeito em subjogos. 
 
16. (*) Considere o seguinte jogo na forma normal: 
 
 
5 É possível resolver a estratégia mista pelo método da maximização (mais intuitivo para quem está 
acostumado com os problemas típicos da microeconomia, ou pelo método da igualação dos payoffs (payoff-
equating method). Contudo, no jogo acima, há um problema que vários(as) leitores(as) já se defrontaram: 
uma das probabilidades resulta em um valor maior do que um! Quanto a isto, diz-nos Rasmusen (2007): 
When a mixing probability is calculated to be greater than one or less than zero, the implication is either 
that the modeller has made na arithmetic mistake or, as in this case, that he is wrong in thinking that the 
game has a mixed-strategy equilibrium. (…).The absurdity of probabilities greater than one or less than 
zero is a valuable aid to the fallible modeler because such results show that he is wrong about the 
qualitative nature of the equilibrium – it is pure, not mixed. Or, if the modeller is not sure whether the 
equilibrium is mixed or not, he can use this approach to prove that the equilibrium is not in mixed 
strategies”. [Rasmusen (2007), p.75] Desta forma, agradeço aos alunos que me chamaram a atenção para 
este problema e, para não perder a piada, deixemos a Deus o título de o grande modelador. 
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a) Existe estratégia dominante para o jogador 1? Se existe, qual é? Explique sua 
resposta. 
b) Existe equilíbrio de Nash neste jogo? Se sim, quantos? 
 
17. (*) [Dixit e Nalebuff, 1994]. A figura abaixo ilustra as posições e opções entre dois 
navios em conflito no Oriente Médio. Um navio iraquiano, localizado no ponto I, está 
prestes a disparar um míssil para atingir um navio americano localizado em A. O míssil 
pode viajar em linha reta ou fazer curvas de 90 graus a cada 20 segundos. Se o míssil 
viajar em linha reta, as baterias antimísseis dos americanos neutralizam o ataque 
facilmente. Assim, os iraquianos tentarão trajetórias em zigue-zague. Cada segmento 
como IF, por exemplo é percorrido em 20 segundos (a figura é auto-explicativa, cada 
segmento é percorrido em 20 segundos: BC, BE, IF, etc). 
 
 
 
O radar do navio americano detecta o míssil iraquiano quando de seu lançamento e 
responde automaticamente com um antimíssel que viaja à mesmavelocidade do míssil 
iraquiano e que e também pode fazer curvas em ângulos de 90 graus. Diferentemente do 
míssil iraquiano, o antimíssil norte-americano carrega mais explosivos e tem menos 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
H 
I 
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combustível, de forma que sua autonomia de vôo é de apenas 60 segundos. Se, neste 
período, o antimíssel encontrar o míssel, a ameaça iraquiana é neutralizada. Caso 
contrário, o míssil atinge o navio norte-americano. 
 
a) Construa a matriz deste jogo, colocando todas as estratégias norte-americanas nas 
linhas e todas as estratégias iraquianas nas colunas. (Dica: se o antimíssil sai de A 
e vai até E, passando por B, a estratégia, “ABE”, é uma das estratégias norte-
americanas). Os payoffs são os seguintes: se o antimíssel norte-americano 
encontra o míssil iraquiano, os americanos ganham + 1 e os iraquianos ficam com 
-1. Caso o míssil atinja o navio americano, os iraquianos ganham + 1 e os norte-
americanos ficam com -1. 
b) Há equilíbrio de Nash neste jogo em estratégias puras? Se sim, quantos são e 
quais são? 
c) Verdadeiro ou Falso e por que? – “Da tabela acima é fácil ver que os americanos 
se saem melhor se usam as estratégias ABED ou ADEB. Já os iraquianos se saem 
melhor usando IFCB ou IHED”. 
 
18. (*) Resolva a questão 10 da prova de Microeconomia da ANPEC (2010). 
19. (*) Resolva as questões 11 e 13 da prova de Microeconomia da ANPEC (2002). 
20. (*) Resolva a questão 11 da prova de Microeconomia da ANPEC (2003). 
21. (*) Resolva a questão 11 da prova de Microeconomia da ANPEC (2004). 
22. (*) Resolva as questões 11 e 12 da prova de Microeconomia da ANPEC (2005). 
 
Concorrência Perfeita 
 
1. (*) A curva de demanda de mercado para um bem é dada por ( ) 120Q p p  , na qual 
p é o preço de mercado e Q é a quantidade comprada pelos consumidores. Suponha que o 
bem é produzido por um único fator, trabalho, representado por “L”. Assuma que cada 
firma “i” possa empregar qualquer quantidade de trabalho ao salário dado w, tal que 
0w . A função de produção de cada firma é dada por ii Lq  , onde iL é a quantidade 
de trabalho empregada pela firma i. 
 
a) Seja 1w . Suponha que existam três firmas, 1, 2 e 3. Encontre, no equilíbrio, o 
preço e as quantidades produzidas de cada uma das firmas. Qual o lucro de cada 
firma? Faça o gráfico da curva de oferta de cada firma e também da oferta da 
indústria. Mostre o equilíbrio competitivo para cada firma e também para a 
indústria. 
b) Seja 1w . Suponha que existam quatro firmas, 1, 2, 3 e 4. Encontre, no 
equilíbrio, o preço e as quantidades produzidas de cada uma das firmas. Qual o 
lucro de cada firma? Faça o gráfico da curva de oferta de cada firma e também da 
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oferta da indústria. Mostre o equilíbrio competitivo para cada firma e também 
para a indústria. 
c) Compare ambos os resultados anteriores. O aumento do número de firmas torna a 
curva de oferta da indústria mais ou menos inclinadas? 
d) Compare os resultados com o exercício anterior. O que você pode dizer sobre a 
diferença entre retornos constantes e decrescentes de escala? 
e) Qual a importância da definição de equilíbrio competitivo na solução de ambos os 
problemas? 
 
2. (*) Resolva a questão 8 da prova de Microeconomia da ANPEC (2015). 
3. (*) Resolva a questão 7 da prova de Microeconomia da ANPEC (2016). 
4. (*) Resolva a questão 7 da prova de Microeconomia da ANPEC (2010). 
5. (*) Resolva a questão 6 da prova de Microeconomia da ANPEC (2005). 
Monopólio 
 
1. (*) Deus é um indivíduo especial: ele faz milagres (Q). Vamos caracterizar isto como o 
fato de que, para ele, o milagre tem custo zero:   0TC Q  para qualquer valor de Q. Seja 
a curva de demanda de milagres dada por: ( )P Q a bQ  . Calcule o número ótimo de 
milagres (suponha que Deus seja racional) e a elasticidade-preço da demanda no ponto 
ótimo. Feito isto, responda: Deus opera no ramo elástico de sua curva de demanda? 
 
2. (*) Em conversas do dia-a-dia você já ouviu os seguintes fatos sobre o narcotráfico: (1) 
a demanda é altamente preço-inelástica, de forma que os consumidores são praticamente 
obrigados a comprarem drogas, não importa o quão alto seja o preço e, ao mesmo tempo, 
(2) a oferta do mercado é dominada por um cartel (ou um monopólio) que consiste de 
poucos ofertantes. 
 
a) Seja a demanda inversa dada por ( )p Q a bQ  e o custo total dado por 
2( )TC Q F cQ  . Considere , , , 0a b F c  . Suponha que o custo fixo é suficientemente 
baixo de forma a garantir uma quantidade produzida positiva no ponto de máximo. 
Resolva o problema do monopolista e calcule a expressão da elasticidade-preço no ponto 
de máximo. O equilíbrio se dá no ramo elástico ou inelástico da curva de demanda? 
b) Use o que for relevante do item anterior para explicar, em 3 linhas, porque há uma 
contradição entre (1) e (2). 
c) Suponha agora que se trata de um cartel ( 1N , onde N é o número de membros do 
cartel). Assim, mantida a demanda de mercado, temos  
2
( )i i iTC q F c q  para cada 
membro do cartel. Resolva o problema de maximização do cartel (note que todas as 
firmas são idênticas) e encontre o par **, pQ de equilíbrio. Calcule a a expressão da 
elasticidade-preço no ponto de máximo. O equilíbrio se dá no ramo elástico ou inelástico 
da curva de demanda? 
d) Use o que for relevante do item anterior para explicar, em 3 linhas, porque há uma 
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contradição entre (1) e (2). 
e) Suponha que haja apenas um narcotraficante, mas a demanda de mercado agora é 
definida por   eQ p ap , com 1e . A função de custo total do monopolista é 
 TC Q cQ , 0c . Resolva o problema do monopolista e calcule a expressão da 
elasticidade-preço no ponto de máximo. O equilíbrio se dá no ramo elástico ou inelástico 
da curva de demanda? Os resultados encontrados em (b) e (d) são idênticos ao que você 
encontra aqui? Explique. 
f) Em relação ao item anterior, o que aconteceria se 1e ? O monopolista estaria 
maximizando lucro? 
 
Você pode fazer comentários sobre o narcotráfico e os resultados fora da questão, mas 
eles não valem pontos. 
 
