Apostila de Probabilidade e Estatística

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Série Monográfica Qualidade 
Estatística Industrial 
 
 
José Luis Duarte Ribeiro & Carla ten Caten 
Editores 
 
 
 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
Escola de Engenharia 
Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção 
 
Porto Alegre, RS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2000 
 
 
 
 
 
Estatística Industrial 
José Luis Duarte Ribeiro & Carla ten Caten, editores 
 
 
 
 
 2000 by José Luis Duarte Ribeiro & Carla ten Caten 
 
Direitos em língua portuguesa para o Brasil adquiridos por 
 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
Escola de Engenharia 
Programa de Pós Graduação em Engenharia de Produção 
 
 
Praça Argentina, 9 sala 404 
90040-020 Porto Alegre – RS – Brasil 
 
Tel. 55 51 316 3490 / 316 3948 / 316 3491 
Fax: 55 51 316 4007 
e-mail: ppgep@vortex.ufrgs.br 
 
 
 
Projeto Gráfico 
Lia Buarque de Macedo Guimarães 
 
 
Editoração Eletrônica 
Andréia Fabiane Nahra Leal 
Fabiane Ely 
 
 
Ilustração da Capa 
Arcângelo Ianelli, Natureza-morta 
1960 óleo s/ tela 70 X 83 cm 
IPHAN, Museu Nacional de Belas Artes 
 
 
 
 
 
Estatística Industrial 
 
 
 
Introdução .......................................................................................................................... 1 
Variabilidade ................................................................................................................................................... 1 
Métodos estatísticos ....................................................................................................................................... 2 
Coleta de dados .............................................................................................................................................. 3 
Funções .......................................................................................................................................................... 5 
Gráficos ........................................................................................................................................................... 5 
Exercícios........................................................................................................................................................ 6 
Distribuições de freqüência ............................................................................................ 10 
Intervalos de classe ...................................................................................................................................... 10 
Regras gerais para elaborar uma distribuição de freqüência ....................................................................... 11 
Histogramas e polígono de freqüência ......................................................................................................... 11 
Distribuição de freqüências relativas ............................................................................................................ 12 
Distribuição de freqüências acumuladas ...................................................................................................... 12 
Curvas de freqüência suavizadas ................................................................................................................. 13 
Tipos de distribuições de probabilidade (frequência relativa) ...................................................................... 13 
Medidas de tendência central e variabilidade ............................................................... 16 
Medidas de tendência central ....................................................................................................................... 16 
Medidas de variabilidade .............................................................................................................................. 20 
Exercícios...................................................................................................................................................... 22 
Probabilidade ................................................................................................................... 24 
Campo amostral e eventos ........................................................................................................................... 24 
Operações com conjuntos ............................................................................................................................ 24 
Definição de probabilidade ........................................................................................................................... 25 
Soma de probabilidades ............................................................................................................................... 25 
Exemplo 1: .................................................................................................................................................... 26 
Exemplo 2: .................................................................................................................................................... 27 
Produto de probabilidades ............................................................................................................................ 27 
Eventos independentes ................................................................................................................................ 28 
Probabilidade total ........................................................................................................................................ 29 
Teorema de Bayes ........................................................................................................................................ 30 
Distribuições de probabilidade ...................................................................................... 34 
Distribuições discretas mais importantes ..................................................................................................... 35 
Distribuições contínuas mais importantes .................................................................................................... 38 
Estimativa de parâmetros ............................................................................................... 53 
Estimativas pontuais ..................................................................................................................................... 53 
Estimativas por intervalo de confiança ......................................................................................................... 54 
Intervalo de confiança para a média, variância conhecida ........................................................................... 55 
Erro de estimação ......................................................................................................................................... 57 
Intervalo de confiança para a média, variância desconhecida ..................................................................... 58 
Intervalo de confiança para a diferença entre duas médias, variância conhecida ....................................... 60 
Intervalo de confiança para a diferença entre duas médias, variância desconhecida ................................. 61 
Intervalo de confiança para a diferença entre observações ......................................................................... 62 
Intervalo de confiança para a variância ........................................................................................................ 63 
Intervalo de confiança para o quociente entre duas variâncias ................................................................... 65 
Intervalo de confiança para o parâmetro da Binomial .................................................................................. 67Testes de hipótese .......................................................................................................... 71 
Comentários iniciais ...................................................................................................................................... 71 
Comparação de médias, variância conhecida .............................................................................................. 72 
Comparação de médias, variância desconhecida ........................................................................................ 74 
Comparação de pares de observações ....................................................................................................... 77 
Comparação de variâncias .......................................................................................................................... 78 
Comparação dos parâmetros da Binomial ................................................................................................... 80 
Comparação de vários grupos: a análise de variância.................................................85 
Comentários iniciais ..................................................................................................................................... 85 
One-way ANOVA ......................................................................................................................................... 85 
Regressão linear simples .............................................................................................103 
Comentários iniciais ................................................................................................................................... 103 
Correlação .................................................................................................................................................. 103 
Teste de hipótese para o coeficiente de correlação .................................................................................. 106 
Regressão linear simples ........................................................................................................................... 107 
Relação entre o coeficiente de correlação e a regressão ......................................................................... 108 
Variância dos estimadores ......................................................................................................................... 109 
Intervalos de confiança e testes de hipótese ............................................................................................. 109 
Previsão de valores de Y .......................................................................................................................... 111 
Análise da validade do modelo .................................................................................................................. 112 
Intervalo de variação para X ...................................................................................................................... 114 
A análise de variância e a regressão ......................................................................................................... 114 
Dados atípicos............................................................................................................................................ 116 
Regressão não-linear simples .................................................................................................................... 116 
Regressão linear múltipla ............................................................................................120 
O modelo da regressão linear múltipla ...................................................................................................... 120 
Notação matricial ....................................................................................................................................... 121 
Estimativa dos coeficientes ........................................................................................................................ 121 
Matriz de variâncias e covariâncias ........................................................................................................... 126 
Testes de hipótese ..................................................................................................................................... 127 
Coeficientes de determinação para o modelo de regressão múltipla ........................................................ 129 
Previsão de valores de Y .......................................................................................................................... 130 
Análise das suposições do modelo de regressão...................................................................................... 131 
Regressão polinomial ................................................................................................................................. 131 
 
1Introdução 
 
 
José Luis Duarte Ribeiro 
Carla ten Caten 
 
 
VARIABILIDADE 
 
Apesar de nossa formação ser basicamente determinística, ensinando que 
1 + 1 é igual a 2 e 15 +5 é igual a 20, vivemos em um mundo onde tudo 
varia. Por exemplo, alguém que tem o hábito de preparar um churrasco 
no fim de semana pode ter comprado dois quilos de carne inúmeras 
vezes, mas ele nunca recebeu exatamente 2,00 Kg. Da mesma forma, o 
seu trajeto para o trabalho pode incluir um trecho de 15 min., feito de 
automóvel, mais um trecho de 5 min., feito a pé, mas você nunca fez 
todo o trajeto em exatamente 20:00 min. 
Similarmente, os processos produtivos dependem de vários parâmetros 
(pressão, temperatura, velocidade, etc.); esses parâmetros deveriam ser 
mantidos em certos níveis, mas eles irão apresentar variabilidade. 
Conseqüentemente, os produtos resultantes de processos de manufatura, 
ou de processos de prestação de serviço, também irão apresentar 
variabilidade. Um eixo usinado terá um diâmetro final de 
aproximadamente 50,0 mm. Em um restaurante, você será servido em 
aproximadamente 20 min. 
A variabilidade está sempre presente em qualquer processo onde ocorre 
a produção de bens ou serviços, independentemente de quão bem ele 
seja projetado e operado. Se compararmos duas peças quaisquer, 
produzidas pelo mesmo processo, suas medidas jamais serão exatamente 
idênticas. As medidas feitas em um lote, podem estar todas dentro das 
especificações, mas mesmo assim a variabilidade estará presente. 
As fontes de variabilidade podem agir de forma diferente sobre o 
processo. Conforme a fonte de variabilidade, o resultado pode ser: (i) 
pequenas diferenças peça-a-peça, em função da habilidade do operador 
ou diferenças de matéria-prima, (ii) alteração gradual no processo, em 
função do desgaste de ferramentas ou mudança na temperatura do dia, e 
(iii) alteração brusca no processo, devido a alguma mudança de 
procedimento, ou queda de corrente, ou troca de setup, etc. 
As fontes de variabilidade interferem nos processos de produção de bens 
ou serviços, fazendo com que os produtos finais não sejam exatamente 
idênticos. Isso pode conduzir a produtos defeituosos, ou seja, produtos 
cujas características não satisfazem a uma determinada especificação. 
2 1. Introdução José Luis Duarte Ribeiro & Carla ten Caten/PPGEP-UFRGS 
 
Figura 1 - Processo de fabricação 
Processo de fabricaçãoProcesso de fabricação
 (bens ou serviços) (bens ou serviços)
Fontes de variabilidadeFontes de variabilidade
SaídaSaídaEntradaEntrada
VariaçãoVariação
 
 
A redução de variabilidade no processo gera itens cujas características 
estão mais próximas de um valor alvo. Isso reduz o número de produtos 
percebidos como defeituosos e, por conseguinte, os custos da má 
qualidade. 
 
