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Geometria Analítica e Algebra Vetorial

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Autoatividades
1) Joaquim faltou à aula e pegou emprestado o caderno de seu amigo Manoel para estudar e copiar a matéria atrasada. No entanto, como este seu amigo não era nada caprichoso, parte da resolução de uma das questões de multiplicação de matrizes aprendida estava apagada. Sobre a resolução ilegível na matriz apresentada, analise as opções a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
 = 
I) 
II) 
III) 
IV) 
Somente a matriz II.  
Somente a matriz III.
Somente a matriz IV.
Somente a matriz I.
2) O estudo das matrizes e determinantes possibilita uma série de regras que permitem o cálculo simplificado de várias situações. As propriedades operatórias destes conceitos podem, além de serem provadas por artifícios matemáticos formais, ser mostradas mediante exemplos numéricos. Sendo A, B e C matrizes reais de ordem n, utilize exemplos numéricos para analisar as opções e classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) AB = BA.
( ) A+B = B+A.
( ) det (AB) = det (A) . det (B).
( ) det (A+B) = det (A) + det (B).
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
F - V - V - F.  
V - F - F - V.
F - V - F - F.
F - F - V - V.
3) Ao realizar o produto entre duas matrizes, devemos saber que o produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos seus respectivos elementos. Precisamos realizar a verificação da possibilidade de resolução procedendo a análise das ordens das matrizes envolvidas. Baseado nisso, a partir do produto colocado a seguir, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 . (1 1 1)
( ) Este produto não é possível ser realizado.
( ) Este produto resulta em uma matriz de determinante nulo.
( ) O resultado é a matriz identidade de ordem 3.
( ) O resultado é uma matriz de 2 linhas e 3 colunas.
F - V - F - F.
V - F - F - F.
F - F - V - F.
F - F - F - V.  
4) A matemática é repleta de regras e fórmulas, e cada uma foi criada visando facilitar a vida do ser humano. Os estudos sobre a matriz vêm desde o século XIX e trazem uma nova experiência ao campo da matemática. Sobre as matrizes e os elementos associados, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) O determinante de uma matriz triangular superior é dado pela multiplicação dos termos da diagonal principal.
( ) Ao permutar duas linhas de uma matriz, o determinante dessa matriz não muda de sinal.
( ) O determinante de uma matriz com duas linhas ou colunas iguais é zero.
( ) Se todos os elementos de uma linha ou de uma coluna de uma matriz forem iguais a 1, então o determinante dessa matriz será igual a zero.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
V - F - V - V.
V - F - V - F.  
F - V - F - F.
F - V - F - V.
5) Para realizar a discussão de um sistema linear, devemos verificar se o sistema é SPD (possível e determinado), SPI (possível e indeterminado) ou SI (impossível). Com base no sistema apresentado, analise as opções a seguir e, em seguida, assinale a alternativa CORRETA:
I) O sistema é SPI.
II) O sistema é SPD.
III) O sistema é SI.
IV) Não é possível discutir o sistema.
Somente a opção II está correta.
Somente a opção III está correta.
Somente a opção IV está correta.
Somente a opção I está correta. 
1) Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de área. Por exemplo, temos a área do paralelogramo formada pela unificação de dois vetores, que é o módulo (ou norma) do produto vetorial entre os dois. Já para o caso da área do triângulo, bastaria dividir este resultado por dois, pois a área do triângulo é a metade da área do paralelogramo. Baseado nisto, determine a área do triângulo formado pelos vetores u = (2,2,1) e v = (1,1,2). Analise as opções a seguir:
I) Raiz de 3.
II) 9.
III) Raiz de 18.
IV) 6.
Assinale a alternativa CORRETA:
Somente a opção III está correta.  
Somente a opção II está correta.
Somente a opção IV está correta.
Somente a opção I está correta.
2) Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. A respeito das transformações lineares, analise as opções a seguir:
I- T(x,y) = (x² , y²).
II- T (x,y) = (2x, - x + y).
III- T (x,y) = (- x + y, x - 1).
IV- T (x,y) = (x, x - y).
Assinale a alternativa CORRETA:
As opções I e III estão corretas.
Somente a opção IV está correta.
As opções III e IV estão corretas.
As opções II e IV estão corretas.
