TRABALHO CONDUÇÃO TRANSIENTE

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA 
 
 
ARIELA SABRINA BARCARO 
JUAREZ AMORA 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSIENTE E 
CONDUÇÃO DE CALOR BIDIMENSIONAL E TRIDIMENSIONAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JOAÇABA 
2020 
ARIELA SABRINA BARCARO 
JUAREZ AMORA 
 
 
 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSIENTE E 
CONDUÇÃO DE CALOR BIDIMENSIONAL E TRIDIMENSIONAL 
 
 
 
 
Relatório apresentado ao curso de Engenharia de 
Química, para a disciplina de Fenômenos dos 
transportes II, ministradas pelo docente Diogo 
Luiz de Oliveira, na Universidade do oeste de 
Santa Catarina 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JOAÇABA 
2020 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................................... 5 
2 DESENVOLVIMENTO ............................................................................................................ 6 
2.1 CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSIENTE..................................................... 6 
2.2 MÉTODO DA CAPACITÂNCIA GLOBAL ......................................................................... 6 
2.3 TEMPERATURA UNIFORME ............................................................................................. 7 
2.4 TEMPERATURA NÃO UNIFORME QUE VARIAM DENTRO DE UM CORPO EM 
ANÁLISE .................................................................................................................................... 10 
2.5 CONDUÇÃO DE CALOR BIDIMENSIONAL EM REGIME TRANSIENTE .................. 17 
2.6 CONDUÇÃO DE CALOR TRIDIMENSIONAL EM REGIME TRANSIENTE ............... 21 
3 CONCLUSÃO ......................................................................................................................... 30 
4 REFERÊNCIAS ....................................................................................................................... 31 
5 ANEXOS.................................................................................................................................. 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SIMBOLOGIA 
 
A= área (m²) 
Bi= número de Biot 
c = calor específico de substância º (W/ m².K) 
k= condutividade térmica (W/m.K) 
L= comprimento (m) 
q” = fluxo de calor (W/ m²) 
r= raio (m) 
Ts= temperatura da superfície (K ou ºC) 
T∞= temperatura do fluído (K ou ºC) 
To= temperatura inicial (K ou ºC) 
∂= espessura de filme (m) 
𝜌= massa especifica (kg/m³) 
λ= parâmetro adimensional na solução de Stefan 
α= difusibilidade térmica (m²/s) 
τ= transmissividade, número de Fourier 
θ=temperatura adimensional 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
1 INTRODUÇÃO 
No nosso estudo da condução primeiramente analisamos os casos mais simples 
que são as conduções unidimensionais em regime permanente, sem nenhum tipo de 
geração de energia, onde o fluxo de calor se dava apenas em uma direção. Agora 
estaremos entrando em uma situação de maior realidade: condução em regime transiente 
ou também conhecido como regime variável, envolvendo condições em que a condução 
é bidimensional ou até mesmo tridimensional. 
A condução em regime transiente ocorre quando o fluxos de calor e as 
temperaturas no interior dos objetos variam com o tempo, até um novo estado estacionário 
de gradiente térmico, ou até um estado de temperatura uniforme ser alcançado “Isto 
acontece se as temperaturas externas e as fontes de calor e seus sumidouros não são 
alterados”. Durante o período de tempo que a temperatura em qualquer ponto do espaço 
em um objeto ou uma mudança de fluidos no tempo, o modo de condução de calor é 
chamado de condução transiente. A palavra transiente refere-se a distribuições de 
temperatura no interior do objeto, que mudam ao longo do tempo e, portanto, 
são transitórias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
2 DESENVOLVIMENTO 
2.1 CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSIENTE 
Como estudamos anteriormente, considerávamos que a transferência de calor se 
dava em regime estacionário (parado) ou seja, nossos perfis de temperatura não variavam 
com o tempo ele só eram funções de coordenadas espaciais. Agora, vamos ver o regime 
transiente onde o perfil de temperatura depende do tempo, através do método da 
capacitância global, na qual é um método mais simples e o mais indicado para um analise 
introdutória ao regime transiente. 
Agora reconhecemos que muitos problemas de transferência de calor são 
dependentes do tempo. Em geral, tais problemas não estacionários, ou transientes, 
surgem quando as condições de contorno de um sistema são mudadas. Por exemplo, 
quando um lingote de metal é retirado de um forno e exposto a uma corrente de ar frio a 
energia será transferida por convecção e radiação de uma superfície para uma vizinhança. 
Da mesma forma, terá uma transferência de calor por condução no interior da peça, assim 
haverá uma diminuição da temperatura em cada ponto do lingote com o tempo até que 
uma condição de regime estacionário. 
2.2 MÉTODO DA CAPACITÂNCIA GLOBAL 
Um problema muito comum de condução transiente envolve por exemplo um 
alimento sólido que passa por uma mudança súbita de temperatura. Supomos que o 
alimento está com uma temperatura inicial T₁ e é colocado em uma geladeira de 
temperatura inferior designada de T∞. Os primeiros efeitos da transferência de calor no 
corpo são detectados nas suas camadas superficiais. O perfil de temperatura nesta região 
é tal que liga continuamente os valores da temperatura no centro do corpo, T1, com o 
valor da temperatura superficial T2. Nestes processos a temperatura superficial sempre 
apresenta um valor entre T1 e T∞, e com o passar do tempo, este valor se aproxima da 
temperatura do ambiente T∞. 
Essa mudança na temperatura em função do tempo é decorrente da transferência 
de calor por convecção. Segundo Incropera, a essência do método da capacitância global 
é a hipótese de que a temperatura do sólido é espacialmente uniforme, em qualquer 
instante durante o processo transiente. Essa hipótese implica que os gradientes de 
temperatura no interior do sólido sejam desprezíveis. 
 
