Atividade 4 Laboratório de Matemática e Física

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ATIVIDADE 4 LABORATÓRIO DE MATEMÁTICA E FÍSICA
· Pergunta 1
1 em 1 pontos
	
	
	
	Suponha que o vetor posição  de uma partícula P em movimento no espaço ℝ 3 seja dado, em função do tempo, pela expressão  . Os vetores  ,   e   possuem módulo unitário e estão alinhados, respectivamente, aos eixos x, y ou z de um sistema cartesiano de coordenadas.
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. O componente z da aceleração vetorial é zero.
II. A velocidade vetorial é  .
III. A posição inicial da partícula é   .
IV. A trajetória da partícula é helicoidal.
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
V, V, V, V.
	Resposta Correta:
	 
V, V, V, V.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. Justificativa: .  ⇒ . . Na direção z, o movimento é uniforme enquanto as coordenadas x e y possuem variações cossenoidais ou senoidais. Portanto, a partícula desenvolve trajetória helicoidal, ascendente, a partir do plano XY.
	
	
	
· Pergunta 2
1 em 1 pontos
	
	
	
	A figura a seguir representa um móvel que percorre uma trajetória em forma de segmento circular AB, no sentido anti-horário, no intervalo de tempo de 1 segundo. O raio R da trajetória possui valor R = 2 metros. Os vetores   e   são vetores canônicos e possuem módulo de valor unitário.
 
 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Assinale a alternativa que indica os valores do módulo da velocidade vetorial média e da velocidade escalar média, respectivamente.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
3,7 m/s e 4,7 m/s.
	Resposta Correta:
	 
3,7 m/s e 4,7 m/s.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. Justificativa:  e . Sendo , então o módulo da velocidade vetorial média é m/s. A velocidade escalar média no percurso AB, no mesmo período  = 1 s é  = 4,7 m/s.
	
	
	
· Pergunta 3
1 em 1 pontos
	
	
	
	Segundo uma propriedade da geometria vetorial, o produto misto   está relacionado ao volume do paralelepípedo definido por esses vetores. Considere os pontos seguintes e as suas coordenadas em um espaço euclidiano ℝ 3 : P(0, 1, 1), Q(1, 0, 2), R = (1, -2, 0) e S(-2, 2, -2). Eles definem os vetores   = (1, -1, 1),   = (1, -3, -1),   = (-2, 1, -3), dentre outros.
A respeito desses vetores, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. Pertencem ao mesmo plano.
PORQUE
II.  .
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
	Resposta Correta:
	 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. Justificativa: Pelo cálculo do produto misto  X = 0. Então, o volume do paralelepípedo definido por esses vetores é nulo. Isso só pode ocorrer se os vetores pertencem ao mesmo plano. Implica que os quatro pontos são coplanares e quaisquer vetores definidos por eles também serão coplanares.
	
	
	
· Pergunta 4
1 em 1 pontos
	
	
	
	Um teorema da geometria afirma que o volume de um tetraedro, quando definido por meio de três vetores linearmente independentes,  ,    e  , pode ser expresso como um produto misto do tipo  . Assim, considere que os pontos P(-10, 20, 0), Q(20, 10, -30), R(10, 10, 10) e S(30, -20, 30) definem os vértices de um tetraedro.
 
Assinale a alternativa que indica o volume desse sólido.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. Justificativa: Denominando   (20-(-10), 10-20, -30-0),  (10-(-10), 10-20, 10-0) e   (30-(-10), -20-20, 30-0) temos, pelo teorema, que X = u.v.
	
	
	
· Pergunta 5
1 em 1 pontos
	
	
	
	No cálculo vetorial, a função gradiente é definida como a taxa de variação de uma grandeza escalar por unidade de espaço. Dada uma função escalar  , o seu gradiente é definido por  , em que  ,   e   são vetores canônicos. Vetores canônicos possuem módulo unitário, são mutuamente ortogonais entre si e estão identificados com as direções dos eixos cartesianos x, y e z.
 
A partir do exposto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
1. O gradiente de uma função escalar é um vetor.
PORQUE
5. A grandeza possui módulo, direção e sentido.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
	Resposta Correta:
	 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. Justificativa: Esta é a própria definição de uma grandeza vetorial. A função  identifica o módulo, a direção e o sentido em que a função escalar  apresenta a maior taxa de variação por unidade de comprimento em um dado ponto de coordenadas .
	
	
	
1. Pergunta 6
1 em 1 pontos
	
	
	
	Seja dado um triângulo de vértices A, B e C. Considere que o ponto médio do segmento   é o ponto M e que N é o ponto médio do segmento  . As propriedades da geometria euclidiana podem, também, ser definidas em termos da notação vetorial.
 