 Redução de variabilidadeRedução de variabilidade
Resultados mais próximos dos valores alvosResultados mais próximosdos valores alvos
Redução de produtos defeituososRedução de produtos defeituosos
Redução dos custos da má qualidadeRedução dos custos da má qualidade
 
 
A redução da variabilidade depende do conhecimento e análise da 
variabilidade presente no processo, para que as fontes de variabilidade 
possam ser identificadas, analisadas e bloqueadas. 
MÉTODOS ESTATÍSTICOS Todos os processos apresentam problemas e, por conseguinte, 
oportunidades de melhoria. Algumas vezes os problemas são simples de 
identificar e resolver. No entanto, outras vezes podem ser muito difíceis. 
Quando o problema é difícil, a coleta sistemática de dados e a 
subseqüente análise estatística podem revelar a solução. 
Assim, todo o gerente, administrador e engenheiro deveria ter o domínio 
dos métodos estatísticos. Esses métodos contribuem em diferentes 
aspectos: 
� redução do tempo da coleta dos dados; 
� redução do custo da coleta dos dados; 
� melhor organização e consolidação dos dados; 
� maior agilidade no processamento dos dados; 
� máxima informação é extraída dos dados; 
� maior precisão (confiança) na análise; 
� melhor apresentação dos resultados. 
Todos esses aspectos asseguram um suporte mais qualificado à tomada 
Estatística Industrial 3 1. Introdução 
 
de decisão gerencial e auxiliam a reduzir: 
� tempo de ciclo das melhorias contínuas; 
� tempo de desenvolvimento do produto; 
� tempo de validação de projetos; 
� tempo de otimização de processos. 
As equipes que reúnem conhecimentos técnicos sobre o problema em 
estudo e domínio dos métodos estatísticos têm seu potencial largamente 
ampliado. 
Definição de estatística A disciplina estatística engloba um conjunto de métodos científicos para 
a coleta, organização, resumo, análise e apresentação de dados, bem 
como a obtenção de conclusões válidas, que dêem suporte à tomada de 
decisões baseadas em tais análises. 
Em sentido mais restrito, o termo estatística é usado para designar um 
resultado extraído dos dados, como, por exemplo, a média ou desvio 
padrão. 
COLETA DE DADOS Os dados são a base para a tomada de decisões confiáveis durante a 
análise de um problema; os dados são úteis quando eles geram algum 
tipo de ação. Por isso, é importante ter bem claro quais são os objetivos 
da coleta de dados. Em unidades de produção de bens ou serviços, os 
principais objetivos podem ser: 
� desenvolvimento de novos produtos; 
� inspeção; 
� monitoramento dos processos; 
� melhoria nos processos. 
A coleta de dados pode se basear em dados históricos ou em 
experimentos planejados. Dados históricos são dados que já estão 
disponíveis na empresa e, por isso, podem ser obtidos sem interferência 
no processo. Um experimento planejado envolve mudanças propositais 
realizadas nos fatores do processo (causas), de modo que se possa 
avaliar as possíveis alterações sofridas pelas características de qualidade 
(efeitos), como também as razões destas alterações. 
População e amostra Ao coletar os dados referentes às características de um grupo de objetos 
ou indivíduos, como por exemplo número de parafusos defeituosos 
produzidos em uma fábrica, é muitas vezes impraticável observar todo o 
grupo. 
Em vez de examinar o grupo inteiro, denominado população, 
examinamos uma pequena parte, chamada amostra. 
Uma população pode ser finita ou infinita. Por exemplo, a população 
constituída de todos os parafusos produzidos por uma fábrica em um 
mês é finita. Enquanto que a população constituída de todos os 
resultados (cara ou coroa) em sucessivos lances de uma moeda é infinita. 
Se a amostra é representativa da população, os resultados da amostra 
podem ser usados para inferir sobre a população. Essa parte é chamada 
4 1. Introdução José Luis Duarte Ribeiro & Carla ten Caten/PPGEP-UFRGS 
 
de Inferência Estatística e será a ênfase deste texto. 
Há uma outra parte da Estatística que procura somente descrever e 
analisar um certo grupo, sem tirar conclusões ou inferências a respeito 
de um grupo maior. É a chamada Estatística Descritiva 
Figura 2 - População x amostra 
DADOS
População
AmostraQuantos ?
INFERÊNCIA
 
 
Para que as inferências sejam válidas e suficientemente precisas, é 
importante que seja feita uma boa amostragem. As possíveis causas de 
erros nas inferências, muitas vezes têm origem em problemas de 
amostragem, por exemplo: 
� falta da determinação correta da população; 
� falta de aleatoriedade na escolhas das unidades da população, 
gerando uma amostra que não é representativa da população; 
� erro no dimensionamento do tamanho da amostra, gerando uma 
amostra insuficiente para lidar com a variação aleatória presente no 
processo em estudo. 
Tipos de dados Uma variável é representada por um símbolo como X, Y, H, Z, e pode 
assumir qualquer valor de um conjunto de valores. O conjunto de 
valores possíveis é chamado de domínio da variável. Se a variável só 
pode assumir um valor, é chamada de constante. 
Se uma variável pode assumir qualquer valor entre dois limites 
quaisquer, é chamada de Variável Contínua. Do contrário, é chamada de 
Variável Discreta. 
Exemplo 1: O diâmetro de uma peça torneada pode ser 2,50 ou 2,533 
ou 2,5389, dependendo da precisão da medida; é uma variável contínua. 
Exemplo 2: O número de unidades defeituosas em lotes de 100 
unidades é uma variável discreta (0, 1, 2, etc.). 
Algarismos significativos No caso de variáveis contínuas, um valor 2,51 indica que o verdadeiro 
valor está compreendido entre 2,505 e 2,515. Os algarismos corretos, 
não contando os zeros necessários para a localização da vírgula, 
chamam-se Algarismos Significativos. 
1,668 apresentado como 1,67 tem 3 A. S. 
Estatística Industrial 5 1. Introdução 
 
0,001803 apresentado como 0,0018 tem 2 A. S. 
0,001803 apresentado como 0,00180 tem 3 A. S. 
453,807 apresentado como 453,807 tem 6 A. S. 
453,807 apresentado como 454 tem 3 A. S. 
A noção de algarismos significativos não se aplica para o caso de 
variáveis discretas (que teriam uma infinidade de algarismos 
significativos). 
FUNÇÕES Se a cada valor que a variável X pode assumir, corresponder um ou mais 
valores da variável Y, diz-se que Y é uma função de X e a notação é: 
Y = F(X) 
A variável X chama-se variável independente, e a variável Y chama-se 
variável dependente. 
Exemplo: A força de tração (T) em um tirante depende do peso (W) 
colocado em sua extremidade. 
T = F(W) 
Exemplo: A resistência (H) de uma liga metálica depende da 
temperatura (T) do tratamento térmico. 
H=F(T) 
GRÁFICOS Muitos tipos de gráficos são utilizados na Estatística. Eles 
complementam a análise numérica e auxiliam nas comparações e na 
observação de tendências. Entre os vários tipos de gráficos, cita-se: 
gráficos de barras, gráficos circulares, gráficos de dispersão, 
histogramas, curvas de regressão, séries temporais, etc. 
 
Figura 3 - Exemplos de gráficos 
utilizados na Estatística. 
Gráfico de Barras Gráfico Circular 
 
Produção do modelo S.M. 93 
0
500
1000
1500
2000
J F M A M J
MESES
 
 
Vendas durante o ano de 1994 
XYZ
40%
A
20%
B
30%
C
7%
D
3%
XYZ
A
B
C
D
 
Gráfico de Dispersão Curva de Regressão 
6 1. Introdução José Luis Duarte Ribeiro & Carla ten Caten/PPGEP-UFRGS 
 
0
4
8
12
16
20
0 1 2 3 4 5 6
ESPAÇAMENTO
R
 
0
4
8
12
16
2 4 6 8 10 12 14 16 18
TEMPO DE TRAT. TÉRMICO
DUREZA
 
 
EXERCÍCIOS 
Exercício 1.1. 
 
Identifique se as seguintes variáveis são contínuas ou discretas: 
(1) número de livros em uma biblioteca; 
(2) número de unidades defeituosas em um lote de produção; 
(3) tempo de processamento de uma peça usinada; 
(4) resistência deuma fibra sintética; 
(5) número de defeitos de solda em uma carroceria; 
(6) volume de um refrigerante. 
Exercício 1.2. Indique um exemplo de variável contínua e um exemplo de variável 
discreta com as quais você lida no seu dia a dia. Informe também o 
domínio dessas variáveis, ou seja, seu intervalo de variação possível. 
 
 
Exercício 1.3. 
 
Arredonde os valores a seguir, apresentando-os com 2 e com 3 
algarismos significativos. 
X1 = 0,8078 
X2 = 52,35 
X3 = 6927 
Exercício 1.4. 
 
Em relação ao exercício anterior, considere que os valores originais são 
exatos e calcule o erro cometido em cada arredondamento efetuado. 
Exercício 1.5. 
 
Os dados a seguir representam a capacidade em litros dos porta-malas 
dos carros populares produzidos no Brasil em 1996. Plote esses dados 
usando um gráfico de barras. 
Corsa: 240 l 
Uno: 224 l 
Hobby: 325 l 
Gol: 146 l 
Exercício 1.6. 
 
Os dados a seguir representam os cinco automóveis mais vendidos no 
Brasil no ano de 1996. Plote esses dados em um gráfico circular. 
 Marca Volume 
Gol 235.000 
Estatística Industrial 7 1. Introdução 
 
Uno 225.000 
Corsa 110.000 
Tipo 107.000 
Escort 97.000 
Total 774.000 
 
 
Exercício 1.7. Os dados a seguir apresentam a evolução do número de cursos de 
mestrado e doutorado na UFRGS nos últimos 30 anos. Plote esses 
gráficos como uma série temporal. 
 Ano 1967 1972 1977 1982 1987 1992 1993 1994 
Cursos de 
Mestrado 
9 22 28 33 39 47 48 50 
Cursos de 
Doutorado 
3 3 5 5 12 25 26 27 
 
Exercício 1.8. Os dados a seguir foram coletados em um processo de produção de 
fibras sintéticas. Plote um gráfico de dispersão (X e Y) e conclua a 
respeito. 
 X: Espaçamento 
entre rolos 
5,1 5,5 4,8 1,2 1,8 4,2 3,5 1,0 
Y: Resistência 11,8 12,8 13,0 13,0 13,5 14,3 14,4 14,6 
 
 
 
 X: Espaçamento 
entre rolos 
4,7 2,2 1,6 2,8 2,3 4,0 3,3 2,3 
 Y: Resistência 15,0 15,2 15,6 16,0 17,0 17,1 17,8 18,1 
 
 
Exercício 1.9. 
 
A empresa JKL fez um levantamento das vendas, obtendo as seguintes 
informações: 
 Modelo \ UF RS SP RJ 
AB3 532 633 587 
XP9 459 501 492 
ZC4 146 152 149 
KW1 721 930 773 
 
 
Construa um gráfico de barras. 
Exercício 1.10. Construa o gráfico de dispersão para as notas de certa turma em 
matemática 
 
Mat 3 5 3 2 7 9 4 8 6 5 
Est 6 5 5 6 10 8 7 8 7 9 
 
 
Exercício 1.11. 
 
Na operação 3 foram verificados os defeitos encontrados na 
montagem da bomba hidráulica . Construa o gráfico de barras e 
analise. 
 