3. (*) Uma editora sabe que a função demanda para um famoso livro-texto de Introdução 
a Economia é dada por: ( ) 100 0.005p Q Q  . O acordo com o autor é tal que a editora 
deve lhe pagar R$ 20.00 para cada livro vendido. Além disso, a editora paga R$ 20.00 
por custos de impressão e distribuição, independentemente da quantidade produzida. 
Suponha que não existem outros custos. 
A) Qual é a quantidade produzida que maximiza lucros da editora? Qual o lucro obtido? 
Quanto o autor receberá? Qual será o preço de venda deste livro? 
B) Você, membro do DECOPON (uma consultoria-júnior hipotética) foi contratado como 
consultor para rever a relação entre o autor e a editora. Seu conselho foi: “esqueçam este 
acordo de R$ 20.00 por livro vendido. Façam o seguinte: a editora fica com 60% dos 
lucros e o autor com 40%”. O autor concordará com este novo contrato? E a editora? 
Quanto aos alunos que compram este livro, ficarão mais felizes se a editor e o autor 
adotarem este novo arranjo contratual? Ou não? Sua resposta é impossível sem que você 
faça as contas necessárias. [máximo: 6 (seis) linhas + contas e/ou gráficos] 
 
4. (**) Diga se Verdadeiro ou Falso e justifique (tanto as afirmativas verdadeiras como 
falsas) 
 
a) Qualquer monopólio tenta igualar a receita marginal ao custo marginal na região 
em que a receita marginal cresce mais devagar do que o custo marginal. 
b) Se um monopolista opera com uma tecnologia que exibe retornos constantes de 
escala, então ele trabalha com mark-up constante, independente de sua função 
demanda.c) Um monopolista com várias plantas distribui a produção entre as mesmas de 
forma que o custo variável seja o mesmo em cada fábrica. 
d) Um monopolista com várias plantas distribui a produção entre as mesmas de 
forma que o custo marginal seja o mesmo em cada fábrica e, além disso, ajusta o 
número de plantas de forma a que cada planta opere em seu ponto de custo total 
médio mínimo. 
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5. (*) Suponha um monopolista que vende maços de cigarros. O governo impõe à esta 
empresa um imposto ad valorem na esperança de diminuir seu lucro. A maximização do 
monopolista, com o imposto é dada por: ( ) ( ) (1 )
Q
Max p Q Q TC Q t Q   , na qual “(1+t)” é 
o imposto ad valorem. Considere, para simplificar, que a demanda inversa seja dada por: 
( ) 100p Q Q  e que a função de custo total seja dada por: 
3 2( ) 2 10TC Q Q Q   . 
Considere duas situações: antes do imposto e depois do imposto (com 10% de imposto, o 
que significa que t = 0,10) 
 
a) Preencha o quadro abaixo [use, se for o caso, apenas uma casa decimal.] 
 
 Sem imposto (t = 0) Com imposto (t = 0,10) 
Preço praticado (R$) 
Quantidade vendida (maços 
de cigarros) 
 
Elasticidade-preço da 
demanda no ponto ótimo 
 
Receita total (R$) 
Custo total (R$) 
Lucro total (R$) 
Excedente do consumidor 
(R$) 
 
Bem-estar Social (R$) 
 
Do que você encontrou, é possível afirmar que a política do governo diminui o lucro do 
monopolista? 
 
b) Repita o exercício anterior, mas alterando a função de demanda inversa para 
( ) 100 2p Q Q  . O que você pode dizer sobre a política do governo nas duas situações? 
Lembre-se do conceito de elasticidade-preço da demanda quando responder à pergunta. 
[a parte textual de sua resposta não deve ultrapassar cinco linhas. A parte algébrico-
gráfica não tem limite de linhas] 
 
6. (**) Seja um monopolista que opera segundo a seguinte função de produção: 
baKLY  . Pode-se dizer que se esta tecnologia exibir retornos constantes de escala, 
então o lucro máximo do monopolista será sempre igual a zero? Por que? [Use o 
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15 
Teorema de Euler para responder a esta pergunta. Em caso de dúvida, veja o livro de 
Microeconomia de Varian, 5ª edição, p.580-1, ou as páginas pertinentes na edição que 
você tiver em mãos] 
 
7. (*) A partir do que foi visto em sala (e no livro), cheque a veracidade da seguinte 
afirmação: “um monopolista com várias plantas produz, em equilíbrio, no ponto onde os 
custos marginais de cada planta se igualam”. 
 
8. (*) Em Cachoeira de Pajeú existe um único distribuidor de água. A demanda de água 
foi estimada por um aluno do DECON como ( ) 100 2Q p p  . A Companhia Represa é a 
detentora dos direitos de propriedade sobre os reservatórios da região. A distribuidora 
deve comprar água da Companhia Represa. 
 
a) Considere o custo marginal da água para a Companhia Represa como nulo e 
também considere que não existem custos fixos relevantes para a distribuidora. 
Qual o preço cobrado da distribuidora pela Companhia Represa? 
b) Suponha que o custo marginal da Companhia Represa não seja desprezível, mas 
sim obtido a partir de: ( ) 2TC Q Q . Mantenha as outras hipóteses anteriores e 
encontre o novo preço cobrado. 
 
9. (*) Considere a demanda invertida linear, P a bQ  , onde 0, ba e a função de 
custo total do monopólio: 
2)( cQFQCT  , com 0, cF . Mostre que, no ponto ótimo, 
o monopolista opera em um ponto da demanda em que a elasticidade-preço é maior do 
que um, em valor absoluto. 
 
10. (**) Algumas pessoas se perguntam se o resultado encontrado para monopólios que 
vendem bens duráveis (visto em sala e no livro) se mantém quando o monopolista 
desconta o futuro ou quando os consumidores formam expectativas quanto ao futuro. É 
fácil responder estas perguntas com um exemplo. Assim, considere uma demanda mais 
simples ( ) 1D p p  e o fator de desconto 
r

1
1
 6. 
 
a) Mostre que, no caso do aluguel, temos: 1 1
1 1
,
2 2
q p  e o lucro total é dado por: 
 
1 1 1
1
4 4 4
r       . 
 
6 O exemplo é de Tirole (1988). Entretanto, note que, na p.81 do livro, há um erro de digitação. A 
quantidade produzida pelo monopolista no período 2 (futuro) é ½ e não zero. Ver p.81, coluna da direita, 
11ª linha de cima para baixo. 
Prof. Claudio D. Shikida 
 
O uso não-autorizado desta apostila poderá ter implicações legais 
16 
b) Mostre que, no caso da venda, [lembre-se, resolvemos primeiramente o “futuro” 
(período 2) e depois o “presente” (período 1). Assim, temos: 
 
2
2 2 11
q
Max q q q    ], obtém-se: 
 1
2
1
2
q
q

 . 
c) Para tornar o problema mais interessante, suponha que, no primeiro período, o 
consumidor espere que o preço no segundo período seja 
ap2 . A função de 
demanda, no primeiro período, é a soma desta expectativa, descontada, com a 
demanda do primeiro período. Em outras palavras, 
1 1 21
ap q p   . Mais ainda, 
suponha, para simplificação, que os consumidores tenham expectativas racionais 
na forma “forte”, isto é, antecipam corretamente os preços. Assim, 22 pp
a  . 
Mostre que a demanda, no primeiro período é: 
 11 1 1
1
1 1 1
2 2
q
p q q


   
       
  
. 
d) Mostre que: 1
2
4
q



 e 
 
 
2
1
2
2 4
p





. 
A intuição do que você encontrou é que consumidores racionais percebem que o 
monopolista não pode lhes cobrar um preço mais alto hoje do que no futuro neste caso. 
 
11. (**) Carraro Enterprises é a única empresa da Econolândia que produz tangerinas ao 
custo marginal “c”. Por algum motivo, ela não pode vender diretamente ao consumidor: 
deve revender as tangerinas para uma cadeia de pequenas empresas que são monopólios 
nas diversas regiões da Econolândia (existem i = 1, ...., I regiões). 
 
Em cada região, a demanda de tangerinas é dada por 
 i
i
i
A p
q
B

 , onde ip é o preço de 
venda na região i e iq refere-se à quantidade de tangerinas vendidas na região i. A e B são 
assumidos: 0, 0A c B   . Assume-se que a Carraro Enterprises fixa o preço para os 
pequenos empresários (doravante chamados de “revendedores”) que, por sua vez, 
determinam os preços em suas respectivas regiões. Assume-se também que não há a 
possibilidade de consumidores de uma região fazerem compras em outra região. Também 
não é possível discriminar preços dentro das regiões. Entretando, a Carraro Enterprises 
pode discriminar os preços ( iP ) que cobra dos revendedores. Estes, por sua vez, podem 
fixar seu preço de venda em sua respectiva região. Assim, iP é igual ao custo marginal de 
cada revendedor. 
 
a) Qual a lógica de se supor 0cA ? 
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O uso não-autorizado desta apostila poderá ter implicações legais 
17 
b) Resolva o problema de maximização do revendedor dado por: 
( )( )
max
i
i i i
p
i
p P A p
B
 
 e encontre a expressão algébrica das seguintes variáveis, em 
equilíbrio: **, iip  , (respectivamente, preço cobrado pelo revendedor e seu 
lucro). 
c) Mostre, em um único gráfico: a demanda, a receita marginal, o custo marginal. 
Indique, no mesmo gráfico, como é encontrado o par  **, ii px . 
d) Vamos agora nos concentrar na Carraro Enterprises. Qual a expressão de seu 
lucro se ela fixar o preço em iP ? No gráfico do item anterior, mostre o lucro da 
Carraro Enterprises. 
 
