5-ALGEBRA BOOLEANA-PORTAS LÓGICAS-13-03-2015

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ALGEBRA BOOLEANA
Identidades básicas da Álgebra Booleana
A U B
A U B = {0,1, 2, 3, 4, 6,
7}
A ∩ B A ∩ B = 1   OU A ∩ B = {1}
__
A
__
A  = {1, 2, 5, 6, 7, 8,
9}
EXERCÍCIO 1
U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A = {0,1,3,4,5}     B = {1,2,6,7}
.0
.3      .4
     .5
.2
.6       . 7
A B
U.1  .5  .8  .9
.
1
.0.
.0
.3
        .4
.5
.2
.6       . 7
A B
U.8                 .9
.
1
.0..0
.3
        .4
.2
.6       . 7
A B
U.1  .5  .8  .9
.
1
.0..0
.3
        .4
.2
.6       . 7
A B
U.1  .5  .8  .9
.
1
.0..0
.3
        .4
.2
.6       . 7
A B
U.1  .5  .8  .9
.0
.3
        .4
.2
.6       . 7
A B
U.1  .5  .8  .9
A U B A U B = {0, 2, 3, 4, 6,
7}
.0..0
.3
        .4
.2
.6       . 7
A B
U.1  .5  .8  .9
A ∩ B A ∩ B = φ   OU A ∩ B = {
}
.0..0
.3
        .4
.2
.6       . 7
A B
U.1  .5  .8  .9
__
A
__
A  = { 1, 2, 5, 6, 7, 8,
9}
EXERCÍCIO 2
U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A={0,3,4}           B={2,6,7}
EXERCÍCIO 1
U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A = {0,1,2,3,4,5}     B = {1,6,7}
.0
.3      .4
.2
     .5
.6       . 7
A B
U.8           .9
.
1
.0.
.0
.3
     .2
.4    .5
.6       . 7
A B
U.8                 .9
.
1
.0.
.0
.3       .2
        .4
.6       . 7
A B
U.8            .9
.
1
A U B
A U B = {8,
9}
.0.
.0
.3       .2
        .4
.6       . 7
A B
U.8            .9
.
1
A A  = {6, 7, 8, 9}
B B  = {0, 2, 3,4, 8, 9}
ALGEBRA DE BOOLE APLICADA A LÓGICA DE
PROPOSIÇÕES OU LÓGICA PROPOSICIONAL
PROPOSIÇÃO LÓGICA: É UMA EXPRESSÃO DA
QUAL SE PODE AFIRMAR SE ELA É VERDADEIRA
OU FALSA.
EXEMPLOS:
P: TUPAC AMARU FOI UM REVOLUCIONÁRIO
PERUANO PERANTE OS ESPANHOIS
Q: JOSÉ DE SAN MARTIN FOI QUEM
INDEPENDIZOU O PERÚ DOS ESPANHOIS EM
1821.
R: 2 + 3 = 7
V
V
F
LÓGICA DE PROPOSIÇÕES
• DADA DUAS PROPOSIÇÕES LÓGICAS P e Q.
CONSTRÓI­SE UMA NOVA PROPOSIÇÃO R
APLICANDO O OPERADOR DISJUNÇÃO (\/, ou)
• R: P   \/  Q
• R: V       V      L4
•       ||V||
• A NOVA PROPOSIÇÃO R SERÁ VERDADEIRA
QUANDO PELO MENOS UMA DAS
PROPOSIÇÕES FOREM VERDADEIRAS
P Q P \/ Q
F F     F               L1
F V    V
L2
V F    V                L3
V V    V                L4
TAREFA 13/03/2015
• PROVAR AS PROPRIEDADES DE
TEOREMA DE MORGAN GRAFICAMENTE
(USANDO DIAGRAMA DE VENN COM
BASE NOS DOIS EXERCÍCIOS FEITOS EM
SALA DE AULA – (A∩B)´= A´∪ B´ )
• 10 EXEMPLOS DE PROPOSIÇÕES LÓGICAS
• PROVAR AS PROPRIEDADES DE
TEOREMA DE MORGAN USANDO
TABELA DE VERDADE PARA A PORTA
LÓGICA NAND [(A.B)´ = A´+ B´]
ALGEBRA BOOLEANA
Identidades básicas da Álgebra Booleana
PORTAS LÓGICAS
PORTA LÓGICA: OU (OR)
A manipulação de informação
 binária em um computador
 é feita por meio de circuitos
lógicos, chamados portas.
➢  A porta OR combina dois ou mais sinais de entrada
de forma equivalente a um circuito em paralelo, para
produzir um único sinal de saída, ou seja,
➢ ela produz uma saída 1, se qualquer um dos sinais
de entrada for igual a 1; (pelo menos uma entrada for
igual a 1)
➢ produzirá um sinal de saída igual a zero apenas se
todos os sinais de entrada forem 0.
PORTAS LÓGICAS
• A manipulação de informação binária em um
computador é feita por meio de circuitos lógicos,
chamados portas.
• Porta LÓGICA :E (AND)
•  A porta AND combina dois ou mais sinais de entrada
de forma equivalente a um circuito em série, para
produzir um único sinal de saída, ou seja,
• ela produz uma saída 1, se todos os sinais de entrada
forem 1;
• caso qualquer um dos sinais de entrada for 0, a porta
AND produzirá um sinal de saída igual a zero.