  
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
Assim, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I.    é paralelo a  .
PORQUE
II.  .
A seguir, assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
	Resposta Correta:
	 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. Justificativa:   . Portanto, . Se dois vetores são proporcionais entre si é porque possuem a mesma direção. Então, por isso, os segmentos  e  são paralelos entre si.
	
	
	
1. Pergunta 7
1 em 1 pontos
	
	
	
	Uma grandeza relacionada à possibilidade de um corpo sofrer torção ou alterar rotações é denominada torque. Matematicamente, é definida   em que   é a posição de aplicação da força   em relação ao eixo de rotação. Suponha a situação seguinte em que uma força de 10 N, no sentido positivo do eixo x, é aplicada sobre uma barra AB de 2 m de comprimento alinhada ao eixo y.
  
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e a assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsas.
I. Nessa situação, o módulo do torque é  .
II. Uma das unidades de medida do vetor   é m.N.
III. O vetor   é ortogonal, simultaneamente, a   e a  .
IV. A orientação de   coincide com a do vetor   no eixo z.
 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
V, V, V, V.
	Resposta Correta:
	 
V, V, V, V.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. Justificativa: , porque X. Em relação às unidades de medidas, [ ] = [ ] ⇒  [ ] =  = = [L] [F], que é o produto de um comprimento por uma força, ou seja, pode ser metro x Newton ou m.N. O vetor resultado de um produto vetorial é ortogonal aos dois vetores multiplicadores. Pelos cálculos anteriores, , a direção do vetor torque é na direção do eixo z, mas com sentido oposto ao do vetor .
	
	
	
1. Pergunta 8
1 em 1 pontos
	
	
	
	Uma função gradiente é uma medida da taxa de variação de uma grandeza escalar por unidade de espaço e é uma medida vetorial. Isotermas são conjuntos de pontos que identificam uma mesma medida de temperatura. Considere o mapa do Rio Grande do Sul que foi, hipoteticamente, noticiado no bloco de previsão do tempo. Ele registra as isotermas, em graus Celsius, pelo território em um dado momento do dia.
  
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
Assim, qual dos trajetos lineares, identificados de I a V, apresenta o maior gradiente de temperatura naquele momento? Assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
I.
	Resposta Correta:
	 
I.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. Justificativa: No trajeto I do território, a variação da temperatura é maior em uma distância linear relativamente pequena quando comparada aos demais trechos. Então,o gradiente de temperatura é o mais alto.  No trajeto II, por exemplo, a variação de temperatura é a mesma que em I, mas a distância territorial é maior. Portanto, o gradiente em II é menor do que em I.
	
	
	
1. Pergunta 9
1 em 1 pontos
	
	
	
	Uma espécie de formiga registra os movimentos em um sistema mental de coordenadas e soma deslocamentos em relação a um sistema de eixos XY. Considere que uma delas executa movimentos de acordo com o desenho superior. Os vetores   representam os deslocamentos parciais a partir do formigueiro. A posição final da formiga também está indicada. O desenho inferior sumariza os deslocamentos.
  
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
De acordo com o enunciado e apoiado pela figura apresentada, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. O vetor   representa a trajetória integral da formiga.
PORQUE
II. O vetor   possui origem em (0, 0) e término na posição final.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
As asserções I e II são proposições falsas.
	Resposta Correta:
	 
As asserções I e II são proposições falsas.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. Justificativa: O vetor deslocamento  possui origem nas coordenadas em que o movimento de um corpo tem início e término na posição final do corpo em análise. Ele representa a soma dos deslocamentos parciais e, geralmente, não possui qualquer relação com a trajetória real do corpo estudado.
	
	
	
1. Pergunta 10
1 em 1 pontos
	
	
	
	Duas partículas movem-se, linearmente e com velocidades constantes, em um plano, em que o ponto O é origem de um sistema de coordenadas cartesiano. A velocidade da partícula 1 possui módulo   = 1 m/s, inclinação de 45º, e a velocidade da partícula 2 é  . Em t = 0 s, a partícula 1 dista 20 m de  , horizontal, e a partícula 2 ocupa a mesma coordenada x que a partícula 1.
 
  
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. (  ) A posição da partícula 1 pode ser definida por: 
II. (  ) A posição da partícula 2 pode ser definida por: 
III. (  ) Existe um momento t em que as partículas 1 e 2 chocam-se entre si.
IV. (  ) As partículas 1 e 2 atingem o ponto de coordenada x = 0 em instantes diferentes.
 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
V, V, F, V.
	Resposta Correta:
	 
V, V, F, V.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. Justificativa: Para a partícula 1,  com  . Logo, . Para a partícula 2,  e . Como não existe um momento t no qual  as partículas nunca se chocam. Para     s. Para ⇒ s. Ou seja, a passagem da partícula 1 pela coordenada x = 0 é anterior à passagem da partícula 2 pela mesma coordenada.