Estatistica adm 1ª parte

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UNIP 
Unidade Universitária de Araçatuba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplina: Estatística 
Professor Rochedo (José Carlos Araújo Porto) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística - Prof. Rochedo pag. 1 
 
Curso: Administração. 
Disciplina: Estatística. 
Prof. José Carlos Araújo Porto (Rochedo) 
 
Cap. 1 – Introdução 
 
1.1) ESTATÍSTICA. 
Estatística é método cientifico que permite organizar dados, analisá-los e tomar decisões em condições de 
incerteza. 
 
1.2) POPULAÇÃO E AMOSTRA 
População é um conjunto de elementos com uma característica comum. 
O termo é mais amplo no senso comum, pois envolve aglomerado de pessoas, objetos ou mesmo idéias. 
Exemplo: todos os alunos de uma faculdade. 
Amostra são subconjuntos da população que conservam, portanto, a característica comum da população é 
retirada por técnicas adequadas, chamadas de amostragem. Exemplo 50 alunos de uma faculdade. 
 
1.3) ARREDONDAMENTO DE DADOS 
Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 0, 1, 2, 3 ou 4, fica último algarismo a permanecer. 
Exemplo: Arredondando para uma casa decimal 53,24 passa a 53,2 
Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 5, 6, 7, 8, ou 9, aumenta-se de uma unidade o algarismo a 
permanecer. 
Exemplos: Arredondando para uma casa decimal 42,87 passa a 42,9; 2,352 passa a 2,4 e 24,75 passa a 
24,8 
 
1.4) PORCENTAGEM 
Porcentagem é uma fração de denominador igual a 100. Assim, ao escrevermos p% estamos representado o 
número fracionário 
100
p
 ou seja p% =
100
p
 
Exemplos: 
20% = 
100
20
= 0,20 5% = 
100
5
= 0,05 2,35% = 
100
35,2
= 0,0235 100% =
100
100
= 1 
A solução de exercícios de porcentagem é feita usando o método de regra de três ou a conversão da 
porcentagem em numero fracionário ou decimal 
 
Exercícios resolvidos: 
Num certo mês nasceram 192 crianças numa maternidade, sendo 92 meninas. Qual é a porcentagem de 
meninos que nasceram neste mês? Dê resposta com 2 casas decimais. 
Solução: %100





x
total
valor
%100
192
100






 x %08,52 
 
Aproximadamente 73% dos alunos de classe são do sexo feminino. Se o total de alunos é 60, quantos são do 
sexo feminino? 
Solução: 73% de 60 = 0,73 x 60 = 44 alunos são do sexo feminino. 
 
1.5) VARIÁVEIS ESTATÍSTICAS 
Variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. As variáveis estatísticas podem ser 
qualitativas ou quantitativas 
Variáveis qualitativas são as que expressão atributos (qualidades) e podem ser nominais ou ordinais. As 
ordinais possuem uma ordem natural enquanto que as nominais não. 
Exemplo: sexo, cor, raça são vaiáveis qualitativas nominais enquanto que grau de escolaridade, faixa etária 
(criança, adolescente, adulto e idoso) são variáveis qualitativas ordinais. 
Variáveis quantitativas são as que expressão valores numéricos, ou seja, quantidade. As variáveis 
quantitativas podem ser discretas (só admite valores inteiros) ou continuas (podem ser fracionadas ou seja 
apresenta continuidade). 
Exemplo: quantidade aluno de uma sala, número de defeitos em aparelhos de TV são vaiáveis quantitativas 
discretas enquanto que peso de pessoas, produção de café no Brasil são variáveis quantitativas continuas. 
 
1.6) TECNICAS DE AMOSTRAGEM 
Amostragem aleatória ou causal simples. 
A amostra é escolhida de forma que todos os elementos da população possuem a mesma chance. 
Exemplo: alunos escolhidos por sorteio para responder um teste. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística - Prof. Rochedo pag. 2 
 
Amostragem sistemática. 
Quando os elementos da população já se acham ordenados, não há necessidade de construir o sistema de 
referência. São exemplos os prontuários médicos de um hospital, os prédios de uma rua, etc. Nestes casos, a 
seleção dos elementos que constituirão a amostra pode ser feita por um sistema imposto pelo pesquisador. 
Exemplo: Suponhamos uma rua com 900 casas, das quais desejamos obter uma amostra formada por 50 
casas para uma pesquisa de opinião. Podemos, neste caso, usar o seguinte procedimento: como 900/50 = 18, 
escolhemos por sorteio casual um número de 01 a 18, o qual indicaria o primeiro elemento sorteado para a 
amostra; os demais elementos seriam periodicamente considerados de 18 em 18. Assim, suponhamos que o 
número sorteado fosse 4 a amostra seria: 4ª casa, 22ª casa, 40ª casa, 58ª casa, 76ª casa, etc. 
 