3) O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento no eletromagnetismo, mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. Na matemática, o produto vetorial aplica-se a vetores em R³ resolvendo problemas na geometria, no qual o produto entre dois vetores tem como solução um novo vetor, simultaneamente ortogonal aos outros dois. Baseado nisto, quanto ao produto vetorial (u x v) entre os vetores u = (0,2,2) e v = (3,0,2), analise as opções a seguir:
I- u x v = (4,6,-6).
II- u x v = (0,6,4).
III- u x v = (0,-6,6).
IV- u x v = (-4,6,-6).
Assinale a alternativa CORRETA:
Somente a opção I está correta.  
Somente a opção IV está correta.
Somente a opção II está correta.
Somente a opção III está correta.
4) Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³:
T(x,y,z) = (z, x - y, -z)
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta uma base para o Núcleo deste operador:
[(0,0,1)].
[(1,1,0)].  
[(1,0,1)].
[(0,1,1)].
5) Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (frequentemente indicado por LI) quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros. Em contrapartida, naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD) se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. Baseado nisso, assinale a alternativa CORRETA que apresenta um conjunto de vetores LI:
{(1,1,0),(1,0,1),(5,2,3)}.
{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}.  
{(2,1,-1),(0,0,1),(2,1,0)}.
{(1,1,0),(2,2,0),(0,0,3)}.
1) O plano cartesiano pode representar duas retas no plano de acordo com as seguintes posições: concorrentes ou paralelas. Essas posições são determinadas de acordo com a lei de formação de cada função do 1º grau, visto que essas funções possuem como representação geométrica uma reta. Em seguida, podemos analisar que os coeficientes angulares das retas determinam o posicionamento decorrente delas. Com relação às retas x - y - 4 = 0 e x + y - 2 = 0, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
( ) Se interceptam em um ponto, mas não são perpendiculares.
( ) São paralelas.
( ) São perpendiculares.
( ) São coincidentes.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
F - F - V - F.  
F - F - F - V.
V - F - F - F.
F - V - F - F.
2) Podemos imaginar uma superfície plana como sendo aquela em que podemos ligar quaisquer dois pontos através de uma linha reta. Geometricamente, um plano é um subconjunto do espaço de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto pode ser ligado por um segmento de reta inteiramente contido no conjunto. Em geometria analítica, podemos representar um plano por meio de equações. Estas equações podem ser apresentadas de diversas maneiras. Sobre as formas de representar equações do plano, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
( ) Equação Vetorial do Plano.
( ) Equação Paramétrica do Plano.
( ) Equação geral do Plano.
( ) Equação Inversa do Plano.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
V - F - F - F.
F - V - V - F.
V - V - V - F.  
V - F - V - F.
3) Ao analisar vetorialmente o conceito de reta em um plano ou no espaço, devemos conhecer a direção que esta dada retaterá. Além disso, devemos conhecer um ponto de referência por onde esta reta passa. Este ponto pode ser discriminado nas formas de representação das equações das retas. Assim, dadas as retas a seguir, podemos afirmar que elas passam, respectivamente, pelos pontos:
 
(-3,1,1) e (2,7,0).
(-1,1,-2) e (2,2,1).
(-2,0,3) e (0,6,-1).  
(2,7,0) e (-3,1,1).
4) Leonardo, Luiz, Cris e Jaque moram em uma pequena cidade plana, onde há uma praça central. Leonardo mora 2 km ao norte e 3 km ao oeste da praça central. Luiz mora 1 km ao sul e 2 km ao leste da praça central. Cris mora 3 km ao norte e 4 km ao leste da praça central e Jaque mora 2 km ao sul e 2 km ao oeste da praça central. Sobre os dados referenciais, assinale a alternativa CORRETA:
Cris mora a 5 km, norte e a 2 km, leste de Jaque.
Leonardo mora a 4 km, norte e a 4 km, oeste de Jaque.
Luiz mora a 3 km, sul e a 4 km, leste de Cris.
Jaque mora a 1 km, sul e a 4 km, oeste de Luiz.  
