analise real 1

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PREZADO ALUNO: Esta disciplina será totalmente a distância, 
Em cada tópico você receberá a teoria, um vídeo explicativo e 
logo após um exercício para ser resolvido em folha a parte. 
Ao final da resolução de todos os exercícios você deve: 
scanear, salvar em PDF e encaminhar por e-mail para 
wagnerstr78@gmail.com até a data de 23/05/2020. 
 
BEM VINDO A DISCIPLINA 
AULA 1: 
A disciplina de Análise Real é considerada um divisor de águas em 
qualquer curso de matemática – seja licenciatura, bacharelado ou 
matemática aplicada – pois é justamente o momento em que nos 
desprendemos desses conceitos vagos e imprecisos e começamos a 
aprender a enxergar a matemática e escreve-la na maneira como os fazem 
os matemáticos profissionais. Em um curso de licenciatura, é 
imprescindível para que os futuros professores aprendam a usar a 
linguagem matemática da maneira correta. 
Quais são as diferenças entre axioma, definição e 
teorema? 
Um axioma é uma proposição matemática que assumimos ser verdadeira, 
sem precisar provar. 
Curso: MATEMÁTICA 
Disciplina: ANALISE REAL I 
Professor: WAGNER STREITENBERGER COELHO 
Nome do aluno R.A. 
 3º SEMESTRE/TERMO 
 
Turma: Data: 23/05/20 Nota: 
mailto:wagnerstr78@gmail.com
Uma definição introduz um novo símbolo ou termo a partir dos já 
existentes. Pode ser visto como uma simples abreviatura da linguagem, 
pois sempre podemos reescrever as frases matemáticas usando apenas os 
símbolos e termos ditos primitivos. Portanto, as definições formalmente 
não estendem a teoria, nem aumentam sua expressividade, mas ajudam a 
tornar as proposições mais curtas e compreensíveis. 
Como acontece com os axiomas, as definições não precisam ser provadas. 
Os teoremas, por outro lado, são as proposições matemáticas que 
provamos a partir dos axiomas (e das definições). Tecnicamente, tudo que 
provamos em uma teoria é chamado de teorema, mas costumamos usar 
algumas palavras para diferenciar os teoremas devido ao seu grau de 
importância e papel no desenvolvimento de uma teoria. Assim, 
reservamos a palavra teorema apenas para os resultados mais 
importantes. 
 
https://www.youtube.com/watch?v=FRUupVSMDds 
 
O que é uma demonstração matemática? 
Uma demonstração matemática é uma sequência finita de afirmações 
em que cada uma ou é um axioma (afirmação que assumimos como 
verdadeira) ou é uma consequência lógica das anteriores. 
 Começamos, então, com uma lista do que podemos assumir em uma 
demonstração no curso de análise real. 
 
1. Deduções lógicas. 
As demonstrações cobradas em análise usam a linguagem natural, de 
forma que os argumentos lógicos usuais são aceitos, desde que feitos 
corretamente. Por exemplo: se x+ 0 = x, para todo x, então, em 
particular, 0 + 0 = 0; se provamos A e provamos que A implica B, então 
podemos concluir que vale B; se provamos que A implica B e que B 
implica C, então podemos concluir que A implica C. Esse tipo de 
argumento pode ser utilizado sem justificar, mas com cuidado para 
não cometer falsas inferências (exemplo de inferência incorreta: 
https://www.youtube.com/watch?v=FRUupVSMDds
provamos que A implica B e provamos que A é falso, então concluímos 
que B é falso). Um pouco de conhecimento de lógica proposicional 
pode ser útil para evitar esses erros e usar melhor os argumentos 
lógicos. 
 
2. A interpretação usual do símbolo da igualdade. 
Assumimos que a igualdade é um símbolo lógico e que as 
propriedades inerentes a ela não precisam ser provadas. Por exemplo: 
se a = b então b = a; se a = b e b = c então a = c; se a = b então a + c = b 
+ c. 
 
3. Teoria ingênua dos conjuntos. 
Não sendo este um curso de teoria dos conjuntos, não precisamos 
definir e provar fatos básicos sobre teoria dos conjuntos. Por exemplo: 
podemos assumir a existência de pares ordenados, produto cartesiano 
e de outros conjuntos, sem provar. 
 
4. Princípio da indução finita e princípio da boa 
ordem. 
Esses dois princípios, que são propriedades inerentes dos números 
naturais provadas em cursos de álgebra e teoria dos conjuntos, podem 
ser usadas sem provar. 
 