Amostragem proporcional estratificada. 
Quando a população se divide em estratos (sub-populações), convém que o sorteio dos elementos da amostra 
leve em consideração tais estratos, daí obtemos os elementos da amostra proporcional ao número de 
elementos desses estratos. 
Exemplo: Vamos obter uma amostra proporcional estratificada, de 10%, supondo, que, numa classe de 90 
alunos, 54 sejam meninos e 36 sejam meninas. São, portanto dois estratos (sexo masculino e sexo feminino). 
Logo, temos: 
SEXO POPULACÃO 10 % AMOSTRA 
MASC. 54 5,4 5 
FEMIN. 36 3,6 4 
Total 90 9,0 9 
 
Numeramos então os alunos de 01 a 90, sendo 01 a 54 meninos e 55 a 90, meninas e procedemos o sorteio 
casual com urna ou tabela de números aleatórios. 
 
Amostragem por conveniência. 
Quando é usado como amostra um cadastro já existente ou grupo de fácil pesquisa. Exemplo: ficha de 
empregados de uma empresa, alunos de uma sala de aula. 
 
1.7) APURAÇÃO DE DADOS 
Os dados são registrados em fichas, com várias outras informações. Para obter apenas os dados é preciso 
fazer uma apuração. Se a variável é qualitativa a apuração resume-se a simples contagem. Por exemplo, para 
obter o número de nascidos vivos de cada sexo, é preciso tomar os prontuários e escrever, numa folha de 
papel. Exemplo: 
 
Se a variável é quantitativa, a apuração consiste em anotar cada valor observado. Por exemplo, para apurar 
dados de peso ao nascer, basta escrever os pesos numa folha de papel. O número do prontuário, escrito ao 
lado do peso ao nascer, facilita a posterior verificação da apuração. Exemplo: 
 
 
 
Exercícios 
1) Abaixo temos variáveis qualitativas e quantitativas. Assinale a alternativa que corresponde à variável 
qualitativa: 
a) População: alunos de uma escola. 
Variável: cor dos cabelos 
b) População: casais residentes em uma cidade. 
Variável: número de filhos 
c) População: as jogadas de um dado. 
 Variável: o ponto obtido em cada face 
d) População: peças produzidas por certa máquina. 
 Variável: número de peças produzidas por hora 
e) População: peças produzidas por certa máquina. 
 Variável: diâmetro externo 
 
2) Faça a classificação completa das variáveis de cada item do exercício 1 
 
3) Quando dizemos que chegamos a uma conclusão partindo da observação de partes de um todo, estamos 
falando sobre? 
a) Quase tudo 
b) População 
c) Amostra 
d) Populacional 
e) O resto 
Estatística - Prof. Rochedo pag. 3 
 
 
4) Quando dizemos que chegamos a uma conclusão sobre o todo, estamos falando estatisticamente sobre: 
a) Tudo 
b) População 
c) Amostra 
d) Amostragem 
e) O resto 
 
5) Calcule as seguintes porcentagens e de o resultado com 2 casas decimais ( use as regras de arredondamento) 
a) 263 num total de 1983 
b) 198 num total de 1983 
c) 1002 num total de 5132 
 
6) Um conjunto de pessoas é dividido em 4 grupos: grupo A com 38 pessoas, grupo B com 32 pessoas, grupo C 
com 32 pessoas e grupo D com 40 pessoas. Obter uma amostra estratificada de 20% desta população. 
 
7) Um determinado curso de uma faculdade possui 450 alunos sendo que 125 alunos cursam o 1º ano; 115 
alunos cursam o 2º ano, 108 alunos cursam o 3° ano e 102 alunos cursam o 4º ano. O coordenador do curso 
deseja fazer uma pesquisa entrevistando os alunos. Como não dispõe de tempo para entrevistar todos 
resolveu fazer por amostragem estratificada de 12%. Determine a quantidade de alunos a ser entrevistados no 
total e por ano. 
 
