Capítulo 11- Logaritmos - Isolados

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CAPÍTULO 11 - LOGARITMOS 
11.1 - Logaritmos 
Chamamos de logaritmo de 𝑏 na base a o expoente real 𝑥 ao qual se deve elevar a para se obter 𝑏. 
 
 
com 𝒂 > 𝟎, 𝒃 > 𝟎 e 𝒂 ≠ 𝟏 
 A operação por meio da qual obtemos 𝑥 na igualdade 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 = 𝒙 é chamada logaritmação. A seguinte nomenclatura 
é utilizada: 
 
Quando a base de um logaritmo é 10, costuma-se omiti-la na sua representação. O conjunto formado por todos os 
logaritmos de base 10 é chamado de sistema de logaritmos decimais ou sistema de logaritmos de Briggs. 
𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝒙 
Outro sistema bastante utilizado é o sistema de logaritmos naturais ou sistema de logaritmos neperianos, pois tem 
grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza. Esses logaritmos têm base e, o número irracional 
conhecido como número de Euler, que equivale a 2,71828... . Costuma-se utilizar a notação 𝒍𝒏, para representar esse 
tipo de logaritmo. 
𝐥𝐨𝐠𝒆 𝒙 = 𝒍𝒏𝒙 
11.2 - Condições de existência de um logaritmo 
Para que 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 = 𝒙 tenha significado para todo 𝑥 real, precisamos estabelecer que o logaritmando 𝑏 deve ser 
positivo. 
✓ log2(−8) = 𝑥 , não existe, pois não há 𝑥 real tal que 2
𝑥 = −8. 
✓ log2 0 = 𝑥 , não existe, pois não há 𝑥 real tal que 2
𝑥 = 0. 
A base 𝑎 deve ser positiva e diferente de 1. 
 
Exercícios de Fixação – Definição 
01. (UNIFESP 2008) A tabela apresenta valores de uma escala logarítmica decimal das populações de grupos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 
... de pessoas. 
𝑮𝒓𝒖𝒑𝒐 𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 𝑬 𝑭 
𝑷𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂çã𝒐 (𝒑) 𝟓 𝟑𝟓 𝟏. 𝟖𝟎𝟎 𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎 . . . . 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟗. 𝟎𝟎𝟎 
𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝒑 𝟎, 𝟔𝟗𝟖𝟗𝟕 𝟏, 𝟓𝟒𝟒𝟎𝟕 𝟑, 𝟐𝟓𝟓𝟐𝟕 𝟒, 𝟕𝟕𝟖𝟏𝟓 𝟓, 𝟓𝟒𝟒𝟎𝟕 𝟕, 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟗 
Por algum motivo, a população do grupo 𝐸 está ilegível. A partir de valores da tabela, pode-se deduzir que a população 
do grupo 𝐸 é 
𝑎) 170.000. 
𝑏) 180.000. 
𝑐) 250.000. 
𝑑) 300.000. 
𝑒) 350.000. 
 
02. (UFRN 2003) Na década de 30 do século passado, Charles F. Richter desenvolveu uma escala de magnitude de 
terremotos - conhecida hoje em dia por escala Richter -, para quantificar a energia, em Joules, liberada pelo 
movimento tectônico. Se a energia liberada nesse movimento é representada por 𝐸 e a magnitude medida em grau 
Richter é representada por 𝑀, a equação que relaciona as duas grandezas é dada pela seguinte equação logarítmica: 
𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝑬 = 𝟏, 𝟒𝟒 + 𝟏, 𝟓 𝑴 
Comparando o terremoto de maior magnitude ocorrido no Chile em 1960, que atingiu 9.0 na escala Richter, com o 
terremoto ocorrido em San Francisco, nos EUA, em 1906, que atingiu 8.0, podemos afirmar que a energia liberada no 
terremoto do Chile é aproximadamente 
𝑎) 10 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑚𝑜𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝐸𝑈𝐴. 
𝑏) 15 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑚𝑜𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝐸𝑈𝐴. 
𝑐) 21 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑚𝑜𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝐸𝑈𝐴. 
𝑑) 31 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑚𝑜𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝐸𝑈𝐴. 
 