12. (**) Uma indústria monopolizada tem uma demanda tal que 
epQ  , com 1e . O 
custo marginal é constante e igual a c . 
 
a) Mostre que um planejador benevolente (ou uma indústria competitiva) alcançaria um 
bem-estar total cW tal que 
1
1
e
c cW
e



. 
b) Calcule a perda de peso morto (PM) sob o monopólio. 
c) Mostre que / cPM W cresce com e, que PM é não-monotônico em e , e que a fração 
lucro do monopolista/bem-estar alcançado pelo planejador benevolente ( /m cW ) do 
excedente do consumidor potencial que pode ser capturado pelo monopolista aumenta 
com e . Discuta este resultado. 
d) Se 1e  , a função lucro do monopolista é quase-côncava? Calcule as condições de 
segunda ordem da maximização de lucro do monopolista e encontre a resposta desta 
pergunta. 
 
13. (**) Seja um monopolista cuja função custo seja 2( )TC Q aQ bQ e   , onde todos 
os parâmetros são positivos. Considere que não existam estoques e, portanto, Q é a 
quantidade demandada pelo monopólio. Supõe-se que exista uma relação entre a 
quantidade e o preço, ao longo do tempo, t, dada por:  
dP
Q f gP t h
dt
   , onde 
, 0, 0f g h  . 
 
a) Qual é a função lucro da firma? Mostre que ela é função de ,
dP
P
dt
. 
b) Resolva o seguinte problema de maximização do monopolista: 
 
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O uso não-autorizado desta apostila poderá ter implicações legais 
18 
 
0
,
T
dP
Max P P dt
dt

 
   
 
 sujeito às seguintes condições: (0) , ( )o TP P P T P  , nas 
quais 
0 , TP P são dados. [dica: Veja Chiang, A. Dynamic Optimization, seção2.4] 
 
14. (****) Considere a seguinte função inversa de demanda por monografias: 
( , )p p q x , na qual x = qualidade e q = medida de quantidade (e.g. páginas da 
monografia). Obviamente, todas as funções apresentadas a seguir seguem as propriedades 
matemáticas usuais exigidas. Suponha que ela tenha o seguinte formato funcional: 
( , )p q x a bq cx   . 
 
Suponha um orientador benevolente apenas no sentido de que seus anos de trabalho e 
experiência lhe deram uma capacidade de avaliar a qualidade de uma monografia de 
forma compatível com os cânones da boa prática científica. O excedente do consumidor 
de monografias, digo, do orientador é dado por: 
0
( , ) ( , )
q
CS p u x du qp q x  
O orientando deseja maximizar seu benefício líquido, π, dado por: 
( , ) ( , )qp q x TC q x   . Vamos supor que a função de custo seja dada por: 
2 2( , )TC q x F cq dx   . Suponha que o aluno escolha apenas o número de páginas que 
maximize seu lucro. 
 
a) Encontre o equilíbrio do aluno. 
b) Calcule a derivada do bem-estar social com relação a x. Você encontrará, em termos 
genéricos: 
0
q
x x
W
p du qp
x x
 
  
 
. Se o aluno não ajusta “x” para maximizar seu lucro, 
qual o valor da última expressão do lado direito? 
b.1.) Dado o que você respondeu acima, verifique que o sinal de 
W
x


fica indeterminado. 
b.2.) Mostre que um aluno pouco preocupado com a qualidade da monografia seguirá: 
0 0
1
0
q q
x x x xp du qp p du p
q
     . 
b.3.) É correto dizer que um aluno pode gerar um calhamaço de asneiras se (
,q x  )? Por que? 
 
15. (*) A função de demanda por um certo livro-texto é dada por ( ) 20 0.0002P Q Q  . 
A função custo marginal da editora é: ( ) 6 0.00168MC Q Q  . O autor recebe royalties 
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O uso não-autorizado desta apostila poderá ter implicações legais 
19 
de 20%. 
 
a) Qual é a solução preço-quantidade preferida pelo editor? 
b) O autor deseja maximizar sua receita de royalty, o que requer que ele iguale a receita 
marginal a zero (por que?). Qual é a solução preço-quantidade favorita do autor? 
 
16. (*) Considere um problema ligeiramente distinto ao problema 14. Neste caso, 
perguntamo-nos o seguinte: dado que o editor fixa o preço do livro, que o valor do 
royalty,  , deveria ser negociada pelo autor? Em outras palavras, o autor deseja 
maximizar sua receita, Ra, dada por: ( )TRa TR P Q Q   . 
 
a) Usando as mesmas funções do exercício 14, qual o valor de  que satisfaz o autor? O 
que isto significa em termos de preço e quantidade no equilíbrio? 
b) E se o editor escolher  ?O que acontece? [Dica: qual é a receita do editor, dado que, 
agora,  é negociado?] 
 
17. (*) Um produtor gaúcho de vinho tem sua demanda doméstica protegida da 
concorrência internacional. Sua demanda doméstica é 120 /10d dP q  . Sua firma é 
muito pequena no mercado mundial e, portanto, é tomadora de preços e este, atualmente, 
é de 80eP  . Sua estrutura de custos é tal que:  
 
50
10
d e
d e
q q
CMg q q

   . Calcule 
as quantidades de vinho que suprem a demanda doméstica, a externa e mostre que o 
monopolista cobra um preço maior no mercado menos elástico. 
 
18. (***) Seja uma economia dividida entre “g”compradores governamentais e “n” 
compradores privados de uma determinada mercadoria Q. A demanda inversa dos 
compradores governamentais é dada por: ( )
ag Q
P Q
bg

 . De forma similar, a demanda 
inversa dos compradores privados é: ( )
an Q
P Q
bn

 . O custo marginal de se produzir Q é 
igual ao custo médio e é constante no nível “C”. 
 
a) Mostre que a demanda inversa agregada é igual a: 
( )
( )
( )
a g n Q
P Q
g n b
 


 
b) Faça o gráfico representando: a curva de demanda de mercado, sua correspondente 
curva de receita marginal, a curva de demanda dos compradores governamentais e o 
custo marginal. Encontre a quantidade de equilíbrio (chame-a de q̂ ) e o preço de 
monopólio (chame-o de mP ). 
Prof. Claudio D. Shikida 
 
O uso não-autorizado desta apostila poderá ter implicações legais 
20 
c) Mostre que o excedente do consumidor é dado pela expressão: 
0
cQ ag Q
C dQ
gb
 
 
 
 na 
qual cQ é a quantidade encontrada pela interseção da curva de demanda dos 
consumidores governamentais e o custo marginal. Mostre o mesmo resultado no gráfico 
que você desenhou no item anterior. 
d) Se a = 100, b = 0.5, n = 10 e g = 5, encontre os pontos importantes no gráfico que você 
fez em “b”e calcule o excedente do consumidor. 
e) Este exercício é baseado no artigo The Supply of Occupational Regulation, publicado 
no Economic Inquiry, vol. XXI, April/1983, de Roger Faith e Robert Tollison. A idéia é 
ilustrar a oferta e a demanda de regulamentação de profissões, cuja origem é medieval e 
faz parte da história econômica do mercado de trabalho, especificamente na era 
mercantilista. Assim, uma vez que você já resolveu o exercício até o item “d”, considere 
agora o ganho dos compradores governamentais com a venda dos direitos de monopólio 
que é dado por: 
0
ˆ( )
ˆ ˆ
( )
mQ
m
ag Q a g n q
P dQ q Cq
gb b g n
     
     
   
 . Mostre que a diferença entre 
o excedente do consumidor e o ganho dos compradores pode assumir um valor negativo 
se:   ˆ 0
c
m
Q
m m c c m
Q
ag Q
dQ P Q PQ P C q
gb
 
     
 
 . 
 
19. Define-se o índice de Lerner de poder de monopólio como:  ( ) ( ) /L Q P CMg Q P 
. A demanda de mercado é dada por:  p Q a bQ  , onde 0, ba . Suponha que a 
função de custo total do monopólio seja tal que: 2( )CT Q F cQ  , com 0, cF . 
 
Encontre a expressão do índice de Lerner no ponto de maximização de lucro do 
monopolista e explique se falso ou verdadeiro: “um aumento de b aumenta o índice de 
Lerner”. Cálculos e explicações devem ser detalhados. Sua explicação escrita não deve 
ultrapassar 5 linhas. 
 