Cap. 2 – Distribuição de frequência 
2.1) DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
É um tipo de tabela usada para variáveis quantitativas 
Existe dois de distribuição de frequência uma sem intervalode classe outra com intervalo de classe 
 
Distribuição de frequência sem intervalo de classe 
Estatura de um grupo de pessoas 
Estatura (cm) Quantidade de pessoas 
170 3 
172 5 
175 7 
178 10 
180 15 
185 11 
190 4 
 55 
 
Nesta tabela a quantidade de pessoas é chamada de frequência (f) e cada valor da variável é uma classe. 
A distribuição de frequência pode ser completada com nova coluna tais como: 
Frequência relativa (fr)  


f
f
fr 
Frequência relativa em porcentagem  fr% = fr.100% 
Frequência acumulada crescente (fa)  soma da frequência da classe com as frequências das anteriores 
Frequência relativa acumulada (fra)  


f
fa
fra 
Frequência relativa acumulada em porcentagem   fra% = fra.100% 
Sendo a distribuição de frequência acima pode ser representada da seguinte maneira. 
 
Estatura de um grupo de pessoas 
Classes (x) f fr fr% fa fra fra% 
170 3 0,054 5,4 3 0,054 5,4 
172 5 0,091 9,1 8 0,145 14,5 
175 7 0,127 12,7 15 0,272 27,2 
178 10 0,182 18,2 25 0,454 45,4 
180 15 0,273 27,3 40 0,727 72,7 
185 11 0,200 20,0 51 0,927 92,7 
190 4 0,073 7,3 55 1,000 100,0 
 55 1,000 100,0 
 
Obs: A soma das frequências relativas devem ser sempre iguais a 1. Se por ventura este valor for de muito 
próximo faremos um compensação para mais ou para menos nos arredondamentos. Na primeira linha foi feita 
uma compensação pois 3/55 = 0,054545  0,054 porque se arredondarmos para 0,055 a soma da frequência 
relativa serias igual a 1,001 
 
Distribuição de frequência com intervalo de classe 
É utilizada quando possuímos vários valores por se tabelarmos um a um teremos uma tabela muito grande. 
Para montarmos uma distribuição de frequência devemos termos alguns conceitos como: 
Classe de frequência ou simplesmente, classe são intervalos de variação de uma variável. 
 
Estatística - Prof. Rochedo pag. 4 
 
Limites de classe são os extremos de cada classe. 
Numa classe 154├―158 (classe de 154 (incluído) a 158 (excluído) temos: 
Limite inferior da classe: ℓ = 154 
Limite superior da classe: L = 158 
Amplitude de classe: a = L - ℓ 
Ponto Médio (PM): é a media aritmética entre os limite de classe. PM = (L + ℓ)/2 
Amplitude total da distribuição AT = Lmax - ℓmin 
Amplitude amostral (AA): é a diferença entre o valor máximo e mínimo de uma amostra 
Número de classes (nc) pode usar a regra de Struges: 
nc = 1 + 3,3.log n ou nc = n 
Dados brutos: dados não ordenados 
Rol: dados ordenados 
 
Exemplo: Num teste de raciocínio numérico, obtiveram-se os seguintes dados brutos: 
76 - 60 - 41 - 55 - 78 - 48 - 69 - 85 - 67 - 39 - 60 - 85 - 57 - 74 - 65 - 84 - 77 - 65 - 52 - 33 - 80 - 61 - 45 - 
77 - 53 - 59 - 73 - 55 - 91 - 41 - 94 - 65 - 94 - 98 - 89 - 88 - 66 - 66 - 73 - 42 - 71 - 35 - 68 - 54 - 47 - 74 - 
64 - 35 - 50 – 61 
 
Rol : dados ordenados: 
33 - 35 - 35 - 39 - 41 - 41 - 42 - 45 - 47 - 48 - 50 - 52 - 53 - 54 - 55 - 55 - 57 - 59 - 60 - 60 - 61 - 61 - 64 - 
65 - 65 - 65 - 66 - 66 - 67 - 68 - 69 - 71 - 73 - 73 - 74 - 74 - 76 - 77 - 77 - 78 - 80 - 84 - 85 - 85 - 88 - 89 - 
91 - 94 - 94 – 98 
 
Cálculo da amplitude amostral: AA = 98 - 33 = 65 
Cálculo do número de classes: nc = n = 50  7 
Cálculo da amplitude de classe: a = 
7
65
n
AA
c
  9,3 adotaremos a = 10 
Se utilizarmos nc = 1 + 3,3.log n = 1 + 3,3.log 50 = 6,606601  7 
 