Tipo de defeito Freqüência 
8 1. Introdução José Luis Duarte Ribeiro & Carla ten Caten/PPGEP-UFRGS 
 
Compressor 7 
Selo 2 
Junta 12 
Mangueira 6 
Vedação 30 
outros 3 
 
 
2 Distribuições de freqüência 
 
 
José Luis Duarte Ribeiro 
Carla ten Caten 
 
 
 
Na análise de conjuntos de dados é costume dividi-los em classes ou 
categorias e verificar o número de indivíduos pertencentes a cada classe, 
ou seja, a freqüência da classe. Os dados a seguir apresentam um 
conjunto de 50 observações da principal característica dimensional de 
um tipo de peça usinada (dados em ordem crescente). 
 12,58 12,97 13,45 13,53 13,59 13,61 13,62 13,78 13,97 14,21 
14,47 14,51 14,53 14,58 14,65 14,78 14,83 14,97 15,06 15,13 
15,17 15,23 15,29 15,37 15,40 15,45 15,51 15,62 15,67 15,73 
15,83 15,98 16,01 16,11 16,17 16,23 16,35 16,43 16,49 16,52 
16,67 16,83 16,97 17,05 17,13 17,22 17,3 17,48 17,8 18,47 
 
 
 
A Tabela 1 apresenta uma tabela de freqüência de 50 observações de 
uma característica dimensional. 
Tabela 1 - Tabela de freqüência 
absoluta 
Intervalos de classe da 
característica dimensional 
Freqüência absoluta 
12,50 a 13,50 3 
13,51 a 14,50 8 
14,51 a 15,50 15 
15,51 a 16,50 13 
16,51 a 17,50 9 
17,51 a 18,50 2 
 
 A tabela de freqüência apresenta dados agrupados. Nesse caso, os detalhes 
originais dos dados são perdidos, mas a vantagem está em observar aspectos 
globais do problema. 
INTERVALOS DE 
CLASSE 
Os limites tais como 12,50 a 13,50 são chamados de intervalos de classe. O 
número menor (12,50), é o limite inferior da classe; e o maior (13,50) é o 
limite superior da classe. Em alguns casos, pode-se usar intervalos abertos, do 
tipo 13,50 ou menor; 17,50 ou maior. 
Amplitude do intervalo 
de classe 
Quando todos os intervalos de classe têm a mesma amplitude, essa é calculada 
fazendo-se a diferença entre dois limites inferiores ou dois limites superiores 
sucessivos. Caso contrário, teremos uma amplitude variável. 
Para o exemplo, a amplitude é 13,50-12,50 = 14,50-13,50=1 
Estatística Industrial 11 2. Distribuições de freqüência 
 
Ponto médio de uma 
classe 
É obtido somando-se o limite inferior ao superior e dividindo por dois. Assim, 
o ponto médio do intervalo 12,50 a 13,50 é (12,50+13,50)/2 = 13,00 
REGRAS GERAIS 
PARA ELABORAR 
UMA DISTRIBUIÇÃO 
DE FREQÜÊNCIA 
 
a) Determina-se o maior e menor valor do conjunto de dados; 
 Para o exemplo, Mín = 12,58 e Máx = 18,47 
b) Define-se o limite inferior da primeira classe (LI), que deve ser igual ou 
ligeiramente inferior ao menor valor das observações; 
 Para o exemplo, LI = 12,50 
c) Define-se o limite superior da última classe (LS), que deve ser igual ou 
ligeiramente superior ao maior valor das observações; 
 Para o exemplo, LS = 18,50 
d) Define-se o número de classes (K), que pode ser calculado usando 
K n= e deve estar compreendido entre 5 a 20; 
 Para o exemplo, 750 ≅=K , mas por praticidade, foi escolhido K = 6 
e) Conhecido o número de classes define-se a amplitude de cada classe: a = 
(LS - LI) / K; 
 Para o exemplo, 1
6
)50,1250,18()(
=
−
=
−
=
K
LILS
a 
f) Conhecida a amplitude das classes, define-se os limites inferior e superior 
para cada classe. Por exemplo, para a 1a classe: lim. inf. = LI; lim. sup. = LI+ 
a; 
 Para o exemplo, lim inf = 12,50 e lim sup = 12,50 + 1 = 13,50 
g) Calcula-se a freqüência de cada classe, ou seja, o número de observações 
pertencentes a cada classe, e completa-se a tabela de freqüência; 
 Para o exemplo, o número de observações pertencentes ao intervalo 12,50 a 
13,50 é 3. 
HISTOGRAMAS E 
POLÍGONO DE 
FREQÜÊNCIA 
Histogramas e polígonos de freqüência são representações gráficas da tabela 
de freqüências. Um histograma consiste de um conjunto de retângulos que 
têm: 
a) a base sobre um eixo horizontal com centro no ponto médio e largura igual 
a amplitude do intervalo de classes; 
b) a área proporcional às freqüências das classes. 
12 2. Distribuições de freqüência José Luis Duarte Ribeiro & Carla ten Caten/PPGEP-UFRGS 
 
Figura 4 - Histograma e 
polígono de freqüências 
absolutas para o exemplo 
anterior 
0
4
8
12
16
12 13 14 15 16 17 18 19
 
0
4
8
12
16
12 13 14 15 16 17 18 19
 
 
Se todos os intervalos tiverem a mesma amplitude, as alturas dos retângulos 
serão proporcionais às freqüências das classes, e então costuma-se tomar as 
alturas numericamente iguais a essas freqüências. 
Um polígono é um gráfico obtido ligando-se os pontos médios dos topos dos 
retângulos de um histograma. 
DISTRIBUIÇÃO DE 
FREQÜÊNCIAS 
RELATIVAS 
A freqüência relativa de uma classe é calculada dividindo-se a freqüência 
dessa classe pelo total de todas as classes e é, geralmente, expressa em 
percentagem. 
Eq 1: 
100 . x
s classesfreq. toda
lassefreq. da c
relativaFreq
∑
= 
 
Por exemplo, a freqüência relativa da 1a classe da Eq 1 é : 
Eq 2: 
%6100 
50
3100 . ===
∑
xx
s classesfreq. toda
lassefreq. da c
relativaFreq 
 Se as freqüências da Tabela 2 forem substituídas pelasfreqüências relativas, 
teremos uma tabela de freqüências relativas e então pode ser plotado um 
histograma de freqüências relativas ou um polígono de freqüências relativas. 
Tabela 2 - Distribuição de 
freqüência relativa 
Intervalos de classe da 
característica 
dimensional 
Freqüência absoluta Freqüência 
relativa 
12,50 a 13,50 3 6% 
13,51 a 14,50 8 16% 
14,51 a 15,50 15 30% 
15,51 a 16,50 13 26% 
16,51 a 17,50 9 18% 
17,51 a 18,50 2 4% 
 
 
Figura 5 - Histograma e 
polígono de freqüência relativa 
para o exemplo anterior 
0%
8%
16%
24%
32%
12 13 14 15 16 17 18 19
 
0%
8%
16%
24%
32%
12 13 14 15 16 17 18 19
 
 
DISTRIBUIÇÃO DE A freqüência total de todos os valores inferiores ao limite superior de uma 
Estatística Industrial 13 2. Distribuições de freqüência 
 
FREQÜÊNCIAS 
ACUMULADAS 
 
dada classe é denominada freqüência acumulada para aquele intervalo. 
Por exemplo, a freqüência acumulada até e inclusive o intervalo 13,51 a 
14,50 é 3 + 8 = 11, o que significa que 11 das 50 peças cerâmicas 
apresentam característica dimensional inferior a 14,50. 
Uma tabela que apresente essas freqüências é chamada de tabela de 
freqüência acumulada. Um gráfico que apresente a freqüência acumulada é 
denominado de polígono de freqüência acumulada. 
Tabela 3 - Distribuição de 
freqüência acumulada 
Intervalos de 
classe da caract. 
dimensional 
Freqüência 
absoluta 
Freqüência 
relativa 
Freqüência 
acumulada 
absoluta 
Freqüência 
acumulada 
relativa 
abaixo de 12,50 0 0% 0 0% 
12,50 a 13,50 3 6% 3 6% 
13,51 a 14,50 8 16% 11 22% 
14,51 a 15,50 15 30% 26 52% 
15,51 a 16,50 13 26% 39 78% 
16,51 a 17,50 9 18% 48 96% 
17,51 a 18,50 2 4% 50 100% 
 
 
 
Dividindo-se a freqüência acumulada pelo total das observações, tem-se a 
tabela de freqüências acumuladas relativas e o correspondente polígono de 
freqüências acumuladas relativas. 
Figura 6 - Polígono de 
freqüências acumulada 
absolutas e relativas 
0
10
20
30
40
50
12,5 13,5 14,5 15,5 16,5 17,5 18,5
 
0%
20%
40%
60%
80%
100%
12,5 13,5 14,5 15,5 16,5 17,5 18,5
 
CURVAS DE 
FREQÜÊNCIA 
SUAVIZADAS 
 
O polígono de freqüência e o polígono de freqüência acumulado pode ser 
suavizado. Isso ajuda a filtrar o ruído presente em qualquer conjunto de dados. 
O polígono de freqüência suavizado é a distribuição de freqüência ou 
distribuição de probabilidade de uma característica. 
A análise das distribuições de probabilidade indica o comportamento de uma 
característica que seria observado no caso de uma amostra muito grande ou 
infinita. 
TIPOS DE 
DISTRIBUIÇÕES DE 
PROBABILIDADE 
(FREQÜÊNCIA 
RELATIVA) 
 
A Figura 7 apresenta diversos tipos de distribuições de probabilidade. 
14 2. Distribuições de freqüência José Luis Duarte Ribeiro & Carla ten Caten/PPGEP-UFRGS 
 
Figura 7 - Tipos de 
distribuições de freqüência. 
 