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03. (UFC 2002) Suponha que o nível sonoro 𝛽 e a intensidade 𝐼 de um som estejam relacionados pela equação 
logarítmica 𝜷 =𝟏𝟐𝟎 + 𝟏𝟎 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝑰, em que 𝛽 é medido em decibéis e 𝐼, em watts por metro quadrado. Sejam, 𝐼1 a 
intensidade correspondente ao nível sonoro de 80 decibéis de um cruzamento de duas avenidas movimentadas, e 𝐼2 
a intensidade correspondente ao nível sonoro de 60 decibéis do interior de um automóvel com ar-condicionado. A 
razão 
𝑰𝟏
𝑰𝟐
 é igual a: 
𝑎) 
1
10
 
𝑏) 1 
𝑐) 10 
𝑑) 100 
 
04. (PUCSP 2000) A energia nuclear, derivada de isótopos radiativos, pode ser usada em veículos espaciais para 
fornecer potência. Fontes de energia nuclear perdem potência gradualmente, no decorrer do tempo. Isso pode ser 
descrito pela função exponencial 𝐏 = 𝐏𝟎 ∙ 𝒆
−
𝒕
𝟐𝟓𝟎, na qual 𝑃 é a potência instantânea, em watts, de radioisótopos de 
um veículo espacial; 𝑃0 é a potência inicial do veículo; 𝑡 é o intervalo de tempo, em dias, a partir de 𝑡0 = 0; e e a base 
do sistema de logaritmos neperianos. Nessas condições, quantos dias são necessários, aproximadamente, para que a 
potência de um veículo espacial se reduza à quarta parte da potência inicial? (𝐷𝑎𝑑𝑜: 𝐼𝑛2 = 0,693) 
𝑎) 336 
𝑏) 338 
𝑐) 340 
𝑑) 342 
𝑒) 346 
 
05.(UFRN 1999) Sendo 𝑁 um número real positivo e 𝑏 um número real positivo diferente de 1, diz-se que 𝑥 é o 
logaritmo de 𝑁 na base 𝑏 se, e somente se, 𝑏𝑥 = 𝑁. Assinale a opção na qual 𝑥 é o logaritmo de 𝑁 na base 𝑏. 
𝑎) 𝑁 = 0,5; 𝑏 = 2; 𝑥 = −2 
𝑏) 𝑁 = 0,5; 𝑏 = 2; 𝑥 = 1 
𝑐) 𝑁 = 0,125; 𝑏 = 2; 𝑥 = −4 
𝑑) 𝑁 = 0,125; 𝑏 = 2; 𝑥 = −3 
 
06.(UNITAU 1995) O domínio da função 𝑦 = log𝑥(2𝑥 − 1) é: 
𝑎) 𝑥 > 1/2. 
𝑏) 𝑥 > 0. 
𝑐) 𝑥 < 1/2 𝑒 𝑥 ≠ 1. 
𝑑) 𝑥 > 1/2 𝑒 𝑥 ≠ 1. 
 
GABARITO – DEFINIÇÃO e CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA 
01 E 02 D 03 D 
04 E 05 D 06 D 
11.3 - Consequências da definição 
 Justificativa Exemplo 
O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a 0. 
log𝑎 1 = 0 
 
𝑎0 = 1 log8 1 = 0 
O logaritmo da própria base é igual a 1. log𝑎 𝑎 = 1 𝑎
1 = 𝑎 log2 2 = 1 
O logaritmo de uma potência da base é igual ao 
expoente. 
log𝑎 𝑎
𝑛 = 𝑛 
 
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 
log3 81 = log3 3
4 = 4 
 
O logaritmo de 𝑏 na base 𝑎 é o expoente ao qual 
devemos elevar 𝑎 para obter 𝑏 
𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑏 
 