Resultado do teste de raciocínio numérico 
Classes PM f fr=f/f fr% = f.100% fa fra fra% 
30├― 40 35 4 0,08 8 4 0,08 8 
40├― 50 45 6 0,12 12 10 0,20 20 
50├― 60 55 8 0,16 16 18 0,36 36 
60├― 70 65 13 0,26 26 31 0,62 62 
70├― 80 75 9 0,18 18 40 0,80 80 
80├― 90 85 6 0,12 12 46 0,92 92 
90├―100 95 4 0,08 8 50 1,00 100 
Total () 50 1,00 100 
 
2.2) HISTOGRAMA E POLÍGONO DE FREGUÊNCIA 
Para as distribuições de frequência com intervalo de classe usamos os seguintes gráficos: Histograma, 
Polígono de frequência . 
Histograma: é formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo 
horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe. A 
área de um histograma é proporcional à soma das frequências simples ou absolutas. 
Polígono de frequência: é um gráfico em linha, sendo as frequências marcadas sobre perpendiculares ao 
eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe. Para realmente obtermos um 
polígono (linha fechada), devemos completar a figura, ligando os extremos da linha obtida aos pontos médios 
da classe anterior à primeira e da posterior à última, da distribuição. 
Exemplo: os dois gráficos seguintes representam o histograma e polígono de frequência referente ao número 
de empresa de acordo com o exportado num determinado ano 
 
 
Exercícios 
 
Estatística - Prof. Rochedo pag. 5 
 
1) Considerando a série estatística abaixo, complete as porcentagens com uma casa decimal e fazendo a 
compensação, se necessário. 
Séries Alunos matriculados % 
1ª 546 
2ª 328 
3ª 280 
4ª 120 
Total 1274 
 
2) Complete as células em branco da tabela e responda os seguintes itens 
Notas dos alunos de uma classe 
Nota f fr fr% fa fra fra% 
4 3 
5 5 
6 8 
7 12 
8 15 
9 13 
10 4 
Total 1,00 100 
 
3) As idades dos 25 participantes de uma festa, em anos, estão descritas a seguir: 
30, 14, 27, 32, 19, 17, 23, 24, 21, 15, 20, 31, 32, 34, 22, 11, 19, 28, 31, 30, 20, 32, 25, 20, 22. 
Pede-se: a) o rol, b) a amplitude amostral, c)a distribuição de frequências com 5 classes 
d) a amplitude de classe, 
Classes PM f fr f% fa fra fra% 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Após efetuar uma pesquisa a respeito da quantidade de Salários Mínimos recebida por uma Amostra de 
funcionários de uma empresa, chegou-se aos resultados descritos na figura abaixo. 
Pergunta: Qual o percentual de funcionários que ganham menos de 8 Salários Mínimos. 
OBS: Renda familiar em Salários Mínimos. 
 
Renda 
Familiar 
(Sal. mínimos) 
Nº de 
Famílias 
2  4 5 
4  6 10 
6  8 14 
 8  10 8 
10  12 3 
  = 40 
 
5) Uma Distribuição de frequência pode ser representada por um gráfico formado por um conjunto de retângulos 
juntapostos, cuja largura dos retângulos são iguais às amplitudes dos intervalos de classe. Qual o nome desse 
gráfico. 
a) Setores 
b) Diagramas 
c) Polígono de frequência 
d) Histograma 
e) Curva de frequência 
 
 
 
 
a) Qual a porcentagem de alunos que 
tiveram nota maior que 7. 
b) Qual a quantidade de alunos com 
notas abaixo de 7. 
 
a) 38% 
b) 15% 
c) 73% 
d) 25% 
e) 13% 
 
 
Estatística - Prof. Rochedo pag. 6 
 
Cap. 3- Medidas de Posição Central 
3.1) Medidas de posição central são medidas que indicam a tendência dos valores centrais de uma distribuição 
de frequência. Estes valores são chamados de média (aritmética ou aritmética ponderada), mediana e 
moda. 
3.2) Média Aritmética ( X ) é a soma de todos os valores dividido pela quantidade de valores. 
n
X
X

 
Exemplo: Um aluno obteve numa disciplina as seguintes notas: 6, 4 e 10 . Qual a sua média? 
n
X
X

 =
3
1046 
 = 6,7 
Se determinado valores apresentam pesos diferenciados a média pode ser chamado de média aritmética 
ponderada. Neste caso o calculo é feito por: 
p
Xp
X


 
Exemplo: Um aluno obteve numa disciplina as seguintes notas: 6, 4 e 10 com os pesos 3, 3 e 4. Qual a sua 
média? 
p
Xp
X


 = 
10
70
433
4.103.43.6



= 7 
 
3.3) Moda (Mo) é o valor mais freqüente de uma distribuição 
Exemplo: Um aluno obteve as seguintes notas 5; 6; 6; 7; 7; 7 e 8. A moda de sua notas é 7 pois é o valor 
que mais vezes se repete. 
 