 
 
Simétrica 
Forma de Sino 
Assimétrica à Direita 
Assimetria Positiva 
Assimétrica à Esquerda 
Assimetria Negativa 
 
�� 
� EMBED PBrush 
��� 
Uniforme Exponencial 
 5,1 5,3 5,3 5,6 5,8 5,9 6,0 6,1 6,2 6,2 
6,3 6,3 6,3 6,4 6,4 6,4 6,5 6,5 6,6 6,7 
6,7 6,8 6,8 6,9 6,9 7,0 7,1 7,1 7,2 7,2 
7,3 7,4 7,5 7,5 7,6 7,6 7,6 7,7 7,7 7,8 
7,8 7,9 7,9 8,0 8,0 8,1 8,2 8,3 8,3 8,4 
8,5 8,5 8,6 8,7 8,8 8,8 8,9 9,0 9,1 9,2 
9,4 9,4 9,5 9,5 9,6 9,8 9,9 10,0 10,2 10,2 
10,4 10,6 10,8 10,9 11,2 11,5 11,8 12,3 12,7 14,9 
 
 
Exercício 2.2. Suavize o gráfico de freqüências acumuladas obtido no exercício anterior, e então 
estime o percentual das operações onde o tempo deverá ultrapassar 10 minutos. 
Exercício 2.3. Os dados a seguir representam a espessura (em mm) de uma peça mecânica. 
Organize esses dados em uma tabela de freqüências relativas e depois plote o 
histograma de freqüências relativas, o polígono de freqüências relativas e o gráfico 
de freqüências relativas acumuladas. 
 20,4 22,3 23,1 23,5 23,8 24,1 24,3 24,3 24,6 24,8 
24,9 25,0 25,1 25,3 25,3 25,4 25,6 25,7 25,8 26,0 
26,0 26,1 26,2 26,2 26,3 26,5 26,6 26,7 26,8 26,9 
27,1 27,1 27,3 27,5 27,7 27,9 28,0 28,3 28,7 29,6 
 
 
Exercício 2.4. Suavize o gráfico de freqüências acumuladas obtido no exercício anterior, e 
então estime o percentual de peças que deve apresentar uma espessura inferior 
a 24 mm. 
Exercício 2.5. Tendo em vista os polígonos de freqüência obtidos nos exercícios 2.1. e 2.3. 
você diria que as populações do tempo e da espessura apresentam distribuição 
de probabilidade simétrica ou assimétrica? 
Exercício 2.6. Plote os histogramas correspondentes às tabelas de freqüência a seguir e 
indique o tipo de curva de freqüência em cada caso. 
X1: Característica dimensional de uma peça; 
X2: Tempo de uso (horas/semana) de um produto; 
Estatística Industrial 15 2. Distribuições de freqüência 
 
X3: Tempo até a falha de um produto. 
 X1 Freq. X2 Freq. X3 Freq. 
25,52 a 25,53 6 0 a 4 1 0 a 100 20 
25,53 a 25,54 14 4 a 8 2 100 a 200 16 
25,54 a 25,55 20 8 a 12 9 200 a 300 11 
25,55 a 25,56 18 12 a 16 24 300 a 400 7 
25,56 a 25,57 15 16 a 20 48 400 a 500 4 
25,57 a 25,58 7 20 a 24 6 500 a 600 2 
 
3 Medidas de tendência central e 
variabilidade 
 
 
José Luis Duarte Ribeiro 
Carla ten Caten 
 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA 
CENTRAL 
Há várias medidas de tendência central. Entre elas citamos a média 
aritmética, a mediana, a média harmônica, etc. Cada uma dessas 
medidas apresenta vantagens e desvantagens, e a escolha depende dos 
objetivos desejados. A seguir veremos como é feito o cálculo dessas 
medidas. 
Média aritmética A média aritmética, ou simplesmente média, de um conjunto de n 
valores x1, ..., xn é definida como: 
Eq 3: 
∑
=
=
++
=
n
i
i
n x
nn
xxX
1
1 1...
 
Exemplo: a média aritmética do conjunto 7,5 7,9 8,1 8,2 8,7 é 
Eq 4: 08,8
5
7,82,81,89,75,7
=
++++
=X 
 
Na Estatística, é usual utilizar as letras gregas para representar 
parâmetros populacionais e as letras comuns para representar estimativas 
amostrais. A média de uma amostra é representada por X e a média da 
população é representada pela letra grega µ. 
Média aritmética para 
dados agrupados 
Quando a informação disponível é o ponto médio do intervalo i (Xi) e a 
freqüência do intervalo i (fi), a média é calculada como: 
Eq 5: 
∑
∑
=
=
++
++
=
K
i
i
K
ii
K
KK
f
Xf
ff
XfXf
X
1
1=i
1
11
 
....
 .... 
 
 
Para os dados da Tabela 2.1. resulta: 
Eq 6: 
46,15
50
)18(2)17(9)16(13)15(15)14(8)13(3
=
+++++
=X 
Média aritmética 
ponderada 
 
Algumas vezes associa-se a cada observação um peso Wi, onde esse peso 
representa a importância atribuída a cada observação. Nesse caso a 
Estatística Industrial 17 3. Medidas de tendência central e probabilidade 
 
média ponderada é calculada como: 
Eq 7: 
∑
∑
=
=
++
++
=
n
1=i
i
n
1
1
11
w
x 
....
.... i
ii
n
nn
w
ww
xwxwX 
 
Por exemplo, um exame de seleção pode ser composto de três provas 
onde as duas primeiras tem peso 1 e a terceira tem peso 2. Um 
candidato com notas 70 75 e 90 terá média final: 
Eq 8: 25,81
4
)90(2)75(1)70(1
=
++
=X 
Mediana 
 
Dado um conjunto de valores em ordem crescente, a mediana é definida 
como: 
Se n é impar, o valor central; 
Se n é par, a média simples dos dois valores centrais. 
Exemplo 1: na amostra 25 26 26 28 30 a mediana é 26~ =x 
Exemplo 2: 
na amostra 71 73 74 75 77 79 a mediana é 5,74
2
)7574(
~
 =
+
=x 
Moda 
 
A moda é o valor que ocorre com maior freqüência, ou seja, é o valormais comum. A moda pode ser múltipla ou pode não existir. 
Exemplo 1: na amostra 23 25 25 26 26 26 27 29 a moda é 26. 
Exemplo 2: na amostra 71 73 73 75 76 77 77 79 81 a moda é 73 e 77 
Relações empíricas entre 
média, moda e mediana 
 
Para distribuições simétricas a média, a mediana e a moda coincidem 
aproximadamente. Para distribuições assimétricas observa-se a relação 
que aparece na Figura 8. 
Figura 8 : Distribuições assimétricas 
 
Exemplo: Para as amostras a seguir a relação entre média e mediana é 
 
 
C B 
18 3. Medidas de tendência central e probabilidade José Luis Duarte Ribeiro & Carla ten Caten/PPGEP-UFRGS 
 
 A Distribuição 
simétrica 
10 12 14 16 18 14~ 14 === xx 
B Distribuição 
assimétrica à direita 
10 12 14 16 23 14~ 15 =>= xx 
C Distribuição 
assimétrica à 
esquerda 
05 12 14 16 18 14~ 13 =<= xx 
 
 
Média geométrica É a raiz de ordem n do produto dos valores da amostra: 
Eq 9: n
nXXG ....X21= 
Exemplo: a média geométrica de 12 14 16 é: 
Eq 10: 90,131614123 =××=G 
Média harmônica É a recíproca da média aritmética das recíprocas das observações: 
Eq 11: 
∑∑
==
ii X
n
Xn
H
111
1
 
Exemplo: a média harmônica de 12 14 16 é: 
Eq 12: 
81,13
16
1
14
1
12
1
3
=
++
=H 
Relação entre média 
aritmética, geométrica e 
harmônica: 
A média geométrica e a média harmônica são menores, ou no máximo 
igual, à média aritmética (ver Eq 13). A igualdade só ocorre no caso em 
que todos os valores da amostra são idênticos. Quanto maior a 
variabilidade, maior será a diferença entre as médias harmônica e 
geométrica e a média aritmética. 
Eq 13: XGH ≤≤ 
Exemplo: para a amostra 12 14 16 tem-se: 
Eq 14: H = 13,81 < G = 13,90 < 00,14=X 
Quartis Se um conjunto de dados é organizado em ordem crescente, o valor 
central, que divide o conjunto em duas partes iguais, é a mediana. 
Valores que dividem o conjunto em quatro partes iguais são 
representados por Q1, Q2, Q3, e denominam-se primeiro, segundo e 
terceiro quartis, respectivamente. 
O segundo quartil é a mediana. O primeiro e o terceiro quartil são 
calculados usando-se o seguinte procedimento: 
(1) partindo de uma amostra de tamanho n, colocar os valores em ordem 
crescente e identificar a ordem i (1, 2, 3, …, n) e o percentil p(i) = (i-
0,5)/n associado a cada valor. 
Estatística Industrial 19 3. Medidas de tendência central e probabilidade 
 
(2) identificar os valores associados aos percentis imediatamente acima e 
abaixo de 0,25; esses valores são chamados respectivamente de x(inf), 
associado ao percentil p(inf), e x(sup), associado ao percentil p(sup). 
(3) e então calcular o primeiro quartil usando: 
Eq 15: 
(inf)(sup)
(sup)(inf)]25,0[(inf)]25,0(sup)[
1 pp
xpxpQ
−
×−+×−
= 
 
(4) similarmente, para o terceiro quartil, identifica-se os valores 
associados aos percentis imediatamente acima e abaixo de 0,75; esses 
valores são chamados respectivamente de x(inf), associado ao percentil 
p(inf), e x(sup), associado ao percentil p(sup). E então calcula-se o 
terceiro quartil usando: 
Eq 16: 
(inf)(sup)
(sup)(inf)]75,0[(inf)]75,0(sup)[
3 pp
xpxpQ
−
×−+×−
= 
Exemplo: Para a amostra a seguir calcular o primeiro e terceiro quartis: 
13,3 13,5 17,2 13,8 12,3 12,7 13,0 14,5 14,9 15,8 13,1 13,3 14,1 
 
(1) valores em ordem crescente e cálculo de p(i): 
 
x(i) i p(i) = (i-0,5)/n 
12,3 1 0,038 
12,7 2 0,115 
13,0 3 0,192 
13,1 4 0,269 
13,3 5 0,346 
13,3 6 0,423 
13,5 7 0,500 
13,8 8 0,577 
14,1 9 0,654 
14,5 10 0,731 
14,9 11 0,808 
15,8 12 0,885 
17,2 13 0,962 
 
 
 
(2) valores imediatamente acima e abaixo de 0,25: x(inf) = 13,0 e x(sup) 
= 13,1 associados com p(inf) = 0,192 e p(sup) = 0,269 
(3) primeiro quartil: 
Eq 17: 
08,13
192,0269,0
1,13]192,025,0[)0,13(]25,0269,0[
1 =
−
×−+×−
=Q 
 