20. (*) Uma editora sabe que a função demanda para um famoso livro-texto de 
Introdução a Economia é dada por: ( ) 100 0.005p Q Q  . O acordo com o autor é tal que 
a editora deve lhe pagar R$ 20.00 para cada livro vendido. Além disso, a editora paga R$ 
20.00 por custos de impressão e distribuição, independentemente da quantidade 
produzida. Suponha que não existem outros custos. 
 
a) Qual é a quantidade produzida que maximiza lucros da editora? Qual o lucro 
obtido? Quanto o autor receberá? Qual será o preço de venda deste livro? 
b) Você, membro do DECOPON (uma consultoria-júnior hipotética) foi contratado 
como consultor para rever a relação entre o autor e a editora. Seu conselho foi: 
Prof. Claudio D. Shikida 
 
O uso não-autorizado desta apostila poderáter implicações legais 
21 
“esqueçam este acordo de R$ 20.00 por livro vendido. Façam o seguinte: a editora 
fica com 60% dos lucros e o autor com 40%”. O autor concordará com este novo 
contrato? E a editora? Quanto aos alunos que compram este livro, ficarão mais 
felizes se a editor e o autor adotarem este novo arranjo contratual? Ou não? Sua 
resposta é impossível sem que você faça as contas necessárias. [máximo: 6 (seis) 
linhas + contas e/ou gráficos] 
 
21. [para 
você pensar] Lembre-se do ano de 2006, quando o presidente Evo Morales criou um 
gigantesco monopólio estatal do gás na América Latina. Na época, governos latino-
americanos viram-se diante de um potencial aumento de preços
7
. Como podemos 
entender – e propor soluções – para este problema? Uma opção é o governo propor um 
preço máximo para pagamento ao governo boliviano
8
. Veja o gráfico abaixo. 
 
 
 
 
7 Segundo uma notícia, a Argentina pagava, na época, US$ 3,4 por milhão de BTU. A Bolívia 
pretendia aumentar o preço para US$ 5,4. [http://ultimosegundo.ig.com.br/materias/economia/2411501-
2412000/2411678/2411678_1.xml] 
8 Esta seção se baseia no exemplo, para a OPEP, ilustrado por McCloskey (1985). 
 
 
CTMe 
P
M 
 CMg(Q) 
Q
M 
Preço 
máximo 
Q
n 
Prof. Claudio D. Shikida 
 
O uso não-autorizado desta apostila poderá ter implicações legais 
22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este preço é fixado abaixo do preço P
M
. A idéia seria conter o excesso de 
demanda através de impostos ou simplesmente deixando que filas se formassem nos 
postos de gasolina. Ao longo do tempo, o governo boliviano seria obrigado a aumentar a 
quantidade produzida de gás para Q
n
 e o preço cairia para o nível máximo. 
A proposta depende, obviamente, de uma posição firme do governo, em relação 
ao monopolista, pagando apenas o preço menor e, claro, há o problema de inconsistência 
temporal do próprio governo: ele teria de se comprometer com a queda do imposto ao 
longo do tempo, conforme a diminuição da diferença entre P
M
 e o preço máximo. 
Uma outra solução é formar um cartel de compradores que adote esta política em 
bloco. Contudo, seria difícil coordenar a ação dos governos componentes deste cartel, 
conforme veremos no capítulo sobre cartéis. 
Em outras palavras, sua vida pode ficar melhor quando o governo impõe um 
preço máximo sobre um monopolista. 
 
22. (*) [baseado em: Brook, Is the Dorfman-Steiner rule always optimal?, American 
Economist, 2005] Derive a condição de Dorfman-Steiner para um monopolista que gasta 
em publicidade tal como no livro-texto. Guarde os resultados. Agora, use as seguintes 
funções de demanda e custo: ( , )P Q A a bQ cA   , ( , )C Q A eQ f A   , nas quais as 
letras minúsculas são parâmetros, que respeitam as seguintes relações: 
12 ( 1), , , , 0, 0 1, , d
b d Q
a b c e f d a e dcA
A
       
 
. Mostre que, neste caso, o 
monopolista maximiza lucro, mas a condição de Dorman-Steiner não passa de uma 
identidade. 
 
23. (*)“Em geral, a eficácia do pacote dependerá de quão negativamente as demandas 
estejam correlacionadas”. Explique o significado desta frase em um parágrafo de, no 
Prof. Claudio D. Shikida 
 
O uso não-autorizado desta apostila poderá ter implicações legais 
23 
máximo, 20 linhas. 
 
24. (**) [Rasmusen] Uma forma de discriminação de preços consiste em cobrar uma 
quantia fixa, L, para que o consumidor tenha o direito de comprar o bem e, então, cobrar 
uma taxa, p, por unidade de consumo do bem. O exemplo padrão é o parque de diversões 
no qual a firma cobra uma entrada e depois preços para cada diversão do parque. Esta é a 
chamada tarifa em duas partes. Suponha que todos os consumidores tenham funções de 
utilidade idênticas, u(x), e que o custo de produção seja cx (c vezes x). Se o monopolista 
utiliza a estratégia da tarifa em duas partes, ele produzirá x em um nível ótimo, muito alto 
ou muito baixo? 
 
25. (*) Resolva a questão 13 da prova de Microeconomia da ANPEC (2006). 
Oligopólio, Conc. Monopolista, Modelo de Hotteling, Medidas de 
Concentração 
 
1. (*) Em uma indústria existem três firmas produzindo um bem homogêneo. A demanda 
de mercado é dada por ( ) 100p Q Q  . A tecnologia de cada firma é dada por: 
 i i i iTC q c q , na qual 1 2 3 2c c c   . 
 
a) Encontre a quantidade produzida e o lucro de cada firma no equilíbrio de Cournot. 
b) Calcule a elasticidade-preço da demanda no ponto de equilíbrio. 
c) Suponha que as firmas 2 e 3 se fundem em uma firma que chamaremos de 4. 
Calcule o nível de lucro da firma 4 no mercado supondo competição via Cournot. 
Sobre o resultado encontrado, comente, justificando se verdadeiro ou falso: “as 
firmas 2 e 3 ganharam com a fusão”. Suponha que, no caso do cartel, o lucro do 
cartel é igualmente dividido entre seus componentes. 
d) Suponha que as firmas 1 e 4 se fundem. A firma 4 se beneficia da fusão? Por que? 
e) Partindo da situação inicial (o item “a”), imagine que as firmas 2 e 3 descobrem 
uma tecnologia que lhes permite diminuir seus respectivos custos marginais para 
2 3 1c c  . Calcule o equilíbrio de mercado. Feito isto, você diria que vale a pena 
para ambas as firmas, nesta nova configuração de custos, fazerem um cartel? Para 
responder a esta pergunta, compare a situação do cartel (item “c” acima) com uma 
hipótetica fusão, em termos do lucro de cada firma (considere a mesma regra de 
divisão de lucros do item “c”). 
 
2. (*) Resolva a questão 13 da prova de Microeconomia da ANPEC (2013). 
 
3. (*) Resolva a questão 15 da prova de Microeconomia da ANPEC (2015). 
Prof. Claudio D. Shikida 
 
O uso não-autorizado desta apostila poderá ter implicações legais 
24 
 
4. (*) Suponha que existam duas firmas no mercado, com as seguintes funções de custo:
1 1 1( ) 5TC q q e  
2
2 2 2( ) 0.5TC q q . A demanda de mercado é dada por: 
( ) 200 2P Q P  . A competição é simultânea e as empresas decidem a quantidade 
produzida (Cournot). Encontre as funções de reação de cada uma das firmas e o 
equilíbrio deste mercado (quantidades e preço praticado). Se ambas as firmas formarem 
um cartel, qual será a produção de cada uma delas? [Questão extra: é correto usar os 
resultados do apêndice 6.7 aqui? Sim, não e por que?] 
 
5. (*) Conforme visto em sala sobre Cournot e Stackelberg, considere duas firmas com 
estruturas de custos idênticas ( )i i iTC q cq e uma demanda inversa, como sempre, linear: 
( )P Q a bQ  . Os valores dos parâmetros são os usuais (e 0a c  ). Suponha, no caso 
da seção 6.2, o jogo em duas etapas, com a firma 1 agindo primeiro. É possível dizer se o 
bem-estar é maior sob uma estrutura de mercado a la Stackelberg relativamente a uma 
estrutura de configuração Cournot? Sim, não? Em qualquer caso, explique sua resposta 
usando os cálculos necessários. 
 
6. (*) Considere um problema similar ao anterior, mas agora temos ( )i i i iTC q c q e, mais 
ainda, 1 2c c . Suponha, no caso de Stackelberg, que a firma 1 se move primeiro, seguida 
da firma 2. Compute o equilíbrio. Agora, suponha que a firma 2 age primeiro, seguido da 
firma 2 (o inverso do que você acabou de fazer). Há alguma diferença no equilíbrio por 
conta da mudança da ordem seqüencial dos jogadores? O bem-estar social é maior no 
primeiro, no segundo caso, ou não há diferença? Explique algebricamente e dê uma 
intuição para o resultado. 
 
