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APENDICE_U2

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Unidade 2
Apêndice
2 - U2 / Vibrações livres
Apêndice
Gabaritos comentados com resposta-padrão
Unidade 2
Vibrações livres
Gabarito 1. Faça valer a pena - Seção 2.1
1. Alternativa E.
Resposta Comentada:
A ordem correta para a solução de problemas vibratórios, conforme apresentado no 
conteúdo de estudo, é: 1- De� nição da coordenada; 2- Medição do deslocamento ini-
cial a partir do ponto de equilíbrio; 3- Desenho do diagrama de corpo livre; e 4- Apli-
cação da equação do movimento.
 
2. Alternativa B.
Resposta Comentada:
Para encontrarmos a frequência angular natural, devemos aplicar a equação:
n
k
m
w =
Uma vez que possuímos a massa, devemos obter a rigidez do sistema, encontrada a 
partir da equação de força da mola, que, quando em equilíbrio, para um sistema ver-
tical, é a mesma que a força peso do corpo. Assim temos:
F W kxF W kx= =F W kx
Ou seja, para uma massa de 40 kg realizar uma de� exão de 6 mm, teremos:
40 9,81 N6540 m0,06
Wk
x
40 9,81×40 9,81
= = == = == = =
Com isso é possível chegar em:
6.540 rad12,79 s40n
w = @= @= @ 
3. Alternativa C.
Resposta Comentada:
Avaliando a equação de deslocamento apresentada no texto-base, temos que:
( ) 15 sen(7 2)( )t( )x t( )x t( ) 15 sen(7 2)x t15 sen(7 2)( )t( )x t( )t( ) = × +15 sen(7 2)= × +15 sen(7 2)x t= × +x t15 sen(7 2)x t15 sen(7 2)= × +15 sen(7 2)x t15 sen(7 2)
Levando como base a equação identidade ( ) sen( )t n( )t n( ) sen( )t nsen( )x C t( )x C t( ) sen( )x C tsen( )t nx C tt n( )t n( )x C t( )t n( ) w fsen( )w fsen( )t nw ft nsen( )t nsen( )w fsen( )t nsen( )sen( )x C tsen( )w fsen( )x C tsen( )t n= × +t nsen( )t nsen( )= × +sen( )t nsen( )x C t= × +x C tsen( )x C tsen( )= × +sen( )x C tsen( )t nx C tt n= × +t nx C tt nsen( )t nsen( )x C tsen( )t nsen( )= × +sen( )t nsen( )x C tsen( )t nsen( )sen( )w fsen( )= × +sen( )w fsen( )sen( )t nsen( )w fsen( )t nsen( )= × +sen( )t nsen( )w fsen( )t nsen( )sen( )x C tsen( )w fsen( )x C tsen( )= × +sen( )x C tsen( )w fsen( )x C tsen( )sen( )t nsen( )x C tsen( )t nsen( )w fsen( )t nsen( )x C tsen( )t nsen( )= × +sen( )t nsen( )x C tsen( )t nsen( )w fsen( )t nsen( )x C tsen( )t nsen( ) , podemos concluir 
U2 / Vibrações livres - 3
que a frequência angular natural é:
rad7 snw =
A amplitude da vibração é 15 mmC= , e o ângulo de fase é 2 radf= .
 
Gabarito 2. Faça valer a pena - Seção 2.2
1. Alternativa A.
Resposta Comentada:
A vibração que ocorre devido ao movimento angular, em relação a um eixo de refe-
rência, é conhecida como vibração torcional. Portanto, passa a ser medida com base 
em uma coordenada angular e um momento gerado pela torção de um elemento elás-
tico.
 