(4) valores imediatamente acima e abaixo de 0,75: x(inf) = 14,5 e x(sup) 
= 14,9 associados com p(inf) = 0,731 e p(sup) = 0,808, resultando para o 
terceiro quartil: 
Eq 18: 
60,14
731,0808,0
9,14]731,075,0[)5,14(]75,0808,0[
3 =
−
×−+×−
=Q 
20 3. Medidas de tendência central e probabilidade José Luis Duarte Ribeiro & Carla ten Caten/PPGEP-UFRGS 
 
 
MEDIDAS DE 
VARIABILIDADE 
 
Invariavelmente as observações individuais irão apresentar alguma 
dispersão em torno do valor médio. Isso é chamado de variabilidade 
ou dispersão dos dados. Há muitas medidas de variabilidade, como por 
exemplo, a amplitude total, o desvio padrão ou a distância inter-
quartílica. Essas medidas serão detalhadas na seqüência. 
Amplitude total 
 
A amplitude total é definida como a diferença entre o maior e o menor 
valor das observações. 
Por exemplo, para a amostra: 8,5 8,7 8,9 10,1 10,5 10,7 11,5 
11,9 
A amplitude é: R = 11,9 - 8,5 = 3,4 
A amplitude é fácil de calcular e fornece uma idéia da magnitude da 
faixa de variação dos dados. A amplitude não informa a respeito da 
dispersão dos valores que se encontram entre os dois extremos. Quando 
n < 10, a amplitude pode resultar em uma medida de variação bastante 
satisfatória. 
Desvio-padrão 
 
Para uma amostra de n observações, x1, ..., xn , o desvio- -padrão S 
é definido como: 
Eq 19: ( )
1
]/)[(
1
=
222
i
−
−
=
−
− ∑ ∑∑
n
nxx
n
xx
S ii 
 
A vantagem do desvio-padrão é que se trata de uma medida de 
variabilidade que leva em conta toda a informação contida na amostra. 
A desvantagem é que seu cálculo é mais trabalhoso. 
Para amostras pequenas (n < 30) usa-se n - 1 no denominador da 
equação anterior. Quando a amostra é grande (n > 30) ou quando trata-
se da população usa-se n no denominador. 
O desvio-padrão de uma população é representado pela letra grega σ. 
Exemplo: para a amostra 10 12 14 16 18 
A média é 14=x e o desvio-padrão é calculado como: 
Eq 20: 
16,3
1
2)1418(2)1416(2)1414(2)1412(2)1410(
=
−
−+−+−+−+−
=
n
S 
Variância A variância S2 é definida como o quadrado do desvio-padrão, ou seja, 
9,98. 
Eq 21: ( )
1
]/)[(
1
=
222
i2
−
−
=
−
− ∑ ∑∑
n
nxx
n
xx
S ii 
 
A variância de uma população é representada pela letra grega σ2 . 
Amplitude inter-quartílica É definida como a amplitude do intervalo entre o primeiro e o terceiro 
Estatística Industrial 21 3. Medidas de tendência central e probabilidade 
 
quartis, ou seja: 
Eq 22: 13 QQQ −= 
 
Ás vezes também é usada a semi-amplitude inter-quartílica, que é a 
metade da anterior. 
A amplitude inter-quartílica é uma medida de variabilidade bastante 
robusta, que é pouco afetada pela presença de dados atípicos. A 
amplitude inter-quartílica guarda a seguinte relação aproximada com o 
desvio-padrão: 
Eq 23: Q = (4/3) x desvio-padrão 
Coeficiente de variação É definido como o quociente entre o desvio-padrão e a média e, em 
geral, é expresso em percentual, conforme a equação a seguir. 
Eq 24: 
X
SCV ×= 100 
 
O coeficiente de variação é uma medida adimensional, útil para 
comparar resultados de amostras cujas unidades podem ser diferentes. 
Uma desvantagem do coeficiente de variação é que ele deixa de ser útil 
quando a média é próxima de zero. 
Exemplo: Dois processos, medindo itens diferentes, obtiveram os seguintes 
resultados: 
 
Folha de aço: Média=2,49 mm Desvio-padrão=0,12 mm 
Chapa de madeira: Média=3,75 cm Desvio Padrão=0,15 cm 
Qual dos dois processos é relativamente mais preciso? 
CV1 = 0,12 / 2,49 x 100 = 4,8% 
CV2 = 0,15 / 3,75 x 100 = 4,0% 
O segundo processo é relativamente mais preciso. 
Variável reduzida ou 
padronizada A variável S
XXZ −= é denominadade variável reduzida ou 
padronizada. 
 
Ela mede a magnitude do desvio em relação à média, em unidades do 
desvio-padrão. Z = 1,5 significa uma observação desviada 1,5 desvios 
padrão para cima da média. A variável reduzida é muito útil para 
comparar distribuições e detectar dados atípicos. Os dados são 
considerados atípicos quando o módulo de Z é maior que 2,5 ou 3. 
Exemplo 1: Um engenheiro está analisando as espessuras de peças fabricadas em 
duas máquinas de corte. O operador mediu uma peça da máquina A com 
espessura de 90 mm e outra peça da máquina B com espessura de 100 
mm. O engenheiro deve considerar esses dados coletados reais ou 
22 3. Medidas de tendência central e probabilidade José Luis Duarte Ribeiro & Carla ten Caten/PPGEP-UFRGS 
 
atípicos? 
A máquina A possui média 51 mm e desvio-padrão 12 mm. 
25,3
12
5190
=
−
=Z Como |Z| > 3 o dado pode ser considerado 
atípico 
A máquina B possui média 72 mm e desvio-padrão 16 mm. 
75,1
16
72100
=
−
=Z Como |Z| < 3 o dado não pode ser considerado 
atípico 
Exemplo 2: SSuuppoonnddoo qquuee 5511 ffoossssee aa mmééddiiaa eemm uummaa pprroovvaa ddee iinnggllêêss,, oonnddee oo ddeessvviioo 
ppaaddrrããoo éé 1122,, ppaarraa uumm ccaannddiiddaattoo qquuee oobbttiivveessssee 9900 aacceerrttooss tteemm--ssee:: 
 
25,3
12
5190
=
−
=
−
=
S
XXZ
 
 
 
Conclui-se que na prova de inglês este ccaannddiiddaattoo está 3,25 desvios-
padrão acima da média.
 
 
EXERCÍCIOS 
Exercício3.1. Para os dados do exercício 2.1, calcule a média aritmética e a mediana e 
verifique que a relação média > mediana, é válida para distribuições 
assimétricas à direita. 
Exercício 3.2. Ainda em relação aos dados do exercício 2.1, calcule a média aritmética 
usando a fórmula para dados agrupados e a tabela de freqüência que 
você construiu. 
Exercício 3.3. Para os dados do exercício 2.3., calcule a média e a mediana e verifique 
a relação média ≅ mediana para distribuições simétricas. 
Exercício 3.4. A partir dos dados do exercício 2.6., use a fórmula para o cálculo da 
média de dados agrupados e calcule a média para: 
 X1: Característica dimensional de uma peça; 
 X2: Tempo de uso (horas/semana) de um produto; 
 X3: Tempo até a falha de um produto. 
Exercício 3.5. As amostras a seguir representam valores de tempos de fabricação de 
uma peça produzidas por três máquinas diferentes. Para cada máquina, 
calcule a amplitude total, o desvio padrão e a amplitude inter-quartílica. 
Após, conclua a respeito de diferenças de variabilidade entre tempos 
dessas máquinas. 
 M A 20,2 24,7 25,7 21,7 19,2 22,3 23,0 23,1 21,3 26,8 20,7 23,6 25,4 24,6 22,5 
M B 21,3 22,7 22,5 23,8 20,4 23,3 23,7 23,4 25,5 22,4 23,1 21,7 24,3 24,7 22,2 
M C 22,1 24,4 24,0 21,5 23,2 22,0 25,4 27,8 23,5 23,0 20,6 23,6 22,5 22,8 21,4 
 
 
Estatística Industrial 23 3. Medidas de tendência central e probabilidade 
 
Exercício 3.6. Calcule o valor da variável reduzida Z para os pontos extremos das 
amostras que aparecem no exercício anterior. Após indique se há 
evidência de dados atípicos em alguma dessas amostras (obs: para 
n=15, um valor de Z > 2,5 já seria evidência de dado atípico). 
Exercício 3.7. Caso haja indícios de dados atípicos, elimine esse resultado e refaça os 
cálculos da amplitude total, desvio padrão e amplitude inter-quartílica 
para a amostra correspondente. Se necessário, revise as conclusões do 
exercício 3.5. 
Exercício 3.8. Para a amostra a seguir (Tempos de uso em horas/semana de um 
produto), calcule a média, o desvio padrão e o coeficiente de variação. 
Calcule também os valores de Z para cada observação. Analise os 
valores de Z e indique se a amostra vem de uma população com 
distribuição simétrica, assimétrica à direita ou assimétrica à esquerda. 
 4,5 7,0 9,0 11 13 14 16 16 17 18 
18 20 21 22 22 23 24 24 24 24 
25 25 26 26 26 27 28 28 29 30 
 
 
Exercício 3.9. Idem ao anterior, Tempos de uso (horas/semana) de um produto 
concorrente 
 0,2 0,2 0,3 0,4 0,6 0,6 0,8 1,0 1,0 1,2 
1,2 1,3 1,4 1,5 1,5 1,7 1,8 2,0 2,2 2,5 
2,5 2,7 3,3 3,5 3,8 4,3 5,1 12,0 12, 15,0 
 
 
 
4 Probabilidade 
 
 
José Luis Duarte Ribeiro 
Carla ten Caten 
 
 
 
A Teoria das Probabilidades estuda os fenômenos aleatórios. 
Fenômeno Aleatório: são os fenômenos cujo resultado não pode ser 
previsto exatamente. Se o fenômeno se repetir, sob condições similares, 
o resultado não será sempre o mesmo. 
Experimento Aleatório: Qualquer fenômeno aleatório que possa ser 
executado pelo homem. 
CAMPO AMOSTRAL E 
EVENTOS 
 
Os resultados de um experimento aleatório podem ser representados em 
um espaço amostral ao qual chamaremos de S. 
O espaço S pode ser uni ou k-dimensional, discreto ou contínuo, finito 
ou infinito. A figura a seguir apresenta um espaço bidimensional onde 
aparecem os eventos A e B. 
Figura 9 - Campo amostral. 
 