7. (*) Em http://antitruste.blogspot.com/2007/03/ambev-vai-luta.html, pode-se ler: 
 
Após o Parecer da SDE recomendando sua condenação por fechar o mercado varejista 
aos concorrentes, a AmBev confirmou a compra da Cintra por US$ 140 milhões, 
conforme informou Guilherme Barros, da Folha. A AmBev não estaria interessada nas 
marcas da empresa adquirida, mas em expandir a produção para atender à demanda. 
 
No Valor, em 15 de março, Daniela D'Ambrosio informava que: 
O que está em jogo nessenegócio é o mercado carioca. Segundo dados Nielsen de 
fevereiro, a Cintra tem uma participação nacional de apenas 1,12%. Em janeiro último 
http://antitruste.blogspot.com/2007/03/ambev-vai-luta.html
Prof. Claudio D. Shikida 
 
O uso não-autorizado desta apostila poderá ter implicações legais 
25 
tinha 1,08% e em fevereiro de 2005, 1,26%. Mas na Grande Rio sua participação é de 
5,9% e na área que abrange Espírito Santo, interior do Rio e Minas Gerais sua fatia é de 
2,1%. Já na Grande São Paulo, a Cintra tem 0,14% e no interior paulista, 0,71%. 
Considerando os mais de 65% de participação de mercado da AmBev, o acréscimo do 
HHI (índice de concentração) em decorrência da operação é certamente superior a 100, 
o que a torna preocupante, em princípio, para as autoridades de defesa da concorrência. 
 
Discuta esta notícia tendo em vista a definição (geográfica) de “mercado”. O cálculo de 
HHI tem relação com a definição de mercado? Como isto pode alterar decisões do CADE 
sobre política antitruste? 
 
8. (*) Do mesmo blog: 
 
Caso houvesse um aumento dos preços das mercadorias vendidas pela Internet, você 
deixaria de comprá-las, substituindo esse tipo de comércio pelo tradicional? Essa é uma 
questão crucial para o caso Submarino - Lojas Americanas, cuja sociedade na maior 
empresa de comércio eletrônico do Brasil está aguardando análise pelo Cade. 
 
Segundo reportagem do Juliano Basile ("Submarino e Americanas explicam-se ao 
Cade". Valor Econômico, de 17/01/2007), as empresas sustentam que aquela 
substituição é regra e, portanto, "não terão como aumentar os preços dos produtos 
vendidos pela internet, pois, se o fizerem, o consumidor poderá deslocar suas compras 
para o varejo tradicional". 
 
Se aceita a tese, a concentração do comércio varejista seria de apenas 2%. Caso 
contrário, as empresas somam mais de 50% do comércio eletrônico brasileiro. 
 
Após ler o trecho acima, responda: “o que um carro Flex Power e a notícia acima têm em 
comum”? A resposta deve conter ao menos uma vez o termo “elasticidade” (fácil, não?). 
Novamente, reflita sobre a definição geográfica de mercado da questão anterior 
adaptando-a a este novo contexto. 
 
9. (*) Qual a diferença entre concentração vertical e horizontal? Defina cada uma em, no 
máximo, cinco linhas. Comente brevemente sobre a diferença entre elas. 
 
10. (***) Um mercado apresenta a seguinte função de procura: 
Prof. Claudio D. Shikida 
 
O uso não-autorizado desta apostila poderá ter implicações legais 
26 
  1 2,p Q A bQ a a    , onde 1 2A a a  . As firmas decidem, simultaneamente, 
quanto produzem ( iq ) e quanto gastam em propaganda ( ia ). O lucro de cada firma é 
dado pela receita total subtraída do custo total de produção (suposto linear: 
icq ) e do 
gasto em propaganda. Suponha que 0, 0, , 1,2i ib c c i    . 
 
Encontre o ótimo de cada firma (quantidades produzidas e gastos em propaganda). A 
afirmativa seguinte está correta ou não? “Um aumento em b gera uma queda na 
quantidade produzida no ponto ótimo pela firma 2”. Responda derivando a quantidade de 
equilíbrio da firma 2 em relação a b e explicando em, no máximo, 5 (cinco) linhas. 
 
11.(***) Na lista de exercícios de monopólio, vimos o que aconteceria com o 
monopolista se lhe fosse imposto um tributo ad valorem. 
 
Suponha duas firmas com estruturas de custos idênticas ( )i i iTC q cq e uma demanda 
inversa, novamente, linear: ( )P Q a bQ  . No caso do duopólio de Cournot, a tributação 
ad valorem transforma a função de lucro da firma “i” em: 
   
 
1 ( )
1
i i
c
Q P Q q 

 
   
 
.
9
 
a) O que aconteceria, em um duopólio de Cournot, se ambos os jogadores pagam a 
mesma alíquota de imposto? Compute a receita de imposto dada por ( *) *G P Q Q . 
Após fazer isto, calcule o equilíbrio, mas com 0  , ou seja, o governo não interfere na 
competição das firmas cobrando impostos. 
 
b) Vamos seguir o anseio do economista que mora no fundo de seu coração, muitas vezes 
sufocado por sua consciência, e tentar entender o que aconteceria em uma situação mais 
interessante, mais complexa, menos abstrata (e todos estes sinônimos que surgem quando 
você quer fugir do problema simples)........sem se lembrar que deve resolver o problema 
mais rico, complexo, menos abstrato, “da vida real”, etc. Bem, é sua chance. 
 
(b.1) Imagine que, dado um investimento exógeno em pesquisa bem-sucedido, a firma 
dois conseguiu um custo marginal menor ( 1 2c c ). Compute o equilíbrio no caso em que 
ambas as firmas pagam imposto. Após fazer isto, calcule o equilíbrio, mas com 0  , ou 
 
9 Seguindo Anderson, Palma & Kreider (2000), note que reescrevi o imposto ad valorem. 
Normalmente, expressa-se este em forma de (1+s) do preço do produtor. Assim, se definimos τ = s/(1+s), 
apenas tornamos mais simples o problema. O texto é: The efficiency of indirect taxes under imperfect 
competition. 
Prof. Claudio D. Shikida 
 
O uso não-autorizado desta apostila poderá ter implicações legais 
27 
seja, quando o governo não interfere na competição das firmas cobrando impostos. 
 
(b.2) Agora, imagine que, com 
1 2c c , o governo resolva tributar apenas a firma 2. O que 
acontece com a receita do governo, relativamente ao encontrado em (b.1)? E se o governo 
mudar de idéia e apenas tributar a firma 1? Se o objetivo do governo é maximizar sua 
receita de impostos, em qual caso ele ganha mais com a adoção do imposto ad valorem: 
quando tributa apenas a firma mais eficiente (menor custo marginal) ou a segunda? Por 
que? Mostre algebricamente. 
 
12. (***) [inspirado em: Zikos, V. (2007) Stackelberg mixed oligopoly with asymmetric 
subsidies] Suponha um jogo seqüencial que envolve uma empresa pública, estatal (vamos 
chamá-la de firma 1) e duas firmas privadas (firmas 2 e 3), membros de uma mesma 
indústria. A demanda de mercado é linear, dada por ( )p Q a Q  , no qual Q é a soma da 
produção das três firmas. Todas as firmas possuem idênticas funções de custo dadas por: 
   
21
2
i i iC q k q . Vamos considerar 
1k para facilitar as contas. O jogo se desenvolve 
da seguinte forma: no primeiro estágio o governo se compromete com um subsídio por 
produto apenas para as empresas privadas (ou seja, cada função de lucro das firmas 
privadas é acrescida do termo isq , onde s é o subsídio). No segundo estágio, a firma 
pública decide o nível de produção que maximiza seu lucro e, finalmente, as firmas 
privadas decidem o quanto produzir no último estágio do jogo. 
 
a) Resolva este jogo e encontre o nível de bem-estar. [Dica: o bem-estar é dado por: 
3 3
2
1 2
(1/ 2) i i
i i
W Q s 
 
    ] 
 
b) Suponha o mesmo jogo acima, com uma única alteração: a firma estatal também 
recebe subsídios. Note que o bem-estar será dado por: 
3 3
2
1 1
(1/ 2) i i
i i
W Q s 
 
    . 
Compare o nível de bem-estar com o encontrado em (a) e comente. 
 
13. (*) Suponha duas firmas que competem em um duopólio de Cournot. Contudo, suas 
estruturas de incentivos são distintas. Na firma 1, os acionistas são ao mesmo tempo os 
gerentes e, assim, seguem uma maximização distinta da tradicional, vale dizer, 
maximizam uma combinação linear da receita e do lucro da firma. Para a firma 2, vale a 
maximização de lucros tradicional. Compare as condições de primeira ordem das duas 
firmas e comente. 
 
