2_Anuidades

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Prof. Leonardo Bandeira 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Prof. Leonardo Bandeira 
 
RENDA OU ANUIDADES1 
1 – DEFINIÇÃO 
 
Renda é todo valor utilizado sucessivamente para compor um capital ou pagar uma dívida. 
As rendas ou anuidades ocorrem quando temos uma série de pagamentos durante determinado 
período em que esses pagamentos são chamados de prestações ou parcelas. Rendas pode ser definida 
ainda como uma sucessão de capitais (pagamentos) que se vencem em momentos equidistantes no 
tempo. 
 
 
 
Define-se anuidade, renda certa ou série, a uma sucessão de pagamentos ou recebimentos 
exigíveis em épocas pré-determinadas, destinada a extinguir uma dívida ou constituir um capital. 
 
2 - DEFINIÇÕES IMPORTANTES 
 
• Chamamos de renda certa, de série de pagamentos ou recebimentos, série de prestações ou anuidades, 
toda sequência finita ou infinita de pagamentos ou recebimentos em datas previamente estipuladas; 
• Cada um destes pagamentos ou recebimentos, referidos a uma mesma taxa de juros compostos, será 
chamado de termo da série ou termo da anuidade ou prestação (PMT); 
• O intervalo de tempo entre dois termos chama-se período, e a soma dos períodos define a duração da 
série de pagamentos ou anuidades; 
• O valor atual ou valor presente de uma série de pagamentos ou anuidades é a soma dos valores atuais 
dos seus termos, soma esta realizada para uma mesma data e à mesma taxa de juros compostos; 
• O montante ou valor futuro de uma série de pagamentos ou anuidades é a soma dos montantes ou 
valores futuros de seus termos, consideradas uma dada taxa de juros compostos e uma data. 
 
 
 
1 1 Este material é uma compilação das ideias de vários autores, não se tratando, portanto, de uma redação original e, tendo 
em vista o caráter didático, não são apresentadas opiniões ou textos pessoais. 
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3 - CLASSIFICAÇÃO DAS SÉRIES 
 
Quanto à periodicidade: 
• Periódica: se todos os períodos são iguais; 
• Não periódica: se os períodos não são iguais entre si. 
 
Quanto ao prazo: 
• Temporárias: quando a duração for limitada; 
• Perpétuas: quando a duração for ilimitada. 
 
Quanto ao valor dos termos: 
• Uniforme ou Constante: se todos os termos são iguais; 
• Variável: se os termos não são iguais entre si. 
 
Quanto à forma de pagamento ou recebimento: 
• Imediatas: quando os termos são exigíveis a partir do primeiro período. 
1. Postecipadas ou Vencidas: quando os termos ocorrerem ao final de cada período; 
 2. Antecipadas: quando os termos ocorrerem no início de cada período. 
 
• Diferidas: se os termos forem exigíveis a partir de uma data que não seja o primeiro período e a este 
prazo damos o nome de prazo de diferimento ou prazo de carência. 
1. Postecipadas ou Vencidas: se os termos são exigíveis no fim dos períodos; 
 2. Antecipadas: se os termos são exigíveis no início dos períodos. 
 
 
4 - SÉRIES UNIFORMES 
 
As anuidades com séries de pagamentos uniformes possuem parcelas iguais e em espaço de 
tempo contínuo, isto é, as prestações têm os valores iguais e são pagas em espaços de tempo iguais. 
 
4.1 Série Uniforme Postecipada [sem entrada; o primeiro pagamento ocorre um período após o t0] 
 
Nas séries uniformes com termos postecipados, os pagamentos ou recebimentos são efetuados no fim 
de cada intervalo de tempo a que se refere a taxa de juros considerada. 
 