7 
 
Se observarmos a lei de Fourier abaixo, se não tivermos um gradiente de 
temperatura, teremos uma condutividade térmica infinita, então essa condição é 
impossível se resolver. 
𝑞 = −𝑘. 𝐴.
(𝑇2 − 𝑇1)
𝐿
 
 
Abaixo vamos estudar os dois casos em que vamos aplicar o método da 
capacitância global: temperatura uniforme, e temperatura não uniforme. 
 
2.3 TEMPERATURA UNIFORME 
O corpo é caracterizado por um único valor de temperatura, ou seja, a 
temperatura é independente da variável espacial e só varia com o tempo. Então como 
podemos calcular a temperatura que varia com o tempo? 
Através da capacitância global podemos calcular isso, este método assume como 
válida a hipótese que a temperatura em cada ponto do sistema é a mesma, ou seja, o perfil 
de temperatura é uniforme em cada instante de tempo, o que significa dizer que o calor 
se difunde perfeitamente rápido. Essa hipótese, simplifica bastante o problema, já que 
ignora a dependência espacial do perfil de temperatura assumindo ter uma função apenas 
em relação ao tempo T (x, t) ou T (t). 
Apesar de se resultar em uma simplificação grosseira, a hipótese por trás do 
método da capacitância global se mostra adequada para problemas de aquecimento e 
resfriamento por convecção onde a resistência térmica condutiva no interior do sistema é 
muito menor que a resistência térmica convectiva entre o sistema e a vizinhança. Essa 
relação entre as resistências térmicas condutiva e convectiva é caracterizado pelo número 
adimensional denominado número de Biot, na qual é a razão entre as resistências internas 
e externas. Dá a medida do decréscimo de temperatura no sólido relativo á diferença de 
temperatura entre a superfície e o fluído. A equação é dada por: 
𝐵𝑖 = 
ℎ . 𝐿𝑐
𝑘
 
Para escrever estaequação de forma adimensional, define-se primeiramente a 
dimensão característica do corpo como o volume a dividir pela área superficial, 
𝐿𝑐 = 
𝑉
𝐴𝑠
 
V= volume do sistema 
 
8 
 
As = área superficial do sistema 
E introduz-se uma escala de tempo difusiva, igual a 
𝐿𝑐2
𝛼
 [s], em que 𝛼 =
𝑘
𝜌.𝑐
 
[m2/s] é o coeficiente de difusão de calor (a difusividade térmica). O tempo adimensional 
fica: 
𝜏 =
𝛼. 𝑡
𝐿𝑐2
 
 
Sendo por vezes designado como número de Fourier (não tem dimensões): 
𝐹𝑜 = 𝜏 =
𝛼. 𝑡
𝐿𝑐2
 
 
Corpos pequenos de material com capacidade térmica baixa e condutibilidade 
elevada, irão ter tendência para apresentar um número de Fourier elevado. Só no estágio 
inicial do processo de arrefecimento (ou aquecimento) é que o Fo será baixo. 
 
 
Figura 1- Número de Biot 
 
 Se Biot <<1, é razoável assumir uma distribuição de temperatura uniforme no 
sólido em qualquer tempo durante o processo transiente  T (x, t) = T(t). Ou seja, se a 
resistência a condução no interior do sólido é muito menor do que a resistência á 
convecção através da camada limite do fluido. 
 Aumentando o número de Biot, o gradiente de temperatura dentro do sólido é 
significativo  T (x, t). 
 Se Bi>>1, o gradiente de temperatura no sólido é muito maior que entre a 
superfície e o fluído. 
 