 
Como pode ser visto, os eventos A e B estão completamente contidos 
em S e apresentam intersecção, ou seja, a sua ocorrência simultânea é 
possível. 
ESPAÇO AMOSTRAL E 
EVENTOS: 
Evento: É um conjunto de resultados possíveis do experimento. É um 
subconjunto de S. 
 
Exemplo: Em uma linha de produção, peças são fabricadas em série. Conte o nº de 
peças defeituosas em cada 200 peças produzidas. S = {0, 1, 2, ..., 200}; 
 
 
Eventos: 
A: ocorrer 10 peças defeituosas. A = {10}; 
B: ocorrer entre 10 e 15 peças defeituosas. B = {10, 11, 12, 13, 14, 15}; 
OPERAÇÕES COM 
CONJUNTOS 
Usando o símbolo ∪ para união e o símbolo ∩ para intersecção, 
Estatística Industrial 25 4. Probabilidade 
 
podemos definir os eventos C e D: 
Eq 25: C = A ∪ B 
 
representa o conjunto de valores que pertence a A ou B ou a ambos, 
enquanto que: 
Eq 26 D = A ∩ B 
 
representa o conjunto de valores que pertencem simultaneamente a A e 
B. 
Usaremos a letra φ para representar o conjunto vazio, e uma barra sobre 
a letra, por exemplo A , para representar o complemento de A, isto é, 
o conjunto de pontos que não pertence a A. 
DEFINIÇÃO DE 
PROBABILIDADE 
Um experimento será chamado aleatório se puder ser repetido um grande 
número de vezes sob condições similares e se o resultado de uma 
observação não pode ser exatamente previsto. Uma variável será 
chamada aleatória se descreve os resultados de um experimento 
aleatório. 
Para um evento E em S, podemos definir a existência de uma função 
P tal que P represente a probabilidade que x pertença a E. Isto é: 
Eq 27 E)(xPr P(E) ∈= 
 
Essa função P deve satisfazer algumas propriedades: 
 
1) 0 P 1≤ ≤ 
2) Se E1 e E2 são tais que E1 ∩ E2 = 0, 
tem-se que P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) 
3) A probabilidade de x pertencer a qualquer ponto do espaço amostral 
S deve ser igual a 1: P(S)=1 
Essas propriedades são importantes para derivar várias regras de cálculo 
de probabilidades. 
Para determinar a probabilidade de um evento, usaremos o ponto de 
vista das freqüências relativas: 
Eq 28 P(E) = m(E) / m(S) 
 
onde m(E) e m(S) representam as medidas de E e S. 
SOMA DE 
PROBABILIDADES 
Dois eventos são ditos mutuamente exclusivos se a sua intersecção é 
nula. Para eventos mutuamente exclusivos, a soma das probabilidades é 
dada pela generalização da propriedade 2. 
Eq 29 P(E1 ∪ E2. ∪....∪ Ek) = Σ P(Ei) 
 
Se os eventos E1 e E2 não são mutuamente exclusivos, mas são 
independentes, pode-se demonstrar que: 
26 4. Probabilidade José Luis Duarte Ribeiro & Carla ten Caten/PPGEP-UFRGS 
 
Eq 30 P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 ∩ E2) 
 
Para o caso de três eventos, a generalização anterior é: 
Eq 31 P(E1∪ E2 ∪ E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) - [P(E1 ∩ E2) + P(E1 ∩ E3) + 
P(E2 ∩ E3)] + P(E1 ∩ E2 ∩ E3) 
Figura 10 - Intersecção de três 
eventos. 
 
 
 
EXEMPLO 1: Um digestor químico é alimentado por material que vem de dois tanques 
independentes. O material do tanque 1 pode ser uma concentração de 
ácido que varia uniformemente entre 4 e 8, enquanto que o material do 
tanque 2 pode apresentar uma concentração de base entre 5 e 10 (ver 
Figura 11). Sejam os seguintes eventos: 
A: material do tanque 1 com concentração superior a 6 
B: material do tanque 2 com concentração inferior a 6 
Calcule a P(A), P( A ), P(B), P( B ), P(A ∪ B), P(A ∩ B) 
Figura 11- Exemplo do digestor 
químico. 
 
 
Solução: 
Usando o ponto de vista das freqüências relativas, tem-se: 
P(A) = m(A) / m(S) 
P(A) = 10 / 20 = 0,5 
Estatística Industrial 27 4. Probabilidade 
 
P( A ) = 1 - P(A) = 0,5 
P(B) = 4 / 20 = 0,20 
P( B ) = 1 - P(B) = 0,80 
P(A ∩∩∩∩ B) = 2/20 = 0,10 
P(A ∪∪∪∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩∩∩∩ B) 
 = 0,50 + 0,20 - 0,10 = 0,60 
EXEMPLO 2: Considerando os dados do exemplo anterior, e sabendo que o processo 
apresenta problemas quando a concentração de ácido supera a 
concentração de base, calcule a probabilidade disso acontecer. 
Solução: 
P(E1) = m(E1) / m(S) 
P(E1) = 20/2
33×
 = 0,225 
Figura 12- Exemplo do digestor 
químico. 
 
 
 
PRODUTO DE 
PROBABILIDADES 
A probabilidade de um evento A foi definida como a medida do 
conjunto A dividida pela medida de S. Poderíamos, então, escrever 
P(A/S) para indicar de forma explícita que a probabilidade de A está 
referida a todo o espaço amostral S. Assim: 
Eq 32: P(A) = P(A/S) = m(A) / m(S) 
 
Algumas vezes, no entanto, estaremos interessados em calcular a 
probabilidade de um evento E1 referida a um sub-espaço de S, por 
exemplo, ao espaço definido por E2: 
Eq 33: P(E1/E2) = m (E1 ∩ E2) / m(E2) 
 
Dividindo-se numerador e denominador por m(S): 
Eq 34: P(E1/E2) = [m (E1 ∩ E2) / m(S)] / [m(E2) / m(S)] 
Eq 35: P(E1/E2) = P(E1 ∩ E2) / P(E2) 
28 4. Probabilidade José Luis Duarte Ribeiro & Carla ten Caten/PPGEP-UFRGS 
 
 
Essa expressão define a probabilidade de E1 dado E2 ou referida a E2. 
A partir dessa expressão, obtém-se: 
Eq 36: P(E1 ∩ E2) = P(E1/E2) . P(E2) 
 
Da mesma forma, poderíamos escrever: 
Eq 37: P(E2/E1) = P(E1 ∩ E2) / P(E1) 
 
e então obter: 
Eq 38: P(E1 ∩ E2) = P(E2/E1) . P(E1) 
 
As equações 36 e 38 são análogas e definem a probabilidade do produto, 
ou seja, da ocorrência simultânea de E1 e E2. 
Para três eventos tem-se: 
Eq 39: P(E1 ∩ E2 ∩ E3)= P(E1) . P(E2/E1) . P(E3/E1 ∩ E2) 
 
ou expressões equivalentes usando P(E2) ou P(E3). 
Exemplo 3: Para o exemplo do digestor químico calcule a probabilidade da 
concentração de ácido superar a concentração de base quando sabe-se 
que a concentração de ácido é superior a 6,0. 
Solução: O que se pede é a P(E1) dado A. Essa probabilidade é: 
0,40
10/20
4/20
m(A)/m(S)
A)/m(S)m(E/A)P(E 11 ==
∩
= 
EVENTOS 
INDEPENDENTES 
Dois eventos, E1 e E2 são ditos independentes se: 
Eq 40: P(E1/E2) = P(E1) 
 
nesse caso, 
Eq 41: P(E1 ∩ E2) = P(E1) . P(E2) 
 
Para k eventos independentes, tem-se: 
Eq 42: P(E1 ∩ .... ∩ Ek) = Σ P(Ei) 
Exemplo 4: Um construtor se submete a licitação para duas obras independentes, A 
e B. Baseado na experiência, os engenheiros estimam que a 
probabilidade de ganhar a obra A é 0,25; e a probabilidade de ganhar a 
obra B é 0,33. Pede-se: 
a) Estimar a probabilidade de ganhar ao menos uma das duas obras: 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0,25 + 0,33 - (0,25 . 0,33) = 0,5 
b) Estimar a probabilidade de ganhar a obra A, sabendo-se que o 
construtor irá ganhar ao menos uma obra: 
Estatística Industrial 29 4. Probabilidade 
 
50,0
50,0
25,0
B)P(A
B))(AP(A
=B)P(A/A ==
∪
∪∩
∪ 
Note que P(A ∩ (A ∪ B)) é obviamente o mesmo que A, já que A 
está completamente contido em (A ∪ B). 
c) Se o construtor submete-se a outra licitação para uma obra C, com 
probabilidade de ganhar igual a 0,25, qual a probabilidade de ganhar ao 
menos uma obra? 
P(A ∪ B ∪ C) = 0,25 + 0,33 + 0,25 - (0,25 . 0,33 + 0,25 . 0,25 + 
 + 0,33 . 0,25) + (0,25 . 0,33 . 0,25)= 0,625 
Note que para o caso de eventos independentes vale também: 
P(A∪B∪C) = 1 - )CBAP( ∩∩ = 1 - (0,75 . 0,67 . 0,75) = 0,625 
PROBABILIDADE TOTAL Seja que no campo amostral S exista um evento B que consiste de k 
componentes mutuamente exclusivos: 
Eq 43: B = B1 ∪ B2 ∪ ... ∪Bk; Bi ∩ Bj = 0 
Figura 13 - Probabilidade total. 
 