4.1.1 Valor Presente da Série Uniforme Postecipada 
 
𝑃𝑀𝑇1
(1 + 𝑖)1
+
𝑃𝑀𝑇2
(1 + 𝑖)2
+
𝑃𝑀𝑇3
(1 + 𝑖)3
+ ⋯ +
𝑃𝑀𝑇𝑛
(1 + 𝑖)𝑛
 
 
 A soma dos valores presentes das prestações (PMT) formam uma progressão geométrica que 
somadas resultam no valor presente (PV) da série de pagamentos. Para determinar o valor presente de 
uma série de pagamentos uniforme (parcelas iguais), utiliza-se a seguinte fórmula: 
 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
 
 Uma outra opção é conhecer o valor de correção de valor presente (por meio da fórmula ou de 
planilhas financeiras como a Tabela 1) e multiplicá-lo pelo valor das prestações (PMT). 
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𝐹𝑃𝑉 =
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
 
 
Exemplo – Cálculo da prestação 
Uma loja anuncia a venda de um televisor por R$ 6 000,00 à vista. Um cliente está disposto a comprá-lo 
em 36 parcelas mensais com o pagamento da primeira ocorrendo um mês após a compra. De quanto 
será as prestações se a taxa de juros cobrada pela loja for de 50% a.a.? 
 
𝑖 = 50% 𝑎. 𝑎. = 3,44% 𝑎. 𝑚 
 
Primeiro, calcula-se o Fator de Valor Presente (FVP), que também pode ser consultado na Tabela 1. 
 
𝐹𝑃𝑉 =
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
=
1 − (1 + 0,0344)−36
0,0344
= 𝟐𝟎, 𝟒𝟕 
 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × 𝐹𝑉𝑃 
6 000 = 𝑃𝑀𝑇 × 20,47 
𝑃𝑀𝑇 =
6 000
20,47
= 𝑹$ 𝟐𝟗𝟑, 𝟏𝟏 
 
 
Exemplo – Cálculo do n 
Determinada mercadoria é vendida por R$ 2 500,00 à vista ou por 20% de entrada mais prestações 
mensais de R$ 309,00. Sendo a taxa de juros de 2% a. m., determina a quantidade de parcelas. 
 
O valor financiado será de R$ 2.000,00: 
𝑃𝑉 = 2 500 − 500,00 = 2 000,00 
 
Cálculo das parcelas: 
𝐹𝑃𝑉 =
2 000
309
= 6,472492 
 
Consultando a Tabela 1 – Fator de valor presente de séries de pagamentos – é possível identificar que 
um FVP = 6,472492 para uma taxa i = 2% a.m., são necessárias um número de 7 parcelas. Portanto, 𝑛 =
7. 
 
Exemplo – Cálculo do valor presente 
Uma pessoa, possuidora de 10 títulos, com vencimentos mensais e sucessivos, sendo o vencimento do 
primeiro de hoje a 30 dias, vende estes títulos com desconto de 8% ao mês, no regime de juros 
compostos. Quanto apurou com a venda, se o valor nominal de cada título é de $2.500,00? 
 
Exemplo utilizando o Fator de Valor Presente 
 
𝐹𝑃𝑉 =
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
=
1 − (1 + 0,08)−10
0,08
= 𝟔, 𝟕𝟏𝟎𝟎𝟖𝟏 
 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × 𝐹𝑉𝑃 
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𝑃𝑉 = 2 500 × 6,710081 
𝑃𝑉 = 𝑹$ 𝟏𝟔. 𝟕𝟕𝟓, 𝟐𝟎 
 
 
4.1.2 Valor Futuro da Série Uniforme Postecipada 
 
 A definição do valor futuro (VF), isto é, o montante de uma série uniforme de pagamentos pode 
ser definido por 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
 
 
Uma outra opção é conhecer o valor de correção de valor futuro ou fator de acumulação de 
capitais (por meio da fórmula ou de planilhas financeiras como a Tabela 2) e multiplicá-lo pelo valor das 
prestações (PMT). 
𝐹𝐹𝑉 =
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
 
 
Exemplo – Cálculo da prestação 
Quanto devo depositar, mensalmente, para obter um montante de R$ 12 000,00 ao final de um ano, 
sabendo-se que a taxa mensal de remuneração do capital é de 4% a.m. e que o primeiro depósito é 
realizado ao final do primeiro mês? 
 
