apostila mecânica dos sólidos

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APOSTILA 01 
TENSÕES AXIAIS - TENSÕES DE CISALHAMENTO – TENSÕES DE ESMAGAMENTO 
 
ENGENHARIA CIVIL 
2020 
 
 
 
 
 
MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS I 
ENGENHARIA CIVIL – Prof. MSc. Sílvio Maurício Beck 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
1. Um poste curto, construído de um tubo circular vazado de alumínio, suporta uma carga de 
compressão de 240 kN. Os diâmetros internos e externos do tubo são d1 = 90 mm e d2 = 130 mm, 
respectivamente, e seu comprimento é 1 m.. Determine a tensão de compressão no poste. 
(Desconsidere o peso do poste e assuma que o poste não envergue sob a aplicação da carga). 
 34,72 MPa 
 
 
 
2. Uma haste circular de aço de comprimento L e diâmetro d é pendurada em um poço e 
segura um balde de minério de peso W na sua extremidade inferior. 
a. Obtenha uma fórmula para a tensão máxima na haste levando em conta o peso próprio 
da haste 
 𝜎𝑀𝐴𝑋 = 𝛾𝑎ç𝑜𝐿ℎ𝑎𝑠𝑡𝑒 +
𝑊
𝐴⁄ 
b. Calcule a tensão máxima se L = 40 m, d = 8 mm e W = 1,5 kN. 
𝜎𝑀𝐴𝑋 = 𝛾𝑎ç𝑜40 𝑚 + 29841,6 𝑘𝑁/𝑚 
 
 
 
3. Uma prensa com diâmetro d = 20 mm é usada para fazer um furo em uma placa de 8 mm, 
como mostrado na vista transversal. Se uma força P = 110 kN é necessária para criar o furo, qual é a 
tensão de cisalhamento média na placa e a tensão de compressão média na prensa?218,86 MPa; 
350,15 MPa 
 
 
 
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4. Um apoio de aço S, servindo como base para um guindaste, transmite uma força de 
compressão P = 54 kN para o apoio. O apoio tem uma área de seção transversal quadrada e vazada 
com espessura de t =12 mm, e o ângulo ϴ entre o apoio e a horizontal é de 40°. Um pino que passa 
através do apoio transmite a força de compressão do apoio para duas presilhas G que estão soldadas 
à placa base B. Quatro parafusos fixam a placa base ao guindaste. 
O diâmetro do pino é dpino = 18 mm, a espessura das presilhas tg = 15 mm, a espessura da 
placa base é tB = 8 mm e o diâmetro dos parafusos de ancoragem é dparafuso = 12 mm. 
Determine as seguintes tensões: 
a. Tensão de esmagamento entre o suporte e o pino; 125 MPa 
b. Tensão de cisalhamento no pino; 106,10 MPa 
c. Tensão de esmagamento entre o pino e as presilhas; 100 MPa 
d. Tensão de esmagamento entre os parafusos de ancoragem e a placa base; 107,72 MPa 
e. Tensão de cisalhamento nos parafusos de ancoragem. 91,5MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. A seção transversal de uma coluna de concreto que está carregada uniformemente em 
compressão é mostrada na figura. 
a. Determine a tensão média de compressão no concreto se a carga é igual a 14,5 kN; 15,42 
MPa 
b. Determine as coordenadas X e Y do ponto em que a carga resultante deve agir para 
produzir tensão normal uniforme. (0,4817;0,4817)m 
 
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6. Considere uma barra de aço, servindo como cabide vertical para sustentar máquinas 
pesadas é vinculada a um suporte pela conexão parafusada mostrada na figura. A parte principal do 
cabide tem seção transversal retangular com largura b1 = 38 mm e espessura t = 13 mm. Na conexão, 
o cabide é aumentado para uma largura de b2 = 75 mm. O parafuso, que transfere a carga do cabide 
para os dois suportes, tem diâmetro d= 25 mm. 
Determine o valor admissível para a carga de tração P no parafuso baseado nas quatro 
considerações a seguir: 
a. Tensão de tração admissível na parte principal do cabide é de 110 MPa; 54,34 kN 
b. A tensão de tração admissível no cabide na seção transversal do furo do parafuso é de 75 
MPa (a tensão permitida nessa seção é menor por causa das concentrações de tensões 
ao redor do furo); 48,75 kN 
c. A tensão de esmagamento admissível entre o cabide e o parafuso é de 180 MPa; 58,5 kN 
d. A tensão de cisalhamento admissível no parafuso é de 45 MPa. 44,18 kN 
 