9 
 
A seguir, vamos observar um exemplo prático, para que através do mesmo 
possamos deduzir as equações que poderão ser utilizadas para calculas a temperatura em 
função do tempo. 
Exemplo: sólido emergido em fluído de menor temperatura. Para este problemas 
vamos utilizar o método da capacitância global, então vamos fazer um balanço energético. 
−𝐸𝑠𝑎𝑖 = 𝐸𝑎𝑐𝑢𝑚 
−ℎ. 𝐴𝑠. (𝑇𝑠 − 𝑇∞) = 𝜌 . 𝑉 . с .
𝑑𝑇
𝑑𝑡
 
Onde: 𝜃 = (𝑇 − 𝑇∞) 
ℎ . 𝐴𝑠 . 𝜃 = 𝜌 . 𝑉 . с .
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 
𝜌 . 𝑉 . с
ℎ. 𝐴𝑠
∫
𝑑𝜃
𝜃
𝜃
𝜃𝑖
= − ∫ 𝑑𝑡
𝑡
𝜃
 
𝜃
𝜃𝑖
= 
𝑇 − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
= 𝑒𝑥𝑝 [− (
ℎ. 𝐴𝑠
𝜌. 𝑉. 𝑐
) . 𝑡] 
E por analogia a um sistema elétrico, pode-se definir: 
Resistência à transferência de calor por convecção: 
𝑅 =
1
ℎ. 𝐴𝑠
 
Capacitância térmica do sólido: 
𝜌. 𝑉. 𝑐 = 𝐶 
Dessa forma a equação fica: 
(
1
ℎ. 𝐴𝑠
) . (𝜌. 𝑉. 𝑐) = 𝜏 = 𝑅. 𝐶 
Pela análise da equação fica evidente que qualquer aumento de R ou C causará 
uma resposta mais lenta do sólido às mudanças no ambiente térmico e aumentará o tempo 
para alcançar o equilíbrio térmico. 
Pela observação da figura abaixo, nota-se que a temperatura cai 
exponencialmente com o tempo, até alcançar T∞. Da mesma forma, quanto maior a massa 
 
10 
 
do corpo e/ou seu calor específico, maior será o valor de τ e, por tanto, mais tempo levará 
para aquecer ou resfriar. 
 
Figura 2-Resposta transiente da temperatura de sólidos com capacitâncias globais para diferentes constantes de 
tempo térmicas τt. 
 
Então para calcularmos a quantidade total de calor trocado entre o sistema e a 
vizinhança podemos utilizar a seguinte equação: 
Integrando: 
∫ 𝑞 𝑑𝑡 = ℎ. 𝐴𝑠 ∫ 𝜃 𝑑𝑡
𝑡
0
𝑡
0
 
𝑄 = 𝜌. 𝑉. 𝑐. 𝜃𝑖 [1 − 𝑒𝑥𝑝 (−
𝑡
𝜏
)] 
 
2.4 TEMPERATURA NÃO UNIFORME QUE VARIAM DENTRO DE UM 
CORPO EM ANÁLISE 
Neste caso, análise matemática do arrefecimento do corpo por convecção na 
superfície exterior, só é possível para corpos com formas simples: 
1. Paredes planas de espessura 2L; 
2. Cilindro infinito de raio R; 
3. Esfera de raio R; 
4. Corpo semi-infinito; 
Mesmo assim, a solução analítica é complicada (séries infinitas de funções 
transdescendentes, que se escrevem, de forma sintética: 𝜃 = ∑ 𝐴𝑛. 𝑒−𝜆
2.𝜏∞
𝑛=1 , e por isso 
 
11 
 
na prática usam-se gráficos que dão a solução em termos do número de Biot e do número 
de Fourier (em anexos estão disponíveis os gráficos de Heisler). É possível no entanto, 
como primeira aproximação considerar unicamente o primeiro termo dessas séries, 
quando o número de Fourier não é pequeno. Na prática esta aproximação, é válida desde 
que 𝜏 = 𝐹𝑜 > 0,2. 
 
PLACA PLANA INFINITA, MEIA ESPESSURA L. 
 
Aproximação para o perfil de temperatura: 
𝜃(𝑥, 𝜏) =
𝑇(𝑥, 𝑡) − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
= 𝐴1. 𝑒−𝜆
2.𝜏 cos (
𝜆1. 𝑥
𝐿
) 
 
Os valores das constantes A1 e 𝜆1 são dadas em função da tabela 01, em função 
do número de Biot. 
Temperatura no plano central (x=0), com 𝜏 =
𝛼.𝑡
𝐿
 : 
𝜃𝑜(𝜏) =
𝑇𝑜(𝑡) − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
= 𝐴1. 𝑒−𝜆
2.𝑡 
Temperatura na superfície (x=L): 
𝜃𝑜(𝜏) =
𝑇𝑠(𝑡) − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
= 𝐴1. 𝑒−𝜆
2.𝑡𝑐𝑜𝑠𝜆1 
Calor transferido pela superfície (os dois planos laterais), por unidade de área da 
parede, desde o instante inicial até um instante qualquer 𝜏 =
𝛼.𝑡
𝐿2
: 
 
12 
 
𝑄 (𝜏)
𝑄𝑚á𝑥
= 1 − 𝜃𝑜
𝑠𝑒𝑛𝜆1
𝜆1
 
 
Em que 𝑄𝑚á𝑥 = 𝜌. 𝐶𝑝. 𝐿 |𝑇𝑖 − 𝑇∞| é o calor máximo passível de ser 
transferido de, ou para, a placa (por unidade de área). 
 