Primeiro, calcula-se o Fator de Valor Futuro (FFV), que também pode ser consultado na Tabela 2. 
 
𝐹𝐹𝑉 =
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
=
(1 + 0,04)12 − 1
0,04
= 𝟏𝟓, 𝟎𝟐𝟓𝟖𝟎𝟓 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × 𝐹𝐹𝑉 
12 000 = 𝑃𝑀𝑇 × 10,025805 
𝑃𝑀𝑇 =
12 000
10,025805
= 𝑹$ 𝟕𝟗𝟖, 𝟔𝟑 
 
Exemplo – Cálculo do valor futuro 
Determine o montante que será obtido no fim de dois anos, com 24 depósitos mensais iguais de 
$5.000,00, à taxa de 6% ao mês, no regime de juros compostos. 
 
𝐹𝐹𝑉 =
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
=
(1 + 0,06)24 − 1
0,06
= 𝟓𝟎, 𝟖𝟏𝟓𝟓𝟕𝟕 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × 𝐹𝐹𝑉 
𝐹𝑉 = 5 000 × 50, 815577 
𝐹𝑉 = 𝑹$ 𝟐𝟓𝟒. 𝟎𝟕𝟕, 𝟖𝟗 
 
Exemplo – Cálculo da prestação 
Quanto uma pessoa terá que aplicar mensalmente num “Fundo de Renda Fixa”, durante um ano, para 
que possa resgatar $20.000,00 ao fim deste prazo, sabendo que o Fundo proporciona um rendimento 
de 6% ao mês? 
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𝐹𝐹𝑉 =
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
=
(1 + 0,06)12 − 1
0,06
= 𝟏𝟔, 𝟖𝟔𝟗𝟗𝟒𝟏 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × 𝐹𝐹𝑉 
20 000 = 𝑃𝑀𝑇 × 16,869941 
𝑃𝑀𝑇 =
20 000
16,869941
= 𝑹$ 𝟏. 𝟏𝟖𝟓, 𝟓𝟒 
 
 
4.2 Série Uniforme Antecipada [entradano t0 + prestações mensais sucessivas] 
 
Nas séries uniformes com termos antecipados, os pagamentos ou recebimentos são efetuados 
no início de cada intervalo de tempo a que se refere a taxa de juros considerada. Assim, a primeira 
prestação é sempre paga ou recebida no momento “zero”, ou seja, na data do contrato, do empréstimo, 
do financiamento ou de qualquer outra operação que implique pagamentos ou recebimentos de 
prestações. 
 
4.2.1 Valor Presente da Série Uniforme Antecipada 
 
A soma dos valores presentes das prestações (PMT) de uma série uniforme antecipada utiliza-
se a seguinte fórmula: 
 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇(1 + 𝑖)
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
 
 
Exemplo – Cálculo do valor presente 
Um equipamento está sendo oferecido, no crediário, para pagamento em 8 prestações mensais iguais e 
consecutivas de $5.800,00. Sabendo-se que a taxa de juros compostos cobrada é de 10% ao mês e que a 
primeira prestação deve ser paga no ato da compra, determinar o preço à vista desse equipamento. 
 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇(1 + 𝑖)
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
= 
5 800(1 + 0,10)
1 − (1 + 0,10)−8
0,10
= 6 380 × 5, 334926 = 𝑹$ 𝟑𝟒. 𝟎𝟑𝟔, 𝟖𝟑 
 
Exemplo – Cálculo da prestação 
Um fogão, no valor de $420,00, é financiado por uma loja, para pagamento em 12 prestações mensais 
iguais e consecutivas. Determinar o valor da prestação sabendo-se que a taxa de juros compostos 
cobrada é de 9,5% ao mês e que a primeira prestação será paga como entrada. 
 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇(1 + 𝑖)
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
= 
420 = 𝑃𝑀𝑇(1 + 0,095)
1 − (1 + 0,095)−12
0,095
= 
420 = 1,095𝑃𝑀𝑇 × 6,983839 
420
6,983839
= 1,095𝑃𝑀𝑇 
60,14 = 1,095𝑃𝑀𝑇 
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𝑃𝑀𝑇 =
60,14
1,095
= 𝑹$ 𝟓𝟒, 𝟗𝟐 
 