3.4) Mediana (Md) é o valor que divide um conjunto de valores em duas partes iguais. Para determinar a 
mediana é necessário que os dados estejam ordenados. O valor da mediana é o valor central da distribuição 
se o numero de valores for impar. O número de valores da distribuição for par a mediana é a média dos dois 
valores centrais. Por exemplo 
2; 3; 3;4; 5; 5; 5  Md = 4 (quarto valor) 
2; 3; 3; 4; 5; 5;  Md = 3,5 (media entre o terceiro e o quarto valor) 
 
Obs: O cálculo da Média, da mediana e da moda em distribuição de frequência sem Intervalo de 
classe é feito normalmente no caso da média a frequência funciona como se fosse peso. 
f
Xf
X


 
Para calcular a posição da mediana podemos usar o seguinte raciono: 
A mediana é o termo de ordem (posição) 
2
1n
 ou 
2
1f
 se n = f for ímpar 
A mediana é a media entre os termos de ordem 
2
n
 e 1
2

n
ou 
2
f
 e 1
2

f
se n = f for par 
Exemplo: A estatura de um grupo de pessoas é dada pela distribuição de frequência. Determine a média a 
mediana e a moda 
Estatura 
(cm) 
Quantidade 
de pessoas 
X f X.f Fa 
170 3 170 3 510 3 
172 5 172 5 860 8 
175 7 175 7 1225 15 
178 10 178 10 1780 25 
180 15 180 15 2700 40 
185 11 185 11 2035 51 
190 4 190 4 760 55 
 55 
Tabela 
auxiliar de 
calculo 
 
 55 9870 
Média 
f
Xf
X


 =
55
9870
 = 179,5 cm 
Moda 
Mo = 180 cm 
 
Mediana  28º termo 
Md = 180cm 
 
3.5) Media( X ), Mediana (Md) e Moda (Mo) em distribuição de frequência com intervalo de classe 
Numa distribuição de frequência com intervalo de classe o ponto médio (PM = X) de cada classe é usada 
para calcular a média e maneira bruta pode ser usado para determinar moda e a mediana 
Média ( X )  
f
Xf
X


 ou X = 


f
f.PM
 
 
Estatística - Prof. Rochedo pag. 7 
 
Exemplo: 
Estaturas em cm de um grupo de 40 alunos 
Classes PM f PM.f fa 
150 ⊢ 154 152 4 608 4 
154 ⊢ 158 156 9 1404 13 
A média é 
 X = 


f
f.PM
 = 
40
6440
= 161cm 
 158 ⊢ 162 160 11 1760 24 Contém a moda e a mediana. 
162 ⊢ 166 164 8 1312 32 
166 ⊢ 170 168 5 840 37 
170 ⊢ 174 172 3 516 40 
Total () 40 6440 
Posição da mediana entre 
2
f
 e 1
2

f
ou seja 
entre o 20º e 21º termo da distribuição. 
Md = 160cm 
Moda é o valor de maior frequência 
Mo = 160cm 
 
Existem outros métodos para cálculo da mediana e da moda em distribuição de frequência que apesar de mais 
complicados fornece um resultado que muito se aproximo do método acima 
 
Exercícios 
1. As notas de um candidato, em seis provas de um concurso, foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2. Determine 
a) a nota média b) a nota mediana c) a nota modal (moda) 
 
2. Os salários-hora de cinco funcionários de uma companhia são (em R$):15; 20; 13; 12; 18. Determine 
a) o salário médio (média) b) o salário mediano (mediana) c) o salário modal (moda) 
 
3. Calcular a média, moda e mediana do grupo representado pela tabela abaixo. 
Estatura 
(cm) 
Quantidade 
de pessoas 
170 3 
172 5 
175 10 
178 7 
180 5 
185 11 
190 4 
 45 
 
4. Em uma classe, de 50 alunos, a notas obtidas formaram a seguinte distribuição: 
Notas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Nº. de alunos 1 3 6 10 9 10 7 3 1 
 
Determine: a) a nota média b) a nota mediana c) a nota modal ( moda) 
 