CILINDRO INFINITO, RAIO R. 
 
Aproximação para o perfil de temperatura: 
𝜃(𝑟, 𝜏) =
𝑇(𝑟, 𝑡) − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
= 𝐴1. 𝑒−𝜆
2.𝜏 Jo (
𝜆1. 𝑟
𝑅
) 
Os valores das constantes A1 e 𝜆1 são dadas em função da tabela 01 (anexos), 
em função do número de Biot e Jo (x) é uma função de Bissel, cujos valores são dados na 
tabela 02 (anexos). 
Temperatura no eixo (r=0), com 𝜏 =
𝛼.𝑡
𝑅2
 : 
𝜃𝑜(𝜏) =
𝑇𝑠(𝑡) − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
= 𝐴1. 𝑒−𝜆
2.𝑡 
Temperatura na superfície (r=R): 
𝜃𝑜(𝜏) =
𝑇𝑠(𝑡) − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
= 𝐴1. 𝑒−𝜆
2.𝑡 𝐽𝑜. (𝜆1) 
 
Calor transferido pela superfície, por metro de comprimento do cilíndro, desde 
o instante inicial até um instante qualquer 𝜏 =
𝛼.𝑡
𝑅2
: 
 
13 
 
𝑄 (𝜏)
𝑄𝑚á𝑥
= 1 − 2𝜃𝑜
𝐽1. (𝜆1)
𝜆1
 
Em que 𝑄𝑚á𝑥 = 𝜌. 𝐶𝑝. 𝜋. 𝑅2 |𝑇𝑖 − 𝑇∞|, é o calor máximo que o cilindro pode 
ceder ou receber do exterior a T∞ (por unidade de comprimento do cilindro). 
 
ESFERA, RAIO R. 
 
Aproximação para o perfil de temperatura: 
𝜃(𝑟, 𝜏) =
𝑇(𝑟, 𝑡) − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
= 𝐴1. 𝑒−𝜆
2.𝜏
1
(
𝜆1. 𝑟
𝑅 )
 𝑠𝑒𝑛 (
𝜆1. 𝑟
𝑅
) 
Os valores das constantes A1 e 𝜆1 são dadas em função da tabela 01 (anexos), 
em função do número de Biot. 
Temperatura no eixo (r=0), com 𝜏 =
𝛼.𝑡
𝑅2
 : 
𝜃𝑜(𝜏) =
𝑇𝑜(𝑡) − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
= 𝐴1. 𝑒−𝜆
2.𝑡 
Temperatura na superfície (r=R): 
𝜃𝑠(𝜏) =
𝑇𝑠(𝑡) − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
= 𝐴1. 𝑒−𝜆
2.𝑡 
𝑠𝑒𝑛 𝜆1
𝜆1
 
 
Calor transferido pela superfície da esfera, desde o instante inicial até um 
instante qualquer 𝜏 =
𝛼.𝑡
𝑅2
: 
𝑄 (𝜏)
𝑄𝑚á𝑥
= 1 − 3𝜃𝑜
𝑠𝑒𝑛 𝜆1 − 𝜆1 𝑐𝑜𝑠 𝜆1
𝜆13
 
 
14 
 
Em que 𝑄𝑚á𝑥 = 𝜌. 𝐶𝑝.
4
3
𝜋. 𝑅3 |𝑇𝑖 − 𝑇∞|, é o calor máximo que a esfera pode 
ceder ou receber na presença de um ambiente a T∞. 
 
CORPO SEMI INFINITO 
 
Um corpo de grandes dimensões está inicialmente a temperatura uniforme Ti e, 
no instante inicial t = 0, é aquecido na superfície exposta (x = 0) por convecção com um 
fluido exterior à temperatura T∞. A coordenada espacial x aponta da superfície para o 
interior do corpo. O material do corpo tem condutibilidade térmica k, capacidade térmica 
mássica cp, massa volúmica ρ e difusividade térmica 𝛼 =
𝑘
ρ.cp
; o coeficiente convectivo 
exterior é h. 
Um sólido semi-infinito é um corpo idealizado que tem uma única superfície 
plana e se estende até o infinito em todas as direções. Ele pode ser utilizado para 
determinar a transferência de calor transiente próxima à superfície da Terra ou para 
aproximar a resposta transiente de um sólido finito, como uma placa espessa. Por curtos 
intervalos de tempo, a maior parte dos corpos pode ser modelada como sólidos semi-
infinitos, porque o calor não tem tempo suficiente para se propagar profundamente no 
corpo e a espessura do corpo não entra na análise da transferência de calor. 
Se uma súbita mudança de condições for imposta nessa superfície, condução 1D 
em regime transiente ocorrerá no interior do sólido. A Equação do Calor deste problema 
(condução 1D em regime transiente e sem geração) é expressa por: 
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
=
1
𝛼
 .
𝜕𝑇𝜕𝑡
 
Como tratamos as condições na superfície? 
De maneira geral, existem três condições na superfície: 
 
15 
 
 
Figura 3- Condições sólidos semi-infinitos. 
 