 
4.2.2 Valor Futuro da Série Uniforme Antecipada 
 
A definição do valor futuro (VF), isto é, o montante de uma série uniforme de pagamentos pode ser 
definido por 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇(1 + 𝑖)
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
 
 
Exemplo – Cálculo do valor futuro 
Qual o montante, no fim do décimo mês, resultante da aplicação de 10 parcelas mensais iguais e 
consecutivas de $5.000,00, à taxa de 4% ao mês, de juros compostos, sabendo-se que a primeira 
aplicação é feita no início do primeiro mês? 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇(1 + 𝑖)
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
= 
𝐹𝑉 = 5 000(1 + 0,04)
(1 + 0,04)10 − 1
0,04
= 
𝐹𝑉 = 5200 × 12,006107 
𝐹𝑉 = 𝑹$ 𝟔𝟐. 𝟒𝟑𝟏, 𝟕𝟔 
 
Exemplo – Cálculo da prestação 
Quanto terei de aplicar mensalmente, a partir de hoje, para acumular, no final de 12 meses, um montante 
no valor de $30.000,00, sabendo-se que a taxa de juros compostos a ser firmada é de 3% ao mês e que 
as aplicações serão iguais e em número de 12? 
 
𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇(1 + 𝑖)
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
= 
30 000 = 𝑃𝑀𝑇(1 + 0,03)
(1 + 0,03)12 − 1
0,03
= 
30 000 = 1,03𝑃𝑀𝑇 × 14,192030 
30 000
14,192030
= 1,03𝑃𝑀𝑇 
2 113,86 = 1,03𝑃𝑀𝑇 
𝑃𝑀𝑇 =
2 113,86
1,03
= 𝑹$ 𝟐 𝟎𝟓𝟐, 𝟐𝟗 
 
 
4.3 Série Uniforme Diferida [série de pagamentos com carência] 
 
Uma série é diferida ou com carência, quando o primeiro pagamento só ocorre depois de 
decorridos m períodos a que se refere a taxa de juros considerada, com m ≥ 2. 
 
 
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As séries diferidas envolvem apenas cálculos relativos ao valor atual, pois o montante é igual ao 
montante de uma série de pagamentos iguais com termos vencidos, uma vez que, durante o prazo de 
carência, não há pagamentos e capitalizações. 
 
 
Para o cálculo do valor atual PV procede-se da seguinte forma: 
 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
(1 + 𝑖)−𝑚 
 
Exemplo – Cálculo do valor presente 
Calcular o valor atual de uma série de 10 pagamentos mensais iguais e consecutivos, de $20.000,00, 
com carência de 3 meses, à taxa de 4,5% ao mês, no regime de juros compostos. 
 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
(1 + 𝑖)−𝑚 = 
𝑃𝑉 = 20 000
1 − (1 + 0,045)−10
0,045
(1 + 0,045)−3 
𝑃𝑉 = 20 000 × 7,912718 × 0,876297 
𝑃𝑉 = 𝑹$ 𝟏𝟑𝟖. 𝟔𝟕𝟕, 𝟕𝟔 
 
Exemplo – Cálculo da prestação 
Um empréstimo de $10.000,00 vai ser amortizado com 12 prestações mensais iguais, com 5 meses de 
carência. Calcular o valor das prestações à taxa de 4,5% ao mês, no regime de juros compostos. 
 