2. Alternativa E.
Resposta Comentada:
As vibrações torcionais são aquelas que ocorrem quando um elemento oscila em 
torno de um eixo de referência. As vibrações podem ser torcionais e translacionais, 
dependendo da con� guração de seu sistema. São caracterizadas por movimento os-
cilatórios, mas podem não ser periódicos e ainda apresentar diversos tipos de movi-
mentos, podendo ser aproximados ao movimento harmônico, pelas séries de Fourier. 
Podemos resolver os problemas vibracionais por diversos métodos diferentes, sendo 
o método de energia de Rayleigh um deles.
3. Alternativa D.
Resposta Comentada:
Pela segunda lei de Newton temos que F m aF m a= ×F m a , visto que nesse caso a força é dada 
em relação ao deslocamento angular, levando-nos a uma força vertical dada por 
senF P q= ×F P= ×F P , uma vez que P m gP m g= ×P m g . Por ser um movimento angular, a aceleração 
passa a ser a l q= ×a l= ×a l  , onde q é a aceleração angular do pêndulo. Isso nos leva a:
mg mlsenmg mlsenq qmg mlq qmg ml- =mg ml- =mg mlsenmg mlsen- =senmg mlsenmg mlq qmg ml- =mg mlq qmg ml  ou sen 0ml mgq qsen 0q qsen 0ml mgq qml mgsen 0ml mgsen 0q qsen 0ml mgsen 0+ =sen 0+ =sen 0ml mg+ =ml mgsen 0ml mgsen 0+ =sen 0ml mgsen 0sen 0q qsen 0+ =sen 0q qsen 0ml mgq qml mg+ =ml mgq qml mgsen 0ml mgsen 0q qsen 0ml mgsen 0+ =sen 0ml mgsen 0q qsen 0ml mgsen 0
Dado que, para pequenos deslocamentos angulares, podemos reescrever como sendo:
0ml mgq qml mgq qml mg+ =ml mg+ =ml mgq q+ =q qml mgq qml mg+ =ml mgq qml mg
O que nos mostra uma similaridade com a equação de vibração 0 0tJ k0J k0q qJ kq qJ k+ =t+ =tJ k+ =J kq q+ =q qtq qt+ =tq qtJ kq qJ k+ =J kq qJ k , que 
pode ser escrita ainda como:
2 0nq w q
2q w q2+ =n+ =nq w q+ =q w q
2q w q2+ =2q w q2
Dessa forma é possível fazer a seguinte relação:
2
2n
n
mg g glmg g glmg g g
ml l
w
w
= = ® == = ® == = ® == = ® =
mg g g
= = ® =
mg g gl= = ® =lmg g glmg g g= = ® =mg g glmg g g
4 - U2 / Vibrações livres
Se pegarmos a solução da equação de oscilação dada por:
0
0( ) cos( ) ( )
0( ) cos( ) ( )00( ) cos( ) ( )0 n n( ) cos( ) ( )n n( ) cos( ) ( )
n
( ) cos( ) ( )t t sen t( ) cos( ) ( )
q0q0( ) cos( ) ( )
q
( ) cos( ) ( )0( ) cos( ) ( )0
q0( ) cos( ) ( )0q q w w( ) cos( ) ( )q q w w( ) cos( ) ( )0( ) cos( ) ( )0q q w w0( ) cos( ) ( )0( ) cos( ) ( )t t sen t( ) cos( ) ( )q q w w( ) cos( ) ( )t t sen t( ) cos( ) ( )( ) cos( ) ( )t t sen t( ) cos( ) ( )q q w w( ) cos( ) ( )t t sen t( ) cos( ) ( )0( ) cos( ) ( )0t t sen t0( ) cos( ) ( )0q q w w0( ) cos( ) ( )0t t sen t0( ) cos( ) ( )0( ) cos( ) ( )
q
( ) cos( ) ( )q q w w( ) cos( ) ( )
q
( ) cos( ) ( )0( ) cos( ) ( )0
q0( ) cos( ) ( )0q q w w0( ) cos( ) ( )0
q0( ) cos( ) ( )0
w
( ) cos( ) ( )= +( ) cos( ) ( )0( ) cos( ) ( )0= +0( ) cos( ) ( )0( ) cos( ) ( )n n( ) cos( ) ( )= +( ) cos( ) ( )n n( ) cos( ) ( )( ) cos( ) ( )t t sen t( ) cos( ) ( )= +( ) cos( ) ( )t t sen t( ) cos( ) ( )0( ) cos( ) ( )0t t sen t0( ) cos( ) ( )0= +0( ) cos( ) ( )0t t sen t0( ) cos( ) ( )0( ) cos( ) ( )t t sen t( ) cos( ) ( )q q w w( ) cos( ) ( )t t sen t( ) cos( ) ( )= +( ) cos( ) ( )t t sen t( ) cos( ) ( )q q w w( ) cos( ) ( )t t sen t( ) cos( ) ( )0( ) cos( ) ( )0t t sen t0( ) cos( ) ( )0q q w w0( ) cos( ) ( )0t t sen t0( ) cos( ) ( )0= +0( ) cos( ) ( )0t t sen t0( ) cos( ) ( )0q q w w0( ) cos( ) ( )0t t sen t0( ) cos( ) ( )0