CASO 01: TEMPERATURA CONSTANTE NA SUPERFICIE 
Quando já sabemos a temperatura da superfície, a condição de contorno é: 
𝑇 (0, 𝑡) = 𝑇𝑠 
Então através de resoluções matemáticas chegamos a uma fórmula onde é 
relacionada as temperatura em função do tempo: 
𝑇 (𝑥, 𝑡) − 𝑇𝑠
𝑇𝑖 − 𝑇𝑠
= 𝑒𝑟𝑓 (
𝑥
2. √𝛼. 𝑡
) 
 A função do erro de Gauss erf, já é tabelada conforme a tabela a seguir: 
 
Tabela 3 – Erros de Gauss (erf) 
 
 
16 
 
Para usar a tabela é muito simples, basta calcular o argumento da função (𝜔), 
olhar na coluna de argumentos qual valor mais se aproxima e verificar o valor 
correspondente do erf. 
Então podemos calcular o fluxo de calor: 
𝑞𝑠" =
𝑘. (𝑇𝑠 − 𝑇𝑖)
√𝜋. 𝛼. 𝑡
 
CASO 02: FLUXO DE CALOR CONSTANTE NA SUPERFICIE 
Neste caso, já sabemos o valor do fluxo de energia (qo”) que é aplicado na 
superfície, então: 
𝑞𝑠"=qo" 
E a solução para a distribuição de temperatura T(x,t) é dada por: 
 
𝑇 (𝑥, 𝑡) − 𝑇𝑖 =
2. 𝑞𝑜"
𝑘
. √
𝛼. 𝑡
𝜋
. exp (
−𝑥2
4. 𝛼. 𝑡
) − 
𝑞𝑜". 𝑥
𝑘
 . 𝑒𝑟𝑓𝑐 . (
𝑥
2. √𝛼. 𝑡
) 
 
Onde: 
𝑒𝑟𝑓𝑐 (𝜔) = 1 − erf (𝜔) 
 
CASO 03: CONVECÇÃO NA SUPERFICIE 
Quando a superfície está exposta a um fluído numa dada temperatura T∞, a 
condição de contorno é que a taxa de condução no sólido é igual a taxa de convecção, 
então: 
−𝑘.
𝛿𝑇
𝛿𝑥
= ℎ. [𝑇∞ − 𝑇(0, 𝑡)] 
Então ficamos com a seguinte equação: 
𝑇 (𝑥, 𝑡) − 𝑇𝑖
𝑇∞ − 𝑇𝑖
= 𝑒𝑟𝑓𝑐 − [exp (
ℎ. 𝑥
𝑘
+
ℎ2. 𝛼. 𝑡
𝑘2
)] . [𝑒𝑟𝑓𝑐 (
𝑥
2. √𝛼. 𝑡
+ 
ℎ. √𝛼. 𝑡
𝑘
)] 
 
 
17 
 
2.5 CONDUÇÃO DE CALOR BIDIMENSIONAL EM REGIME TRANSIENTE 
Segundo Bejan, a diferença conceitual da aplicação do método das diferenças 
finitas a condução em regime permanente e da aplicação do método a condução em 
regime transiente pode ser apreciada a partir da análise dos problemas bidimensionais. 
Em ambos os casos, o meio condutor está discretizado espacialmente por uma malha 
cujos nós servem como centro para um conjunto de pequenos sistemas. A malha uniforme 
utilizada nas figuras é gerada por duas famílias de linhas paralelas equidistantes. A 
posição de um nó, ou do sistema, é indicada por dois números (m para a posição 
horizontal e n para a posição vertical). 
Considere-se uma região retangular em que a condução de calor é significativa 
nas direções x e y, e considera-se a espessura Δz = 1 na direção z. O calor pode ser gerado 
no meio a uma taxa de g (x, y, t), que pode variar com o tempo e posição, com a 
condutividade térmica do meio k assumida constante. Divide-se o plano da região numa 
malha retangular de pontos nodais espaçadas Δx e Δy nas direções x e y respectivamente, 
e considera-se um nó geral interior (m, n), cujas coordenadas são x = m.ΔX e Y = m.Δy 
A formulação transiente de diferenças finitas para um nó interior em geral pode 
ser expressa como: 
 
Utilizando-se uma malha quadrada Δx= Δy=l e dividindo cada termo da 
expressão por k, após a simplificação obtém-se: 
 
