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Capitulo 3 - centróide
Mecânica (Universidade Federal de Viçosa)
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Capitulo 3 - centróide
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 CAPÍTULO 3 
EXERCÍCIOS DO LIVRO TEXTO, MECÂNI CA VETORIAL PARA ENGENHEIROS, 
VOL 1- AUTORES: FERDINAND P. BEER E E. RUSSELL JOHNSTON,JR. 
 
Centróides de formas comuns de superfícies 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5.1 a 5.10 Determine a posição do centróide da superfície plana da figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura P5.1 Figura P5.2 Figura P5.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Figura P5.4 Figura P5.5 Figura P5.6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura P5.7 Figura P5.8 Figura P5.9 Figura P5.10 
 
 
Respostas: (5.2.) X = 81,8 mm, Y = 70,5 mm. 
 (5.4.) X = 70,0 mm, Y = 60,0 mm. 
 (5.6.) X = 16,21 mm, Y = 31,9 mm. 
 (5.8.) X = Y = 127 mm. 
 (5.10.) X = Y = 13,40 mm. 
 
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5.11 a 5.14 Determine a posição do centróide da área plana da figura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura P5.11 Figura P5.12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura P5.13 Figura P5.14 
 
 
Respostas: (5.12.) X = Y = 225 mm. 
(5.14.) X = 321 mm, Y = 53,1mm. 
 
5.15 Determine a abscissa do centróide do segmento de círculo da figura, em 
função de r e α. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura P5.15 
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5.16 Determine a abscissa do centróide do trapézio da ilustração, em função de 
h1, h2 e α. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura P5.16 
 
 
Resposta: X = (1a/3)(h1 + 2h2)/(h1 + h2). 
 
5.35 Determine de maneira aproximada a coordenada x do centróide da 
superfície da figura. 
 
5.36 Determine de maneira aproximada a coordenada y do centróide da 
superfície da figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura P5.35 e P5.36 
 
Resposta: 15,3 mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5.37 Divida a superfície escurecida, que fica sob a parábola, em cinco seções por 
retas verticais e determine de maneira aproximada a coordenada x de seu centróide. 
Aproxime as seções por retângulos bcc'b. Qual o erro percentual da resposta obtida? 
(Veja a Fig. 5.8a para a resposta exata). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura P5.37 
 
5.38 Resolva o Probo 5.37 utilizando retângulos do tipo b d d' b'. 
Resposta: X = 0,742a; - 1,01%. 
 
5.41 e 5.42 Determine, diretamente por integração, o centróide da área da figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura P5.41 Figura P5.42 
 
 
 
Resposta: X = 3 a/5; Y = 12 b/35. 
 
 
5.43 a 5.48 Obtenha, diretamente por integração, as expressões para x e y dadas 
na Fig. 5.8 para: 
 
5.43 Superfície sob uma parábola de grau n ( y = kxn ). 
 
5.44 Um quarto da superfície limitada por uma elipse. 
 
5.45 Semicírculo. 
 
5.46 Superfície semiparabólica. 
 
5.47 Setor circular. 
 
5.48 Um quarto de circunferência. 
 
 
5.55 Determine o volume do sólido gerado pela rotação da superfície do Probo 
5.6 em torno do eixo: (a) x e (b) y. 
 
5.56 Determine o volume do sólido gerado pela rotação do trapézio do Probo 5.2 
em torno do eixo: (a) x e (b) y. 
 
Resposta: (a) 9,13 x 106 mm3 
 (b) 10,6 x 106 mm3 . 
 
5.57 Determine o volume do sólido gerado pela rotação da superfície escurecida, 
sob a parábola, em torno do eixo: (a) x e (b) AA'. 
 
 
 
 
 
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5.58 Determine a área e o volume do toro gerado pela rotação do círculo da figura 
em torno do eixo AA'. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura P5.57 Figura P5.58 
 
Resposta(5.58): A= 4π2 r R; V=2π2 r2R.
 
 
5.68 A figura mostra uma seção reta de uma betoneira móvel. Determine de modo 
aproximado: (a) o volume da caçamba e (b) a área das partes curvas da caçamba. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura P5.68 
 
 
Resposta: (a) 4,27m3 (b) 13,1 m2 . 
 
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 5.69 Uma lâmpada de 60 W tem sua seção reta mostrada na figura. Desprezando 
a espessura do vidro, calcule para a parte acima da base: (a) o volume de gás inerte 
dentro do bulbo e (b) a área da superfície externa do bulbo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura P5.69 
 
 5.70 Determine o volume do sólido de revolução formado pela rotação de cada 
uma das figuras planas da figura em torno da aresta vertical (AB). Mostre que os volumes 
dos sólidos formados estão na razão 6:4:3:2:1. 
 