𝑎𝑥 = 𝑏 ⇔ 𝑥 = log𝑎 𝑏 2
log2 3 = 3 
 
 
 
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11.4 - Propriedades dos logaritmos 
11.4.1 - Logaritmo de um produto 
O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores, tomados na mesma base, ou seja: 
𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒃𝒄) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 + 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒄 , 𝒄𝒐𝒎 𝒂 > 𝟎, 𝒃 > 𝟎, 𝒄 > 𝟎 𝒆 𝒂 ≠ 𝟏 
 
11.4.2 - Logaritmo de um quociente 
O logaritmo de um quociente é igual a diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor, tomados na 
mesma base, ou seja: 
𝐥𝐨𝐠𝒂 (
𝒃
𝒄
) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 − 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒄 , 𝒄𝒐𝒎 𝒂 > 𝟎, 𝒃 > 𝟎, 𝒄 > 𝟎 𝒆 𝒂 ≠ 𝟏 
 
11.4.3 - Logaritmo de uma potência 
O logaritmo de uma potência equivale ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência, ou seja: 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃
𝒏 = 𝒏. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 , 𝒄𝒐𝒎 𝒂 > 𝟎, 𝒃 > 𝟎, 𝒄 > 𝟎 𝒆 𝒂 ≠ 𝟏 
 
11.5 - Mudança de base 
Todas as propriedades operatórias dos logaritmos são válidas somente quando aplicadas a logaritmos de mesma base. 
Além disso, nas calculadoras científicas existem teclas que calculam apenas logaritmos decimais e logaritmos 
neperianos. Para resolver esses problemas, existe uma fórmula conhecida como fórmula da mudança de base, a qual 
permite transformar o logaritmo de uma base em outra: 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 =
𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒃
𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒂
, 𝒄𝒐𝒎 𝒂 > 𝟎, 𝒃 > 𝟎, 𝒄 > 𝟎 𝒆 𝒂 ≠ 𝟏 𝒆 𝒄 ≠ 𝟏 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – PROPRIEDADES BÁSICAS E FUNDAMENTAIS 
01. O número, em centenas de indivíduos, de um determinado grupo de animais, 𝑥 dias após a liberação de um 
predador no seu ambiente, é expresso pela seguinte função: 
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠
𝟓 √𝟓
𝟑 (𝒙𝟒) 
Após cinco dias da liberação do predador, o número de indivíduos desse grupo presentes no ambiente será igual a: 
𝑎) 3 
𝑏) 4 
𝑐) 300 
𝑑) 400 
 
02. Adotando 𝑙𝑜𝑔 2 = 0,301, a melhor aproximação de log5 10 representada por uma fração irredutível de 
denominador 7 é 
𝑎) 
8
7
. 
𝑏) 
9
7
. 
𝑐) 
10
7
. 
𝑑) 
11
7
. 
𝑒) 
12
7
 
 
03. Conhecendo-se os valores aproximados dos logaritmos decimais, log10 13 = 1,114 e log10 15 = 1,176, então, 
o valor de log10 195 é 
𝑎) 0,062. 
𝑏) 0,947. 
𝑐) 1,056. 
𝑑) 1,310. 
𝑒) 2,290. 
 
 
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04. (PUCSP 2005) Se 𝑥 e 𝑦 sãonúmeros reais tais que log8 2
𝑋 = 𝑦 + 1 e log3 9
𝑦 = 𝑥 − 9, então 𝑥 − 𝑦 é igual a: 
𝑎) 5 
𝑏) 8 
𝑐) 10 
𝑑) 12 
𝑒) 15 
 
05. (UFRS 2004) A soma 
log
2
3
+ log
3
4
+ log
4
5
+ ⋯ + log
19
20
 
é igual a 
𝑎) − 𝑙𝑜𝑔20. 
𝑏) − 1. 
𝑐) 𝑙𝑜𝑔2. 
𝑑) 1. 
𝑒) 2. 
 