5) As cônicas são criadas realizando-se secções através do sólido geométrico conhecido como cone. A partir daí, analiticamente, podemos defini-los de maneiras específicas. Baseado nisso, considere dois pontos distintos A e B de um plano. O lugar geométrico dos pontos P deste plano tal qual a soma das distâncias de P aos pontos A e B é constante. Sobre a denominação dessa curva, assinale a alternativa CORRETA:
Parábola.
Hipérbole.
Circunferência.
Elipse. 
Avaliações
1) Matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas. Esse tipo especial de matriz possui um número real associado. A este número real, damos o nome de determinante da matriz. Baseado nisso, sabendo que o determinante de uma matriz é igual a 2, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o valor do novo determinante, obtido pela troca de posição de linhas entre si:
4.
2.
1/2.
-2.  
2) Matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas. Este tipo especial de matriz possui um número real associado. A este número real, damos o nome de determinante da matriz. Baseado nisto, sabendo que o determinante de uma matriz é igual a 5, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o valor do novo determinante obtido pela multiplicação de uma linha por -4.
-4.
1/20.
-20.  
20.
3) Determinante é um tipo de matriz com o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas, ou seja, uma matriz quadrada. Nele não aplicamos as quatro operações, mas há outras propriedades, como achar o valor numérico de um determinante. Baseado nisso, analise as sentenças sobre o determinante associado à matriz a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
I) Múltiplo de 7.
II) Divisor de 7.
III) Potência de 7.
IV) Número Ímpar.
Somente a opção III está correta.
Somente a opção I está correta.  
Somente a opção II está correta.
Somente a opção IV está correta.
4) As matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas, utilizadas na organização de dados e informações. Nos assuntos ligados à álgebra linear, as matrizes são responsáveis pela solução de sistemas lineares. Possuem, também, aplicações mais aprofundadas na teoria das transformações lineares e atuam na representação das matrizes de mudança de base. Baseado nisto, a partir na matriz indicada a seguir, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o determinante da matriz A:
A= (aij) 2x2 = 3i - j
5.
1.
3.  
4.
5) Um sistema linear é homogêneo quando os coeficientes, independente de todas as suas equações lineares, são iguais a zero. Esse tipo de sistema possui pelo menos uma solução possível, pois podemos obter como resultado o terno (0, 0, 0), que chamamos de solução nula ou trivial. O sistema dado pela multiplicação matricial a seguir é homogêneo. Assim, analise as sentenças a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
 . = 
I) Neste sistema, temos que necessariamente, x = y = 0.
II) Neste sistema, temos que necessariamente, x = y e m = n.
III) Neste sistema, temos que necessariamente, y = -2x e n= -2m
IV) Neste sistema, temos que necessariamente, x = -2y e m = -2n
Somente a sentença III está correta.
Somente a sentença I está correta.
Somente a sentença II está correta.
Somente a sentença IV está correta.  
6) Sistemas Lineares são úteis para todos os campos da matemática aplicada, em particular, quando se trata de modelar e resolver numericamente problemas de diversas áreas. Nas engenharias, na física, na biologia, na química e na economia, por exemplo, é muito comum a modelagem de situações por meio de sistemas lineares. Baseado nisto, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a solução para o sistema a seguir:
{1, 4}.  
{3, 2}.
{-2, 1}.
{2, 3}.
7) Sistemas lineares é um conjunto de equações lineares, com m equações e n incógnitas. A solução de um sistema linear é a solução de todas as equações lineares. Existem muitas maneiras de resolver um sistema de equações lineares ou sistemas lineares, como quiser chamá-los. Dessa forma, o mais importante é conhecer suas principais características e propriedades. Com base no sistema apresentado, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
( ) é impossível.
( ) é possível e determinado não tendo solução trivial.
( ) é possível e indeterminado.
( ) admite a solução (1;2;1).
V - F - F - F.  
F - V - F - F.
F - F - V - F.
F - F - F - V.
8) Arthur Cayley (1821-1895) foi um dos pioneiros no estudo das matrizes e, por volta de 1850, divulgou esse nome e passou a demonstrar sua aplicação. As matrizes, inicialmente, eram aplicadas quase que exclusivamente na resolução de sistemas lineares e apenas há pouco mais de 150 anos tiveram sua importância detectada. Com base no exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Se A é uma matriz do tipo 3x5 então o sistema de equações A.X = B será indeterminado.