Para ajudá-lo, encontram-se abaixo as funções objetivo das firmas. O “*” diz respeito aos 
dados da firma 1. Supõe-se que as funções custo sejam estritamente convexas em todos 
os seus argumentos. [ 0 1  ] 
 
Função objetivo da firma 1:    ( , *) * *( *) * 1 [ ( , *) *]p q q q c q q p q q q    
Prof. Claudio D. Shikida 
 
O uso não-autorizado desta apostila poderá ter implicações legais 
28 
Função objetivo da firma 2:    , * , * ( )q q p q q q c q q   
 
14. (**) Considereo artigo Mukherjee (2007) [disponível em: 
http://economicsbulletin.vanderbilt.edu/2007/volume12/EB-07L10028A.pdf]. Resolva as 
equações do artigo (não copie, resolva). Siga os passos da prova do autor para a 
proposição 1. Ao final da seção 2, o autor encontra a quantidade produzida pelo 
incumbente sob entrada sob a hipótese de uma demanda inversa linear. Inverta a demanda 
seguinte -   eQ p ap - e tente encontrar um resultado análogo. Compare o que 
encontrou com o resultado do autor. Verifique se a proposição 1 é respeitada e explique o 
porquê disto. 
 
15. (*) Define-se o índice de Lerner de poder de monopólio como: 
 ( ) ( ) /L Q P CMg Q P  . A demanda de mercado é dada por:  p Q a bQ  , onde 
, 0a b  . Suponha que a função de custo total do monopólio seja tal que: 
2( )CT Q F cQ  , com , 0F c  . Encontre a expressão do índice de Lerner no ponto de 
maximização de lucro do monopolista e explique se falso ou verdadeiro: “um aumento de 
b aumenta o índice de Lerner”. Cálculos e explicações devem ser detalhados. 
 
16. (*) Como podemos aplicar o que sabemos de oligopólios para entender a realidade 
econômica de países com abundância de recursos naturais? Em Samman, Bank & 
Shahnawaz (2005) [Services Liberalization and the Role of Natural Resources, publicado 
nos anais do 2006 Proceedings of the Middle East Economic Association], temos um bom 
exemplo que pode, inclusive, ser adaptado para se pensar casos como o da Bolívia ou 
Venezuela dos anos recentes. 
 
Neste modelo existem uma firma estrangeira e várias firmas nacionais. A firma 
estrangeira opera no setor doméstico de serviços. Existem barreiras à entrada para esta 
firma, na forma de impostos ou de exigências burocráticas. 
 
O setor de serviços é regulado pelo governo e existem, nele, “n” firmas domésticas 
idênticas. O objetivo de qualquer firma, estrangeira ou não, é maximizar lucros. O 
governo, por sua vez, maximiza seu poder. Como ele faz isto? 
 
O governo controla o oligopólio local, usando a receita que obtém dos recursos naturais 
para conquistar votos através de subsídios ao emprego de indivíduos. Isto significa que as 
firmas locais podem ter um excesso de pessoal empregado em função desta intervenção 
direta do governo em seu processo de produção. Estes custos – unemployment costs (u
i
) - 
http://economicsbulletin.vanderbilt.edu/2007/volume12/EB-07L10028A.pdf
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O uso não-autorizado desta apostila poderá ter implicações legais 
29 
são, para efeitos didáticos, divididos em custos altos (i = H) e baixos (i = L). Este caráter 
estocástico do custo é derivado da hipótese de que os preços do recurso natural são 
aleatórios. Pense no caso da Arábia Saudita e em seu petróleo. Quando o preço do 
petróleo está alto, as receitas com vendas de petróleo aumentam e o custo de se empregar 
gente nas firmas domésticas diminui, o que é bom para a maximização do poder saudita. 
 
Assim, temos: 
 
Demanda de mercado:  ( ) , , 0h fP Q a b nq q a b    
Custos da firma estrangeira: ( ) , , 0f fc c t q T c T    [T = custos de entrada e 
estabelecimento no mercado local e (c + t) = custos marginais (inclui o custo de 
comercialização local, t, que poderia ser, por exemplo, um custo de transporte)] 
Custos da firma doméstica: 
 
 
,
, (1 )
H
h h
L
l l
c c u q com prob
c c u q com prob


  

  
 , com H Lu u . 
 
a) Assumindo competição via Cournot, resolva o problema de maximização das firmas 
(há dois sistemas para você resolver: um no qual a firma doméstica enfrenta 
Hu e outro 
no qual enfrenta 
Lu , enquanto a firma estrangeira resolve, sempre, o mesmo problema). 
Encontre as quantidades ótimas, o preço e os lucros das firmas. 
 
Para facilitar, apresento ambos os sistemas, de forma resumida, abaixo: 
 
 
       
( ( ) , ,
( ) (1 ) ( )
h
f
i
h h f h
q
H L
f h f f h f f
q
Max a b nq q c u q i H L
Max a b nq u q c t q a b nq u q c t q T

  
      
 
              
   
 
b) Do resultado acima, suponha que:    * ( ) 0, * ( ) 0iP c u P c t      . Do que 
encontrou anteriormente, aplique o Teorema do Envelope e calcule 
*
f



 e iguale a 
expressão resultante a zero. Multiplique ambos os lados por */1 P e certifique-se de ter 
encontrdo a seguinte expressão: 
  * 1
* *
P c t
P 
 
 , onde * é a elasticidade-preço da 
demanda no ponto de equilíbrio. Explique o significado econômico de 
Prof. Claudio D. Shikida 
 
O uso não-autorizado desta apostila poderá ter implicações legais 
30 
  * 1
* *
P c t
P 
 
 e de 
*
0
f




. 
 
c) O que aconteceria neste modelo se o custo, c, de ambas as firmas fosse distinto? 
Suponha, por exemplo, o caso em que 
f hc c , ou seja, a firma estrangeira é mais 
eficiente do que a nacional. 
 
17. (*) [Shy, 6.8.] Duas firmas produzem um bem homogêneo cujo preço denominaremos 
por “p”. O nível produzido pela firma 1 é 
1q e, o da firma 2 (não surpreendentemente), 
2q . O nível de produto da indústria é denominado “Q “, sendo que, obviamente, 
1 2Q q q  . A curva de demanda agregada da indústria é dada por p Q  . Assuma 
que o custo unitária das firmas 1 e 2 sejam tais que: 2 1 0c c    . 
 
Pede-se: 
 
a) Resolva para o equilíbrio competitivo. Não se esqueça de resolver para o nível de 
produto de cada firma e para o preço de mercado. 
b) Resolva para o equilíbrio de Cournot. Não se esqueça de resolver para o nível de 
produto de cada firma e para o preço de mercado. 
c) Resolva para o equilíbrio sequencial (Stackelberg). Suponha que a firma 1 estabelece 
seu nível de produção antes da firma 2. 
d) Tal como o item anterior, mas agora a firma 2 é a primeira jogadora. Há diferença com 
o que foi encontrado em (c)? Explique. 
e) Resolva para o equilíbrio de Bertrand. Não se esqueça de resolver para o nível de 
produto de cada firma e para o preço de mercado. 
 
18. (*) Resolva a questão 13 da prova de Microeconomia da ANPEC (2009). 
 
19. (*) Resolva a questão 9 da prova de Microeconomia da ANPEC (2010). 
 
Informação Assimétrica, Agente-Principal 
 
1. (*) Faça os exercícios do final do capítulo 37 de Varian. 
 
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O uso não-autorizado desta apostila poderá ter implicações legais 
31 
2. (*) Seja a demanda por carros usados, D, dada pela seguinte função: ( , )D D p  , 
onde p é o preço do carro usado e μ é a qualidade média dos carros usados negociados. 
Assuma que: 
2 10, 0D D  . Suponha que exista uma relação entre a qualidade média 
dos carros usados negociados e o preço, tal que: ( )p  , com ' 0  . A oferta de 
carros usados é dada por: ( )S S p , com 0'S . 
 
a) Escreva a condição de equilíbrio do mercado de carros usados incorporando todas as 
informações relevantes. 
b) Encontre a expressão da inclinação da curva de demanda, /dD dp e mostre que o sinal 
da inclinação não pode ser determinado a priori. 
c) Considere as seguintes formas funcionais específicas para a oferta, demanda e para a 
relação entre a qualidade média e preço: 2, ,S bp D a dp gp      , onde todos 
os parâmetros são positivos. Faça o gráfico com as curvas de oferta e demanda 
especificadas no problema. Há equilíbrio? 
d) Explique o resultado encontrado no item anterior. 
 