 
Onde 𝛼 =
𝑘
𝜌.𝑐
 , é a difusidade térmica do material e 𝜏 =
𝛼.∆𝑡
𝑙2
, é o número 
adimensional da malha de Fourier. Também pode se expressar em termos das 
temperaturas dos nós vizinhos pela seguinte fórmula: 
 
18 
 
 
Obtem-se a formulação explícita de diferenças finitas, expressando o lado 
esquerdo no passo de tempo i como: 
 
Expressando o lado esquerdo na etapa de tempo i + 1 em vez de i obtém-se a 
formulação implícita. Esta equação pode ser resolvida para a nova temperatura 𝑇𝑛ó𝑖+1 , 
para se obter: 
 
O critério da estabilidade requer que o coeficiente de 𝑇𝑚𝑖 , na expressão 𝑇𝑚𝑖+1 
deve ser maior ou igual a zero para todos os nós e é igualmente válida para os casos 
bidimensionais e tridimensionais e limita severamente o tamanho do passo de tempo ∆𝑡 , 
que pode ser usado no método explicito. 
Para nós internos de transferência de calor bidimensional em coordenadas 
retangulares o critério de estabilidade é dado por: 
𝜏 =
𝛼. ∆𝑡
𝑙2
 ≤
1
4
 
Apresentam-se a seguir algumas das equações mais utilizadas para a solução de 
problemas bidimensionais em regime transiente: 
 
 
19 
 
 
Figura 4- Caso 01: nó interior 
 
 
Figura 5- Caso 02: nó num vértice interior com convecção. 
 
 
 
20 
 
 
Figura 6- Caso 03: nó numa superfície plana com convecção. 
 
 
Figura 7- Caso 04: nó num vértice externo com convecção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
2.6 CONDUÇÃO DE CALOR TRIDIMENSIONAL EM REGIME TRANSIENTE 
Para uma solução tridimensional a mesma pode ser obtida através da 
determinação do campo de temperatura em condução multidimensional que por sua vez 
partem de soluções unidimensionais transientes. Desta forma demonstraremos o passo a 
passo até chegar na solução tridimensional para um paralelepípedo. 
Iniciando pela solução unidimensional transiente para uma placa de espessura 
2L e temperatura inicial Ti, cujos lados são repentinamente expostos a um meio 
convectivo de temperatura T∞ e coeficiente h, definindo o excesso de temperatura θ (x,t) 
= T (x,t) -T∞, resulta no conjunto de equações para solução. 
Equação de condução: 
𝜕2𝜃
𝛿𝑥2
=
1
𝛼
𝜕𝜃
𝛿𝑡
 
 Equação (1) 
Condição inicial: 
𝜃 = 𝜃𝑖 𝑒𝑚 𝑡 = 0 
 Equação (2) 
Condições de contorno Equação (3) e Equação (4): 
𝛿𝜃
𝛿𝑥
= 0 𝑒𝑚 𝑥 = 0 
 Equação (3) 
−𝑘
𝛿𝜃
𝛿𝑥
= ℎ𝜃 𝑒𝑚 𝑥 = 𝐿 
Equação (4) 
Separando as variáveis, adotando θ ( x,t ) X ( x ) τ ( t ), teremos: 
𝛿2𝑥
𝛿𝑥2
+ 𝜆2𝑥 = 0 
Equação (5) 
 
 
22 
 
𝛿𝑋
𝛿𝑥
= 0 𝑒𝑚 𝑥 = 0 
 Equação (6) 
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
ℎ
𝑘
𝑋 = 0 𝑒𝑚 𝑥 = 𝐿 
 Equação (7) 
𝑑𝜏
𝜏
= −𝛼𝜆2 𝑑𝑡 
 Equação (8) 
 
Sendo as equações (5, 6, 7) acima na forma: 
𝑋 = 𝑐𝑜𝑠 (𝜆𝑚. 𝐿
𝑥
𝐿
) 
 Equação (9) 
E a equação (8) do tipo: 
𝜏 = 𝐶 exp(−𝛼𝜆2𝑡) 
 Equação (10) 
Sendo assim a solução de θ será da forma: 
𝜃(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝐶𝑚 cos(𝜆𝑚𝑥) exp(−𝛼𝜆𝑚
2 
𝛼
𝑚=1
𝑡) 
 Equação (11) 
Utilizando a condição inicial tem-se: 
𝜃𝑖 = ∑ 𝐶𝑚 cos(𝜆𝑚𝑥)
∞
𝑚=1
 
 Equação (12) 
 