Podemos dizer que a amplitude é dada por:
1
2
A
é ù2é ù2é ùæ öé ùqé ùqæ öqé ùqê ú2ê ú2 0ê ú0qê úq0q0ê ú0q0qê úq
é ù
ê ú
é ùæ öê úæ öqæ öqê úqæ öq
é ùæ öé ùê ú
é ùæ öé ùqé ùqæ öqé ùqê úq
é ùqæ öqé ùqê ú÷ê úæ öê úæ ö÷æ öê úæ öê úçê úæ öê úæ öçæ öê úæ öê ú÷ê úê ú÷ê ú÷ê ú÷ê ú= +ê ú= +ê ú2ê ú2= +2ê ú2qê úq= +qê úqê úçê úçê úçê úê úê ú0ê ú00ê ú0
ê ú
ê ú
ê ú0ê ú0ê ú0
ê ú0ê úê ú
ê ú÷ê ú÷
ê ú÷ê úê ú
ê ú÷ê ú= +ê ú= +
2= +2ê ú
2= +20= +0ê ú0= +0q= +qê úq= +q0q0= +0q0ê ú0q0= +0q0
ê ú= +ê úê ú
ê ú= +ê ú2ê ú2= +2ê ú2ê ú
2ê ú2= +2ê ú2qê úq= +qê úqê úq
ê úq= +qê úq çê úç
ê úçê úê ú
ê úçê úê úçê úçê úçê úê ú
ê úçê úçê úçê úê ú÷ê ú÷ê ú÷÷÷ê ú÷ê úçê úçê úçççê úçê ú÷ê úê ú÷ê ú÷ê ú÷ê úê ú÷ê ú÷ê ú÷ê úê úçê úçê úçê úê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê úwê úw
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú0ê ú0
ê ú
ê ú
ê ú0ê ú0ê ú0
ê ú0 ÷÷÷ê ú÷÷÷
ê ú÷ê ú÷ê ú÷ê úê ú
ê ú÷ê ú÷ê ú÷ê úçê úççççê úççç
ê úçê úçê úçê úê ú
ê úçê úçê úçê úê úè øê úwê úwè øwê úw ÷ê ú÷è ø÷ê ú÷÷÷÷ê ú÷÷÷è ø÷÷÷ê ú÷÷÷çê úçè øçê úçë ûê úë ûê úè øë ûè ønè ønë ûnè ønê úè øê úë ûê úè øê únê únè ønê únë ûnê únè ønê ún
wê úwè øwê úwë û
wê úwè øwê úw
é ùæ öé ùé ùæ öé ù
E a resolução pode ser encontrada a partir da condição inicial do sistema dada quan-
do 0,5radA= , 0 0q0q0 = e 0 1rad s1rad sq0q0 = , resultando-nos em:
1
2
1 1 rad0,5 0 0,5 2 sn0,5 0 0,5 2n0,5 0 0,5 2
n nw w
é ù2é ù21 1é ù1 1é ùæ öé ù1 1é ù1 1æ ö1 1é ù1 1ê ú1 1ê ú1 10,5 0 0,5 2ê ú0,5 0 0,5 2ê ú0,5 0 0,5 2ê ú0,5 0 0,5 2ê ú1 1ê ú1 10,5 0 0,5 2ê ú0,5 0 0,5 21 1
é ù1 1ê ú1 1
é ù1 1é ùê ú
é ùæ öê úæ ö1 1æ ö1 1ê ú1 1æ ö1 1
é ùæ öé ùê ú
é ùæ öé ù1 1é ù1 1æ ö1 1é ù1 1ê ú1 1
é ù1 1æ ö1 1é ù1 11 1ê ú1 1÷1 1ê ú1 11 1æ ö1 1ê ú1 1æ ö1 1÷1 1æ ö1 1ê ú1 1æ ö1 1ê úçê ú0,5 0 0,5 2ê ú0,5 0 0,5 2ç0,5 0 0,5 2ê ú0,5 0 0,5 2
æ öê úæ öçæ öê úæ ö0,5 0 0,5 2ê ú0,5 0 0,5 2÷0,5 0 0,5 2ê ú0,5 0 0,5 2ê ú÷ê ú÷ê ú÷ê ú1 1ê ú1 1÷1 1ê ú1 1÷1 1ê ú1 1÷1 1ê ú1 10,5 0 0,5 2ê ú0,5 0 0,5 2÷0,5 0 0,5 2ê ú0,5 0 0,5 2÷0,5 0 0,5 2ê ú0,5 0 0,5 2÷0,5 0 0,5 2ê ú0,5 0 0,5 20,5 0 0,5 2= + ® = ® =0,5 0 0,5 20,5 0 0,5 2= + ® = ® =0,5 0 0,5 20,5 0 0,5 2n0,5 0 0,5 2= + ® = ®

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