5. Argumentos já utilizados com frequência. 
A medida que os resultados vão avançando e ficando mais complexos, 
fica inviável escrever todos os detalhes de uma prova. Então, em 
provas e listas de exercícios, sempre surge a seguinte pergunta: o que 
podemos assumir do que já foi provado em aula ou em listas de 
exercícios? É difícil responder a essa pergunta de maneira precisa, pois 
deve prevalecer o bom senso. É razoável assumirmos tudo que foi 
provado anteriormente ao que está sendo provado no momento. 
Também é razoável que argumentos muito parecidos com outros 
utilizados exaustivamente não precisam ser repetidos. 
 
https://www.youtube.com/watch?v=y1CSKZ6cxOE&t=14s 
 
 
Exercício 1: (vale 2 pontos) 
Desenvolva 5 teoremas e prove com axiomas como verdade (mínimo 3 
provas) 
Exemplo :. 2 x N = PAR 
Prova da verdade = 2 x 3331 = 6662 (par) (prova 1) 
 2 x 5 = 10 (par) (prova 2) 
 2 x 101 = 202 (par) (prova 3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=y1CSKZ6cxOE&t=14s
AULA 2: 
Propriedades básicas dos números reais, 
axiomática dos números reais. 
Vamos admitir o conjunto ℝ , cujos elementos são os números reais, e no 
qual supomos definidas duas operações: adição (+) e multiplicação (×). Na 
axiomática dos números reais os axiomas estão divididos em três grupos: 
• Axiomas de Corpo 
• Axiomas de Ordem 
• Axioma de Supremo 
 
https://www.youtube.com/watch?v=WpCfG0D6FP8 
 
Axiomas de um Corpo 
A adição e a multiplicação são operações comutativas no conjunto dos 
reais. 
A adição e a multiplicação são operações associativas no conjunto dos 
reais. 
A multiplicação é distributiva em relação à adição 
A adição e a multiplicação são operações com elemento neutro: Os 
elementos neutros das duas operações são números reais distintos. 
Todo o número real tem um simétrico (isto é, qualquer que seja o real x 
existe pelo menos um y∈ℝ tal que x y + = 0; todo real distinto de zero tem 
inverso (quer dizer, qualquer que seja o real x ≠ 0, existe pelo menos um 
y∈ℝ tal que ( xy =1). 
A0 0 ≠ 1; 
https://www.youtube.com/watch?v=WpCfG0D6FP8
A1 (Comutatividade da adição) x + y = y + x; 
A2 (Associatividade da adição) x + (y + z) = (x + y) + z; 
A3 (Elemento neutro aditivo) x + 0 = x; 
A4 (Elemento oposto) existe w ∈ X tal que x + w = 0; 
M1 (Comutatividade da multiplicação) x · y = y · x; 
M2 (Associatividade da multiplicação) x · (y · z) = (x · y) · z; 
M3 (Elemento neutro multiplicativo) x · 1 = x; 
M4 (Elemento inverso) se x ≠ 0, existe w ∈ X tal que x · w = 1; 
 D (distributividade) x·(y+z) = (x·y)+(x·z), para todos a, b, c ∈ R; 
Axiomas de corpo ordenado 
O conjunto dos números positivos, + ℝ , é um subconjunto de ℝ fechado 
para as operações de adição e de multiplicação (esta última afirmação 
significa que, se x e y são números positivos, a sua soma e o seu produto 
também o são). Nota: um número real diz-se negativo se o seu simétrico é 
positivo. 
Qualquer número real ou é positivo, ou é negativo ou é nulo. 
Axioma do Supremo 
Qualquer subconjunto de ℝ majorado e não vazio tem supremo. 
 