5. Após a elaboração de uma pesquisa de uma Amostra de um bairro, sobre a idade de pessoas que assinam um 
determinado jornal, chegou-se aos resultados abaixo. 
Pergunta: Qual é a Média de idade dos assinantes do jornal. 
OBS: Valores de idade arredondados. 
Idade (Anos) 40  47 47  54 54  61 61  68 68  75 
Nº de Pessoas 4 6 9 15 5 
a) 54 anos b) 40 anos c) 61 anos d) 59 anos e) 50 anos 
 
6. As notas de um determinado grupo alunos foram as seguintes: 5; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8;9; 9 
a) Complete a distribuição de frequência de acordo com estas notas 
 Notas dos Alunos 
Notas Frequência (f) 
 
 
 
 
 
Total () 
Fonte: Secretaria da escola 
 
Estatística - Prof. Rochedo pag. 8 
 
b) De acordo os dados a média do grupo de alunos é ................ 
 
c) A moda da nota do grupo de alunos é: ....................... 
 
d) A mediana da nota do grupo de alunos é ......................... 
 
 
Cap. 4 - Medidas de Variabilidade ou de Dispersão 
 
4.1) Definição 
São medidas que indicam a variação de uma amostra. São elas: amplitude total (At), desvio em relação a 
média (d); variância (s²) e desvio padrão (s). 
Para a conceituação usaremos uma amostra numérica de sete valores formando um ROL: 
12; 13; 14; 14; 14; 15; 16 
 
4.2) Amplitude total (At) 
 
É a diferença entre o maior e o menor valor da amostra 
At = 16 -12 = 4 
4.3) Desvio em relação a média(d) 
É a diferença entre cada valor (X) e a média  X deste valores 
XXd  
Fazendo calculo da média 14
7
98
7
16151414141312





n
X
X 
Como cada valor X tem um desvio podemos mostra uma tabela 
X 12 13 14 14 14 15 16 
XXd  -2 -1 0 0 0 1 2 
 
4.4) Variância(s²) 
É a média dos quadrados dos desvios em relação a média. No caso de uma amostra divide-se a soma dos 
quadrados dos desvios por (n - 1). Este valor (n – 1) é chamado do de grau de liberdade da amostra. 
1
)²(
2



n
XX
s ou 
1
²
2


n
d
s 
No exemplo temos 
X 12 13 14 14 14 15 16 
XXd  -2 -1 0 0 0 1 2 
d² 4 1 0 0 0 1 4 
 
6
4100014
1
²
2 

 
n
d
s = 1,67 
4.5) Desvio padrão (s) 
É raiz quadrada da variância logo ²ss  . No exemplo s = 67,1 = 1,29 
 
4.6) Calculo da variância sem calcular os desvios em relação a média 
1
)²(
²
²



 
n
n
x
x
s 
Fazendo o calculo desta forma temos 
 
 Amostra numérica  
x 12 13 14 14 14 15 16 98 
x² 144 169 196 196 196 225 256 1382 
 
1
)²(
²
²



 
n
n
x
x
s = 
6
7
²98
1382 
 = 
6
13721382 
 = 
6
10
 = 1,67 e ²ss  = 67,1 = 1,29 
 
 
 
Estatística - Prof. Rochedo pag. 9 
 
 
4.7) Calculo da variância e do desvio padrão em distribuição de freqüência sem intervalo 
de classe 
1
)².(
².
2





f
f
fx
fx
s e ²ss  
 
A mesma amostra pode ser agrupada numa distribuição de freqüência 
 
X f X.f X² X².f 
12 1 12 144 144 
13 1 13 169 169 
14 3 42 196 588 
15 1 15 225 225 
16 1 16 256 256 
 7 98 990 1382 
 
1
)².(
².
2





f
f
fx
fx
s = 
6
7
²98
1382 
 = 
6
13721382 
 = 
6
10
 = 1,67 
²ss  = 67,1 = 1,29 
 
4.8) Escore Z e coeficiente de variação (CV) 
O escore 
s
XX
Z

 e é definido para valor de X da amostra 
Por exemplo para X = 13  
29,1
1413 
Z = - 0,78 mas para X = 16  
29,1
1416 
Z = 1,55 
O significado do escore Z é o seguinte: 





raro valor intervalo deste fora
comum valor 2- e 2 entre
 Z 
O coeficiente de variação é definido por %100.
X
s
CV  
Na amostra do exemplo %100.
14
29,1
CV = 9,21% 
O significado do coeficiente de variação é o seguinte; 








 variaçãoalta 30% quemaior 
 variaçãomédia30% e 15 entre 
 variaçãobaixa 15% quemenor 
CV 
 