3. (*) O gerente da firma Scott Bar é o agente de um principal representado pelos 
acionistas. Suponha que não exista incerteza quanto ao resultado da empresa e que o 
preço do produto seja igual a 1. Suponha que a produção e o esforço se relacionam 
segundo a função Q e . Suponha, adicionalmente, que o principal é incapaz de observar 
diretamente o esforço do agente. Embora isto seja um fato, como não há fatores 
estocásticos, basta observar o valor de Q para se saber quanto de esforço “e” foi 
despendido. Assuma que o esforço é custoso para o agente na seguinte forma: 2( )2
k
c e e
, na qual k > 0. Suponha que o principal ofereça um contrato no qual o salário tem uma 
parte fixa e outra dependente do produto, de forma que: w r Q  , com 0 1  . 
 
a) Resolva o problema do agente: ( ) . .
e
Max A r Q c e s a Q e    . Você deverá 
encontrar a função de reação do agente ao incentivo oferecido pelo principal que é igual a 
ke / . Interprete esta expressão. (Se o principal conhece esta função, basta que ele 
ofereça um * tal que ele obtenha *e ) 
b) Assuma, na seqüência do item anterior, que o agente tenha a liberdade de escolher se 
aceita ou não a oferta. Explique porque a restrição de participação dele será 
2
2
k
r e e A   . Mostre que o lucro líquido do principal, neste caso, será: 
( ) (1 )l íquidoQ e r   . [suponha que 0A ] 
Prof. Claudio D. Shikida 
 
O uso não-autorizado desta apostila poderá ter implicações legais 
32 
c) Resolva, então, o problema do principal: 2
,
. . ,
2
l
r
k
MaxQ s a e r e e A
k

    . 
Considere, para simplificar, apenas a igualdade na última restrição. Você deverá 
encontrar * 1  . Interprete este resultado (já respondendo à seguinte questão: “neste 
caso, o agente se tornou o único reivindicador residual sobre os lucros da firma”?) 
d) Mostre que 
1
*
2
r
k
  e interprete. [dica: o agente está, na verdade, fechando um 
contrato de franquia com o principal....certo?] 
e) Ache também: *, *, *, *le Q w Q 
f) Qual era mesmo o nome desta firma? Se você não se lembra, provavelmente se 
concentrou em aprender os cálculos e a lógica do problema. Parabéns. 
 
4
10
. O Sr. Alfredo tem uma empresa de revenda com um pico de vendas no verão. Por 
isso está considerando a possibilidade de contratar Bernardo - estudante de economia – 
para trabalhar como vendedor durante o verão. Dada a experiência passada, sabe-se que o 
valor das vendas obtido por Bernardo pode ser igual a 2, 5 ou 10, com probabilidades 0.5, 
0.2 e 0.3, respectivamente. De acordo com o contrato coletivo de trabalho, o salário de 
Bernardo deve ter uma componente fixa no montante de 1 e comissões de 50% sobre o 
valor das vendas. 
a. Suponha que Bernardo tenha uma função utilidade U=ln W e uma riqueza 
igual a 5. Qual é o equivalente certo do contrato acima descrito? 
b. O Sr. Alfredo é muito mais rico, tendo uma riqueza de 1000. Por isso, o 
risco envolvido neste contrato é relativamente pequeno e o seu 
comportamento é neutro ao risco. Sabendo isso, e Bernardo percebeu que 
seria melhor que negociassem um salário fixo. O Sr. Alfredo pediu então 
que o jovem lhe apresentasse uma proposta de salário fixo em que os 
ganhos monetários fossem igualmente divididos pelos dois. Qual o salário 
que Bernardo pediu? 
 
 
a. Resolução: Partindo dos valores possíveis para as vendas e das regras de 
remuneração do contrato conclui-se que o salário de Bernardo será igual a 2. 3.5 
ou 6 com probabilidades de 0.5, 0.2 e 0.3, respectivamente. Somando-se a isso a 
sua riqueza inicial tem-se que o equivalente certo E
C
 do contrato será dado por: 
 
ln(5+E
C
) = 0.5 ln 7 + 0.2 ln 8.5 + 0.3 ln 11 
 
 
10 Agradeço ao professor Marcus Xavier pela cessão dos exercícios 4, 5, 6 e 7 desta seção. 
Prof. Claudio D. Shikida 
 
O uso não-autorizado desta apostila poderá ter implicações legais 
33 
e portanto 
 
E
C 
= 7
0.5 
x 8.5
0.25
 x 11
0.3
 – 5 = 3.334 
 
b. Resolução: O salário fixo que para Bernardo é indiferente ao esquema 
contratual acima apresentado é o equivalente certo determinado em (a); por 
outro lado, para o Sr. Alfredo que é neutro ao risco é o salário médio, que é igual 
a 3.5. Portanto o salário fixo que divide igualmente os ganhos é igual a 3,417. 
 
5. Suponha que o produto y de uma firma dependa apenas do esforço, e, de seu único 
trabalhador. 
 
y = 100e – e
2
 para e  50 
 
O trabalhador recebe um salário w que depende do produto (e também do seu 
esforço) e escolhe o nível de esforço que maximize 
w(e) – e 
 
Determine o nível de esforço que o trabalhador escolherá, o produto e os lucros 
resultantes (suponha que o preço do bem seja 1 de modo que o lucro seja igual ao 
produto menos o salário) para cada um dos seguintes esquemas de compensação: 
 
i) w = 2 para y  1000 e 0 caso contrário. 
ii) w = y / 2 
iii) w = y – 100 
 
Resolução 
i) O produto da firma é y = 100e – e
2
 e  50. 
 
O trabalhador quer maximizar sua utilidade, a qual é dada por: 
 
U(e) = w(e) – e, onde w(e) é o esquema de incentivos provido pela firma. 
 
 
i) w = 
 
2 para y  1000 
 
0 caso contrário 
Prof. Claudio D. Shikida 
 
O uso não-autorizado desta apostila poderá ter implicações legais 
34 
Neste caso é claro o trabalhador terá uma escolha entre 2 níveis de esforço: 
trabalhar zero e obter salário 0 ( u = 0) ou trabalhar o mínimo possível para 
atingir o nível de produto y = 1000. 
 
No segundo caso ele tem que empreender um esforço e tal que 1000 = 100e – e
2
. 
Mas precisamos nem mesmo resolver para e uma vez que no máximo ele obtém w 
= 2, o que implica que no máximo ele empreenderá um esforço e= 2, o que não 
dá os y = 1000 necessários. (Para ser exato dá 196). 
 
Assim ele empreende um esforço e = 0, o produto é y = 0 e os lucros são 0. 
 
ii) w = y / 2 
 
Substitua y = 100e – e
2
 em w = y / 2. Então o trabalhador resolve o seguinte 
problema: 
500
..
2
50max
2


e
as
e
e
e
 
 
Esquecendo as restrições de desigualdade por um momento e tomando as 
Condições de Primeira Ordem: 
 
49 – e* = 0  e* = 49 
 
Assim está dentro da restrição e é um máximo (a função é côncava e, portanto, a 
condição de 2
a
. ordem está automaticamente satisfeita. 
 
Assim o nível de esforço é 
 
e* = 49, y = 100 x 49 – 49
2
 = 4900 – 2401 = 2499 e os lucros são: 
2499
2499 1249,5.
2
   
 
iii) w = y – 100 
 
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O uso não-autorizado desta apostila poderá ter implicações legais 
35 
Substituindo y = 100e – e
2
 em w = y – 100. Então o trabalhador resolve o 
seguinte problema: 
 
 
2max100 100
. .
0 50
e e e
s a
e
  
 
 
 
Esquecendo a restrição da desigualdade por um momento e tomando as 
Condições de Primeira Ordem: 
99 – 2e* = 0  e* = 48.9 
 
Assim está dentro da restrição e é um máximo. Como no caso anterior, a 
condição de 2
a
. ordem está automaticamente satisfeita. 
Assim o nível de esforço é 
e* = 48,5, y = 100 x 48,5 – 48,5
2
 = 4850 – 2401 = 2352,25 e os lucros são 
100 
 
6. Considere um agente que possa escolher entre dois níveis de esforço x
A
 = 1 > x
B
 = 0. 
Suponha que existam três estados da natureza: 
 
1.Receita é $1000 
2.Receita é $100 
3.Receita é 0 
 
E o esforço do agente influencia as probabilidades desses estados da seguinte 
forma: Sob esforço alto (1 = 0,3 2 = 0,5 e 3 = 0,2) Sob esforço baixo (1 = 0,1 2 
= 0,4 e 3 = 0,5). O principal escolhe os níveis de salário s1, s2 e s3 de forma 
contingente aos estados da natureza de forma a induzir o agente a empreender um 
alto nível de esforço e maximizar os lucros esperados. 
 
U
P
 = 1 (1000 – s1) + 2 (100 – s2) + 3 (-s3) 
 
Suponha que o agente seja avesso ao risco 
 
U
A
(s,x) = 1 log s1 + 2 log s2 + 3 log s3 – x 
Prof. Claudio D. Shikida 
 
O uso não-autorizado desta apostila poderá ter implicações legais 
36 
 
E que garanta 0u trabalhando em algum outro lugar (note que isso não é de todo 
ruim para ele considerando-se que ele tem uma utilidade negativa se não ganhar 
salário algum). 
 
a) Qual é o esquema de salários first best? 
b) Suponha que o principal pague $ 3 no estado 1 , $3 no estado 2 e $1 no estado 
3. 
I. Isso satisfaz a restrição de participação ? (Explique)· 
II. Atende a compatibilidade de incentivos? (Explique) 
 
a. Resolução: A solução first-best é equivalente a quando o esforço é observado. 
Isto nos permite (e ao principal também) estabelecer o saláriode forma 
contingente ao nível de esforço alto empreendido. Uma outra maneira de olhar isso 
é que apenas a restrição de participação deve ser satisfeita. Para encontrar uma 
solução ótima, note que podemos estabelecer o nível de utilidade do agente a 0 e 
veremos que é a solução que maximiza a utilidade do principal. Uma coisa que não 
falamos em aula mas que também é importante é que existem outros esquemas onde 
a utilidade é 0. O ponto chave aqui é perceber que o agente é avesso ao risco e o 
principal é neutro ao risco. Assim a solução ótima deve envolver o agente tendo um 
salário nivelado e o principal assumindo o risco do negócio. 
Se o agente exerce esforço baixo, seu salário deve ser tal que a desutilidade de 
exercer esforço baixo é compensada por seu salário. Desde que já sabemos que o 
contrato ótimo envolve o agente ter um salário nivelado, este salário w* deve 
satisfazer (dado que o agente pode obter u = 0 em outra atividade): 
 
0,1log(w
*
B) + 0,4 log(w
*
B) + 0,5log(w
*
B) = 0  log(w
*
B) = 0  w
*
B = 1. 
 