 
E seja que no campo do evento B exista um outro evento A que pode 
ou não ocorrer simultaneamente com todos os componentes de B. 
Nesse caso, podemos escrever: 
Eq 44: A = (A ∩ B1) ∪ (A ∩ B2) ∪ ..... ∪ (A ∩ Bk) 
 
Isso quer dizer que o evento A está descrito em forma total pelos 
componentes B1....Bk do evento B, os quais são mutuamente 
exclusivos. Então: 
Eq 45: P(A) = P(A ∩ B1) +....+ P(A ∩ Bk) 
Eq 46: P(A) = P(B1) . P(A/B1) +....+ P(Bk) . P(A/Bk) 
Eq 47: P(A) = Σ P(Bi) . P(A/Bi) 
Exemplo 5: Na construção de um edifício usa-se 1000 Kg de material por dia; desse 
total, 600 Kg são adquiridos do fornecedor B1 e 400 Kg do fornecedor 
B2. 
30 4. Probabilidade José Luis Duarte Ribeiro & Carla ten Caten/PPGEP-UFRGS 
 
Assim B = B1 ∪ B2, onde B é a provisão de 1000 Kg/dia 
O material pode ser defeituoso e por experiência prévia sabe-se que B1 
e B2 têm as probabilidades de 0,03 e 0,01, respectivamente, de serem 
defeituosos. 
Chamando A o evento material defeituoso tem-se: 
A = (A ∩ B1) ∪ (A ∩ B2) 
Isto é, se o material é defeituoso, pode vir de B1 ou B2. Então A pode 
ser calculado a partir de: 
P(B1) = 0,6; P(B2) = 0,4 
P(A/B1) = 0,03; P(A/B2) = 0,01 
P(A) = P(B1) . P(A/B1) + P(B2) . P(A/B2) 
P(A) = (0,6) . (0,03) + (0,4) . (0,01) = 0,018 + 0,004 = 0,022 
Assim a probabilidade total de que o material seja defeituoso, vindo de 
B1 ou B2, é igual a 0,022. 
TEOREMA DE BAYES 
 
O Teorema de Bayes permite calcular a probabilidade posterior de um 
evento jB , P(Bj/A), baseada em nova informação referente ao evento 
A e conhecendo-se a probabilidade anterior jB , P(Bj). 
Usando o conceito de probabilidade condicional, tem-se: 
Eq 48: P(Bj/A) = P(Bj ∩ A) / P(A) 
 
Como A está descrito em termos de B1,.....,Bk, tem-se o Teorema de 
Bayes: 
Eq 49: P(Bj/A) = P(Bj ∩ A) / Σ P(Bj) . P(A/Bj) 
Eq 50: P(Bj/A) = P(Bj) . P(A/Bj) / [ Σ P(Bj) . P(A/Bj)] 
 
Nota-se que o Teorema de Bayes determina a probabilidade posterior de 
um evento jB , em função de um evento A e da probabilidade anterior 
de jB . 
Exemplo 6: Uma seção de pavimento de concreto é aceita se sua espessura for 
superior a 7,5 cm. A experiência prévia indica que 90% das seções 
construídas são aceitas. A medição da espessura é feita usando um 
aparelho ultra-sônico, cuja confiabilidade é de 80%, ou seja, há uma 
probabilidade de 80% que a conclusão baseada neste aparelho seja 
correta. 
Pede-se: 
a) Qual a probabilidade que a seção esteja bem construída e seja aceita 
na inspeção? 
Estatística Industrial 31 4. Probabilidade 
 
Solução: 
Seja A: seção bem construída, isto é, e > 7,5 cm. P(A) = ? 
Seja B: O aparelho indica que a seção está bem construída, ou seja, 
indica que e > 7,5 cm. P(B)=0,90 
Ainda, P(A/B) = 0,80 
Assim, o que se pede é a P(A ∩ B): 
P(A ∩ B) = P(B) . P(A/B) = (0,90) . (0,80) = 0,72 
b) A probabilidade que a seção não esteja bem construída e seja aceita: 
0,1820)(0,90).(0,/B)AP(B).P(B)AP( ===∩ 
c) A probabilidade que a seção seja aceita quando se sabeque a seção 
está bem construída. 
Essa probabilidade pode ser estimada usando o Teorema de Bayes. O 
que se pede é a P(B/A). 
Como somente podemos dizer que a seção está bem construída baseado 
nas medições temos: 
A)B(A)(BA ∩∪∩= 
Assim, )B P(A/. )BP( P(A/B). P(B)P(A) += 
P(A) = (0,90) . (0,80) + (0,10) . (0,20) = 0,74 
0,973
0,74
(0,80) . (0,90)
P(A)
 P(A/B). P(B)P(B/A) === 
Como se vê, a probabilidade anterior P(B) = 0,90 é agora modificada 
para P(B/A) = 0,973 depois de se saber o evento: a seção está bem 
construída. 
Exercícios 
Exercício 4.1. Dois eventos são ditos mutuamente exclusivos se eles não tem elementos 
em comum, ou seja, se eles não podem ocorrer simultaneamente. E um 
grupo de eventos é dito coletivamente exaustivo se eles esgotam todos os 
resultados possíveis para o experimento em questão. Dê um exemplo de 
eventos mutuamente exclusivos e coletivamente exaustivo. 
Exercício 4.2. Qual a probabilidade de um candidato ao vestibular acertar o dia da 
semana em que nasceu Pedro Alvarez Cabral? Que suposição você fez 
para calcular essa probabilidade? 
Exercício 4.3. Seja P(A) = 0,30 e P(B) = 0,80 e P(A∩B) = 0,15. Pede-se: 
a) A e B são mutuamente exclusivos? 
32 4. Probabilidade José Luis Duarte Ribeiro & Carla ten Caten/PPGEP-UFRGS 
 
b) Determine P(B) 
c) Determine P(A∪B) 
Exercício 4.4. Sejam A e B mutuamente exclusivos, P(A) = 0,52 e P(B) = 0,27. Pede-
se: 
a) A e B são coletivamente exaustivos? 
b) Determine P(A∪B) 
c) Determine P(A∩B) 
Exercício 4.5. As falhas de diferentes equipamentos são independentes uma das outras. 
Se há três equipamentos e as suas respectivas probabilidades de falha em 
um determinado dia são 1%, 2% e 5%, indique: 
a) a probabilidade de todos os equipamentos falharem em um mesmo dia 
b) de nenhum falhar 
Exercício 4.6. Uma fábrica de azulejos tem um processo de inspeção em 3 etapas. A 
probabilidade de um lote defeituoso passar sem ser detectado em uma 
dessas etapas é de aproximadamente 25%. Com base nessa informação, 
calcule a probabilidade de um lote defeituoso passar sem ser detectado 
por todas as 3 etapas. 
Exercício 4.7. Há 99% de probabilidade de uma máquina fabricar uma peça sem 
defeitos. Supondo que a fabricação de peças sucessivas constitua 
eventos independentes, calcule as seguintes probabilidades: 
a) de duas peças em seqüência serem defeituosas 
b) de dez peças em seqüência sem defeitos 
Exercício 4.8. Três máquinas A, B e C fabricam matrizes para a estamparia. O 
histórico dessas máquinas revela que elas produzem respectivamente 
1%, 2% e 3% de defeituosos. Um inspetor examina uma matriz e 
verifica que ela está perfeita. Sabendo que cada máquina é responsável 
por 1/3 da produção total, calcule a probabilidade de ela ser produzida 
por cada uma das máquinas. 
Exercício 4.9. Repita o exercício 8 para o caso em que o inspetor tivesse examinado a 
matriz e verificado que ela era defeituosa. 
Exercício 4.10. Repita o exercício 8 para o caso em que as máquinas A, B e C fossem 
responsáveis, respectivamente, pelos seguintes percentuais da produção 
total: 20%, 40% e 40%. 
Exercício 4.11. Uma cidade tem 30 mil habitantes e três jornais X, Y, Z. Uma pesquisa 
de opinião revela que: 12 mil lêem X, 8 mil Y, 7 mil X e Y, 6 mil Z, 
4.500 lêem X e Z, mil Y e Z e 500 lêem X,Y e Z. Qual a probabilidade 
de que um habitante leia: 
a) pelo menos um jornal 
Estatística Industrial 33 4. Probabilidade 
 
b) só um jornal 
c) ler o jornal X sabendo que ele lê o jornal Z 
Exercício 4.12. Uma empresa exploradora de petróleo perfura um poço quando acha que 
há pelo menos 25% de chance de encontrar petróleo. Ela perfura 4 
poços, aos quais são atribuídas probabilidades de 0,3 ; 0,4 ; 0,7 e 0,8. 
a) Determine a probabilidade de nenhum poço produzir petróleo, com 
base nas estimativas da empresa. 
b) Determine a probabilidade de os quatro poços produzirem petróleo. 
c) Qual a probabilidade de só os poços com probabilidades 0,3 e 0,7 
produzirem petróleo? 
Exercício 4.13. Os arquivos da polícia revelam que, das vítimas de acidente 
automobilístico que utilizam cinto de segurança, apenas 10% sofrem 
ferimentos graves, enquanto que a incidência é de 50% entre as vítimas 
que não utilizam cinto de segurança. Estima-se que em 60% a 
porcentagem dos motoristas que usam o cinto. A polícia acaba de ser 
chamada para investigar um acidente em que houve um indivíduo 
gravemente ferido. Calcule a probabilidade de ele estar usando o cinto 
no momento do acidente. A pessoa que dirigia o outro carro não sofreu 
ferimentos graves. Calcule a probabilidade dela estar usando o cinto no 
momento do acidente. 
 
 
5 Distribuições de probabilidade 
 
 
José Luis Duarte Ribeiro 
Carla ten Caten 
 
 
 
Conforme visto anteriormente, o histograma é usado para 
apresentar dados amostrais extraídos de uma população. Por 
exemplo, os 50 valores de uma característica dimensional 
apresentados anteriormente representam uma amostra de um 
processo industrial. O uso de métodos estatísticos permite que 
se analise essa amostra e se tire algumas conclusões sobre o 
processo de manufatura. 
Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático 
que relaciona um certo valor da variável em estudo com a sua 
probabilidade de ocorrência. Há dois tipos de distribuição de 
probabilidade: 
1.Distribuições Contínuas: Quando a variável que está sendo 
medida é expressa em uma escala contínua, como no caso de 
uma característica dimensional. 
2. Distribuições Discretas: Quando a variável que está sendo 
medida só pode assumir certos valores, como, por exemplo os 
valores inteiros 0, 1, 2, etc. 
Figura 14 - Distribuição de 
probabilidade discreta e 
contínua. 
 
No caso de distribuições discretas, a probabilidade que a 
variável X assuma um valor específico xo é dados por: 
Eq 51: P{X = xo} = P(xo) 
 
No caso de variáveis contínuas, as probabilidades são 
especificadas em termos de intervalos, pois a probabilidade 
associada a um número específico é zero. 
Eq 52: { } ∫=≤≤ ba dx )x(fbxaP 
Estatística Industrial 6-35 Erro! Resultado não válido para índice. 
 