06. (UFRN 2001) Trabalhando com 𝑙𝑜𝑔3 = 0,477 e 𝐼𝑜𝑔2 = 0,301, assinale a opção cujo valor mais se aproxima de 
𝑙𝑜𝑔(61). 
𝑎) 1,079 
𝑏) 1,255 
𝑐) 1,556 
𝑑) 1,778 
 
07.(UNIRIO 1998) Um professor propôs aos seus alunos o seguinte exercício: "Dada a função 𝑓: ℝ∗ → ℝ determine a 
imagem de 𝑥 = 1024" 
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟔𝟒𝒙
𝟑 
Qual não foi sua surpresa quando, em menos de um minuto, um aluno respondeu corretamente que a imagem era: 
𝑎) 30 
𝑏) 32 
𝑐) 33 
𝑑) 35 
𝑒) 36 
 
08.(CESGRANRIO 1995) Se log10 13 = 2,09, o valor de log10 1,23 é: 
𝑎) 0,0209 
𝑏) 0,09 
𝑐) 0,209 
𝑑) 1,09 
𝑒) 1,209 
 
09.(UEL 1996) Admitindo-se que log5 2 = 0,43 e log5 3 = 0,68, obtém-se para log5 12 o valor 
𝑎) 1,6843 
𝑏) 1,68 
𝑐) 1,54 
𝑑) 1,11 
 
10. (UECE 1996) Seja 𝑘 um número real positivo e diferente de 1. Se 
(2𝑘−1)
3
= log√5 𝑘 . log𝑘 5 
então 15𝑘 + 7 é igual a: 
𝑎) 17 
𝑏) 19 
𝑐) 27 
𝑑) 32 
 
 
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GABARITO - PROPRIEDADES BÁSICAS E FUNDAMENTAIS 
01 C 02 C 03 E 
04 E 05 B 06 D 
07 E 08 B 09 C 
10 C 
 
11.6 - Equações logarítmicas 
Chamamos de equações logarítmicas as equações envolvendo logaritmos e cujas incógnitas podem aparecer no 
logaritmando ou na base. Ao resolvermos este tipo de equação, devemos sempre verificar se os valores obtidos para 
a incógnita satisfazem as condições de existência. 
 
Exemplo 1 
Resolva a equação log𝑥(2𝑥 + 15) = 2: 
Resolução 
Pela definição de logaritmo: 𝑥2 = 2𝑥 + 15 
Resolvendo a equação do 2º grau: 
𝑥2 − 2𝑥 − 15 = 0 ⇒ 𝑥′
= −3 𝑜𝑢 𝑥′′ = 5 
Verificando se os valores encontrados para x satisfazem as condições de 
existência: 
Base positiva e diferente de 1: 𝑥 > 0 𝑒 𝑥 ≠ 1 
 
Logaritmando positivo: 2𝑥 + 15 > 0 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −3: 
−3 > 0 (𝐹) 𝑒 − 3 ≠ 1 (𝑉) 
2. (−3) + 15 > 0 (𝑉) 
 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 5: 
5 > 0 (𝑉) 𝑒 5 ≠ 1 (𝑉) 
2. (5) + 15 > 0 (𝑉) 
 
Observe que 𝑥 = 5 satisfaz todas as condições de existência da equação, 
enquanto 𝑥 = −3 não. 
Portanto, 𝑆 = {5} 
 
Exercícios de Fixação – Equações Logarítmicas 
01. (UFRN 2006) Um paciente de um hospital está recebendo soro por via intravenosa. O equipamento foi regulado 
para gotejar 𝑥 gotas a cada 30 segundos. Sabendo-se que este número 𝑥 é solução da equação log4 𝑥 = log2 3, e 
que cada gota tem volume de 0,3 𝑚𝐿, pode-se afirmar que o volume de soro que este paciente recebe em uma hora 
é de 
𝑎) 800 𝑚𝐿 
𝑏) 750 𝑚𝐿 
𝑐) 724 𝑚𝐿 
𝑑) 500 𝑚𝐿 
𝑒) 324 𝑚𝐿 
 