 
23 
 
Multiplicando ambos os lados da eq. (12) acima por e usando 
a condição de ortogonalidade das autofunções obtém-se: 
𝜃𝑖 ∫ cos(𝜆𝑚𝑥)𝑑𝑥 = 𝐶𝑚 ∫ 𝑐𝑜𝑠
2
𝐿
0
𝐿
0
(𝜆𝑚𝑥)𝑑𝑥 
 Equação (13) 
Nasequência após realizar as integrações tem-se à expressão da constante: 
𝐶𝑚 =
2𝜃𝑖 𝑠𝑒𝑛 (𝜆𝑚𝐿)
𝜆𝑚𝐿 + 𝑠𝑒𝑛 (𝜆𝑚𝐿) cos(𝜆𝑚𝐿) 
 
 Equação (14) 
Substituindo a Equação (14) na Equação (11) teremos à solução para a 
temperatura na forma: 
𝜃 (𝑥, 𝑡)
𝜃𝑖
=
𝑇 (𝑥, 𝑡) − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
= 2 ∑
𝑠𝑒𝑛 (𝑎𝑚)
𝑎𝑚 + 𝑠𝑒𝑛 (𝑎𝑚) cos(𝑎𝑚)
cos (𝑎𝑚
𝑥
𝐿
) exp (−𝑎𝑚
2
𝛼𝑡
𝐿2
)
∞
𝑚=1
 
 Equação (15) 
Na qual: 
𝑎𝑚𝑡𝑔 (𝑎𝑚) =
ℎ𝐿
𝑘
, 𝑎𝑚 = 𝜆𝑚𝐿 
 Equação (16) 
Na forma adimensional , a temperatura depende de três grupos 
adimensionais: 
𝑥
𝐿
 , 𝐹𝑜 =
𝛼𝑡
𝐿2
, 𝐵𝑖 =
ℎ𝐿
𝑘
 
 Equação (17) 
Obs.: Fo e Bi são os números de Fourier e de Biot respectivamente. 
Calculando a temperatura no plano médio da placa, utilizando x = 0 na Equação 
(15), a qual resulta em: 
 
 
24 
 
𝑇𝑐−𝑇∞
𝑇𝑖−𝑇∞
= 2 ∑
𝑠𝑒𝑛 (𝑎𝑚)
𝑎𝑚 + 𝑠𝑒𝑛 (𝑎𝑚) cos (𝑎𝑚)
∞
𝑚=1
exp(−𝑎𝑚
2 𝐹𝑜) 
 Equação (18) 
Para calcular a temperatura em qualquer outro plano da placa utiliza-se a forma: 
𝑇(𝑥, 𝑡) − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
= [
𝑇(𝑥, 𝑡) − 𝑇∞
𝑇𝑐(𝑡) − 𝑇∞
] × [
𝑇𝑐(𝑡) − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
] 
 Equação (19) 
É comum graficar os termos entre colchetes na Equação (19) em função do 
número de Fourier tendo o número de Biot como um parâmetro para facilitar estimativas 
rápidas da temperatura. A taxa total de transferência de calor é de interesse. Considerando 
apenas metade da placa, a máxima taxa de transferência de calor num intervalo 0 − t é 
calculada por: 
𝑄𝑖 = 𝜌𝑊𝐻𝐿𝑐 (𝑇𝑖 − 𝑇∞) 
 Equação (20) 
Na qual W e H são a largura e altura da placa respectivamente frontal à 
transferência de calor. 
A taxa de calor real num intervalo 0 − t é sempre menor do que o máximo e pode 
ser calculada como: 
𝑄 (𝑡) = 𝑊𝐻 ∫ 𝑞" 𝑑𝑡
𝑡
0
 
 Equação (21) 
Onde: 
𝑞" = −𝑘 (
𝜕𝑇
𝜕𝑥
) 𝑥 = 𝐿 
 Equação 22 
Normalmente se gráfica Q(t) / Qi em função de Bi² Fo. 
 
 
25 
 
Agora utilizaremos os resultados acima para se determinar o campo de 
temperatura em condução multidimensional numa barra retangular 2L x 2H, imersa num 
fluido a qual pode ser determinada como o produto da solução da placa vertical pela 
solução da placa horizontal. A equação original é da forma: 
𝜕2𝜃
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝜃
𝜕𝑦2
= 
1
𝛼
𝜕𝜃
𝜕𝑡
 
 Equação (23) 
Supondo uma solução na forma: 
𝜃 (𝑥, 𝑡, 𝑦) = 𝜃𝐿(𝑥, 𝑡) × 𝜃𝐻(𝑦, 𝑡) 
 Equação (24) 
Desta forma derivando a Equação (24) duas vezes em relação a (x e y), uma vez 
em relação ao tempo e substituindo na Equação (23), pode-se verificar que ela é 
automaticamente satisfeita. 
 