( ) Se A é triangular do tipo nxn então det(A) = a11 . a22 . a33 . . . ann.
( ) Se det(A) é diferente de 0 então existe a inversa de A.
( ) Se A.B pode ser calculada então B.A sempre tem como resultado uma matriz diferente.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
F - V - V - F.  
V - F - V - F.
V - F - F - V.
V - V - V - F.
9) Matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn). A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante. Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos a resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares ou ainda, o cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices. Baseado nas propriedades dos determinantes, analise as sentenças a seguir:
I- Se uma matriz possui duas linhas (ou colunas) proporcionais, então seu determinante será nulo.
II- O determinante de uma matriz quadrada é sempre positivo.
III- O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta AT.
IV- Se uma matriz não for quadrada, seu determinante será igual a zero.
Assinale a alternativa CORRETA:
As sentenças I e III estão corretas.  
Somente a sentença III está correta.
As sentenças I e II estão corretas.
As sentenças II e IV estão corretas.
10) Sistemas lineares são um conjunto de equações lineares, com m equações e n incógnitas. A solução de um sistema linear é a solução de todas as equações lineares. Existem muitas maneiras de resolver um sistema de equações lineares ou sistemas lineares, como quiser chamá-los. Desta forma, o mais importante é conhecer suas principais características e propriedades. Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) é impossível.
( ) é possível e determinado.
( ) é possível e indeterminado.
( ) admite a solução (1;2;3).
F - F - V - F.  
F - F - F - V.
F - V - F - F.
V - F - F - F.
1) Durante o estudo das transformações lineares, verificamos os conceitos de núcleo e imagem de uma transformação. O núcleo de uma transformação linear é o subconjunto dodomínio formado pelos vetores que são levados ao vetor nulo do contradomínio. A imagem é o conjunto de vetores do contradomínio que são resultados da aplicação dos vetores do domínio na transformação. Baseado nisto, assinale a alternativa CORRETA a respeito da transformação a seguir:
T: R2 R2, T (x,y) = (x + y, -x - y)
O vetor (2,2) possui imagem (0,0).
O vetor (1,-1) pertence ao núcleo da transformação.  
O vetor (2, 4) não pertence ao domínio da transformação.
A transformação a seguir não é um operador linear.
2) Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, permeiam muito mais do que estamos acostumados a verificar. Não são apenas as raízes do polinômio característico de uma transformação linear, mas sim o problema clássico de autovalores, que é absolutamente essencial para a compreensão e a análise de estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, placas etc., como também de sistemas estruturais mais complexos, dentre os quais podem ser citados os seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de aço de telecomunicações e de transmissão de energia, estádios de futebol, passarelas de pedestres, edificações residenciais, edifícios altos, plataformas off-shore etc. Sobre a soma dos autovalores da transformação apresentada a seguir, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
T= 
( ) 4
( ) -3
( ) 5
( ) 6
F - V - F - F.
F - F - V - F.  
V - V - F - V.
V - F - F - F.
3) Imagine que você queira empurrar um objeto. A força que você aplica sobre ele precisa estar na direção e sentido em que você pretende movimentá-lo ou não chegará ao resultado desejado: se desejar que o objeto vá para frente, logicamente não adiantará empurrá-lo para baixo! Isso porque a força é um exemplo de grandeza vetorial. Para descrevê-la, é preciso que se diga também o sentido e a direção em que ela é aplicada. Baseado neste estudo, quanto ao vetor resultado (R) da operação -2u + 3v, sendo u = (-1,2,0) e v = (-1,-2,3), analise as opções a seguir:
I- R = (1,10,9).
II- R = (-1,-10,9).
III- R = (-5,2,9).
IV- R = (5,-2,9).
Assinale a alternativa CORRETA:
Somente a opção II está correta.  
Somente a opção IV está correta.
Somente a opção III está correta.
Somente a opção I está correta.
4) Imagine que você queira empurrar um objeto. A força que você aplica sobre ele precisa estar na direção e sentido em que você pretende movimentá-lo ou não chegará ao resultado desejado: se desejar que o objeto vá para frente, logicamente não adiantará empurrá-lo para baixo! Isso porque a força é um exemplo de grandeza vetorial. Para descrevê-la, é preciso que se diga também o sentido e a direção em que ela é aplicada. Baseado neste estudo, quanto ao vetor resultado (R) da operação -u + 2v, sendo u = (-1,2,0) e v = (-1,-2,3), analise as opções a seguir:
I- R = (-3,0,6).