Resposta: (a) π R2h (b) (2/3) π R2h (c) (1/2)π R2h (d) (1/3)π R2h (e) (1/6) π R2h. 
 
 5.71 Determine o volume do sólido de revolução formado pela rotação de cada 
uma das figuras planas da figura em torno da base (BC). Mostre que os volumes dos 
sólidos formados estão na razão 15:10:8:5:3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figuras P5.70 e P5.71 
 
5.72 e 5.73 Determine o módulo e a localização da resultante das cargas 
distribuídas da ilustração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura P5.72 Figura P5.73 
Resposta(5.72): R = 4,20 kN , 1,143 m à direita de A. 
 
5.74 a 5.79 Determine o módulo e a localização da resultante das cargas 
distribuídas das ilustrações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura P5.74 Figura P5.75 Figura P5.76 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1200 N/m 
Figura P5.77Figura P5.78 Figura P5.79 
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5.100 Determine o centróide do corpo composto da figura quando h = 3b. 
Resposta: b/8 à direita da base do cone. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura P5.100 e P5.101 
 
5.104 Determine a localização do baricentro do refletor parabólico da figura, que é 
feito usinando-se um bloco retangular de modo que a superfície curva seja um 
parabolóide de revolução com raio da base a e altura h. 
 
Resposta: X = Z = 0 , Y = - 0,608 h. 
5.105 Determine a coordenada x do baricentro da peça da figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figuras P5.104 e P5.105 
 
 
 
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5.106 e 5.107 Determine a coordenada y do baricentro da peça da ilustração 
Resposta(5.106): Y = 19,02 mm. 
5.108 Determine a coordenada z do baricentro da peça da figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura P5.107 e P5.108 
Resposta(5.108): Z = 86,8 mm. 
 
5.109 Determine a coordenada x do baricentro da peça da figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura P5.106 e P5.109 
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5.110 Determine a coordenada z do baricentro da peça da figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura P5.110 
Resposta: Z = 51,5 mm. 
5.111 Um recipiente de lixo, feito para ajustar-se ao canto de um cômodo, tem 
500 mm de altura e sua base é um quarto de círculo de raio 300 mm. Localize o 
baricentro do recipiente sabendo que ele é feito de uma folha de metal de espessura 
constante. 
5.112 Localize o baricentro da peça da figura sabendo que ela é feita de folha de 
metal de espessura constante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura P5.111 e P5.112 
 
Resposta: X = 125 mm , Y = 167,0 mm, Z = 33,5 mm. 
 
5.113 Localize o baricentro da peça da figura, formada por uma folha homogênea 
de metal. 
5.114 Um refletor de canto, para rastreamento por radar, tem dois lados que são 
quartos de círculo com 375 mm de raio, e o terceiro lado tem a forma de um triângulo. 
Localize o baricentro do refletor sabendo que ele é feito de uma folha de metal com 
espessura constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura P5.113 e P5.114 
 
Resposta: X = Z = 90,5 mm, Y = 121 mm. 
5.115 e 5.116 Localize o baricentro do objeto da figura sabendo que ele é feito de 
barras finas de bronze com diâmetro uniforme. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura P5.115 e P5.116 
 
 
Resposta: X = 0, Y = 126 mm, Z = 64,3 mm. 
 
5.124 Localize o centróide do sólido obtido pela rotação da superfície escurecida 
em torno do eixo x. 
 
Resposta: X = 5h/8. 
 
5.125 Localize o centróide do sólido obtido pela rotação da superfície escurecida 
em torno do eixo y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura P5.124 e P5.125 
 
 
 
5.134 Localize o centróide da superfície plana da figura. 
 
Resposta: X = 58,3 mm, Y = 83,5 mm. 
 
 
 
 
 
 
 
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5.135 Determine o volume e a superfície total do sólido gerado pela rotação da 
figura em torno do eixo y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura P5.134 e P.135 
5.140 A ilustração mostra o projeto original do pátio coberto na entrada de um 
edifício. Determine a variação do volume se as dimensões utilizadas na construção foram: 
(8) a = 13 m, b = 22 m e h = 3 m e (b) a = 11 m, b = 22 m e h = 3 m. 
Resposta: a + 155,5 m3 (b) + 83,3 m3. 
5.141 Resolva o Probo 5.140 supondo que as dimensões finais são (a) a = 9 m, b 
= 18 m e h = 3 m e (b) a = 9 m, b = 20 m e h = 3 m. 
5.142 Localize o baricentro da peça da figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura P5.140 e P5.142 
 
 
 
Resposta: X = 63,3 mm, Y = 15,4 mm, Z = 50,0 mm 
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