02. (FMTM 2005) Sendo 𝑎 e 𝑏 reais positivos diferentes de 1 tais que 𝑥 = log𝑏 𝑎 e 𝑦 = log𝑎 𝑏, a soma dos inversos 
de 𝑥 e 𝑦, em função de 𝑥, é igual a 
𝑎) 
2𝑥 + 1
𝑥2
 
𝑏) 
2𝑥 + 1
𝑥
 
𝑐) 
𝑥2 + 1
𝑥
 
𝑑)𝑥2 − 𝑥 + 1 
𝑒) 𝑥2 − 2𝑥 + 1 
 
 
 
 
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03. (MACK 2005) Se log2 √𝑥 + log2
1
𝑥
= −1 então log4 𝑥 é igual a: 
𝑎)
1
4
 
𝑏)
1
2
 
𝑐) − 1 
𝑑) 1 
𝑒) − 2 
 
04. (UFSM 1998) Se log2 𝑥 + log4 𝑥 + log8 𝑥 + log16 𝑥 = − 6,25, então 𝑥 é igual a 
𝑎) 8 
𝑏) 6 
𝑐) 
1
4
 
𝑑) 
1
6
 
𝑒) 
1
8
 
 
05. (UNIFESP 2008) Uma das raízes da equação 22𝑥 − 8 . 2𝑥 + 12 = 0 é 𝑥 = 1. A outra raiz é 
𝑎) 1 + log10
3
2
. 
𝑏) 1 + 
log10 3
log10 2
. 
𝑐) log10 3 . 
𝑑) 
log10 6
2
 
𝑒) log10
3
2
. 
 
06. (UNESP 2004) A expectativa de vida em anos em uma região, de uma pessoa que nasceu a partir de 1900 no ano 
𝑥 (𝑥 ≥ 1900), é dada por 𝐿(𝑥) = 12. (199. log10 𝑥 − 651). Considerando log10 2 = 0,3, uma pessoa dessa região 
que nasceu no ano 2000 tem expectativa de viver: 
𝑎) 48,7 𝑎𝑛𝑜𝑠. 
𝑏) 54,6 𝑎𝑛𝑜𝑠. 
𝑐) 64,5 𝑎𝑛𝑜𝑠. 
𝑑) 68,4 𝑎𝑛𝑜𝑠. 
𝑒) 72,3 𝑎𝑛𝑜𝑠. 
 
GABARITO - EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
01 E 03 D 05 B 
02 D 04 A 06 D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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11.7 - Função logarítmica 
A função exponencial 𝑦 = 𝑎𝑥 definida de ℝ 𝑒𝑚 ℝ+
∗ , com 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, é bijetora, portanto admite função inversa. 
Vamos determinar a função inversa de 𝑦 = 𝑎𝑥: 
𝑇𝑟𝑜𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑦 𝑒 𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑥: 𝑥 = 𝑎𝑦 
𝑃𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜: 𝑦 = log𝑎 𝑥 
A função inversa da função exponencial chama-se função logarítmica. 
 
Denominamos função logarítmica de base 𝒂, a função que associa cada elemento 𝒙 ao seu logaritmo, nessa base. Não 
podemos esquecer as condições de existência: a base 𝒂 deve ser positiva e diferente de 𝟏 e o logaritmando 𝒙 deve ser 
positivo. Sendo assim, o domínio da função logarítmica é o conjunto dos números reais positivos, pois engloba os 
valores que 𝒙 pode assumir. 
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 , sendo 𝒂 > 𝟎 e 𝒂 ≠ 𝟏, 𝑫(𝒇) = ℝ+
∗ 
 
Como os gráficos de funções inversas são simétricos em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrantes, já podemos construir 
o gráfico da função logarítmica: 
 