 
 
 
 
7. Membros da treliça que sustentam um teto estão conectados a uma placa de suporte de 
espessura de 26 mm através de um pino de 22 mm de diâmetro, como mostrado. As duas placas de 
extremidade nos membros da treliça têm 14 mm de espessura cada. 
a. Se a carga P = 80 kN, qual é a maior tensão de esmagamento agindo nos pinos? 139,8 
MPa 
b. Se a tensão de cisalhamento máxima para os pinos é de 190 MPa, qual a força Púltima é 
necessária para causar falha dos pinos sob cisalhamento? 144,45 kN 
 
 
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8. O suporte de duas barras ABC tem pinos de sustentação nos pontos A e C, que estão 
separados por uma distância de 2 m. Os membros AB e BC são barras de aço conectadas por pinos na 
junta B. O comprimento da barra BC é de 3 m. Uma placa pesando 5,4 kN está suspensa pela barra 
BC nos pontos D e E, que estão a 0,8 m e 0,4 m, respectivamente, das extremidades da barra. 
Determine a área da seção transversal necessária da barra AB e o diâmetro necessário do 
pino no suporte C se as tensões admissíveis para tração e cisalhamento são de 125 MPa e 45 MPa, 
respectivamente. (Considere cisalhamento duplo em C) AAB = 0,0000441 m²; D=8,5 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Uma plataforma de aço suporta maquinaria pesada apoiada sobre quatro suportes 
cilíndricos, vazados e curtos, feitos de ferro fundido. A resistência máxima do ferro fundido em 
compressão é de 344,5 MPa. O diâmetro externo dos suportes é d = 114 mm, e a espessura da 
parede é t = 10 mm. Usando um fator de segurança de 4 em relação à resistência máxima, determine 
a carga total que pode ser suportada pela plataforma. P=125 MN 
 
 
 
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10. Uma barra sólida de diâmetro de diâmetro d1=60 mm tem um furo de diâmetro d2=32 
mm perfurado através dela. Um pino de aço de diâmetro d2 passa através do furo e está acoplado a 
suportes. Determine a carga de tração máxima permitida Padmiss na barra se a tensão de escoamento 
para cisalhamento no pino é Ƭ= 120 MPa, a tensão de escoamento para a tração na barra é σ = 250 
MPa e um fator de segurança de 2 em relação ao escoamento é exigido. Padmiss = 96,5 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Uma viga horizontal AB, com dimensões de seção transversal (b=19 mm) x (h=200 mm), é 
sustentada por um esteio inclinado CD e carrega uma carga P=12 kN na junta B. O esteio que consiste 
em duas barras de espessura 5b/8 cada, é conectado à viga por um parafuso que passa por três 
barras que se encontram na junta C. 
a. Se a tensão de cisalhamento admissível no parafuso é de 90 MPa, qual é o diâmetro 
mínimo exigido dmin do parafuso C? 0,0176 m 
b. Se a tensão de esmagamento admissível no parafuso é de 130 MPa, qual é o diâmetro 
mínimo exigido dmin do parafuso C? 0,0182 m 
 
 
 
 
 
 
 
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12. Uma carga axial de 40 kN é aplicada a uma coluna curta de madeira suportada por uma 
base de concreto em solo estável. Determine: 
a. tensão de contato máxima na base de concreto 3,34 MPa 
b. o tamanho da base para o qual a tensão de contato média no solo seja de 145 kPa. 
(0,52X0,52)m 
 
 
 
 
 13. Sabendo que a porção central da barra BD tem uma área de seção transversal uniforme 
de 800 mm², determine a intensidade da carga P para a qual a tensão normal naquela parte de BD é 
50 MPa. 62,7 kN 
 
 
 
 
 
 
14. Cada uma das quatro barras verticais tem uma seção transversal retangular uniforme de 
8 x 36 mm e cada um dos quatro pinos tem um diâmetro de 16 mm. Determine o valor máximo da 
tensão normal média nos vínculos(barras) que conectam: 
a. os pontos B e D 101,5 MPa 
b. os pontos C e E 21,7 MPa 
 
 
 