 
 
Exercícios 
7. Dada uma amostra que representa as notas de 10 alunos: 4; 4; 5; 6; 6; 8; 8; 9; 10;10 . 
a) Complete o quadro abaixo de acordo com os itens seguintes 
 Amostra das notas  
X (Notas) 4 4 5 6 6 8 8 9 10 10 70 
d =X - X 
d² 
 
b) Calcule a média das notas dos alunos 
c) Calcule a variância da amostra usando os desvios médios 
d) Calcule o desvio padrão 
 
 
 
 
Estatística - Prof. Rochedo pag. 10 
 
 
8. As notas de um aluno numa certa disciplina foram 6; 8 e 10. A média deste aluno é: 
a) 8,0 b) 8,5 c) 7,0 d) 8,2 e) 7,5 
 
9. As notas de um aluno numa certa disciplina foram 6; 8 e 10, com os pesos 3; 3 e 4 respectivamente. 
A média deste aluno é: 
a) 8,0 b) 8,5 c) 7,0 d) 8,2 e) 7,5 
 
 
10. Uma amostra extraída de uma população normal forneceu os seguintes valores 
4,0 4,2 4,5 5,0 5,2 6,0 6,5 7,0 
A média dos valores é: 
a) 4,3 b) 5,3 c) 5,2 d) 4,5 e) 5,1 
 
11. Na amostra do exercício anterior o desvio padrão é: 
a) 1,10 b) 1,21 c) 4,20 d) 1,25 e) 1,31 
 
12. A tabela abaixo amostra das notas obtidas pelos alunos de uma escola numa determinada disciplina 
Nota Quantidade 
3 1 
4 3 
5 7 
6 6 
7 11 
8 12 
9 9 
10 1 
total 50 
 
Use a tabela auxiliar para resolver os itens 
pedidos 
X f X.f X² X².ftotal 
 
a) Determine a média das notas dos alunos. b) Determine o desvio padrão. 
c) Determine o coeficiente de variação. d) Determine o escore Z para a nota 3 
 
13. A média de preço de um determinado produto pesquisado nas lojas de uma cidade é de R$20,00 com um 
desvio padrão de R$1,00 
a) Calcule o coeficiente de variação e dê o seu significado. 
b) Se numa determina loja este produto esta sendo vendido por R$ 23,00; qual é o escore Z para este valor e 
qual é o seu significado? 
 
14. Para o conjunto de dados abaixo, a média e o desvio padrão da variável x valem respectivamente: 
xi 1 3 5 6 10 
yi 8 5 4 3 1 
 
a) 5 e 11,5 b) 5 e 3,39 c) 4,2 e 2,59 d) 4,2 e 6,7 e) 3,8 e 2,41 
 
 
15. Um produto A possui um preço médio de R$10,00 com um desvio padrão de R$1,00. Outro produto B tem um 
preço médio de R$40,00 como um desvio padrão de R$3,00. Qual dos produtos apresenta menor variabilidade 
de preço? Justifique. 
 
 
Cap. 5 - Probabilidade 
5.1) Espaço amostral e Eventos 
Espaço amostral (S) é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório (repetidos 
várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis). 
Eventos (E) é um subconjunto do espaço amostral. 
Exemplo: Dois dados são lançados simultaneamente, o espaço amostral é S = {(1;1), (1;2), (1;3), (1;4), 
(1;5), (1;6),( 2;1), (2;2), (2;3), (2;4), (2;5), (2;6), (3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (3;5), (3;6), (4;1), (4;2), 
(4;3), (4;4),(4;5), (4;6), (5;1), (5;2), (5;3), (5;4),(5;5), (5;6), (6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5), (6;6} e as 
vezes a soma é menor que 4 é um evento E ={(1;1), (1;2), ( 2;1)} 
 
5.2) Definição de probabilidade 
Probabilidade de ocorrer um evento é a razão entre o número de casos favoráveis (quantidade de elementos 
do conjunto E) e números de casos possíveis (quantidade de elementos do conjunto S) 
p = 
np
nf
 
Exemplo: Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade da soma das faces ser menor que 
4? 
n
x
X
i
1n
)²xx(
s
i


 
 
Estatística - Prof. Rochedo pag. 11 
 
Resolução; p = 
np
nf
= 
36
3
 = 
12
1
 ou 8,33%. 
 