De forma similar, para o alto nível de esforço (agora o esforço custa 1 para o 
agente) 
 
0,3log(w
*
A) + 0,4 log(w
*
A) + 0,5log(w
*
A) = 0  log(w
*
A) = 1  w
*
A = e. 
 
Como decidiremos quais desses esquemas é ótimo? Em ambos o agente obtém 0 de 
utilidade. Assim o ótimo será aquele que maximiza os lucros esperados do 
principal. 
 
E[ B]= 0,1 x 1000 + 0,4 x 100 + 0,5 x 0 –1 
= 139 
 
Se o principal coloca o salário de forma que o agente empreenda o nível de esforço 
alto, obtém 
 
E[ A] = 0,3 x 1000 + 0,5 x 100 + 0,2 x 0 – e 
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37 
 
Vemos então que o lucro é mais alto quando o nível de esforço alto é empregado. 
Dessa maneira o nível de esforço s1= s2 = s3 = w*A = e. 
 
b. Resolução Agora o salário não é mais observável. Vamos analisar o que 
acontece quando o esquema de salários é s1 = s2 = 3 e s3 = 1. 
 
i) Se o agente escolhe esforço alto ele obtém: 
 
0,3log(3) + 0,5 log(3) + 0,2log(1) - 1 = 0,8log(3) –1 < 0  restrição de 
participação não é satisfeita para o nível de esforço alto. 
 
Se o agente escolhe esforço baixo ele obtém: 
 
0,1log(3) + 0,4 log(3) + 0,5log(1) - 0 = 0,5log(3) > 0  restrição de participação 
é satisfeita para o nível de esforço baixo. 
 
ii) Podemos ver que o trabalhador obtém maior utilidade exercendo esforço baixo 
que esforço alto sendo esse o esquema de salário. Assim a restrição de 
compatibilidade de incentivos não é satisfeita. 
 
7. Considere o seguinte modelo de ação oculta com três possíveis ações E = {e1, e2, e3}. 
Existem 2 resultados de lucro possíveis: A = 10 e B = 0. As probabilidades de A 
condicionais aos 3 níveis de esforço são f(A|e1) = 2/3, f(A|e2) = ½ e f(A|e3) = 1/3. As 
funções de custo do esforço para o agente são g(e1) = 5/3, g(e2) = 8/5, g(e3) = 4/3. 
Finalmente, v(w) = w 
0,5
 e a utilidade de reserva do agente é u = 0. 
 
a) Qual o contrato ótimo quando o esforço é observável? 
b) Mostre que se o esforço não é observável, então e2 não é implementável. Para 
quais níveis de g(e2) e2 seria implementável? 
c) Qual o contrato ótimo quando o esforço não é observável? 
 
Resolução 
a) Seja 
)(
i
H
i
e
fp


 de modo que p1 = 2/3, p2 = ½, e p3 = 1/3. Quando o esforço é 
observável, o principal pagará exatamente g(e) pelo nível de esforço e, de maneira 
que 
 
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38 
1
2
3
2 1 25
( ) 10 0 3,
3 3 9
1 1 64
( ) 10 0 3,
2 2 25
1 2 16
( ) 10 0 2
3 3 9
e
e
e



     
     
     
 
 
 Assim e1 é o ótimo com um salário de w = 25/9. 
 
a) Com o esforço não observável o esquema de incentivos que o principal oferece 
ao agente deve especificar um par (vA, vB) contingente ao lucro observado (Alto 
ou Baixo). Para que e2 seja implementável, 3 condições devem ser satisfeitas: 
 
1 1 8
( ) 0,
2 2 5
1 1 8 2 1 5
( )
2 2 5 3 3 3
1 1 8 1 2 4
( )
2 2 5 3 3 3
A B
A B A B
A B A B
i v v
ii v v v v
iii v v v v
  
    
    
 
 
 Essas condições são familiares a vocês. A primeira é a restrição de participação 
considerando a utilidade de reserva do agente. As duas outras são restrições de 
compatibilidade de incentivos. Estabelecem que a utilidade de empregar o esforço 
e2 deve exceder os dois outros níveis de esforço possíveis. 
 
Não é difícil ver que (ii) implica BA vv 
5
2
 e (iii) implica BA vv 
5
8
. Também 
não é difícil ver que elas não podem ser simultaneamente satisfeitas. 
 
Para que e2 viesse a ser implementável, deveríamos ter ambas (ii) e (iii) satisfeitas. 
Reescrevendo ambas: 
2
2
2
2
1 1 2 1 5
( ) ( )
2 2 3 3 3
1 1 1 2 4
( ) ( )
2 2 3 3 3
( )10 6 ( )
( )6 ( ) 8
A B A B
A B A B
B A
B A
ii v v g e v v
iii v v g e v v
ou
ii g e v v
iii g e v v
    
    
  
  
 
 
Ambas só podem satisfeitas se e apenas se g(e2) 3/2. 
 
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c) Vimos em (b) que e2 não pode ser implementado. Para implementar e3 o melhor 
contrato é pagar w = g(e3) = 14/9, e o lucro esperado do principal é: 
 
3
1 2 16 14
( ) 10 0
3 3 9 9
e       
 
Para implementar e1, a restrição de participação e a de compatibilidade de 
incentivos devem ser atendidas. A restrição de participação e a de compatibilidade 
de incentivos com relação a e3 são: 
2 1 5
( ) 0
3 3 3
2 1 5 1 2 4
( )
3 3 3 3 3 3
A B
A B A B
i v v
ii v v v v
  
    
 
 
Isso dá (vA, vB) = (2, 1), em termos de salário, isso dá (wA, wB) = (4, 1). (Lembrem 
que v(w) = w 
0,5
) 
É fácil checar que os incentivos com relação a e2 são igualmente satisfeitos. O 
lucro esperado do principal é: 
 
1
2 1 2 1 33
( ) 10 0 4 1
3 3 3 3 9
e          
 
e1 é assim o esquema ótimo de compensação. 
 
8. (*) Considere o modelo do agente-principal sob informação perfeita aplicado ao caso 
da produção. [você necessitará de calculadora neste exercício] 
 
a) Suponha que a ordem do jogo seja a seguinte: i) o principal oferece ao agente um 
salário w, (ii) o agente decide e aceita ou rejeita o contrato, (iii) se o agente aceita, exerce 
um esforço e, (iv) o produto é tal que q(e), 0)(' eq . 
 
Os payoffs do jogo são os seguintes: se o agente rejeitar o contrato, então UA  e 
0P . Caso o agente aceite, )(),,( wqVweU PA   . 
 
Suponha que cada movimento é de conhecimento comum. Ache a condição de equilíbrio 
do jogo. 
 
Discuta os possíveis contratos que o principal poderia oferecer ao agente e que cumprem 
esta condição (se você não se esqueceu das aulas, eles são três!). 
 
Resolva o problema para os seguintes formatos específicos das funções: 
Prof. Claudio D. Shikida 
 
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40 
)1ln(*100)( eeq  e 
2),( ewewU  . 
 
b) Suponha que haja uma alteração neste jogo, especificamente na ordem do mesmo. 
Agora o agente se move primeiro. Assim: (i) o agente oferece ao principal um contrato 
w(e); (ii) o principal decide se aceita ou se rejeita o contrato; (iii) se o principal aceita, o 
agente exerce o esforço e; (iv) o produto é tal que q(e), 0)(' eq . 
 
Ache a condição de equilíbrio do jogo. Certifique-se de ter feito corretamente esta etapa. 
Em seguida, resolva o problema para as mesmas funções especificadas no item anterior, 
ou seja: )1ln(*100)( eeq  e 
2),( ewewU  . 
 
c) Analise (a) e (b) sob a luz do Teorema de Coase (no máximo 5 linhas). [dica: os 
ganhos da produção eficiente dependem de quem possui o poder de barganha nestas 
negociações que você analisou?] 
 
9. (*) Suponha duas firmas em competição de Cournot. Ambas as firmas são 
representadas pela existência de um gerente e de um “board” de diretores que estabelece