 
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15. Para a montagem do carregamento da questão 15, determine: 
a. tensãode cisalhamento média no pino B; 80,84 MPa 
b. tensão de esmagamento média em B no componente BD; 126,95 MPa 
c. tensão de esmagamento média em B no componente ABC, sabendo que essa componente 
tem uma seção transversal retangular uniforme medindo 10 x 50 mm. 203,125 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16. Os componentes da madeira A e B devem ser unidas por cobrejuntas de madeira 
compensadas que serão totalmente coladas às superfícies em contato. Como parte do projeto de 
junção, e sabendo que a folga entre as extremidades dos componentes deve ser 6,4 mm, determine 
o comprimento mínimo permitido para que a tensão de cisalhamento média na cola não exceda 0,8 
MPa. LT=0,319 m 
 
 
 
 
 
17. A força axial na coluna que suporta a viga de madeira é P=75 kN. Determine o menor 
comprimento L admissível para a chapa de contato para que a tensão de contato na madeira não 
exceda 3 MPa. L=0,178 m 
 
 
 
 
 
 
 
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18. São aplicadas duas forças ao suporte BCD. 
a. sabendo que a barra de controle AB deve ser feita de aço tendo um limite de tensão 
normal de 600 MPa, determine o diâmetro da barra para o qual o coeficiente de segurança em 
relação a falha seja igual a 3,3; 0,01674 m 
b. o pino em C deve ser feito de um aço com um limite de tensão de cisalhamento de 350 
MPa. Determine o diâmetro do pino C para o qual o coeficiente de segurança com relação ao 
cisalhamento seja também igual a 3,3; 0,0214 m 
c. Determine a espessura necessária para as barras de apoio em C sabendo que a tensão de 
esmagamento admissível do aço utilizado é 300 MPa. 0,006 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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19. A viga rígida BCD está presa por parafusos a uma barra de controle em B, a um cilindro 
hidráulico em C e a um suporte fixo em D. Os diâmetros dos parafusos usados são: dB = dD = 9,5 mm, 
dC = 12,7 mm. Cada parafuso age sob cisalhamento duplo e é feito de um aço para o qual o limite de 
tensão de cisalhamento é Ƭu = 275 MPa. A barra de controle AB tem um diâmetro dA = 11 mm e é 
feita de um aço para o qual o limite da tensão de tração é σU = 414 MPa. Se o coeficiente de 
segurança mínimo deve ser 3 para toda a estrutura, determine a maior força ascendente que pode 
ser aplicada pelo cilindro hidráulico em C. P= 22,75 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20. Na estrutura abaixo, é usado um pino de 8 mm de diâmetro em A, e pinos de 12 mm de 
diâmetro em B e D. Sabendo que o limite da tensão de cisalhamento é 100 MPa em todas as 
conexões e que o limite da tensão normal é 250 MPa em cada um dos dois vínculos que conectam B 
e D, determine a carga P admissível se for adotado um coeficiente global de segurança de 3. P=3,71 
kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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21. No suporte abaixo, a haste ABC tem, na parte superior, 9 mm de espessura, e na parte 
inferior, 6 mm de espessura de cada lado. Uma resina a base epóxi é usada para colar as partes 
superior e inferior da haste, no ponto B. Os pinos no ponto A e C tem 9 mm e 6 mm de diâmetro 
respectivamente. Determinar: 
 A tensão de cisalhamento no pino A; 51,2 MPa 
 A tensão de cisalhamento no pino C; 57,6 MPa 
 A maior tensão normal na haste ABC; 15,72 MPa 
 A tensão média de cisalhamento nas superfícies coladas no ponto B; 1,13 MPa 
 A tensão de esmagamento na haste em C. 45,22 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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22. A- Determinar e verificar a tensão na barra BC; 159,23 MPa 
 B- Determinar e verificar a tensão na barra BA; 26,70 MPa 
 C- Determinar a tensão de cisalhamento nos pinos em A, B e C; 40,82 MPa, 51 MPa, 
102,05 MPA 
 D- Determinar a tensão de esmagamento no pino A da barra AB e nas chapas de ligação 
em A, e nos pinos em B e C. 53,40 MPa, 100 MPa, 100 MPa, 32 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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23. Duas barras cilíndricas maciças AB e BC são soldadas uma à outra em B e submetidas a 
um carregamento conforme mostra a figura. Sabendo que d1 = 50 mm e d2 = 30 mm, calcule a 
tensão normal no ponto médio da barra AB e da barra BC. σAB = 35,65 MPa; σBC = 42,45 MPa 
 