5.3) Propriedades 
A probabilidade de um evento certo é igual 1 ou 100%. Por exemplo; A probabilidade obter face menor que 7 
numa jogada de um dado é 1 ou 100%. 
A probabilidade de um evento impossível é igual 0. Por exemplo; a probabilidade obter face 7 numa jogada de 
um dado é zero. 
A probabilidade de um evento qualquer esta compreendida entre 0 e 1 ou entre 0 e 100%. 
 
5.4) Eventos Complementares 
Um evento pode ocorrer ou não ocorrer. Sendo p a probabilidade para que ele ocorra (sucesso) e q a 
probabilidade para que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existirá sempre a relação: 
p + q = 1  q = 1 - p 
Ex.: Sabemos que a probabilidade de sair o número 4 no lançamento de um dado é p = 1/6. Logo, a 
probabilidade de não sair o número 4 no lançamento de um dado é: 
q = 1 – 1/6 = 5/6. 
 
5.5) Eventos Independentes 
Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou não-realização de um dos eventos não 
afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa. 
Se dois eventos são independentes, a probabilidade para que eles se realizem simultaneamente é igual ao 
produto das probabilidades de realização dos dois eventos. 
Assim, sendo p(a) a probabilidade de realização do primeiro evento, p(b) a probabilidade de realização do 
segundo evento, a probabilidade para que tais eventos se realizem simultaneamente é dada por: 
p(a e b) = p(a).p(b) 
Exemplo: Lançamos dois dados. A probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado é p(a) = 1/6 e probabilidade 
de obtermos 5 no segundo do é p(b) = 1/6. Logo, a probabilidade de obtermos, simultaneamente, 1 no 
primeiro e 5 no segundo é: 
p(a e b) = p(a).p(b)= 
36
1
6
1
.
6
1
 
5.6) Eventos Mutuamente Exclusivos 
Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos se a realização de um excluir a realização do 
outro ou dos outros. Assim, no lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e o evento “tirar coroa” são 
mutuamente exclusivos, já que ao se realizar um deles o outro não pode se realizar. 
Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade para que um ou outro se realize é igual à soma 
das probabilidades para que cada um se realize. 
p(a ou b) = p(a) + p(b) 
Exemplo: Lançamos um dado. A probabilidade de se tirar 3 ou 5 é: 
 p(a ou b) = p(a) + p(b)= 
3
1
6
2
6
1
6
1
 
 
 
 
Exercícios 
1. Determine a probabilidade de cada evento: 
a) Um número par aparece no lançamento de um dado. 
b) Uma figura aparece ao extrair-se uma carta de um baralho de 52 cartas. 
c) Uma carta de ouro aparece ao extrair-se uma carta de um baralho de 52 cartas. 
 
2. Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números 1, 2, 3, ..,49, 50. Qual a probabilidade de: 
a) O número ser divisível por 5? b) O número terminar em 3? 
 
3. Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de: 
a) A soma ser menor que 4? c) A soma ser 9? 
b) O primeiro resultado ser maior que o segundo? d) A soma ser menor ou igual a 5? 
 
4. Um casal tem dois filhos. Qual a probabilidade de os dois filhos sejam homens? 
a) 100% b) 75% c) 50% d) 25% e) 0% 
 
5. Qual a probabilidade de ocorrer a face 5 quando jogamos um dado de 6 faces? 
a) 10,5% b)15,6% c) 16,7% d) 17,8% e) 18,9% 
 
6. A probabilidade de uma pessoa contrair um determinado vírus é de 0,25. 
a) Qual a probabilidade, em porcentagem, de uma pessoa não contrair este vírus. 
 
Estatística - Prof. Rochedo pag. 12 
 
b) Considerando duas pessoas, qual a probabilidade, em porcentagem, de duas pessoas não contraírem este 
vírus. 
c) Considerando duas pessoas, qual a probabilidade, em porcentagem, de duas pessoas contraírem este 
vírus. 
 
7. Um estudo de hábitos de fumantes compreende 200 casados (54 dos quais fumam), 100 divorciados (38 dos 
quais fumam) e 50 que nunca se casaram (11 dos quais fumam). Complete a tabela abaixo com os dados do 
textos 
Fumante Estado civil 
Sim Não 
Total 
Casado 
Divorciado 
Nunca Casou 
Total 
 
8. Escolhido aleatoriamente um indivíduo dessa amostra (exercicio anterior), calcule a probabilidade de obter: 
a) alguém fumante. 
b) alguém não fumante. 
c) alguem divorciado. 
d) alguém divorciado ou fumante. 
e) alguém divorciado e fumante. 
f) alguém que nunca se casou ou que não fume.