II- R = (-1,6,-6).
III- R = (-1,-6,6).
IV- R = (3,0,6).
Assinale a alternativa CORRETA:
Somente a opção I está correta.
Somente a opção III está correta.  
Somente a opção II está correta.
Somente a opção IV está correta.
5) A figura a seguir apresenta a representação de um cubo de vértices nos pontos do espaço A, B, C, D, E, F, G e H. Neste cubo, imagine vetores, todos com origem no vértice A, e com extremidades em todos os outros vértices (excetuando-se A). Sobre as informações na imagem, assinale a alternativa CORRETA:
 H G
D C
 
 E
 (
E
) E F
A B
Dentre os vetores que foram formados, assinale aquele cujo produto escalar com o vetor AF é igual a zero.
AB.
AC.
AD.  
AE.
6) Uma transformação linear pode ser compreendida e associada ao estudo de funções, que normalmente já conhecemos desde o Ensino Médio. Isto se deve ao fato de uma transformação linear ligar dois conjuntos através de uma lei de formação. A grande diferença é que uma transformação opera com vetores e não com números reais como de costume. Baseado na transformação linear de R³ em R³, dada por T(x,y,z) = (x + y, 2x, y - z), classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Uma base para a imagem desta transformação é [(1,2,0),(1,0,1),(0,0,1)].
( ) A sua imagem tem dimensão 2.
( ) O núcleo da transformação possui apenas o vetor nulo.
( ) A dimensão do domínio da transformação é 3.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
V - F - V - V.  
V - V - F - V.
F - V - F - V.
V - V - F - F.
7) Pela definição de vetor, sabemos que dados dois pontos e um sentido, podemos determinar o vetor que liga estes dois pontos e possui a direção indicada. Através deste processo podemos mais tarde ter um apoio no estudo das retas e planos no espaço. Baseado nisso, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o vetor u definido pelos pontos A = (1,0,-3) e B = (2,4,1), no sentido de A para B:
u = (1,4,2).
u = (1,4,4).  
u = (1,4,-2).
u = (0,4,4).
8) Quando trabalhamos geometria, analisar o comportamento de duas retas ou ainda como estas retas estão situadas no espaço é uma simples tarefa, pois basta fazer uma simples visualização. Entretanto, quando falamos de retas na geometria analítica ou de vetores representados por coordenadas, determinar a posição destas retas não é uma tarefa tão simples. Sobre o ângulo formado pelos pares de vetores apresentados, analise as opções que são ortogonais::
I- u = (2, -3, -2) e v = (1, 2, -2).
II- u = (4, -2, 3) e v = (0, 2, 1).
III- u = (-2, -1, 2) e v = (2, 1, 3).
IV- u = (0, 2, -1) e v = (-3, -2, -4).
V- u = (-2, 2, 0) e v = (-1, 1, -3).
Assinale a alternativa CORRETA:
As opções I, III e IV estão corretas.
Somente a opção II está correta.
As opções I e IV estão corretas.
As opções III e V estão corretas  
9) Com frequência, matemáticos e programadores gráficos necessitam encontrar o ângulo entre dois vetores. Felizmente, a fórmula usada para calcular esse ângulo não exige nada além de um simples produto escalar. Desta forma, dados o pares de vetores a seguir, calcule os ângulos formados entre eles, e a seguir, assinale a alternativa CORRETA:
u = (1,1,2) e v = (2,-1,1)
O ângulo formado é 90°.
O ângulo formado é 45°.
O ângulo formado é 60°.  
O ângulo formado é 30°.
10) No estudo dos espaços vetoriais, pode-se realizar a análise de sua dimensão. Pode-se relacioná-la com a quantidade de vetores LI que geram este espaço. As aplicações desse conceito são puramente utilizadas na matemática, nas provas de teoremas e propriedades. Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) A dimensão do conjunto de matrizes de ordem n x n é igual a n².
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 3.
( ) A dimensão do R² é igual a 2.
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 4.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
F - F - V - V.
F - V - F - V.
V - F - V - V.  
V - F - F - F.

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