 
24. Duas forças horizontais de 22 kN são aplicadas no pino B do conjunto mostrado na figura. 
Sabendo que é usado um pino de 20 mm de diâmetro em cada conexão, determine o valor máximo 
da tensão normal média na barra AB e na barra BC. σAB = 103,3 MPa; σBC = 71,23 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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25. A barra rígida EFG é suportada pelo sistema de treliça mostrado na figura. Determina a 
área da seção transversal do componente AE para a qual a tensão normal é de 103 MPa. 
A = 0.0002588 m² 
 
 
 
 
 
 
 
26. São usados dois cilindros hidráulicos para controlar a posição do braço ABC. Sabendo que 
as barras de controle ligadas em A e D tem cada uma 20 mm de diâmetro e estão paralelas na 
posição mostrada na figura, determine a tensão normal no componente AE e no componente DG. 
12,73 MPa e 4,77 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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27. Três pranchas de madeira são unidas por parafusos. O diâmetro dos parafusos é de 12 
mm, o diâmetro interno da arruela é de 15 mm, ligeiramente maior que os furos das pranchas. Se o 
diâmetro externo da arruela é de 30 mm, e a tensão de esmagamento média entre as pranchas e as 
arruelas deve ser menor que 5 MPa, determine a máxima tensão admissível normal no parafuso, em 
MPa. σMAX = 23,43 MPa 
 
 
 
28. A junta sobreposta do elemento de madeira A de uma treliça está submetida a uma força 
de compressão de 5 kN. Determinar o diâmetro requerido “d” da haste de aço C e a altura “h” do 
elemento B se a tensão normal admissível do aço é de 157 MPa, e a tensão normal admissível da 
madeira é de 2 MPa. O elemento B tem 50 mm de espessura. d = 6 mm; h = 25 mm 
 
 
 
29. A haste suspensa está apoiada em sua extremidade por um disco circular fixo acoplado 
como mostra a figura. Se a haste passar por um orifício de 40 mm de diâmetro, determine o 
diâmetro mínimo “d” exigido para a haste e a espessura mínima “t” do disco necessária para 
suportar uma carga de 20 kN. A tensão normal admissível para a haste é de 60 MPa e a tensão 
admissível de cisalhamento para o disco é de 35 MPa. d = 0,0208 m; t = 4,55 mm 
 
 
 
 
 
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30. Uma carga axial sobre o eixo mostrado na figura sofre uma resistência do colar em C, que 
está acoplado ao eixo e localizado no lado direito do mancal B. Determine o maior valor de P para 
que as duas forças axiais existentes em E e F de modo que a tensão no colar não ultrapasse uma 
tensão de apoio admissível em C de 75 MPa e que a tensão normal média no eixo não exceda a 
tensão de tração admissível de 55 MPa. PEIXO = 51,83 kN; Pc = 54,75 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31. A junta está submetida a uma força axial de 6 kN. Determine a tensão normal média que 
atua nas seções AB e BC. Supor que o elemento é plano e possui 3 cm de espessura. Considerar o 
plano da seção. σAB = 3,26 MPa; σBC = 1,26 MPa 
 
 
 
 
 
32. Um olhal é usado para suportar uma carga de 5 kN. Determinar o diâmetro “d” e a 
espessura “h” necessária de modo que a arruela não penetre ou cisalhe o apoio. A tensãonormal 
admissível do parafuso é de 21 MPa e a tensão de cisalhamento admissível do material de apoio é de 
5 MPa. d = 17,4 mm; h = 0,0127 m 
 
 
 
 
 
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33. Uma barra de aço AB de 12 mm de diâmetro está encaixada em um furo redondo 
próximo a extremidade C de um componente de madeira CD. Para o carregamento mostrado 
determine: 
 Tensão normal média na madeira na seção do furo, em MPa; 3,97 MPa 
 A distância “b” para a qual a tensão de cisalhamento média é de 620 kPa nas 
superfícies indicadas pelas linhas pontilhadas, em metros; 0,2016 m 
 A tensão de esmagamento na madeira, em MPa. 20,83 MPa 
 
 
 