https://www.youtube.com/watch?v=AK95OZ4T4N4 
https://www.youtube.com/watch?v=pK8VKpJrje8 
 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=AK95OZ4T4N4
https://www.youtube.com/watch?v=pK8VKpJrje8
Exercício 2 (vale 2 pontos) 
Prove que se x, y forem números quaisquer, teremos: (utilize 3 provas) 
(a) −x = 0 se, e somente se, x = 0; 
 (b) (−1).x = −x; 
(c) −(−x) = x; 
 (d) x.(−y) = −(xy); 
 (e) (−x).y = −(xy); 
 (f) (−x).(−y) = xy; 
(g) −(x − y) = y − x; 
Exercício 3 (vale 2 pontos) 
Sejam X,Y e Z números quaisquer, prove que os axiomas descritos abaixo 
pertencem (∈) aos R+ (3 Provas) 
1) Se x + z = y + z então x = y; 
2) Se z ≠ 0 e x ·z = y · z então x = y; 
3) Se x · 0 = 0 e 0 · x = 0; 
4) Se x · y = 0 então x = 0 ou y = 0; 
5) Se x + y = x então y = 0; 
6) Se x ≠ 0 e x · y = x então y = 1; 
7) Se x + y = 0 e x + z = 0 então y = z; 
8) Se x · y = 1 e x · z = 1 então y = z; 
9) Se x · 1 = x; 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 3: 
Intervalos. Conjuntos ilimitados. Máximo, mínimo, 
supremo e ínfimo de um conjunto. 
Sendo a b, ∈ ℝ e a ≤ b é costume designar-se por [a b], [a,b[, ]a, b] e ]a,b[ 
,respectivamente, os conjuntos dos reais, x que verificam as condições: a ≤ 
x≤ b , a ≤ x < b , a <x ≤b e a< x< b. 
Repare que: 
• [a, b] é um intervalo fechado de extremos a e b 
• ]a ,b[ é um intervalo aberto de extremos a e b 
• [a, b[ e ]a, b]são intervalos semi fechados ou semi abertos 
Conjuntos ilimitados. 
Sendo a ∈ℝ existem dois tipos de intervalo de origem em a ilimitados à 
direita: 
• O conjunto fechado [a,+∞[ 
• O conjunto aberto ]a,+∞[ 
• O próprio conjunto ℝ é também considerado um intervalo ilimitado e 
designado às vezes por ]−∞ +∞[; 
Majorante, minorante, máximo e mínimo 
Seja K um subconjunto de ℝ e a e b números reais: 
 Diremos que b é majorante do conjunto K sse qualquer elemento de 
K for menor ou igual a b. 
 Diremos que a é minorante de K sse a x ≤ , ∀ ∈x K 
Exemplos: 
 K = [1,6] 
 1 é minorante, mas também o -2 é um minorante 
6 é majorante mas também o 7 é majorante 
 
• K = ]+∞ 0[ 
Neste caso qualquer número negativo é minorante (o 0 também é um 
minorante). Este conjunto não tem majorantes. 
• ℝ não tem majorantes nem minorantes 
• {0, 1} tem máximo 1 e mínimo 0 
• [0 1, ] tem máximo 1 e mínimo 0 
• ]−2 9, ] tem máximo 9 e não tem mínimo (-2 é minorante mas não 
pertence ao conjunto) 
• Os conjuntos ℝ e ∅ não têm mínimo nem máximo 
Supremo e ínfimo 
Seja K ⊂ ℝ , designemos por V o conjunto de todos os seus majorantes 
(ter-se-á que V = ∅ sse k não for majorado). Chama-se supremo de K (e 
designa-se por sup K o elemento mínimo do conjunto V (no caso de V não 
ter mínimo dir-se-á que K não tem supremo). 
Nota: Quando o supremo de k existe, é único e pode pertencer ou não ao 
conjunto K; pertence certamente ao conjunto V, isto é, é um majorante de 
K (precisamente o menor de tais majorantes). 
Raciocínio idêntico pode ser feito para o ínfimo de K ou inf K, ou seja 
representa o maior dos minorantes. 
É óbvio que qualquer conjunto K que tenha máximo tem supremo, sendo 
sup K = max K; Assim como qualquer conjunto com mínimo tem ínfimo 
igual ao mínimo inf K = min K. 
Exemplos: 
Sup [0, 1 ] =max [0, 1 ] = 1 
Inf [0,1] = min[0,1]=0 
sup ]0, 1[ = 1 
inf ]0,1[=0 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=Fj-NjBIVLC4 
 
 
Exercício 4 (vale 4 pontos) 
1) Crie um axioma e forme um conjunto com 8 elementos (números) e 
demonstre o seu majorante, minorante, máximo, mínimo, supremo 
e ínfimo. 
 
2) Crie um conjunto com 8 elementos (letras) e demonstre o seu 
majorante, minorante, máximo, mínimo, supremo e ínfimo. 
 
3) Indique 4 majorantes que não estão dentro dos conjuntos dos 
intens 1 e 2. 
 
4) Indique 4 minorantes que não estão dentro dos conjuntos dos itens 
1 e 2. 
 
5) Crie um conjunto a partir do seu RA, somando RA + 1 para o 
sucessor, até formar 5 elementos, a partir daí demonstre o seu 
majorante, minorante, máximo, mínimo, supremo e ínfimo, e 2 
majorantes e minorantes que não estão dentro do conjunto. 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=Fj-NjBIVLC4