Momento de uma Força e Produto Vetorial

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Professora: Priscila Mayana
priscilamayana@hotmail.com
Resultantes de sistemas de força
Aula 3
Momento de uma força – Formulação escalar
• O momento de uma força em relação a um ponto ou a um eixo 
fornece uma medida da tendência dessa força de provocar a rotação 
de um corpo em torno do ponto ou do eixo.
• Essa tendência de rotação também é conhecida como torque ou 
simplesmente momento 
O eixo do momento (z) é perpendicular ao plano 
sombreado x-y, o qual contém tanto Fx quanto 
dy e intercepta o plano do ponto O. 
• O momento Mo em relação ao ponto O é uma quantidade vetorial, uma vez 
que depende da sua intensidade, direção e sentido para ser determinado.
Intensidade: A intensidade de MO é
𝑀𝑜 = 𝐹𝑑
Onde d é denominado braço do momento e é a distância perpendicular do 
ponto O até a linha de ação da força. As unidades do momento são N.m ou 
lb.pé.
Direção e sentido: A direção e o sentido de M0 devem ser determinados pela 
regra da mão direita.
Momento resultante de um sistema de forças 
coplanares
• Se um sistema de forças se situa em um plano x-y, então o momento 
produzido por cada força em relação ao ponto O, é direcionado ao longo 
do eixo z. 
• O momento resultante MRO do sistema pode ser determinado 
adicionando-se os momentos de todas as forças algebricamente.
⤹ +𝑀𝑅𝑂 = 𝐹𝑑
Exemplo 1: Determine o momento da força em relação ao 
ponto O.
Exemplo 2: Determine os momentos da força de 800N que 
atua sobre a estrutura em relação aos pontos A, B, C e D.
Exemplo 3: Determine o momento resultante das quatro forças 
que atuam na haste em relação ao ponto O. 
Produto vetorial
𝑪 = 𝑨 × 𝑩
Intensidade: A intensidade de C é definida como o produto das 
intensidades de A e B e o seno do ângulo θ entre os dois vetores de modo 
que suas origens se localizem no mesmo ponto (0°≤ 𝜃 ≤ 180°).
Assim, C = AB senθ.
Direção e sentido: O vetor C tem direção perpendicular ao plano contendo 
A e B, de modo que seu sentido é determinado pela regra da mão direita.
Leis de operação
1. O produto vetorial é não-comutativo: 𝑨 × 𝑩 ≠ 𝑩 × 𝑨, 
ou melhor 𝑨 × 𝑩 = −𝑩 × 𝑨
2. Multiplicação por um escalar: 
𝑎 𝑨 × 𝑩 = 𝑎𝑨 × 𝑩 = 𝑨 × 𝑎𝑩 = 𝑨 × 𝑩 𝑎
3. Lei distributiva: 𝑨 × 𝑩 + 𝑫 = 𝑨 × 𝑩 + (𝑨 × 𝑫)
Formulação vetorial cartesiana:
• Para obter o produto vetorial de quaisquer pares de vetores cartesianos 
A e B, é necessário expandir um determinante.
A primeira linha de elementos consiste em vetores unitários i, j, k; a 
segunda e terceira linhas representam os componentes x, y, z, dos vetores 
A e B, respectivamente.
Momento de uma força – Formulação Vetorial
• O momento de uma força F em relação ao um ponto O, pode ser expresso na 
forma de um produto vetorial: 
𝑴𝑂 = 𝒓 × 𝑭
Nesse caso, r representa um vetor posição traçado de O até qualquer ponto 
sobre a linha de ação de F.
Intensidade: A intensidade será 𝑀𝑂 = 𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃. O ângulo θ é medido entre as 
direções de r e F. Uma vez que o braço de momento é 𝑑 = 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃, então
𝑀𝑂 = 𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝐹 𝑟 𝑠𝑒𝑛 θ = 𝐹𝑑
Direção e sentido: A direção e sentido de 𝑴𝑂 são deter-
minados pela regra da mão direita (Produto vetorial).
