geometria-espacial

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Conceitos primitivos
Os conceitos primitivos da geometria são os seguintes:
PONTO RETA PLANO
 .P 
GEOMETRIA ESPACIAL - POSIÇÃO
Postulados ou Axiomas
	Os postulados são propriedades aceitas sem demonstração
	Postulados iniciais
	P1 - Postulado de existência
	Em uma reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos.
	P2 - Postulado de existência
	Em um plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos.
	P3 - Por um ponto passam infinitas retas.
	P4 - Postulado de determinação
	Dois pontos distintos determinam uma única reta (retas coincidentes são uma única reta).
	P5 - Postulado da inclusão
	Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, então a reta está contida no plano.
	1) se vários pontos pertencem a uma mesma reta, então
	eles são ditos colineares.
	2) se vários pontos pertencem a um mesmo plano, então
	eles são ditos coplanares.
Posição relativa de duas retas no espaço
	 Duas retas são coplanares quando estão no mesmo plano e podem ser:
	CONCORRENTES
	r e s têm um só ponto em comum.
PARALELAS DISTINTAS
	r e s não têm ponto em comum.
PARALELAS COINCIDENTES
Reversas
	São reversas quando não existe um plano que as contêm.
Resumo
POSTULADO DAS PARALELAS (EUCLIDES)
	Existe somente uma reta paralela a uma reta dada r, passando por um ponto P que não lhe pertence.
RETAS PERPENDICULARES
	Duas retas são perpendiculares quando são concorrentes e formam um ângulo reto.
RETAS ORTOGONAIS
	Duas retas reversas são ortogonais quando o ângulo formado pelas suas paralelas partindo de um mesmo ponto é reto.
Exemplo
	Para melhor entendimento, observe a situação abaixo:
	01) as retas r e s são ortogonais.
	02) o segmento AB representa a distância entre as duas
	retas reversas.
	AB é a única reta perpendicular a r e s ao mesmo tempo.
	A medida do segmento AB é, por definição, a distância entre
	as retas reversas r e s.
Determinação do plano
Um plano fica determinado de quatro modos diferentes.
01) Três pontos não-colineares.
02) Uma reta e um ponto fora dela.
03) Duas retas concorrentes.
04) Duas retas paralelas.
Posições relativas de dois planos
PLANOS
	PLANOS PARALELOS
	Dois planos são ditos paralelos quando não têm ponto em comum ou se coincidem. 
	Observações:
	Alguns autores não consideram um plano paralelo a si mesmo.
PLANOS SECANTES OU CONCORRENTES
	Dois planos são concorrentes quando possuem em comum uma única reta.
PLANOS PERPENDICULARES
	Dois planos são perpendiculares se um deles contém alguma reta perpendicular ao outro.
Posições relativas de uma reta e um
plano no espaço
	RETA CONTIDA NO PLANO
	Uma reta está contida em um plano quando todos os seus pontos pertencem ao plano.
RETA SECANTE
	A reta e o plano possuem apenas um ponto em comum.
P é o traço da reta com o plano.
RETA PARALELA A UM PLANO
	Uma reta é paralela a um plano quando não possuem ponto em comum.
	Uma reta é paralela a um plano quando, não estando contida
	nele, ela é paralela a alguma reta desse plano.
RETA PERPENDICULAR AO PLANO
	Uma reta é perpendicular a um plano quando ela é perpendicular a todas as retas do plano que passam pelo ponto comum.
	P é o PE da perpendicular sobre o plano.
	Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes,
	então ela é perpendicular ao plano determinado por essas
	duas retas.
	01) (FACTUR ) Entre retas e planos no espaço, verifica-se
	que:
	a) uma reta paralela a um plano é paralela a uma e só
	uma reta desse plano.
	b) dois pontos distintos determinam infinitas retas.
	c) três pontos determinam um plano.
	d) uma reta e um ponto fora dela determinam um plano.
	e) dois planos paralelos a uma reta são paralelos entre si.
	02) 
	(UESC) Sejam uma reta r e um plano α do espaço,
	concorrentes.
	Com base nessa informação, pode-se afirmar:
	01) Se uma reta r1 está contida em α, então r e r1 são reversas.
	02) Se uma reta r1 está contida em α, então r e r1 são
	concorrentes.
	03) Existe uma reta r1, contida em α, que é paralela a r.
	04) Se uma reta r1 está contida em α e é ortogonal a r,
	então r é perpendicular a α.
	05) Se r é perpendicular a α e uma reta r1 está contida
	em α, então r é ortogonal a r1.
	02. (UFBA) Com base nos conhecimentos sobre
	geometria espacial, pode-se afirmar:
	(01) Se uma reta r e um plano α são paralelos, então
	toda reta perpendicular à reta r é também perpendicular
	ao plano α.
	(02) Se um ponto P não pertence a uma reta s, então existe
	um único plano passando por P, paralelo à reta s.
	(04) Se uma reta r está contida em um plano α, e a reta s
	é reversa a r, então a reta s intercepta o plano α.
	(08) Se α e β são dois planos perpendiculares, e r é uma
	perpendicular a α, que não está contida em β, então
	r é paralela a β. 
	(16) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta
	de um deles é perpendicular ao outro.
	(32) Três planos distintos interceptam-se segundo uma
	reta ou um ponto.
POLIEDROS 
	Poliedro é o sólido limitado exclusivamente por polígonos convexos.
SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES
	A soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é tantas vezes 360º quantos são os vértices, menos dois.
	EXEMPLO:
	Os dois poliedros representados possuem, cada um, 6
	vértices. Portanto, a soma dos ângulos das faces é:
	Sa = (6 - 2) . 3600 = 14400.
TEOREMA DE EULER
	No poliedro convexo é válida a relação.
	Cada aresta de um poliedro é formada pelo concurso de dois lados de duas faces. Portanto, o número de arestas de um poliedro é igual à metade do número total dos lados apresentados pelas diversas faces.
	No caso de F faces, com n lados cada uma, teremos:
EXERCÍCIOS
	01) (PUC) Qual o poliedro regular que tem 12 vértices e 30 arestas?
	a) Hexaedro d) Icosaedro
	b) Dodecaedro e) Tridecaedro
	c) Octaedro
	02)
	(ITA) Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos de todas as faces é 7200o. O número de vértices deste prisma é igual a:
	a) 11. d) 20.
	b) 32. e) 22.
	c) 10.
	03) Qual a soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo que apresenta 20 arestas e 12 faces?