 
 
DISTRIBUIÇÕES 
DISCRETAS MAIS 
IMPORTANTES 
 
 
Distribuição Binomial A distribuição binomial é adequada para descrever situações em 
que os resultados de uma variável aleatória podem ser 
agrupados em apenas duas classes ou categorias. As categorias 
devem ser mutuamente excludentes, de forma que não haja 
dúvidas na classificação do resultado da variável nas categorias 
e coletivamente exaustivas, de forma que não seja possível 
nenhum outro resultado diferente das categorias. 
Por exemplo, um produto manufaturado pode ser classificado 
como perfeito ou defeituoso, a resposta de um questionário pode 
ser verdadeira ou falsa, as chamadas telefônicas podem ser 
locais ou interurbanas. 
Mesmo as variáveis contínuas podem ser divididas em duas 
categorias, como, por exemplo, a velocidade de um automóvel 
pode ser classificada como dentro ou fora do limite legal. 
Geralmente, denomina-se as duas categorias como sucesso ou 
falha. Como as duas categorias são mutuamente excludentes e 
coletivamente exaustivas: 
1)()( =+ falhaPsucessoP 
Consequentemente, sabendo-se que, por exemplo, a 
probabilidade de sucesso é P(sucesso) = 0,6, a probabilidade de 
falha é P(falha) = 1 - 0,6 = 0,4. 
Condições de aplicação do modelo binomial 
a) são feitas n repetições do experimento, onde n é uma 
constante; 
b) há apenas dois resultados possíveis em cada repetição, 
denominados sucesso e falha 
c) a probabilidade p de um sucesso e (1-p) de falha permanece 
constante em todas as repetições; 
d) as repetições são independentes, ou seja, o resultado de uma 
repetição não é influenciado por outrosresultados. 
Seja um processo composto de uma seqüência de n observações 
independentes com probabilidade de sucesso constante igual a 
p, a distribuição do número de sucessos seguirá o modelo 
Binomial: 
Eq 53: ( ) xnxn x )p(p)x(P −−= 1 x = 0, 1, ...., n. 
 onde ( )n x representa o número de combinações de n objetos 
36 6. Estimativa de parâmetros José Luis Duarte Ribeiro & Carla ten Caten/PPGEP-UFRGS 
 
tomados x de cada vez, calculado como: 
Eq 54: ( ) )!(! ! xnx nn x −= 
 
Os parâmetros da distribuição Binomial são n e p. A média e 
a variância são calculadas como: 
Eq 55: np=µ 
Eq 56: )1(2 p np −=σ 
 
A distribuição Binomial é usada com freqüência no controle de 
qualidade. É o modelo apropriado quando a amostragem é feita 
sobre uma população infinita ou muito grande. Nas aplicações 
de controle da qualidade, x em geral representa o número de 
defeituosos observados em uma amostra de n itens. 
Por exemplo, se p = 0,10 e n = 15, a probabilidade de obter x 
itens não conformes é calculada usando a equação da binomial. 
Para x=1: 
Eq 57: ( ) 15)!115(!1 !1511 =−=5 
Eq 58: ( ) 3402301001510011001 1151151 ,, x ,),( x, x )P( =×=−= − 
Figura 15 - Distribuição 
Binomial com p = 0,10 e n = 
15 
 
Outra estatística de interesse para o controle de qualidade é a 
fração de defeituosos de uma amostra: 
Eq 59: 
n
xp =ˆ 
Eq 60: 
n
pp
p
)1(2
ˆ
−
=σ 
Distribuição de 
Poisson 
A distribuição de Poisson é adequada para descrever situações 
onde existe uma probabilidade de ocorrência em um campo ou 
intervalo contínuo, geralmente tempo ou área. Por exemplo, o 
número de acidentes por mês, o número de defeitos por metro 
Estatística Industrial 6-37 Erro! Resultado não válido para índice. 
 
quadrado, número de clientes atendidos por hora, etc. 
Nota-se que a variável aleatória é discreta (número de 
ocorrência), no entanto, a unidade de medida é contínua (tempo, 
área). Além disso, as falhas não são contáveis, pois não é 
possível contar o número de acidentes que não ocorreram, nem 
tampouco o número de defeitos que não ocorreram. 
A distribuição de Poisson fica completamente caracterizada por 
um único parâmetro λ que representa a taxa média de ocorrência 
por unidade de medida. 
Condições para a aplicação do modelo de Poisson: 
a) número de ocorrências durante qualquer intervalo depende 
somente da extensão do intervalo; 
b) as ocorrências ocorrem independentemente, ou seja, um 
excesso ou falta de ocorrências em algum intervalo não 
exerce efeito sobre o número de ocorrências em outro 
intervalo; 
c) a possibilidade de duas ou mais ocorrências acontecerem em 
um pequeno intervalo é muito pequena quando comparada à 
de uma única ocorrência. 
A equação para calcular a probabilidade de x ocorrências é dada 
por: 
Eq 61: 
!
)(
x
e
xP
xλλ−
= x = 0, 1,.... 
 
A média e a variância da distribuição de Poisson são: 
Eq 62: λµ = 
Eq 63: λσ =ˆ 
 
A aplicação típica da distribuição de Poisson no controle da 
qualidade é como um modelo para o número de defeitos (não 
conformidades) que ocorre por unidade de produto (por m2, por 
volume ou por tempo, etc.). 
Como um exemplo, suponha que o número de defeitos de 
pintura siga uma distribuição de Poisson com λ = 2. Então, a 
probabilidade que uma peça apresente mais de 4 defeitos de 
pintura virá dada por: 
Eq 64: { } ∑
=
−
−=≤−
4
0
2
!
2141
x
x
x
eXP 
Eq 65: { } %5,5055,0945,0141 ==−=≤− XP 
38 6. Estimativa de parâmetros José Luis Duarte Ribeiro & Carla ten Caten/PPGEP-UFRGS 
 
Figura 16 - Distribuição de 
Poisson com λ = 2. 
 
 x P(x) 
 0 0,135 
 1 0,270 
 2 0,270 
 3 0,180 
 4 0,090 
 5 0,036 
 6 0,012 
 
A distribuição de Poisson é uma forma limite da distribuição 
Binomial, quando 0→∞→ p e n , mas mantendo o 
quociente λ=np 
DISTRIBUIÇÕES 
CONTÍNUAS MAIS 
IMPORTANTES 
 
 
Distribuição 
Exponencial 
Na distribuição de Poisson, a variável aleatória é definida como 
o número de ocorrências em determinado período, sendo a 
média das ocorrências no período definida como λ. Na 
Distribuição Exponencial a variável aleatória é definida como o 
tempo entre duas ocorrências, sendo a média de tempo entre 
ocorrências de 1/λ. 
Por exemplo, se a média de atendimentos no caixa bancário é de 
λ = 6 atendimentos por minuto, então o tempo médio entre 
atendimentos é 1/λ = 1/6 de minuto ou 10 segundos. 
Condição de aplicação do modelo exponencial: 
a) o número de ocorrências deve seguir uma distribuição de 
Poisson. 
Se considerarmos a distribuição de Poisson como o modelo para 
o número de ocorrências de um evento no intervalo de [0, t] 
teremos: 
Eq 66: 
!
)()(
x
te
xP
xt λλ−
= 
 
E nesse caso pode ser demonstrado que a distribuição dos 
intervalos entre ocorrências irá seguir o modelo Exponencial 
com parâmetro λ. O modelo da distribuição Exponencial é o 
seguinte: 
Eq 67: 0;)( ≥= − t etf tλλ 
Estatística Industrial 6-39 Erro! Resultado não válido para índice. 
 
 
onde λ > 0 é uma constante. 
Figura 17 - Distribuição 
Exponencial. 
 
A média e o desvio-padrão da distribuição Exponencial são 
calculados usando: 
Eq 68: 
λµ
1
= 
Eq 69: λσ
1
= 
 
A distribuição Exponencial acumulada vem dada por: 
Eq 70: 0 1}{)( t0 ≥−==≤=
−−
∫ tedxetTPtF
t x λλλ 
 
A distribuição Exponencial é largamente utilizada no campo da 
confiabilidade, como um modelo para a distribuição dos tempos 
até a falha de componentes eletrônicos. Nessas aplicações o 
parâmetro λ representa a taxa de falha para o componente, e 
1/λ é o tempo médio até a falha. 
Por exemplo, suponha que uma máquina falhe em média uma 
vez a cada dois anos λ=1/2=0,5. Calcule a probabilidade da 
máquina falhar durante o próximo ano. 
Eq 71: 0,3930,607-11}1{)( 0,5x1 ==−=≤= −eTPtF 
 
A probabilidade de falhar no próximo ano é de 0,393 e de não 
falhar no próximo ano é de 
1-0,393=0,607. Ou seja, se forem vendidos 100 máquinas 
39,3% irão falhar no período de um ano. 
Conhecendo-se os tempos até a falha de um produto é possível 
definir os períodos de garantia. 
Distribuição de Weibull O modelo da distribuição de Weibull é: 
40 6. Estimativa de parâmetros José Luis Duarte Ribeiro & Carla ten Caten/PPGEP-UFRGS 
 
Eq 72: 













 −
−




 −
=
− γγ
θθθ
γ Lx
e
Lx
xf
1
)( 
Eq 73: 













 −
−−=
γ
θ
Lx
exF 1)( 
 
onde: 
γ: parâmetro de forma 
θ: parâmetro de escala 
L: parâmetro de localização 
A média e a variância da distribuição de Weibull vêm dadas por: 
Eq 74: 





+Γ+=
γ
θµ 11 L 
Eq 75: 














+Γ−





+Γ=
2
22 1121
γγ
θσ 
 
A distribuição de Weibull é muito flexível e pode assumir uma 
variedade de formas. Ela tem sido usada extensivamente para 
modelar tempos de processo ou tempos até a falha de 
componentes elétricos, componentes mecânicos, elementos 
estruturais e sistemas complexos. 
Distribuição Normal A distribuição Normal é a mais importante das distribuições 
estatísticas, tanto na teoria como na prática. Uma das razões, é 
que a distribuição Normal representa a distribuição de 
freqüência de muitos fenômenos naturais. Outra razão é que a 
distribuição Normal serve como aproximação da distribuição 
Binomial, quando n é grande. No entanto, o motivo mais 
importante é que as médias e as proporções de