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
(1 + 𝑖)−𝑚 = 
10 000 = 𝑃𝑀𝑇
1 − (1 + 0,045)−12
0,045
(1 + 0,045)−5 = 
10 000 = 𝑃𝑀𝑇 × 9,118581 × 0,802451 
10 000 = 7,317215𝑃𝑀𝑇 
𝑃𝑀𝑇 =
10 000
7,317215
= 𝑹$ 𝟏. 𝟑𝟔𝟔, 𝟔𝟒 
 
4.4 Série Uniforme Perpétua [série de pagamento com n não conhecido] 
 
Uma renda perpétua ocorre quando não há um número definido de parcelas. O valor presente 
de uma renda perpétua pode ser definido por 
 
𝑃𝑉 =
𝑃𝑀𝑇
𝑖
 
 
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Exemplo – Cálculo do valor presente 
Determinado investidor possui uma proposta de investimento em um fundo de renda líquida que paga 
0,6% a.m. e fornece uma renda mensal perpétua de R$ 450,00. Qual a quantia necessária que deve ser 
investida para satisfazer a essas condições? 
 
𝑃𝑉 =
450,00
0,006
= 𝑹$ 𝟕𝟓. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
4.5 Síntese 
 
 
Referência Bibliográficas 
 
GRUPO PROMINAS. Matemática financeira – Módulo da Especialização em Finanças e Matemática. 
Coronel Fabriciano – MG: Grupo Prominas, 2020. 
 
PUCCINI, Abelardo de Lima; PUCCINI, Adriana. Matemática financeira: objetiva e aplicada. - 9.ed. - São 
Paulo: Elsevier, 2011. 
 
VIANNA, Renata de Moura Issa. Matemática financeira. - Salvador: UFBA, Faculdade de Ciências 
Contábeis; Superintendência de Educação a Distância, 2018. 
 
 
 
 
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Atividade Avaliativa II – Etapa N2 – Matemática Financeira 
 
Questão 01 
Uma loja financia a compra de um eletrodoméstico no valor à vista de R$ 1 300,00 ou em três prestações 
mensais iguais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de 
juros utilizada é de 4% a.m., determine o valor da prestação. Considere 1,04−3 ≅ 0,89 
[Resposta: R$ 472,72]. 
 
Questão 02 
Um financiamento no valor de R$ 450.000,00 foi contratado a juros nominais de 20% ao ano, devendo 
ser amortizado em 12 prestações mensais iguais. Calcule o valor das prestações. 
[Resposta: R$ 41.685,53] 
 
Questão 03 
Uma pessoa depositou a mesma quantia, a cada final de mês, durante 13 meses, em uma aplicação 
financeira que paga juros nominais de 24% ao ano. Sabendo-se que o total dos juros ganhos no período 
foi de R$ 1.060,00, calcule o valor dos depósitos mensais. 
[Resposta: R$ 318,13] 
 
Questão 04 
Uma pessoa comprou um produto pagando uma entrada, no ato da compra, no valor de R$ 3 500,00 e 
mais 24 prestações mensais e consecutivas de R$ 750,00. A primeira prestação foi paga um mês após a 
compra e a loja cobrou juros de 2,5% a.m. Qual o valor à vista do veículo? Considere 1,025−24 ≅ 0,55. 
[Resposta: R$ 17 000,00]. 
 
Questão 05 
Um clube vende títulos de sócio mediante uma entrada de $500,00 e 36 prestações mensais de $200,00. 
Para facilitar a venda, permite que o pagamento da 1ª prestação ocorra 4 meses após a compra. Qual é 
o valor do título à vista, se a taxa de juros é de 2,5% ao mês? 
[Resposta: R$ $4.874,86] 
 
Questão 06 
Ana completou hoje 24 anos e analisou a possibilidade de contribuir para um plano de aposentadoria 
privada. Pensa em aposentar-se ao completar 55 anos, quando gostaria de contar, a partir do seu 
aniversário, com uma renda mensal de $3.700,00. Sabendo que a taxa em vigor no mercado para planos 
de aposentadoria é de 0,64% ao mês, quanto ela deverá começar a depositar hoje de forma a ter o que 
deseja? 
[Resposta: R$ 380,20] 
 
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TABELA 1 – FATOR DE VALOR PRESENTE OU VALOR ATUAL 
 
 
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TABELA 2 – FATOR DE VALOR FUTURO OU ACUMULAÇÃODE CAPITAIS 
 
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