 Equação (25) 
Ambos os termos entre parênteses são nulos o que mostra que a solução produto 
satisfaz a equação original. 
A solução da Equação (24) é respeitada apenas se a temperatura inicial também 
satisfaça: 
 
 Equação (26) 
Dividindo-se a Equação (24) pela Equação (26) membro a membro, pode-se 
verificar que a temperatura adimensional da barra também é o produto das temperaturas 
adimensionais das placas, ou seja: 
 
 
26 
 
 
 Equação (27 
Segundo Bejan (1993), mostra que a taxa total de transferência de calor pode ser 
calculada como: 
 
 Equação (28) 
 
Figura 8- Produto de soluções unidimensionais 
 
Para o caso da placa semi-infinita a determinação da temperatura dependente do 
tempo e pode ser obtido conforme figura abaixo: 
 
 
27 
 
 
Figura 9- Determinação de temperatura placas semi infinitas 
 
A solução da placa semi-infinita é o produto da solução da placa de espessura 
finita pela solução do sólido semi-infinito e fica na forma: 
 
 Equação (29) 
Finalizando para o caso de um paralelepípedo, mostrado abaixo, a solução 
tridimensional pode ser obtida como: 
 
 
 Equação (30) 
Determinação da temperatura dependente do tempo num paralelepípedo imerso 
em um fluído. 
 
28 
 
 
Figura 10- Determinação de temperatura em paralelepipedo 
 
A taxa total de transferência de calor neste caso, de acordo com Bejan (1993), é 
calculada como: 
 
 Equação (31) 
Dando sequência ao nosso estudo sobre condução tridimensional outras soluções 
para outras geometrias podem ser obtidas através do passo a passo citado anteriormente 
dentre elas a geometria cilíndrica e esférica. Para o caso de um cilindro curto de 
comprimento 2L e raio externo 𝑟𝑜, a determinação da temperatura dependente do tempo 
e pode ser obtido conforme figura abaixo. 
 
Figura 11- Determinação da temperatura em cilindros curtos. 
 
A solução para este caso fica na forma: 
 
29 
 
 
 Equação (32) 
Para o caso de um cilindro semi-infinito a determinação da temperatura 
dependente do tempo e pode ser obtido conforme figura abaixo: 
 
Figura 12- Determinação de temperatura em cilindros semi-infinitos. 
 
Para o caso do cilindro semi-infinito, a solução é da forma: 
 
 Equação (33) 
Para o cálculo da taxa total de transferência de calor das Equações (32 e 33), 
também é feito por uma equação similar à Equação (28). 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
3 CONCLUSÃO 
Concluímos então que, a condução em regime transiente ocorre por um tempo em 
qualquer situação onde há uma alteração na temperatura das fontes externas ou internas 
ou dissipadores de calor, causando uma nova fonte de entrada de calor ou saída no interior 
de um objeto, ou seja, de dentro ou fora do objeto para as suas proximidades. Novas fontes 
de calor "ativadas" no interior de um objeto podem causar o fenômeno “um exemplo 
prático pode ser na partida de um motor de um carro”. Novas condições externas também 
causam esse processo de condução transiente, por exemplo numa barra de cobre onde 
suas extremidades estão submetidas a uma temperatura diferente da outra. Ao longo do 
tempo, o campo de temperaturasno interior da barra chegaria a um novo estado de 
equilíbrio, “um estado estacionário” no qual um gradiente de temperatura constante ao 
longo da barra vai finalmente ser criado, e este gradiente então permaneceria constante 
no tempo. Normalmente, esse novo gradiente de estado estacionário é atingido 
exponencialmente com o tempo, depois que uma fonte de temperatura ou calor novo ou 
dissipação for introduzido. Nesta medida, a fase de "condução transiente" é então 
dominante, embora o fluxo de calor possa ainda continuar em alta potência. Por exemplo, 
em um automóvel, a fase transitória de condução térmica seria inicialmente 
predominante, e a fase de estado estacionário aparece, logo que o motor tenha atingido o 
estado estacionário através da temperatura operacional. 
Então como podemos observar, a condução transiente é muito comum no nosso 
dia a dia se formos analisar. Para calcular, basta procurar entender cada caso para que 
possam ser calculadas da maneira correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
4 REFERÊNCIAS 
 
INCROPERA, F.P., DEWITT, D.P., BERGMAN, T.L. & LAVINE, A.S., 2008. 
Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. Rio de Janeiro, RJ, Brasil: LTC, 
643p. 
BEJAN, A., 1994. Transferência de calor. Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons, 
1480p. 
ÇENGEL, Y.A.. “Transferência de Calor e Massa – Uma abordagem prática”, Mc. Graw 
Hill, São Paulo, 3ª ed., 2009 
BOHN, Mark S.; KREITH, Frank. “Principios de Transferência e Calor”. 1ª Edição, 
Thomson Heinle, 2003. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
5 ANEXOS 
 
 
Tabela 1- Coeficientes do 1º termo da série que dá a solução analítica para a transferência de calor por convecção 
de placa plana infinita, cilindro infinito e esfera. 
 
 
Tabela 2- Função de Bessel de 1ª especie, de ordem 0 e 1. 
 
 
33 
 
GRÁFICOS DE HEISLER