 
34. Duas forças horizontais de 22 kN são aplicadas no pino B do conjunto mostrado na figura. 
Sabendo que é usado um pino de 20 mm de diâmetro em cada conexão, determine: 
 A tensão de cisalhamento média no pino C, em MPa; 103 MPa 
 A tensão de esmagamento media em C, no componente BC, em MPa; 72,14 MPa 
 A tensão de esmagamento media em B, no componente BC, em MPa. 63,37 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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35. Duas pranchas de madeira, cada uma com 12 mm de espessura e 225 mm de largura, são 
unidas pelas juntas de encaixe mostradas na figura abaixo. Sabendo que a madeira utilizada rompe 
por cisalhamento ao longo das fibras quando a tensão de cisalhamento média alcança 8 MPa, 
determine a intensidade da carga P que romperá a junta, em kN. P = 9,216 kN 
 
 
 
 
36. Sabendo que uma força de 800 N está sendo aplicada no pedal indicada, determine: 
 o diâmetro do pino em C, de modo que a tensão de cisalhamento media no pino seja 
de 35 MPa, em mm; 6.15 mm 
 a tensão de esmagamento em cada uma das chapas de apoio em C, em MPa. 
33.82 MPa 
 
 
 
 
37. Duas barras cilíndricas maciças AB e BC são soldadas uma a outra em B e submetidas aos 
carregamentos conforme mostrado abaixo. Determine a tensão normal no ponto médio da barra AB 
e da barra BC, em MPa. 91.67 MPa; -18.11 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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38. O braço de controle está submetido ao carregamento mostrado na figura abaixo. 
Determine, com aproximação de 5 mm, o diâmetro exigido para o pino de aço em C se a tensão de 
cisalhamento admissível para o aço for de 55 MPa. O pino está sujeito a cisalhamento duplo. 
d = 20 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39. A barra AC é feita de um aço com tensão limite normal igual a 450 MPa e tem uma seção 
transversal retangular uniforme de 6.4 mm x 12.7 mm. Ela está conectada a um suporte em A a ao 
componente BCD em C por pinos com diâmetro de 9.5 mm, enquanto a componente BCD está 
conectada em seu suporte em B por um pino com diâmetro de 8 mm; todos os pinos são feitos de 
aço com tensão limite de cisalhamento igual a 172 MPa, sujeitos a corte simples. Sabendo que se 
deseja um coeficiente de segurança igual a 3.25, determine a maior força P que pode ser aplicada em 
D, em kN. PAC = 1.8 kN; Barra AC = 1.36 kN; PB = 1.87 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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40. O cilindro hidráulico CF, que controla parcialmente a posição da haste DE, foi bloqueado 
na posição que mostra a figura. A barra BD tem 16 mm de espessura e está conectada a haste 
vertical por um parafuso de 9.5 mm de diâmetro. Determine a tensão de cisalhamento média no 
parafuso e a tensão de esmagamento em C, na barra BD, ambas em MPa. 
τ = 77,73 MPa; σ = 36.25 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42. O elemento inclinado da figura abaixo está submetido a uma força de compressão de 
3000 N. Determine a tensão de compressão média ao longo das áreas de contato lisas definidas por 
AB e BC e a tensão de cisalhamento média ao longo do plano horizontal definido por EDB. 1,8 MPa, 
1,2 MPa e 0,6 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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43. O pino, com d= 12,5 mm está submetido a cisalhamento duplo, visto que é usado para 
interligar 03 elos. Devido ao desgaste, a carga é distribuída nas partes superior e inferior do pino. 
Determine a carga máxima P que o acoplamento pode suportar se a tensão de cisalhamento 
admissível para o material for τ = 56 MPa. 13,74 kN 
 
44. A junta está submetida a uma força axial de 5 kN. Determine a tensão normal média que 
age nas seções AB e BC. Considere que o elemento é liso e tem 50 mm de espessura. 2,04 MPa e 
0,598 MPa 
 
 
 
 
45. A peça mostrada na figura é feita de aço com peso especifico de 80 kN/m³. Determine a 
tensão de compressão média que age nos pontos A e B. 64kN/m² 
 
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2
2
 
46. A luminária tem 80 kg e é sustentada por duas hastes, AB e BC, como mostrado na figura. 
Se AB tiver diâmetro de 10 mm e BC tiver diâmetro de 8 mm, determine a tensão normal média em 
cada haste. 8,21 MPa e 8,01 MPa 
 
 
 
47. O elemento AC mostrado na figura está submetido a uma força vertical de 3 kN. 
Determine a posição x desta força de modo que a tensão de compressão média no apoio liso C seja 
igual a tensão de tração média da barra AB. A área da seção transversal da barra é de 400 mm² e a 
área em C é de 650 mm². X= 124 mm