Vamos analisar a função 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 nos casos 𝒂 > 𝟏 e 𝟎 < 𝒙 < 𝟏: 
𝒂 > 𝟏 
 
𝟎 < 𝒙 < 𝟏 
 
Note que 𝒙𝟐 > 𝒙𝟏 ⇒ 𝒇(𝒙𝟐) > 𝒇(𝒙𝟏) , ou seja, quanto 
maiores os valores de 𝑥, maiores os valores de 𝑓(𝑥). 
Assim, se 𝒂 > 𝟏, a função 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 é crescente. 
Note que 𝒙𝟐 > 𝒙𝟏 ⇒ 𝒇(𝒙𝟐) < 𝒇(𝒙𝟏), ou seja, quanto 
maiores os valores de 𝑥, menores os valores de 𝑓(𝑥). 
Assim, se 𝟎 < 𝒙 < 𝟏, a função 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 é 
decrescente. 
Nos dois gráficos acima, podemos observar que: 
O gráfico nunca intercepta o eixo vertical, pois o domínio da função é ℝ+
∗ . 
O gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0), ou seja, 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 = 𝟎 ⇔ 𝒙 = 𝟏, logo a raiz da função é 𝑥 = 1. 
𝑦 assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é 𝐼𝑚 = ℝ . 
 
 
 
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Exercícios de Fixação – Gráficos 
01.(UECE 2008) Na figura a seguir estão representados seis retângulos com lados paralelos aos eixos coordenados e 
vértices opostos sobre o gráfico da função 𝑓(𝑥) = log2 𝑥 , 𝑥 > 0. 
 
A soma das áreas dos seis retângulos é igual a 
𝑎) 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 
𝑏) 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 
𝑐) 4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 
𝑑) 5 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 
 
02. (UFRS 2007) Na figura a seguir, a área do retângulo sombreado é 
1
2
, e as curvas são gráficos das funções 
𝑓(𝑥) = 𝑛𝑥 e 𝑔 (𝑥) = log𝑛 𝑥, sendo 𝑛 um número real positivo 
 
Então, o valor de 𝑓(2) − 𝑔(2) é 
𝑎) − 1. 
𝑏) 
1
4
. 
𝑐) 
3
4
. 
𝑑) 1. 
𝑒) 
5
4
. 
 
03. (FGV 2007) O gráfico que representa uma função logarítmica do tipo 𝑓(𝑥) = 2 + 𝑎 . 𝑙𝑜𝑔 (𝑏 . 𝑥), com 𝑎 e 𝑏 reais, 
passa pelos pontos de coordenadas (
1
50
, 6) e (
1
5
, 2). Esse gráfico cruza o eixo 𝑥 em um ponto de abscissa 
𝑎)
√10
3
4
. 
𝑏) 
14
25
. 
𝑐) 
√10
5
. 
𝑑) 
7
10
. 
 
04. (FATEC 2006) Na figura abaixo está representada a função real 𝑓, dada por 𝑓 (𝑥) = log𝑛 𝑥, para todo 𝑥 > 0 
 
De acordo com os dados da figura, é correto concluir que a área do trapézio 𝐴𝐵𝐶0, em unidades de superfície, é 
𝑎) 4 
𝑏) 4,5 
𝑐) 5 
𝑑) 5,5 
 
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05. (FGV 2006) Neste plano cartesiano, estão representados o gráfico da função 𝑦 = log2 𝑥 e o retângulo ABCD, 
cujos lados são paralelos aos eixos coordenados: 
 