PORTAS LÓGICAS
• Porta Não (Inversor, NOT)
•
• A porta NOT inverte o sinal de entrada
(executa a NEGAÇÃO do sinal de entrada), ou
seja,
• se o sinal de entrada for 0 ela produz uma
saída 1, se a entrada for 1 ela produz uma
saída 0.
PORTA LOGICA NOR (15)Teorema de Morgan
(X+Y)´ = X´.Y´X
Y
(X+Y)´
X
y
X´.
Y´
X Y X + Y   ( X Y)´
0 0 0 1
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 1 0
X Y X´ Y´ (X´   . Y´)
0 0 1 1 1
0 1 1 0 0
1 0 0 1 0
1 1 0 0 0
(I)
(II)
PROVAR QUE: (X+Y)´ = X´.Y´
DO RESULTADO DA TABELA DE
DE VERDADE (I) E DA TABELA II,
PODE­SE AFIRMAR QUE A
PROPRIEDADE (15) É
VERDADEIRA.
PORTA LÓGICA NAND (16)
(X.Y)´= X´+ Y´      TEOREMA DE MORGAN
A
B
A´+ B´
A B A´ B´ (A´  + Y´)
0 0 1 1 1
0 1 1 0 1
1 0 0 1 1
1 1 0 0 0
(I)
(II)
PROVAR QUE: (X.Y)´ = X´+Y´
DO RESULTADO DA TABELA DE
DE VERDADE (I) E DA TABELA II,
PODE­SE AFIRMAR QUE A
PROPRIEDADE (16) É
VERDADEIRA.
(A.B)´
TEOREMA DE DE­MORGAN
• Este teorema é muito importante para a
manipulação de portas NOR e NAND.
• Uma porta NOR que executa a função (x + y)'
é equivalente à função x'y'.
• De forma similar, uma função NAND pode ser
expressa tanto por (xy)' como por (x' + y').
• Por esta razão, as portas NOR e NAND
possuem dois símbolos gráficos distintos.
PORTAS LÓGICAS NOR, NAND
PROTAS LÓGICAS
• Sistema lógico descrito por George Boole em
meados do século passado.
• Lógica Positiva: A tensão mais positiva
representa o valor V (1) e a mais negativa o
• valor F(0).
• Lógica Negativa: O valor V é representado pela
tensão mais negativa (1) e F pela tensão mais
positiva (0).
• Lógica Mista: No mesmo sistema, usam­se as
lógicas positiva e negativa.
Expressões Booleanas Obtidas de
Circuitos Lógicos
➢ Todo o circuito lógico executa uma função
booleana     é formado pela interligação das portas
lógicas básicas.
➢ Pode­se obter a expressão booleana que é
executada por um circuito lógico qualquer.
➢ Encontrar a expressão booleana correspondente a
saída do circuito lógico dado.
• Faça o circuito que executa a expressão
S=(A+B).C.(B+D)
Circuitos Lógicos Obtidos de
Expressões Booleanas
• Faça o circuito que executa a expressão
S=(A+B).C.(B+D)
Circuitos Lógicos Obtidos de
Expressões Booleanas
Circuitos Lógicos Obtidos de
Expressões Booleanas
Faça o circuito que executa a expressão
S=(A+B).C.(B+D)
A+B
B+D
S=(A+B).C.
(B+D)
Exercícios
Esboce os circuitos obtidos a partir das
seguintes expressões, com suas
correspondentes tabela de verdade.
1. S = (A.B + C.D)
2. S = (A + B + C ) . (A + C + D)
3. S = (A + B ). C . (A + C ).B
4. S = ((A + B ).C ) + (B .D.(A + (B .D)))
1. S = (A.B + C.D)
A   B   C   D
S = (A.B + C.
D)
A.
B
C.
D
24 =16
2. S = (A + B + C ) . (A + C + D)
A   B   C
D
A + B +
C
S
A + C +
D
 3. S = (A + B ). C . (A + C ).B
A +
B
A +
C
C
B
A      B   C
S = (A + B ). C . (A + C ).
B
4. S = ((A + B ).C ) + (B .D.(A + (B .
D)))
A + B
C
(A+B).C
B.D
A
A + (B.
D)
B.D
B.D.(A+(B.D))
A   B   C
D
Tabelas da Verdade obtidas de
Expressões Booleanas – Exemplo:
Expressões Booleanas Obtidas de Tabelas
da Verdade ­ MINTERMO
Na tabela, analisa­se onde S=1 e monta­se a expressão adequada.
Para se obter a expressão basta realizar a soma booleana de
cada termo acima:
Encontrar a expressão booleana
correspondente da tabela dada
aplicando MinTermo
       _   _    _     _                    _   _
S= A . B. C + A. B. C + A. B. C + A B C
S = A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D
Determine as expressões booleanas das funções
lógicas dos circuitos abaixo:
Determine a expressão booleana das funções lógicas
do circuito abaixo:
A+B
(A+B) . (A.C)
(A.C)
(B + D)
S=   (A+B) . (A.C) + (B + D)
Determine a expressão booleana das funções lógicas
do circuito abaixo:
S = ((A+B). (A.C))   +  ( B + D)
S = [ (( B. D) + A) .  (B.D) + (C.D)] . [ C + ((A+ C) . (B.D))]
S= [(B⊕D) + (C . ((A.C.D) +  (A + B + C) )) +   ((A + B + C)  . D) ]
S = [ (A.B)+  (A.B) + C ]. (C+D)
TAREFA PARA O DIA
20/03/2013
EXERCÍCIO PARA FAZER 20/03/2015