Princípio da transmissibilidade
• F apresenta a propriedade de um vetor deslizante e pode, devido a esse ato, 
agir em qualquer ponto sobre sua linha de ação e ainda produzir o mesmo 
momento em relação ao ponto O. A esse resultado dá-se o nome de princípio 
da transmissibilidade. 𝑴𝑂 = 𝒓𝐵 × 𝑭 = 𝒓𝐶 × 𝑭
• Formulação vetorial cartesiana
Fixando os eixos x, y, z, o vetor posição r e a força F podem ser expressos como 
vetores cartesianos.
Desenvolvendo o determinante:
Momento resultante de um sistema de forças
• Se um corpo está sujeito à uma ação de um sistema de forças, o momento 
resultante das forças em relação ao ponto O pode ser determinado pela soma 
vetorial por meio de aplicações sucessivas da equação. Assim,
𝑀𝑅𝑂 = (𝑟 × 𝐹)
Exemplo 4:
Princípio dos momentos (Teorema de Varignon)
• O momento de uma força em relação a um ponto é igual à soma dos 
momentos dos componentes das forças em relação ao mesmo ponto.
• Considere a força F , onde F = F1+F2
Exemplo 5:
• Uma força de 800 N atua sobre um suporte. Determine o momento da 
força em relação a B.
Momento de um binário
• Um binário é definido como duas forças paralelas de mesma intensidade, 
sentidos opostos e separadas por uma distância perpendicular d.
• Como a força resultante é nula, o único efeito de um binário é produzir 
rotação ou tendência de rotação em determinada direção.
• Podemos escolher o ponto A como referência, então o momento em relação 
a –F é zero, se tem 
𝑴 = 𝒓 × 𝑭
Esse resultado indica que o momento de um binário é um vetor livre, isto é, 
pode atuar em qualquer ponto, pois M depende apenas de r, que é orientado 
entre as forças, não se encontrando ligado ao ponto arbitrário O.
Formulação escalar: A intensidade do momento de um binário é dada por
𝑀 = 𝐹. 𝑑
onde d é a distância perpendicular entre as forças.
Direção e sentido pela regra da mão direita. M atua perpen-
dicularmente ao plano contendo essas forças. 
Formulação vetorial: O momento de um binário pode também ser expresso 
pelo produto vetorial
𝑴 = 𝒓 × 𝑭
Se os momento são tomados em relação ao ponto A, por exemplo, o 
momento de –F é nulo em relação a esse ponto, e o momento de F é definido 
pela equação acima.
Portanto, nessa formulação, r é multiplicado vetorialmente por F, que é a 
força em cuja direção r está orientado.
• Binários equivalentes: Dois binários são ditos equivalentes se produzem o 
mesmo momento. É necessário que as forças de binários iguais estejam ou no 
mesmo plano ou em planos paralelos entre si. Dessa forma, as direções dos 
momentos gerados por esses binários serão as mesmas.
• Momento de Binário Resultante: Como os momentos de binário são vetores 
livres, podem ser aplicados a qualquer ponto P de um corpo e somado 
vetorialmente. 
𝑴𝑅 = 𝑴1 +𝑴2
Se mais de dois binários atuam no mesmo corpo:
𝑴𝑅 = (𝒓 × 𝑭)
Exemplo 6:
Exemplo 7:
Exemplo 8
Sistema Equivalente
• O ponto O está sobre a linha de ação da força:
• O ponto O não está sobre a linha de ação da força:
• Logo, qualquer força F que atue sobre um corpo rígido pode ser movida 
para um ponto arbitrário O, desde que se adicione um binário cujo 
momento é igual ao momento de F em relação a O.
Resultantes de um sistema de forças e 
momentos de binários
Se duas forças atuam em um bastão e são substituídas por uma força 
resultante e um momento de binário equivalentes, no ponto A, ou pela sua 
força resultante e momento de binário equivalentes, no ponto B, em cada 
caso, a mão pode fornecer a mesma resistência à translação e rotação para 
manter o bastão na posição horizontal. 
Em outras palavras, os efeitos externos sobre o bastão são os mesmos em 
cada caso.
Exemplo 9
Exemplo 10