Sabe-se que 
• Os pontos 𝐵 e 𝐷 pertencem ao gráfico da função 𝑦 = log2 𝑥 . 
• As abscissas dos pontos 𝐴 e 𝐵 são, respectivamente, 
1
4
 e 8. 
Então, é CORRETO afirmar que a área do retângulo ABCD é 
𝑎) 38,75. 
𝑏) 38. 
𝑐) 38,25. 
𝑑) 38,5.06. (UFJF 2007) Na figura a seguir, encontram-se representados o gráfico da função 𝑓 ∶ ]0, +∞ [→ ℝ, definida por 
𝑦 = log2 𝑥, e o polígono ABCD. Os pontos 𝐴, 𝐶 e 𝐷 estão sobre o gráfico de 𝑓. Os pontos 𝐴 e 𝐵 estão sobre o eixo 
das abscissas. O ponto 𝐶 tem ordenada 2, o ponto 𝐷 tem abscissa 2 e 𝐵𝐶 é perpendicular ao eixo das abscissas 
 
Sabendo que os eixos estão graduados em centímetros, a área do polígono ABCD é: 
𝑎) 2,5 𝑐𝑚2. 
𝑏) 3 𝑐𝑚2. 
𝑐) 3,5 𝑐𝑚2. 
𝑑) 4 𝑐𝑚2. 
𝑒) 4,5 𝑐𝑚2. 
 
07. (UFF 2000) A figura representa o gráfico da função 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) = log2 𝑥. 
 
A medida segmento 𝑃𝑄 é igual a: 
𝑎) √6 
𝑏) √5 
𝑐) 𝑙𝑜𝑔25 
𝑑) 2 
 
 
 
 
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08. (UFMG 2000) Observe a figura. 
 
Nessa figura, os pontos 𝐵 e 𝐶 estão sobre o gráfico da função 𝑓(𝑥) = log2 𝑥, os pontos 𝐴 e 𝐷 têm abscissas iguais a 
8
3
 e 12, respectivamente, e os segmentos 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 são paralelos ao eixo 𝑦. Então, a área do trapézio 𝐴𝐵𝐶𝐷 é 
𝑎) 
64
3
 
𝑏) 
70
3
 
𝑐) 
74
3
 
𝑑) 
80
3
 
 
09.(UFMG 1997) Observe a figura. 
 
Nessa figura, está representado o gráfico de 𝑓(𝑥) = log𝑛 𝑥. O valor de 𝑓(128) é: 
𝑎)
5
2
 
𝑏) 3 
𝑐) 
7
2
 
𝑑) 7 
 
GABARITO - GRÁFICOS 
01 A 02 E 03 C 
04 E 05 A 06 C 
07 B 08 B 09 C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de Matemática Professor Leonardo Andrade 11 
 
11.8 - Inequações logarítmicas 
Chamamos de inequações logarítmicas as inequações que apresentam a incógnita envolvida com logaritmos. 
Para resolvermos equações desse tipo, devemos lembrar dos gráficos dos dois casos da função logarítmica: 
 
Sendo assim, procedemos da seguinte maneira: 
𝟏) Transformamos a inequação em uma desigualdade de logaritmos de mesma base, caso ela ainda não seja; 
𝟐) Conforme as relações vistas, se a base for maior que 1, a desigualdade se mantém para os logaritmandos, e, se a 
base for um número entre 0 e 1, a desigualdade se inverte para os logaritmandos; 
𝟑) Verificamos as condições de existência; 
𝟒) A solução será a intersecção entre as condições para x encontradas nos itens 2 e 3. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO – INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
01.(PUCPR 2005) Os valores de 𝑥 que satisfazem à inequação log4(𝑥 + 3) ≥ 2 estão contidos no intervalo: 
𝑎) 𝑥  2 
𝑏) − 2  𝑥  2 
𝑐) 0  𝑥  20 
𝑑) 2 𝑥  15 
𝑒) 13  𝑥 < ∞ 
 
02. (PUCCAMP 1995) As soluções reais da inequação a seguir são todos os números tais que 
(
1
2
)
𝑙𝑜𝑔5(𝑥+3)
> 1 
𝑎) − 3 < 𝑥 < −2 
𝑏) 𝑥 > −3 
𝑐) 𝑥 > −2 
𝑑) 𝑥 < −2 
𝑒) 0 < 𝑥 < 3 
 
GABARITO – INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
01 E 02 A